排列组合+概率统计

随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
.
资料
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
ba
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他，
均匀分布
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
x
F (x) f (x)dx
。
（2） 连续型随 机变量的 分布密度
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 ,
的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
（5） 八大分布
二项分布 即 B(n,p)
P( X
k)
Pn(k )
C
k n
p k q nk
，
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
其中
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
（3） 重复排列和非重复排列（有序）
一 些 常 见 对立事件（至少有一个）
排列
顺序问题
（4） 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，
随 机 试 验 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试

曰， Ａ与曰也 相 互 独 立 ， Ａ发 生与 否 对
有序 排 列 ， 序组 合． 无
（ ） 类 计 数 原 理 ： ｍｌｍ２ １分 Ｎ＝ ＋ ＋
…
口 生 的概 率 没有 影 响 ．这 样 的 两 发 个事 件 叫做 相 互 独 立事 件。 ７ ．几 种 类 型 的概 率 求 法 你 知
道吗？
（ ｍ 为各类办法中的方法数 １
分 步 计 数 原 理 ： ｍＩ …ｍ Ⅳ： ｍ２
ｆ 为 各 类办 法 中的 方法 数 ） ｍ． ．
（） 歹 ： （ １ － ） ２ 排 Ｉ ＡＴ ｎ－ ） － … ｊ ２
（ － １ ｔ ｎ ｍ＋ ）
０１ ． ＝１
旦
提 醒 （ ） 可 能 事件 的概 率 １等
ｎ－ ｍ
Ｊ （ ， — ｍ≤ ）规定 １ ｒ
（ 采 用排 列 组合 的 方 法 ） （ ＝ 常 ： Ａ） Ｐ
Ａ包含的等可能结果的个数
一
ｍ
次试验的等可能结果的总数 ｎ
（组 ： ＝ ３ 合ｃ 筹： ） ：
ｎｎ１一（－＋２ 一 （ ） ￣－ ｌ － ｎｍ
ｍ！
（） 斥 事 件 ： 招 ） （） ２互 Ｐ ＝ Ａ＋
提 醒 第ｒ ｌ 是 ＋ Ｃ 叶 ＋项 ： ６ ＝
（ ＝ １， ， ， 为 二 项 式 系数 ｒ ０， … ｎ） Ｃ：
（ ） 斥 事件 （ 不 相 容 事 ２互 互
件 ）Ａ・ ＝ ，Ａ与曰不 能 同时发 ： 曰 “
生” 叫做 、 互 斥． 曰
分点 ； （ 列频 率分 布表 ； 画频率 ⑤
６ 你 对 随 机 事 件 之 间 的关 系 ． 熟悉吗？ 提 醒 （ ） 然事 件ｎ， （ ＝ １必 Ｐ ｎ） １ 不 可能 事件 ４， （ ＝ ； ）Ｐ ）ｎ

排列组合二项分布概率统计试题解析1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（ ） A ．474种 B ．77种 C ．462种 D ．79种【答案】A【解析】首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有39504A =种排法，其中上午连排3节的有33318A =种，下午连排3节的有33212A =种，则这位教师一天的课表的所有排法有504-18-12=474种，故选A ．2.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】341()x x-展开式中常数项为 【答案】4-【解析】展开式的通项为341241441()()(1)k kk k k k k T C x C x x--+=-=-，由1240k -=，得3k =，所以常数项为3344(1)4T C =-=-。

3.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 。

【答案】30【解析】四名学生两名分到一组有24C 种，3个元素进行全排列有33A 种，甲乙两人分到一个班有33A 种，所以有23343336630C A A -=-=.4.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于514757512C +C C C 的是（ ）A.()1P ξ=B.()1P ξ≤C.()1P ξ≥D.()2P ξ≤【答案】B【解析】()1P ξ==1457512C C C ,57512C (0)C P ξ==,所以514757551212C C C (0)(1)C C P P ξξ=+==+，选B. 5.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】在65)1()1(x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是 【答案】-30【解析】5(1)x -的展开式的通项为5(1)kkkC x -，6(1)x -的展开式的通项为6(1)kkkC x -，所以3x 项为333333356(1)(1)30C x C x x -+-=-，所以3x 的系数为30-.6.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病倒数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是 ①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤； ④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。

排列组合概率统计1.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ． 答案：912162有5只苹果，它们的质量分别为125a 121b 127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为124，则该样本的标准差s =_____________.（克）（用数字作答） 答案：53某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为23。

规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是______________.（用数值表示） 答案：494某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的6道试题中，预计该学生能答对4题，但有2题会答错。

规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，答对2题或3题则通过测试，则该学生通过测试的概率是______________.（用数值表示） 答案：455某重点高中有学生3200人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个80人的样本,样本中高三学生的人数为27,则该校高三年级学生总人数为 ． 答案：根据分层抽样的特点,高三级总人数应为:108080273200=⨯,故填1080. 6某班级在5人中选4人参加4×100米接力．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排棒次方案共有 种．（用数字作答）． 答案：247、一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．若 连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ．答案：438从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若ξ表示取出后的得分，则=ξE ． 答案：579从5名男同学，3名女同学中选3名参加公益活动，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答） 答案：4510个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同.若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数ξ的数学期望是 ．答案：【911】 11某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 (A)16.(B)18.(C)27.(D)36. 答案：B12甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望=ξE ___ __． 答案：65 13设整数m 是从不等式0822≤--x x 的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ2m =，则ξ的数学期望E ξ= . 答案：514设整数m 是从不等式0822≤--x x 的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ2m =，则ξ的数学期望E ξ= .答案：515一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同.若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数ξ的数学期望是 ． 答案：911 16如下表，已知离散型随机变量ξ的分布列，则Dξ为答案：2 17已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取1个球．设ξ为取出的2个球中红球的个数，则ξ的数学期望=ξE ________ 答案：6518有10件产品分三个等次，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任取2件，则取出的2件产品同等次的概率为415． ξ －2 0 2 p41 21 m对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组()2,4,3,1中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组()1234,,,a a a a 的“逆序数”是2，则()4321,,,a a a a 的“逆序数”是 ． 答案：419某校高一年级128名学生参加某次数学联考，随机抽取该校高一年级其中10名学生的联考数学成绩如下表：学生 a b c d e f g h i j 成绩78688085827580927981该校高一学生数学联考成绩标准差的点估计值等于 （精确到0.1） 答案：6.220.已知直线:310,l x y ++=集合{}|10,A n n n N *=<∈，从A 中任取3个元素分别作为圆方程222()()x a y b r -+-=中的a r 、b 、，则使圆心(,)a b 与原点的连线垂直于直线l 的概率等于___________.（用分数表示）答案：12421．(理科)一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 (用数值作答)．答案：234425(文科)一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的22.张牌花色各不相同的概率为 (用数值作答)．答案：16942523.有三个学习小组，A 组有学生5人，B 组有学生3人，C 组有学生2人，从中任意选出4人参加知识竞赛，则A 、B 、C 三组每组都至少有1人的概率是_________． 答案：21． 满足条件的选法可分为三类：A 组2人，B 、C 组各1人，有121325C C C 种选法；B 组2人，A 、C 组各1人，有122315C C C 种选法；C 组2人，A 、B 组各1人，有221315C C C 种选法．所以A 、B 、C 三组的学生都有的概率21210105410221315122315121325==++=C C C C C C C C C C P 24渐升数”是指在一个数中，每一位数字比其左边的一位数字大(除首位数字)，如：24579就是一个五位“渐升数”．那么在二位“渐升数”中，任取一个二位渐升数，则该数比45大的概率是 ． 答案：18725．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题 中随机地抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格． 若一位考生只会回答5道题中的3道题，则这位考生 能够及格的概率为 ． 答案：0.726（理）某投篮游戏规定：每轮至多投三次，直到首次命中为止．第一次就投中，得8分；第一次不中且第二次投中，得6分；前两次均不中且第三次投中，得4分；三次均不中，得0分．若某同学每次投中的概率为0.5，则他每轮游戏的得分X 的数学期望为 ．答案：627.有甲、乙、丙、丁四人参加广州亚运会某项射击选拔赛的平均成绩依次是8.5、8.8、9.1、9.1，方差依次是1.7、2.1、1.7、2.5，则参加亚运会该项目角逐的最佳人选是 ． 答案：丙28.一个调查机构就某地居民的月收入调查 了10000人，将所得数据分成如下六组：[1000,1500), [1500,2000), [2000,2500), [2500,3000), [3000,3500), [3500,4000),相应的频率分布直方图如图所示．若按月 收入将这10000人也分成上述六组，并通 过分层抽样抽出100人作进一步调查，则[3000,3500)这一组中应抽出 人．答案：1529.某高中共有在读学生430人，其中高二160人，高一人数是高三人数的2倍．为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高二学生32人，则该样本中的高三学生人数为 ． 答案：18二填空题1.名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为 ……………（ ）A 、8289P P ⋅B 、8289PC ⋅C 、8287P P ⋅D 、8287P C ⋅答案：A三计算题1某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：（第12题图）40003500300025002000150010000.00050.00040.00030.00020.0001月收入(元)频率组距（1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从“科服队”中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．解：（1）3人参加活动次数各不相同的概率为111235310C C C 1C 4P == 故这3名同学中参加活动次数各不相同的概率为14．……………………………5分 （2）由题意知：ξ=0, 1, 2，222235210C C C 14(0)C 45P ξ++===；……………7分 11112335210C C C C 217(1)C 4515P ξ+====；……………9分 1125210C C 102(2)C 459P ξ====．……………10分ξ的分布列为：……………11分 所以ξ的数学期望:1472410124515945E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………………13分2．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 在上海世博会期间，某工厂生产,,A B C 三种世博纪念品,每种纪念品均有精品型和普通型两种.某一天产量如下表(单位:个):现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念有A 种纪念品40个.品中抽取200个,其中（1） 求n 的值；（2） 从B 种精品型纪念品中抽取5个,其某种指标的数据分别如下:,,10,11,9x y .把这5个数据看作一个总体,其均值为10、方差为2,求x y -的值；参加活动次数1 2 3 人 数 235x 01 2()P x ξ=1445 715 29纪念品A 纪念品B 纪念品C精品型 100 150 n普通型300450600（3） 用分层抽样的方法在C 种纪念品中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2个纪念品,求至少有1个精品型纪念品的概率.（１）解：设这一天生产的纪念品为m ，由题意得，20040,2000100300m m =∴=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 所以2000100300150450600400n =-----=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分（２）由题得 ()110119105x y ++++=则20x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分由于()22222211011951025x y ++++-⋅=得22208x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分从而()2222,2192x y x y xy xy +=++∴=即()22222081924x y x y x y xy -=-=+-=-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分（３）设所抽样本中有p 个精品型纪念品，则400,10005p= 2p ∴=也就是抽取了２个精品型纪念品，３个普通型纪念品．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１３分所以，至少有1个精品型纪念品的概率为225325710C C C -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１６分 3.（本小题满分12分）函数2()[2sin()sin ]cos 3sin ,().3f x x x x x x R π=++-∈（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若存在05[0,]12x π∈，使不等式0()f x m <成立，求函数m 的取值范围。