大学物理03-刚体力学基础

15
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状（质量分布）
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒，质量为 m ，长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量：（1）通过棒中心且与棒垂直的轴；（2）通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解：取如图坐标，在棒上任取质元，到转轴的垂直距离为x， 长度为 d x，该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //

大小： M rF sin Fd 方向： 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中，M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向，则 M 与转轴方向一致时取正 值，反之为负值
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(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的，而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因，而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内（任意力） 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩：
Z
(1) 外力F 处于转动平面 S 内 力矩：
Z
M rF

2
R
1 2
4
R2
J

2
R 4＝ mR 2
J 是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
对同质量的圆环， J mR2
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可见，两个质量相等、形状类似、转轴位置相同的刚 体，由于质量分布情况不同，其转动惯量不同。
20
例3 、内半径为R1 外半径为R 2 质量为m 的匀质中空 圆柱绕其对称轴的转动惯量
面积 dS 2 rdr， 质量为 dm dS
转动惯量为： J r 2 dm 2 r 3dr

Z
O
R
r
J r 2 dm
Z
整个圆盘的转动惯量为：
dr
R 2 dm R 2 dm mR 2
O R
dm
J dJ 2 r dr

m
R 0
3
华中师范大学物理学院 李安邦
1
刚体

质点： 质点：忽略物体的大小和内部结构，把它 看成一个有质量的点。 实验表明，任何物体在外力作用下，形状 和大小一般都要发生变化。如果变化不显 著，对所研究问题的影响甚微，则可忽略 物体的形变。 刚体：任何情况下物体的大小和形状都不 发生变化，即物体内任意两点间的距离保 持不变。
体分布
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o
0 x
l 2
m 1 dx ml 2 l 3
18
可见，对同一刚体，转动惯量与转轴位置有关。
3
例3-3 求质量为m、半径为R 、密度均匀的细圆环或圆 盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量。 解 : （1）细圆环的质量均匀分布在半径为R的圆周上。
（2）在圆盘上取半径为 r 宽为dr 的薄圆环,
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体的基本运动 一、刚体的基本运动 ：平动和定轴转动 二、刚体绕定轴的匀变速转动 3-2 刚体绕定轴的转动定律 转动惯量 一、力对转轴的力矩 二、刚体绕定轴的转动定律 三、转动惯量的计算 四、平行轴定理 垂直轴定理 五、 刚体定轴转动的转动定律的应用 3-3 刚体定轴转动的动能定理 一、力矩的功 二、刚体定轴转动的动能 三、刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
取任一垂直于定轴Z的平面 S 作 为转动平面，刚体上的质点 P 用 角坐标、角位移、角速度、 角加速度 描述。 d d 2 d 2 S
dt
dt dt
思考题3-1 (p94) 一个绕定轴转动着的刚体有非零 的角速度和角加速度。刚体中的质点 A 离转轴的 距离是质点 B 的两倍，对质点 A 和质点 B ，以下 各量的比值是多少？ 1. 角速率 2. 线速率
既平动又转动：质心的 平动加绕质心的转动
4

A
B
A
A
B


平动时，刚体内任何一点的运动就可以代表刚体 的运动。平动可以归结为质点运动的问题
3
刚体转动的描述
刚体上各质点的位置、线速度、加速度一般不同，但角量 （角位移、角速度、角加速度）都相同，描述刚体的转动 Z 用角量最方便。
棒： 球：
mL
o
o
dm
m
( R22 R12 )
R
2 rdr
J
2 m r 2 2 rdr 2 ( R R1 ) R1
2 2
R1
R2

r
1 2 m( R2 R12 ) 2
22
21
例4 、质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的 转动惯量 解： 在球面取一圆环带，半径 r R sin

2 2 0 ( 5 ) 2 75 ( rad ) 2 2 ( )
0 t
0 0t
1 2 t 2
0
2 v 2 v0 2a( x x0 )
2 02 2 ( 0 )
7
6
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
dm dl
其中、、分别 为质量的线密度、 面密度和体密度。
dx
L/2
B X
J r 2 dm
l
dm ds
dm dV
o
A
2l x 2
2
1 m dx ml 2 12 l
dx
L
B X
J r dm

2
线分布
面分布
v v 0 at
x x0 v0t 1 2 at 2
例题3-1 一转速为每分钟150转、半径为0.2米的飞轮，因受到 制动而均匀减速，经过 30 秒停止转动。试求：（1）β和在此 时间内飞轮所转的圈数；（2）t=6 秒时飞轮的ω；（3）t=6 秒 时飞轮边缘上任一点的线速度、切向加速度和法向加速度
M J
矢量形式：
13
Fi f i mi ai mi ri
Fin f in mi ain
（不影响刚体的转动）
d M J J dt
刚体绕定轴转动时，刚体对定 轴的转动惯量与角加速度的乘 积，等于作用在刚体上所有外 力对该轴的合力矩。
14 ——刚体定轴转动的转动定律
d M J J dt
M＝J 是解决刚体定轴转动动力学问题的基本 方程，与质点力学中的 F = m a 地位相当 • m 反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯 性。外力矩一定时，J 越大，则 b 越小，即刚 体转动的运动状态越难改变。 • 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速 度的原因
例5 质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量
解：
把球体看作无数个同心薄球壳的组合
在球体中取一个半径为 r 厚度为 dr 的薄球壳
dm
R sin
m 2 rRd 4R2
R
dm
d

J r 2 dm

3m m 4 r 2 dr 3 r 2dr 4 3 R R 3
o
1 J A ml 2 3
若刚体对通过质心 C 的某轴 CZ’ 的转动惯量为 JC，另有一与CZ’ 轴平行的任意轴线OZ，两轴线 之间的距离为 d ，刚体对 OZ 轴 的转动惯量为 J ，则有： J＝JC＋md 2。
Z’
Z
C
d
O
其中 JC 表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA 表 示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相 距 L/2。可见：
8
所以在30秒时间内飞轮所转过的圈数为
75 37 .5 (圈 ) 2 2 (2) t=6 秒时飞轮的角速度为
N
0 t 5 (

6
) 6 4 ( rad/s )
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(3) 在 t = 6 秒时刻飞轮边缘上任一点的线速度和切 向、法向加速度可分别由公式得
三 转动惯量的计算
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量与该 质点到转轴的距离平方的乘积之总和。国际单位制中 转动惯量的单位为千克·米2（kg·m2） 单个质点： 质点系：
J mi ri 2
n i 1
J ( mi ri 2 )
质量连续分布的刚体： 与转动惯量有关的因素： • 刚体的质量 • 转轴的位置
将切向分量式两边同乘 ri ，变换得：
Z 设刚体在外力作用下绕固定轴 OZ 转 动，则每一质点都绕 OZ 轴做圆周运动。 M z
任一质点 i，质量为 mi ，半径为ri
Fi ri f i ri mi ai ri mi ri 2
对等式左右两边求和：
Fi f i mi ai
内力的合力
O
r
F
P n



S
转动平面