大学物理刚体力学基础

2
分离变量，并考虑到t＝0时， 0 ，两边积分

1 0 3
0
d
k dt 2 0 J
t
2J 1 故当 0 时，制动经历的时间为 t . k0 3
3-3 刚体定轴转动的动能定理
1、转动动能 i质点的动能
1 2 1 Eki mi vi mi ri 2 2 2 2
转动定律说明了 J是物体转动惯性大小的量度。因为：
M 一定时J
J

即 J 越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性 就越大；反之，J越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态 的能力越弱，或者说转动惯性越小。 如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒， 若 受力和力矩一样，谁转动得快些呢？
mi
Fi fi mi ai
则质点所受力矩
Mi mi ri
2
对刚体所受所有力矩求和得：
ri Fi ri fi mi ri
2
由于刚体各质点相对轴距离不变，令
J mi ri
2
2、刚体定轴转动的转动定理
M J
作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之 和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。 其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
二、刚体定轴转动的转动定律： 刚体绕定轴转动，在刚体上取一质元 mi ，绕轴作半 径 ri 的圆周运动，作用在质点上的合力矩

M i ri Fi fi ri Fi ri fi
ri
i


Fi
由牛顿第二定律可知
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
例 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆 面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
整个刚体的动能 — 对i 求和
2 2 2 1 1 Ek Eki mi vi mi ri 2 2 i i i 1 2 2 1 ( mi ri ) J 2 2 i 2

可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方 乘积的一半。 1 E J 2 转动动能 k
dJ r 2 dm 2 r 3dr
则整个圆盘对中心轴的转动惯量为
J dJ
R
0
1 2 r dr mR 2 2
3
以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转 动惯量不同.
以上各例说明： (1)刚体的转动惯量 与刚体的总质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。
解 (1)由题知 M k 2 ，故由转动定律有
k 2 J
即
1 0 代入，求得这时飞轮的角加速度为 将 3
2 k 0 9J
k 2 J
(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即
d M J J dt
d k J dt
(2)质量元的选取： 线分布 面分布 体分布
dm dx(或dl)
dm ds dm dv
线分布
面分布
Baidu Nhomakorabea
体分布
(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移， 对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于 定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。
例 如图 (a)所示，质量均为m的两物体A，B. A放在倾角为α的光滑 斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连.定滑轮是半径为R的圆盘， 其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中张力 T1 和 T2及物体 的加速度a(轮轴光滑).
注意比较 平动动能
2
1 2 E k mv 2
2、力矩的功

对于i 质点其受外力为 Fi，
dA i F i dr i F i cosi dr i
M
dri
Fi dsi
ri
d
i
dsi
Fi
mi
Fi ri d M i d
对 i 求和，当整个刚体转动d ，则力矩的元功
2、 定轴转动的角量描述 垂直于转动轴的平面为转动平面。 １）角量描述： 以转动平面与轴的交点为原点， 任引一射线为极轴，原点引向考察 点的矢径与极轴的夹角为角位置， 并引入 角位移
0 x
角速度
角加速度
d dt d d 2 2
dt dt
d
由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周 运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部 可用。
又 J 1 mR 2 2
⑤
联立式①，②，③，④，⑤得
T1＝ 2+3sin mg 5 3+2sin mg 5 2(1-sin ) g 5
T2＝
a A aB
0 例 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t＝0时角速度为 .此后飞轮经历 制动过程，阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k为 1 大于零的常数)，当ω＝ 0 时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到 3 现在经历的时间是多少？
1
2
2
2
2 d d J d J dt 1 dt dt

2
1
1 1 2 2 J d J 2 J 1 2 2


2
1
1 2 Md ( J ) 2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
Y
M
vC
4、刚体的势能
EP mi gyi
i
C mi
２)刚体定轴转动的特点 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
vi ri ai ri ani ri 2
3-2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
一、力矩
1、力对固定点的力矩 1）定义：作用于质点的力对 惯性系中某参考点的力矩， 等于力的作用点对该点的位 矢与力的矢积，即
解 物体A，B，定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A，B，分 别由牛顿定律得
T1 mg sin ma A ①
mg T2 maB
又 T1 T1 , T2 T2 .
②
③
对定滑轮，由转动定律得
T2 R T1R＝J ④
由于绳不可伸长，所以
aA aB R
M
o
r
F
M r F
m

力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
2）力矩的单位、 牛· 米(N· m)
3）力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M Fr sin
M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所 示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质 元对转轴的转动惯量为
dJ R2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R 2 dm R 2 dm mR 2
有两种情况, M 0
F 0 B）力的方向沿矢径的方向（ sin 0 ）
A)
F
2.力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
有心力的力矩为零
则力对该轴无力矩作用。
3.质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零
M i 0 M j 0 ri f ji rj f ij f ij f ji M i 0 M j 0 (ri rj ) f ji rij f ji 0
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直 在棒上任取一质元，其长度为dx，距轴O的距离为x，设棒的线密度(即 m 单位长度上的质量)为 ，则该质元的质量dm＝λdx.该质元对中心 l 轴的转动惯量为
dJ x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
M z xFy yFx
２、力对轴的矩： 力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列 Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴 的转动平面内，作用点到Ｚ Mz 轴的位矢为r，则力对Ｚ轴 F// 的力矩为 r F M z rF sin ·
m m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许 多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如 图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量) m ，则小圆环的质量 dm＝σdS＝σ2πrdr，该小圆环对中心轴的转动惯量为 R2
§3-1刚体 刚体的定轴转动的描述
一、 刚体
质点模型基本上只能表征物体的平动特征。 当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围r相比不 可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体 的空间方位时，我们可以引入刚体模型。 刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布 的质点系。 平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂 运动都可以看成平动与转动的合成。
r sin F F rF sin rF
F r
F
式中为力F到轴的距离
若力的作用线不在转动在平面内， 则只需将力分解为与轴垂直、平行 的两个分力即可。
1.力对固定点的力矩为零的情况：
力F等于零， 力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点, 即，有心 力对力心的力矩恒为零）。
MZ JZ
M
M
4、转动惯量的计算 对于单个质点
J mr 2
J mi ri 2
i 1 n
质点系 若物体质量连续分布，
J r dm r dV
2 m m
2
转动惯量的单位：千克· 米2（kg· m2 ） 转动惯量计算举例：
例 如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量： (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂直.
m gyc
其中m为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度。 质量分布均匀而有一 定几何形状的刚体，质 心的位置为它的几何中 心。
yC
O
yi
X
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度. 解 棒受力如图2.39所示，其中重力G l 对O轴的力矩大小等于 mg 2 cos ，是θ 的函数，轴的支持力对O轴的力矩为零 .由转动动能定理，有
dA M i d ( Mi )d Md
式中M 为作用于刚体上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于 力矩与角位移之乘积（∵内力矩之和为零） ∴ 当刚体转过有限角时，力矩的功为
A Md
1
2
3、刚体定轴转动的动能定理：
A Md 1 J d 1
※在直角坐标系中，其表示式为
( yFz zFy )i ( zFx M xi M y j M z k i j k M x y z Fx Fy Fz
xFz ) j ( xFy yFx )k
M x yFz zFy
M y zFx xFz
本节讨论转动中最简单的运动－定轴转动。
二、 刚体定轴转动的描述
若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运 动，这种运动称之为转动。该直线称为转轴。
１、转动瞬轴、定轴转动 若转轴的方向或位置在运动 过程中变化，这个轴在某个时 刻的位置称为该时刻的转动瞬 轴。
Z
O
若转动轴固定不动，即既不能改 变方向又不能平移，这个转轴为固 定轴，这种转动称为定轴转动。 我们只讨论定轴转动。