2014-2015学年湖南省衡阳八中高一上学期期末数学试卷和解析

湖南省衡阳八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）“0＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）命题：“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x﹣1＜0 B．∀x∈R，x2+x﹣1≤0C．∃x∉R，x2+x﹣1=0 D．∃x∈R，x2+x﹣1≤03．（3分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±4．（3分）将曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A．y+2x﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x2+2y2﹣1=0 D．2y2+x2﹣1=05．（3分）如果命题“p∨q”为假命题，则（）A．p，q均为假命题B．p，q中至少有一个真命题C．p，q均为真命题D．p，q中只有一个真命题6．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是（）A．x=﹣2 B．x=﹣4 C．y=﹣2 D．y=﹣47．（3分）极坐标p=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线8．（3分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且它的一个焦点坐标是（1，0），则此椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=19．（3分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（3分）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．B．1C．2D．不确定二.填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）曲线C的参数方程为（θ为参数），则它的离心率等于：12．（3分）抛物线y2=4x上的点M到其焦点F的距离为4，则点M的横坐标是．13．（3分）若直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4始终有公共点，则k取值范围是．14．（3分）命题“ax2﹣2ax﹣3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是．15．（3分）已知A，B是椭圆和双曲线的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，k1+k2=5，则k3+k4=．三、解答题（本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）标准方程16．（8分）（1）已知抛物线过点A（1，2），求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，求双曲线的标准方程．17．（8分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足B=．（Ⅰ）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（9分）已知实数x，y满足方程x2+y2=4，求z=2x+y的最值．19．（9分）已知椭圆C焦点在x轴上，短轴长为2，离心率是．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AB与椭圆C交于AB两点，直线AB的方程是y=x+1，求弦长|AB|．20．（10分）已知二次函数f（x）=ax2+x．对于∀x∈，f（x）≤1成立，试求实数a的取值范围．f（x）≤1⇔ax2+x≤1，x∈…①当x=0时，a≠0，①式显然成立；当x∈（0，1]时，①式化为a≤﹣在x∈（0，1]上恒成立．设t=，则t∈⇒a≤0，又a≠0，故a＜0综上，所求实数a的取值范围是．21．（11分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．湖南省衡阳八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）“0＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由“0＜x＜2”能推出“x＜2”；但是“x＜2”不能推出“0＜x＜2”，利用必要条件、充分条件与充要条件的定义判断．解答：解：因为由“0＜x＜2”能推出“x＜2”；但是“x＜2”不能推出“0＜x＜2”，所以“0＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件；故选A．点评：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，小范围能推大范围是解题的关键，属于基础题．2．（3分）命题：“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x﹣1＜0 B．∀x∈R，x2+x﹣1≤0C．∃x∉R，x2+x﹣1=0 D．∃x∈R，x2+x﹣1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题．即可得到结论．解答：解：根据特称命题的否定是全称命题．得命题的否定是：∀x∈R，x2+x﹣1≤0，故选：B点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题．即可得到结论．3．（3分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线=1（a＞0，b＞0）中a=4，b=3，可得渐近线方程．解答：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）中a=4，b=3，∴渐近线方程为y=±x，故选：A．点评：本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，比较基础．4．（3分）将曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A．y+2x﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x2+2y2﹣1=0 D．2y2+x2﹣1=0考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：利用即可得出．解答：解：由曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0，及，可得x+2y﹣1=0．∴曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为x+2y﹣1=0．故选：B．点评：本题考查了把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题．5．（3分）如果命题“p∨q”为假命题，则（）A．p，q均为假命题B．p，q中至少有一个真命题C．p，q均为真命题D．p，q中只有一个真命题考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：根据真值表，当p，q中都为假命题时，“p∨q”为假命题，就可得到正确选项．解答：解：∵当p，q中都为假命题时，“p∨q”为假命题故选A点评：本题主要考查用连接词“或”连接得到的命题的真假的判断，要熟记真值表．6．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是（）A．x=﹣2 B．x=﹣4 C．y=﹣2 D．y=﹣4考点：抛物线的应用．专题：计算题．分析：根据抛物线方程可求得p，再根据抛物线性质求得准线方程．解答：解：根据抛物线方程可知2p=8，p=4，故准线方程为x=﹣2，故选A点评：本题主要考查抛物线的应用．属基础题．7．（3分）极坐标p=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：将极坐标方程和参数方程化为一般方程，然后进行选择．解答：解：∵极坐标p=cosθ，x=pcosθ，y=psinθ，消去θ和p，∴x2+y2=x，x2+y2=x为圆的方程；参数方程（t为参数）消去t得，x+y﹣1=0，为直线的方程，故选D．点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．8．（3分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且它的一个焦点坐标是（1，0），则此椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：跟进椭圆的几何性质，求出c=1，a=，b=，求解方程即可．解答：解：∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且它的一个焦点坐标是（1，0），∴=，c=1，a=，b=，∴椭圆的方程为=1，故选：C点评：本题考查了椭圆的几何性质，属于容易题，计算题．9．（3分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．解答：解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．10．（3分）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．B．1C．2D．不确定考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；压轴题．分析：设椭圆和双曲线的方程为：和．由题设条件可知，，结合，由此可以求出的值．解答：解：设椭圆和双曲线的方程为：和．∵，，∴，，∵满足，∴△PF1F2是直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2．即m+a=2c2则===2故选C．点评：本题综合考查双曲线和椭圆的性质，解题时注意不要把二者弄混了．二.填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）曲线C的参数方程为（θ为参数），则它的离心率等于．：考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由曲线C的参数方程为，利用sin2θ+cos2θ=1消去参数θ即可得出普通方程，再利用椭圆的离心率计算公式即可得出．解答：解：由曲线C的参数方程为，利用sin2θ+cos2θ=1消去参数θ，可得=1．∴a2=3，b2=1．∴椭圆的离心率e===．故答案为：．点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、三角函数平方关系、椭圆的离心率计算公式，属于基础题．12．（3分）抛物线y2=4x上的点M到其焦点F的距离为4，则点M的横坐标是3．考点：抛物线的定义．专题：计算题．分析：先根据抛物线方程求得抛物线的准线，进而根据抛物线定义可知M到其焦点F的距离为与M到x=﹣1的距离进而求得答案．解答：解：根据抛物线方程可知其准线方程为x=﹣1，则根据抛物线定义可知M到其焦点F的距离为与M到x=﹣1的距离即x M+1=4，∴x M=3故答案为3点评：本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到焦点据等于M到抛物线准线方程．13．（3分）若直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4始终有公共点，则k取值范围是k=±1，﹣≤k≤．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：数形结合；转化思想．分析：直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4始终有公共点，将两个方程联立，，消元得x2﹣（kx﹣1）2=4，由此方程有解求出参数的范围解答：解：由题意令，得x2﹣（kx﹣1）2=4，整理得（1﹣k2）x+2kx﹣5=0当1﹣k2=0，k=±1时，显然符合条件；当1﹣k2≠0时，有△=20﹣16k2≥0，解得﹣≤k≤．综上，k取值范围是k=±1，﹣≤k≤故答案为k=±1，﹣≤k≤点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是将两曲线有交点的问题转化为方程有根的问题，这是研究两曲线有交点的问题时常用的转化方向．14．（3分）命题“ax2﹣2ax﹣3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是﹣3≤a≤0．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：命题中的不等式含有字母参数，首先考虑a=0，发现此时显然命题是真命题．再看当a≠0时，若要原命题为真命题，必须相应的二次函数图象开口向下且与x轴不相交，由此可列出关于a的不等式组，解之即得a的取值范围．最后综上所述，得到正确答案．解答：解：∵命题“ax2﹣2ax﹣3≤0恒成立”是真命题，∴对于任意的x∈R，不等式ax2﹣2ax﹣3≤0恒成立，①当a=0时，不等式为﹣3≤0，显然恒成立，符合题意；②当a≠0时，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3≤0在R上恒成立，∴，即，解得﹣3≤a＜0，∴实数a的取值范围是﹣3≤a＜0．综合①②，实数a的取值范围是﹣3≤a≤0．故答案为：﹣3≤a≤0．点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了含有字母参数的不等式恒成立的知识点，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于中档题．15．（3分）已知A，B是椭圆和双曲线的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，k1+k2=5，则k3+k4=﹣5．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出．解答：解：∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（﹣a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2），∵，其中λ∈R，∴（x1+a，y1）+（x1﹣a，y1）=λ，化为x1y2=x2y1．∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．由k1+k2==5，化为，（*）又∵，∴，代入（*）化为．k3+k4==，又，∴，∴k3+k4===﹣5．故答案为﹣5．点评：熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的运算性质、斜率的计算公式是解题的关键，同时本题需要较强的计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）标准方程16．（8分）（1）已知抛物线过点A（1，2），求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，求双曲线的标准方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先根据点的位置确定抛物线焦点的位置，然后分焦点在x轴的正半轴时、焦点在y轴的正半轴时两种情况进行求解；（2）确定双曲线的一个焦点为（2，0），即c=2，利用双曲线的离心率等于2，可得a=1，求出b，即可求出双曲线的标准方程．解答：解：（1）点M（1，2）是第一象限的点当抛物线的焦点在x轴的正半轴时，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）∴4=2p，p=2，即抛物线的方程是y2=4x；当抛物线的焦点在y轴的正半轴时，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）∴1=4p，p=，即抛物线的方程是x2=y．故抛物线的标准方程为（2）抛物线y2=8x的焦点为（2，0），∵双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，∴双曲线的一个焦点为（2，0），即c=2，∵双曲线的离心率等于2，∴a=1，∴b=，∴双曲线的标准方程为点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线、双曲线的方程．（1）注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．17．（8分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足B=．（Ⅰ）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：本题要把复合命题的真假归结为不等式的求解．解答：解：（Ⅰ）对于命题p：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由已知q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是（2，3）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：p：A={x|a＜x＜3a，a＞0} q：B={x|2＜x＜3}∵q是p的充分不必要条件，∴B⊂A∴，解得1≤a≤2∴实数a的取值范围是．点评：本题为复合命题真假的判断，加以解不等式的计算，属中档题．18．（9分）已知实数x，y满足方程x2+y2=4，求z=2x+y的最值．考点：直线与圆的位置关系．专题：转化思想；坐标系和参数方程．分析：首先，将圆的一般式方程转化成圆的参数方程，然后，三角换元，借助于辅助角公式即可求解．解答：解：∵圆C：x2+y2=4，∴故由圆的参数方程可设x=2cosα，y=2sinα，∴2x+y=4cosα+2sinα=2sin（α+β），其中tanβ=2，∴2x+y的最大值为：2，最小值为：﹣2．点评：本题重点考查了圆的参数方程、三角公式等知识，属于中档题．19．（9分）已知椭圆C焦点在x轴上，短轴长为2，离心率是．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AB与椭圆C交于AB两点，直线AB的方程是y=x+1，求弦长|AB|．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得b=1，再由离心率公式和a，b，c的关系式，解方程，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，求出交点，再由两点之间的距离公式，即可得到．解答：解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），则2b=2，即b=1，又e=，即=，又a2=1+c2，解得，a=2，c=．则有椭圆方程为：；（2）联立直线y=x+1和椭圆方程，消去y，得到5x2+8x=0，解得，x=0或﹣．即有交点A（0，1），B（﹣，﹣）．则弦长|AB|==．点评：本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和抛物线方程，求弦长的方法，考查计算能力，属于中档题．20．（10分）已知二次函数f（x）=ax2+x．对于∀x∈，f（x）≤1成立，试求实数a的取值范围．f（x）≤1⇔ax2+x≤1，x∈…①当x=0时，a≠0，①式显然成立；当x∈（0，1]时，①式化为a≤﹣在x∈（0，1]上恒成立．设t=，则t∈的最小值，得到本题结论．解答：解：∵f（x）≤1，∴ax2+x≤1，x∈…①（1）当x=0时，a≠0，①式显然成立；（2）当x∈（0，1]时，①式化为a≤﹣在x∈（0，1]上恒成立．设t=，则t∈[1，+∞），则有a≤t2﹣t，所以只须a≤（t2﹣t）min=0∴a≤0，又∵a≠0，∴a＜0．故答案为：（﹣∞，0）．点评：本题考查的是恒成立问题，考查了参变量分离，本题难度不大，属于基础题．21．（11分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k TF=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S=．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．∵四边形OPTQ是平行四边形，∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ的面积S=═=．点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合和转化能力，属于难题．。

2015-2016学年湖南省衡阳八中、永州四中高一（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共50分．在每题后面的四个选项中，只有一个是正确的．）1．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B． cm3C．3cm3D．3cm32．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题不正确的是（）①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β ②若l∥α，α∥β，则l⊂β③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥βA．①③ B．②③④C．①②④D．①④3．如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值．A．①B．①② C．①②③D．②③4．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为5．设全集U=R，M={x|x≥1}，N={x|0≤x＜5}，则（∁U M）∪（∁U N）为（）A．{x|x≥0} B．{x|x＜1或x≥5}C．{x|x≤1或x≥5}D．{x|x＜0或x≥5}6．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣57．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．8．设函数g（x）=x2﹣2，f（x）=，则f（x）的值域是（）A．B．[0，+∞）C．D．9．设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）10．设偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）与f（a+1）的大小关系是（）A．f（b﹣2）＜f（a+1）B．f（b﹣2）＞f（a+1）C．f（b﹣2）=f（a+1）D．不能确定二、填空题（每题5分，共25分）11．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．12．函数f（x）=的定义域为．13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有3个不同的实根，则实数k的取值范围为．14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当＜CQ＜1时，S为六边形；④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；⑤当CQ=1时，S的面积为．15．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于．三、解答题（共6题，共75分）16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．18．对于定义域为A的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在A内具有单调性；②存在区间[a，b]⊆A，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；则称f（x）为闭函数．（Ⅰ）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（Ⅱ）判断函数f（x）=是否为闭函数？并说明理由；（Ⅲ）若函数f（x）=k+是闭函数，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．20．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．21．定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=2，b=7时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数g（x）=﹣x+的图象上，求b的最小值．2015-2016学年湖南省衡阳八中、永州四中高一（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分．在每题后面的四个选项中，只有一个是正确的．）1．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B． cm3C．3cm3D．3cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题不正确的是（）①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β ②若l∥α，α∥β，则l⊂β③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥βA．①③ B．②③④C．①②④D．①④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析选择．【解答】解：对于①，若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或者l∥β，故①错误；对于②，若l∥α，α∥β，则l⊂β或者l∥β；故②错误；对于③，若l⊥α，α∥β，则l⊥β，正确；对于④，若l∥α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定；故④错误；故选：C．【点评】本题考查了空间线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理的运用；熟练运用定理，掌握定理成立的条件是关键．3．如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值．A．①B．①② C．①②③D．②③【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】阅读型．【分析】对于①根据面A′FG⊥面ABC，可得点A′在面ABC上的射影在线段AF上，对于②，根据BC∥DE，满足线面平行的判定定理可对于③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′﹣FDE 的体积达到最大，符合条件．【解答】解：①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE．③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′﹣FDE的体积达到最大．故选C【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．4．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为【考点】棱柱的结构特征．【专题】应用题；空间位置关系与距离．【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；当A1P=时，∠APD1为直角角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；将面AA1B与面ABCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．【点评】本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想．5．设全集U=R，M={x|x≥1}，N={x|0≤x＜5}，则（∁U M）∪（∁U N）为（）A．{x|x≥0} B．{x|x＜1或x≥5}C．{x|x≤1或x≥5}D．{x|x＜0或x≥5}【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算；补集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，结合补集的意义，可得∁U M与∁U N，进而由并集的意义，计算可得答案．【解答】解：根据题意，M={x|x≥1}，则∁U M={x|x＜1}；N={x|0≤x＜5}，则∁U N={x|x＜0或x≥5}；则（∁U M）∪（∁U N）={x|x＜1或x≥5}；故选B．【点评】本题考查补集、并集的计算，要注意（∁U M）∪（∁U N）的运算的顺序，先求补集，再求并集．6．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5【考点】奇函数．【专题】压轴题．【分析】由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故选B．【点评】本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．7．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．【点评】本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．设函数g（x）=x2﹣2，f（x）=，则f（x）的值域是（）A．B．[0，+∞）C．D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据x的取值范围化简f（x）的解析式，将解析式化到完全平方与常数的代数和形式，在每一段上求出值域，再把值域取并集．【解答】解：x＜g（x），即 x＜x2﹣2，即 x＜﹣1 或 x＞2．x≥g（x），即﹣1≤x≤2．由题意 f（x）===，所以当x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）时，由二次函数的性质可得 f（x）∈（2，+∞）；x∈[﹣1，2]时，由二次函数的性质可得f（x）∈[﹣，0]，故选 D．【点评】本题考查分段函数值域的求法，二次函数的性质的应用，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．9．设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）【考点】简单线性规划的应用．【专题】综合题．【分析】根据对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+23）＜f（2﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围，即可求得m2+n2 的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立∴f（1﹣x）=﹣f（1+x）∵f（m2﹣6m+23）+f（n2﹣8n）＜0，∴f（m2﹣6m+23）＜﹣f[（1+（n2﹣8n﹣1）]，∴f（m2﹣6m+23）＜f[（1﹣（n2﹣8n﹣1）]=f（2﹣n2+8n）∵f（x）是定义在R上的增函数，∴m2﹣6m+23＜2﹣n2+8n∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围为（，5+2），即（，7）∵m2+n2表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方∴m2+n2 的取值范围是（13，49）．故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的取值范围．10．设偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）与f（a+1）的大小关系是（）A．f（b﹣2）＜f（a+1）B．f（b﹣2）＞f（a+1）C．f（b﹣2）=f（a+1）D．不能确定【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由函数为偶函数，求出b的值为0，然后分a＞1和0＜a＜1进行讨论，不论哪种情况，两个变量a+1和b﹣2均大于1，从而得出结论．【解答】解：因为函数f（x）=log a|x﹣b|是偶函数，所以对定义图内任意实数x都有f（﹣x）=f（x），即log a|﹣x﹣b|=log a|x﹣b|，所以|﹣x﹣b|=|x﹣b|，所以b=0．则f（x）=log a|x|．若a＞1，则a+1＞b+2=2，所以log a|a+1|＞log a2，f（a+1）＞f（2）=f（﹣2）=f（b﹣2）．若0＜a＜1，则1＜a+1＜b+2=2，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以log a|a+1|＞log a2，f（a+1）＞f（b﹣2）．综上可得，f（a+1）＞f（b﹣2）．故选：A．【点评】本题考查了不等关系与不等式，重点考查了对数函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题（每题5分，共25分）11．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1∉（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．⇒＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．【点评】本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．12．函数f（x）=的定义域为（﹣3，0] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，得，解得：﹣3＜x≤0．∴函数f（x）=的定义域为：（﹣3，0]．故答案为：（﹣3，0]．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有3个不同的实根，则实数k的取值范围为（1，2] ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意作函数f（x）的图象，由图象得到．【解答】解：作函数f（x）=f（x）=的图象如图，则由图象可知，1＜k≤2，故答案为（1，2]．【点评】本题考查了分段函数的图象和作法和函数零点与图象的交点的关系，属于基础题．14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是①②④⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当＜CQ＜1时，S为六边形；④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；⑤当CQ=1时，S的面积为．【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．【解答】解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故④正确；由上可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF=，故正确．故答案为：①②④⑤【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．15．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于2．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．【解答】解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案为：2．【点评】本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．三、解答题（共6题，共75分）16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴V C﹣BC1D=V C1﹣BCD=••6=9．【点评】本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可．【解答】解：（1）因三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．…2分又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．…5分因B1C⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，故DF∥面ABC1．…10分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…12分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…14分．【点评】本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．18．对于定义域为A的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在A内具有单调性；②存在区间[a，b]⊆A，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；则称f（x）为闭函数．（Ⅰ）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（Ⅱ）判断函数f（x）=是否为闭函数？并说明理由；（Ⅲ）若函数f（x）=k+是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数单调性的性质；进行简单的合情推理．【专题】计算题；新定义；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，由新定义，得到方程，解得a，b即可得到所求区间；（Ⅱ）函数不是闭函数．可通过取特殊值检验即可判断；（Ⅲ）由新定义即有a，b为方程的两个实根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣3=0（x≥﹣3，x≥k）有两个不等的实根．对k讨论，当k≤﹣3时，当k＞﹣3时，运用二次函数的图象和性质得到不等式组解得即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，则解得，所以，所求的区间为[﹣1，1]；（Ⅱ）函数不是闭函数．理由如下：取x1=2，x2=4，则，即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．取，则，f（x）不是（0，+∞）上的增函数，所以，函数在定义域内不是单调函数，从而该函数不是闭函数；（Ⅲ）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数y的值域也为[a，b]，即，即有a，b为方程的两个实根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣3=0（x≥﹣3，x≥k）有两个不等的实根．设g（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣3当k≤﹣3时，有，解得．当k＞﹣3时，有，无解综上所述，．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．19．已知函数f（x）=log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【考点】对数函数的图像与性质；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得，从而求定义域；（2）可判断函数f（x）是奇函数，再证明如下；（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得f（x）为增函数，从而求最值．【解答】解：（1）由题意知，；解得，﹣3＜x＜3；故函数f（x）的定义域为（﹣3，3）；（2）函数f（x）是奇函数，证明如下，函数f（x）的定义域（﹣3，3）关于原点对称；则f（﹣x）=log a（﹣x+3）﹣log a（3+x）=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，f（x）=log a（x+3）﹣log a（3﹣x）为增函数，则函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f max（x）=f（1）=log a2．【点评】本题考查了函数的定义域，奇偶性，单调性，最值的判断与应用，属于基础题．20．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由f（x）=f（﹣x），化简可得x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），∴，化简得，即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，所以①当a=1时，有t=1，合题意；②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足，此时有；（舍去）．③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．综上可知，a的取值范围是{}∪[1，+∞）．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的性质的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．21．定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=2，b=7时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数g（x）=﹣x+的图象上，求b的最小值．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）将a=2，b=7代入f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不动点即可；（2）令ax2+（b+1）x+b﹣1=x，即方程ax2+bx+b﹣1=0恒有两个不等实根，所以△=b2﹣4a （b﹣1）＞0即b2﹣4ab+4a＞0对任意的b∈R恒成立，故△'=16a2﹣16a＜0，故0＜a＜1；（3）先设出两点的坐标分别为A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2），又AB的中点C在函数在函数g（x）=﹣x+的图象上，所以，即，而x1，x2是方程ax2+bx+b ﹣1=0的两个根，所以至此题设中的条件转化为，观察发现参数b可以表示成参数a的函数，至此，求参数b的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题．【解答】解：（1）f（x）=2x2+8x+6=x，解得x=﹣2或x=．所以所求的不动点为﹣2或．（2）令ax2+（b+1）x+b﹣1=x，即方程ax2+bx+b﹣1=0恒有两个不等实根，所以△=b2﹣4a（b﹣1）＞0即b2﹣4ab+4a＞0对任意的b∈R恒成立，故△'=16a2﹣16a＜0，故0＜a＜1（3）设A（x1，x1），B（x2，x2）x1≠x2，又AB的中点C在函数在函数g（x）=﹣x+的图象上，所以，即而x1，x2是方程ax2+bx+b﹣1=0的两个根，所以即所以由（2）知：0＜a＜1则当，即时b min=﹣1【点评】本题考点是二次函数的性质，主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关知识，同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识．21。

衡阳市八中2007-2008年度高一上学期期末考试数学一选择题 （每小题3分，共30分）1．若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是（ ） A ．圆锥 B ．四棱锥 C ．三棱锥 D ．三棱台2．以下命题正确的是（ ）A ．两个平面可以只有一个交点B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点C ．两个平面有一个公共点，它们可能相交D ．两个平面有三个公共点，它们一定重合 3．.过两点A （4，y ），B （2，-3）的直线的倾斜角是1350，则y= （ ） A ．1 B 。

-1 C 。

5 D 。

-54．.直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线 （ ） （A ）没有（B ）有一条（C ）有无数条（D ）α内所有直线5．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为 （ ）AB、 CD 、26．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 （ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°7．对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （ ）（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n8．若直线x+ay-a=0与直线ax -（a-1）y -1=0互相垂直，则a 的值是 （ C ）A 、2B 、-3或1C 、2或0D 、1或09．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 （ ） A ．3122a B ．123aC ．3123a D ．63a10．平行于直线012=+-y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ D ） A. 052=+-y x B. 052=--y xC. 052052=-+=++y x y x 或D. 052052=--=+-y x y x 或二．填空题（本题每小题3分，共15分）11．有半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为 12．．空间到定点A(-1,0,4)的距离等于3的点的集合是 ,其方程是 .13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1—BD —C 的正切值为 ．14．与直线和曲线x 2+y 2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是15．下列命题正确的是 ．①平面内α的两条相交直线分别平行平面β内的两条相交直线，则平面α平行于平面β； ②两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；③若平面α平行于平面β，平面β平行于平面γ，则平面α平行于平面γ； ④若α⊥γ，β⊥γ则α∥β； ⑤α⊥β，β⊥γ则α⊥γ．三、解答题16．（7分） △ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．17．（10分）在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BC 、A 1D 1的中点. （1）求异面直线BC 、DF 所成的角的正切值（2）若在正方体内放置一个铁球，求可放置的最大球的体积 （3）求证：四边形B 1EDF 是菱形；A C118．（10分）一圆和已知圆x 2+y 2-2x=0相外切，并和直线相切于点（3，求圆的方程19．（10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明：P A∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；.20。

衡阳市八中2020年下学期高一期末考试数学试题命题:仇武君 审题:孙艳红考试范围：集合、平面向量、函数及其性质、三角函数与三角恒等变换 考生注意：本试卷满分为100分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则)(B A C U ⋃=（ ） A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}2.已知(3,)a x =r ，(1,1)b =-r，若a b ⊥r r ，则实数x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．3-3.如图1，边长为2的正方形ABCD 中，P,Q 分别是边BC,CD 的中点， 若AC x AP yBQ =+u u u r u u u r u u u r,则x =（ ） A ．2 B ．83 C ．65 D ．12254.函数3()2f x ax bx a b =++-是奇函数，且其定义域为[34,]a a -，则()f a =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15.已知212sin 2cos 1=+αα，则=αtan （ ）A ．2B ．3C ．21D ．316.在函数||sin x y =,)32sin(π+=x y ,)322cos(π+=x y ,|2cos 2sin |22xx y -=中，最小正周期为π的函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.设tan α，tan β是方程2320x x -+=的两根，则tan()αβ+的值为（ ） A.3 B.1- C.1 D.3-8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(00)A ωϕπ>><<，，0的部分图象如图2所示，且()f x 为偶函数，△KLM 为等腰直角三角形，KLM ∠＝90°，1KL =，则1()3f 的值为( ) A ．14 B ．14- C ．34 D.34-BPQDAC图1图29.若点O 在ABC ∆所在平面内，给出如下条件：①0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ； ②OA OB OB OC OC OA ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ； ③()()0||||||||AC AB BC BAOA OB AC AB BC BA -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ； ④()()0OA OB AB OB OC BC +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，则点O 依次为ABC ∆的（ ）A ．内心、外心、重心、垂心B ．外心、内心、垂心、重心C ．重心、外心、内心、垂心D ．重心、垂心、内心、外心10.当102x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围为（ ）A.B.C.D.2) 11.已知向量a r 为单位向量，=3)a b +r r （，4，则|1|a b +r rg的最大值为（ ） A. 3 B.4 C. 5 D.612. 定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x +<+，且函数()1y f x =+的图象关于点（-1,0）成中心对称，若当14s ≤≤时,,s t 满足不等式()()2s f f t f s ⎛⎫-≥≥ ⎪⎝⎭，则t s s t -+的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．[]3,0-二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.函数n()24x y ta π=+，(0,]6x π∈的值域是 ；14.已知向量(2,6)a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r rP ，则λ= ；15.已知函数sin1(0)()2log (0)a x x f x x x π⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰好有4对，则实数a = .16.不超过实数x 的最大整数称为x 整数部分，记作[]x .已知()cos([])f x x x =-，给出下列结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 是周期函数，且最小正周期为π； ③()f x 的单调递减区间为[,1)()k k k Z +∈； ④()f x 的值域为cos1,1]（.其中正确命题的序号是 （填上所以正确答案的序号）；三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分8分）已知全集U R =，集合{-13}A x =≤<，{|224}B x x x =+≥+，（1）求A B ⋂；（2）若{|20}C x x a =->，且B C B ⋃=,求实数a 的取值范围.18.（本题满分8分）函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像（如图3）与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +-（1）求()f x 的解析式； （2）求0x 的值； （3）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ的值.19.（本题满分9分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值； （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．图320. （本题满分9分）已知,,A B C 三点的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，(cos ,sin )C αα，其中3(,)22ππα∈．（1）若AC BC =u u u r u u u r，求角α的值；（2）若1AC BC =-u u u r u u u r g ，求tan()4πα+的值．21.（本题满分9分）已知非零向量a r ，b r 满足(2)a b b -⊥r r r， 集合2{|(||||)||||0}A x x a b x a b =+++=r r r r中有且仅有唯一一个元素. （1）求向量a r ，b r的夹角θ；（2）若关于t 的不等式||||a tb a mb -<-r r r r的解集为空集，求实数m 的值.22.（本题满分9分）已知函数+1()log (0-1a mx f x a x =>且1)a ≠是奇函数， （1）求实数m 的值； （2）若12a =，并且对区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2x f x t >+恒成立，求实数t 的取值范围.（3）当(,2)x r a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与r 的值；衡阳市八中2020年下学期高一期末考试数学试题命题:仇武君 审题:孙艳红考试范围：集合、平面向量、函数及其性质、三角函数与三角恒等变换 考生注意：本试卷满分为100分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B U ð=（ A ） A.{2,6} B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}2.已知(3,)a x =r ，(1,1)b =-r，若a b ⊥r r ，则实数x 的值为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．3-3.如图1，边长为2的正方形ABCD 中，P,Q 分别是边BC,CD 的中点， 若AC x AP yBQ =+u u u r u u u r u u u r,则x =（ C ） A ．2 B ．83 C ．65 D ．12254.函数3()2f x ax bx a b =++-是奇函数，且其定义域为[34,]a a -，则()f a =（ B ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15.已知212sin 2cos 1=+αα，则=αtan （ A ）A ．2B ．3C ．21D ．316.在函数2222sin sin cos sin cos 3322x xy x y x y x y p p ==+=+=-、（)、（2)、中，最小正周期为p 的函数的个数为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．47.设tan α，tan β是方程2320x x -+=的两根，则tan()αβ+的值为（ D ） A.3 B.1- C.1 D.3-8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(00)A ωϕπ>><<，，0的部分图象如图2所示，且()f x 为偶函数，△KLM 为等腰直角三角形，KLM ∠＝90°，1KL =，则1()3f 的值为(A) A ．14 B ．14- C ．3 D.3-9.若点O 在ABC ∆所在平面内，给出如下条件：BPQDAC图1图2①0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ； ②OA OB OB OC OC OA ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ； ③()()0||||||||AC AB BC BAOA OB AC AB BC BA -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ； ④()()0OA OB AB OB OC BC +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，则点O 依次为ABC ∆的（ D ）B ．内心、外心、重心、垂心 B ．外心、内心、垂心、重心C ．重心、外心、内心、垂心D ．重心、垂心、内心、外心10.当102x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围为（ B ）A.(0,2B.2C.D.2) 11.已知向量a r 为单位向量，=3)a b +r r （，4，则|1|a b +r rg的最大值为（ C ） A. 3 B.4 C. 5 D.613. 定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x +<+，且函数()1y f x =+的图象关于点（-1,0）成中心对称，若当14s ≤≤时,,s t 满足不等式()()2s f f t f s ⎛⎫-≥≥ ⎪⎝⎭，则t s s t -+的取值范围是（ D ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．[]3,0-二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.函数n()24x y ta π=+，(0,]6x π∈的值域是 ；14.已知向量(2,6)a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r rP ，则λ= 3- ；15.已知函数sin 1(0)()2log (0)a x x f x x x π⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰好有4对，则实数a = 13.16.不超过实数x 的最大整数称为x 整数部分，记作[]x .已知()cos([])f x x x =-，给出下列结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 是周期函数，且最小正周期为π； ③()f x 的单调递减区间为[,1)()k k k Z +∈； ④()f x 的值域为cos1,1]（.其中正确命题的序号是 ③④ （填上所以正确答案的序号）；三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分8分）已知全集U R =，集合{-13}A x =≤<，{|224}B x x x =+≥+，（1）求A B ⋂；（2）若{|20}C x x a =->，且B C B ⋃=,求实数a 的取值范围. 【解析】（1）{|2}B x x =≥，{x |2x 3}A B ⋂=≤<； （2）{|}2aC x x =>，因为B C B ⋃=，C B ⊆，所以22a≥，即4a ≥； 18.（本题满分8分）函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像（如图3）与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +-（3）求()f x 的解析式； （4）求0x 的值；（3）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ的值. 【解析】（1）由题意可得2π2,2π,=4π,4π2T A T ω===即12ω=，………………1()2sin(),(0)2sin 1,2f x x f ϕϕ=+==由||ϕ＜π2,π.6ϕ∴=1π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………………………………………………（2）001π()2sin()2,26f x x =+=所以001ππ2π2π+,4π+(),2623x k x k k +==∈Z又Q 0x 是最小的正数，02π;3x ∴=……………………………………………… （3）π122(0,),cos ,sin ,233θθθ∈=∴=Q2742cos22cos 1,sin 22sin cos ,99θθθθθ∴=-=-==…………………………π427467(4)2sin(2)3sin 2cos2369999f θθθθ=+=+=⋅-=-．……………19.（本题满分9分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值； （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 【解析】（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 图3因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 21. （本题满分9分）已知,,A B C 三点的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，(cos ,sin )C αα，其中3(,)22ππα∈．（1）若AC BC =u u u r u u u r，求角α的值；（2）若1AC BC =-u u u r u u u r g ，求tan()4πα+的值．【解析】（1）∵(cos 3,sin )AC αα=-u u u r ，(cos ,sin 3)BC αα=-u u u r，∴|AC u u u r ||BC =u u u r．由||||AC BC =u u u r u u u r得sin cos αα=．又3(,)22ππα∈，∴54απ=．（2）由1AC BC =-u u u r u u u rg ，得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴sin()04πα+=>．又由322ππα<<，∴344ππαπ<+<，∴cos()4πα+=．故tan()4πα+7=-．21.（本题满分9分）已知非零向量a r ，b r 满足(2)a b b -⊥r r r， 集合2{|(||||)||||0}A x x a b x a b =+++=r r r r中有且仅有唯一一个元素.（1）求向量a r ，b r的夹角θ；（2）若关于t 的不等式||||a tb a mb -<-r r r r的解集为空集，求实数m 的值.【解析】（1）方程2(||||)||||0x a b x a b +++=r r r r 有且仅有唯一一个实根，0∆=， ||||a b =r r，060θ=（2）214()0m m ∆=--+≤，12m =22.（本题满分9分）已知函数+1()log (0-1a mx f x a x =>且1)a ≠是奇函数， （1）求实数m 的值； （2）若12a =，并且对区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2x f x t >+恒成立，求实数t 的取值范围.（3）当(,2)x r a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与r 的值；【解析】（1）1m =-（舍去）或1m =； （2）1()()2x f x t >+等价于1()()2x f x t ->，令1()()()2x g x f x =-， 则()g x 在区间[3,4]上递增，min 9()(3)8g x g ==-。