平面向量板块测试
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(12×5′＝60′)
1.下列五个命题：①|a 2|=2a ;②a
b a
b a =⋅2;③222)(b a b a ⋅=⋅;④2222)(b b a a b a +⋅-=-;
⑤若a ·b =0,则a =0或b =0.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①②③
B.①④
C.①③④
D.②⑤
2.若AB =3e ,CD =-5e 且|AD |=|BC ，则四边形ABCD 是 ( )
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.非等腰梯形 3.将函数y =sin x 按向量a ＝(1,-1)平移后，所得函数的解析式是 ( ) A.y ′=sin(x ′-1)-1 B.y ′=sin(x ′+1)-1 C.y ′=sin(x ′+1)+1 D.y ′=sin(x ′-1)+1
4.若有点1M (4，3)和2M (2，-1)，点M 分有向线段21M M 的比λ＝-2，则点M 的坐标为 ( )
A.(0，-35)
B.(6，7)
C.(-2，-3
7
) D.(0，-5) 5.若|a +b |=|a -b |，则向量a 与b 的关系是 ( )
A.a =0或b =0
B.|a |=|b |
C.ab =0
D.以上都不对 6.若|a |=1，|b |=2，|a +b |=7，则a 与b 的夹角θ的余弦值为 ( ) A.-21 B.21 C.3
1
D.以上都不对 7.已知a =31e -42e ,b =(1-n )1e +3n 2e ,若a ∥b 则n 的值为 ( ) A.-
54 B.5
4
C.4
D.2 8.平面上三个非零向量a 、b 、c 两两夹角相等，|a |=1，|b |=3,|c |=7,则|a +b +c |等于
( )
A.11
B.27
C.4
D.11或27 9.等边△ABC 中,边长为2,则AB ·BC 的值为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2
10.已知△ABC 中，)(2222444b a c c b a +=++，则∠C 等于 ( ) A.30° B.60° C.45°或135° D.120° 11.将函数y =f (x )cos x 的图象按向量a =(
4
π
,1)平移，得到函数x y 2sin 2=的图象，那么函数f (x )可以是 （ ）
A.cos x
B.2cos x
C.sin x
D.2sin x
12.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3)，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α、β∈R ，且α+β=1,则点C 的轨迹方程为 ( )
A.3x +2y -11=0
B.5)2()1(22=-+-y x
C.2x -y =0
D.x +2y -5=0
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(4×4′＝16′)
13.已知|a |=3,|b |=5,a ·b =12,则a 在b 上的投影为 .
14.设a =(-4,3),b =(5,2),则2|a 2|-2
1
ab ＝ . 15.已知a =(6,2),b =(-4,2
1
),直线l 过点A (3,-1),且与向量a +2b 垂直，则直线l 的一般式
方程是 .
16.把函数5422+-=x x y 的图象按向量a 平移后，得到22x y =的图象，且a ⊥b ,c =(1,-1),b ·c =4,则b = . 三、解答题(5×12′+14′＝74′)
17.若向量a 的始点为A (-2，4)，终点为B (2，1).求： (1)向量a 的模.
(2)与a 平行的单位向量的坐标. (3)与a 垂直的单位向量的坐标.
18.设两向量1e 、2e 满足|1e |=2，|2e |=1,1e 、2e 的夹角为60°，若向量2t 1e +72e 与向量1e +t 2e 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
19.已知向量a =(x 23cos
,x 23sin ),b =(2cos x ,2sin x -),且x ∈［-3π,4
π］.
（1）求a ·b 及|a +b |;
（2）若f (x )=a ·b -|a +b |,求f (x )的最大值和最小值.
20.设a=(-1-x)i,b=(1-x)i+y j(x、y∈R,i、j分别是x、y轴正方向上的单位向量)，且|a|=|b|.
(1)求点M (x,y)的轨迹C的方程；
(2)过点(4,0)作直线l交曲线C于A、B两点，设OP=OA+OB，求证：四边形OAPB为矩形.
21.已知△ABC的顶点为A(0，0)，B(4，8)，C(6，-4).M点在线段AB上，且AM=3MB，P点在线段AC上，△APM的面积是△ABC的面积的一半，求点M、P的坐标.
22.如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′和YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用4 km/h的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行.
(1)起初，两人的距离是多少?
(2)用包含t的式子表示t h后两人的距离.
(3)什么时候两人的距离最短?
第22题图
