二次函数动点问题(含答案)

函数解题思路方法总结：

⑴ 求二次函数的图象及x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

动点问题题型方法归纳总结

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般及特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。〕

动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点

5、〔湖北十堰市〕如图①， 抛物线32bxaxy〔a≠0〕及x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，及y轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴及x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由．

(3) 如图②，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第〔2〕问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线及对称轴交点即为所求点P。

二次函数动点问题类型

一、求解动点坐标问题：

1.已知二次函数的图像经过特定点，求该点的坐标。

例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像过点(2,5)，求a、b、c的值。

解：由于(2,5)是曲线上的一点，所以满足曲线上的点的坐标满足函数的定义关系式，即：y=ax^2+bx+c

代入已知点的坐标，得到：5=4a+2b+c

再结合二次函数的性质，无论a、b、c取何值，都可以确定一个二次函数，因此需要再提供其他的条件才能完全确定a、b、c的值。

2.已知二次函数的顶点坐标，求顶点坐标与对称轴的方程。

例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,3)，求对称轴的方程和a、b、c的值。

解：根据二次函数的性质，二次函数的顶点坐标位于对称轴上，所以对称轴的方程可以通过已知的顶点坐标得到。对称轴的方程为x=顶点的横坐标，即x=2

然后，再结合二次函数顶点坐标的性质，即顶点坐标(2,3)满足a*(2^2)+b*2+c=3，代入这个关系式，可以求解出a、b、c的值。

3.已知二次函数的零点，求函数的表达式。

例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的零点为x=1和x=3，求函数的表达式。 解：已知x=1和x=3是函数的零点，代入函数的定义关系式，得到a*(1^2)+b*1+c=0和a*(3^2)+b*3+c=0。

进一步整理就可以得到一个由a、b、c构成的方程组，解这个方程组就可以确定a、b、c的值，从而得到二次函数的表达式。

二、研究动点运动规律问题：

1.如何通过二次函数的图像研究点的运动规律？

二次函数可以表示一个抛物线的图像，通过分析二次函数的各项系数可以得到抛物线的开口方向、顶点坐标等信息，从而研究点的运动规律。例如，当二次函数的a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为最低点，点的运动趋势是从下往上；当二次函数的a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为最高点，点的运动趋势是从上往下。

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1.如图，抛物线1l1 :y=-x2平移得到抛物线2l，且经过点O(0.0)和点A(4.0)，2l的顶点为点B，它的对称轴与2l相交于点C,设1l、2l与BC围成的阴影部分面积为S,解答下列问题：

（1）求2l表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。

（2）求点C的坐标，并直接写出S的值。

（3）在直线AC上是否存在点P，使得S△POA＝12S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【参考公式：抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x＝－b2a ，顶点坐标是（－b2a ，4ac－b24a）】．

l2l1第27题ACOBxy

2．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2 与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式.

（2）求点C在这条抛物线上时m的值.

（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN.

①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标.

②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE, 当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值.

【参考公式：抛物线2yaxbxc（a≠0）的顶点坐标为24()24,bacbaa】

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3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线22yaxxc分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．

（1）求点C、D的纵坐标．

（2）求a、c的值．

（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．

（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

中考二次函数 动点专题含答案(总14页)

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--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 模式1：平行四边形

分类标准：讨论对角线

例如：请在抛物线上找一点p使得PCBA、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况

（1）当边AB是对角线时，那么有BCAP//

（2）当边AC是对角线时，那么有CPAB//

（3）当边BC是对角线时，那么有BPAC//

例题1：（山东省阳谷县育才中学模拟10）本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

练习：图1，抛物线322xxy与x轴相交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PFPCBA、、、ABPCAB//ACBPAC//BCAPBC//)20(，xy323 A

B

C

O

P

Q D y

x

cbxaxy22PBA、、AABACBBABCCCBCA34PQAB434xyPBA、、AABACBBABCCCBCA56xyDBCAO2012深圳模拟）（本题12分）已知二次函数cbxxy2与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.

（1）求这个二次函数的关系式；

（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.