二次函数,指数函数,对数函数

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第 页 1 二次函数、指数函数和对数函数

1掌握二次函数的图像性质； 2掌握指数、对数的运算性质

3掌握指数函数和对数函数的概念、图像和性质，并能解决相关问题。

知识点归纳

1（1）二次函数的图象及性质:二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2，顶点坐标是abacab4422，

（2）最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边 要注意系数a的符号对抛物线开口的影响以及对称轴与区间的相对位置

（3）理解好二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：

2分数指数幂的运算性质：

)()(),()(),(QnbaabQnmaaQnmaaannnmnnmnmnm srsraaa rrrabba)(

3 )10(aaayx且的图象和性质

a>1

0

图象

1oyx 1oyx

性质 (1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数

4指数式与对数式的互化：logbaaNNb

5重要公式： 01loga，1logaa 对数恒等式NaNalog

6对数的运算法则 （其中0,1,0,0aaNM）

log()loglogaaaMNMN logloglogaaaMMNN

loglognmaamMMn 前程无忧文化学习中心

第 页 2 7对数换底公式：

aNaNNmmalogloglglglog ( a > 0 ,a  1 ，m > 0 ,m  1,N>0)

8两个常用的推论:

①1loglogabba， 1logloglogacbcba

② bmnbanamloglog（ a, b > 0且均不为1）

9对数函数的性质：

a>1

0

图

象 1oyx

1oyx

性

质 定义域：（0，+∞）

值域：R

过点（1，0），即当1x时，0y

)1,0(x时 0y

),1(x时 0y )1,0(x时 0y

),1(x时0y

在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数

10同底的指数函数xya与对数函数logayx互为反函数

[速练速改]:

1．已知二次函数0)(2cbxaxxf ，0)0(f，则c ；

2．函数42)(2xxxf的对称轴为 ，它有最 值为 ；

3．画出函数12)(2xxxf的图像，并由图写出函数的单调性，最值。

4．化简)31()3)((656131212132bababa的结果 前程无忧文化学习中心

第 页 3 （ ）

A．a6 B．a C．a9 D．29a

5．设a2lg,b3lg，试用a、b表示12log5为

6．比较大小：○1 alog ealog,0(a且)0a；

○2 21log2 )1(log22aa)(Ra ③1.2945.0 74.0ln

7．函数||2)(xxf的值域是 （ ）

A．]1,0( B．)1,0( C．),0( D．R

8．函数0,0,12)(21xxxxfx，满足1)(xf的x的取值范围是（ ）

A．)1,1( B． ),1(

C．}20|{xxx或 D．}11|{xxx或

9．化简（1）121316324(124223)27162(8)；

（2）2(lg2)lg2lg50lg25；

（3）3948(log2log2)(log3log3)

10．函数xxxy的图象是 （ ）

11．函数bxky)12(在实数集上是增函数，则 （ ）

A．21k B．21k C．0b D．0b

12．函数||2xxy，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .

[典型例题] 前程无忧文化学习中心

第 页 4 1．函数xxxay22(a＞0)的定义域是 （ ）

A．［－a，a］ B．［－a，0］∪(0，a)

C．(0，a) D．［－a，0］

2．函数f(x)=2x2mx+3,当x(,1]时是减函数，当x[1,+)时是增函数，则f(2)=

3. 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是(,3)(2,+),则关于x的不等式bx2+ax+c>0的解集是

3．若logx3>logy3>0,则下列不等式恒成立的是 ( )

A3/1x

C x1)31(<31–y D x1)31(>31–y

4．已知y=loga(2–ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是

5．画出函数32)(2xxxf的图像，指出它的单调性，值域和最值。

6．已知11223xx，求22332223xxxx的值

7．已知35abc，且112ab，求c的值

8．已知 22xx≤2)41(x， 求函数y=22XX的值域。

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第 页 5 典型题例示范讲解

例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；

(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围

例2已知二次函数)(xf的二次项系数为a，且不等式xxf2)(的解集为（1，3）.

（1）若方程06)(axf有两个相等的根，求)(xf的解析式；

（2）若)(xf的最大值为正数，求a的取值范围.

例3. 已知函数)(xfy的图象与函数xay（0a且1a）的图象关于直线xy对称，记]1)2(2)()[()(fxfxfxg．若)(xgy在区间]2,21[上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．),2[ B．)2,1()1,0( C．)1,21[ D．]21,0(

例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点

(1)证明 点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标

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第 页 6 例5：(1)已知)1()(),1()(bbxgaaxfxx,当2)()(21xgxf时,有21xx,则ba,的大小关系是

A.ba B.ba C.ba D.ba

例6：函数1lg[()1]2xy的定义域是 .(用区间表示)

例7：(1)已知幂函数13()afxx在(,0)上是增函数,在(0,)上是减函数,则最小的正整数a= .

(2)设函数1532fxaxbx在区间(0,)M上的最大值为8,则()fx在区间(,0)M上的最小值为______.

例8：已知函数1log,0()(01)log(),0aaxxfxaaxx且.

(1)判断()fx的奇偶性；

(2)若()()ftft,求实数t的取值范围.

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第 页 7 例9：设二次函数2()fxxaxa，方程()0fxx的两根1x和2x满足1201xx．

（I）求实数a的取值范围；

（II）试比较(0)(1)(0)fff与116的大小．并说明理由．

例10、已知函数()log(21)(01)xafxbaa，的图象如图所示，则ab，满足的关系是（ ）

A．101ab B．101ba

C．101ba D．1101ab 1 O y

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第 页 8 例11、（2007全国Ⅰ高考试题）设1a，函数()logafxx在区间2aa，上的最大值与最小值之差为12，则a（ ）

A．2 B．2 C．22 D．4

例12、（2008全国Ⅱ高考试题）若13(1)ln2lnlnxeaxbxcx，，，，，则（ ）

A．a

例13：（2007北京高考试题）函数()3(02)xfxx≤的反函数的定义域为（ ）

Ａ．(0)， Ｂ．(19]， Ｃ．(01)， Ｄ．[9)，

例14：（2008湖南高考试题）设函数()yfx存在反函数1()yfx,且函数()yxfx的图象过点(1,2),则函数1()yfxx的图象一定过点 .

例15：定义在R上的函数()fx满足()()()2fxyfxfyxy（xyR，），(1)2f，则(2)f等于（ ）

A．2 B．3 C．6 D．9

习题：

1.（2010·安徽高考理科·Ｔ6）设0abc，二次函数2fxaxbxc的图象可能是（ ）