高考数学总复习------ 排列组合与概率统计

高考数学总复习------排列组合与概率统计【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计 数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式①排列数公式：An m(n n! n(n1) (nm1) (m ≤n)m)!A n n=n!=n(n―1)(n ―...2)21.·②组合数公式：Cn mn! n(n 1) (n m 1) (m ≤n).m!(n m)! m (m 1) 2 1③组合数性质：①C n mC n nm(m ≤n). ②C n 0C n 1C n 2C n n2n③Cn 0C n 2C n 4C n 1C n 32n12.二项式定理⑴二项式定理(a+b)n=C n 0a n+C 1n a n －1b+⋯+C n ra n －rb r+⋯＋C n n b n，其中各项系数就是组合数C n r，展开r － r b r . 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=C n a n⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1 项Tr+1=C n r a n －r b r(r=0,1, ⋯叫n)做二项展开式的通项公式。

⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=0,1,2, ⋯,n). 即C n =C n②若n 是偶数，则中间项 (第n n项)的二项公式系数最大，其值为 C n 2；若n 是奇数， 12则中间两项(第n 1项和第n3 n1 n1项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C n 2 =C n 2. 2 2③所有二项式系数和等于 2n，即C 0n +C 1n ＋C 2n +⋯+C nn =2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，10213n ―1 即C n +C n +⋯=C n +C n +⋯=2 . 3.概率（1）事件与基本事件：随机事件: 在条件下, 可能发生也可能不发生的事件S事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件 确定事件 S必然事件:在条件下,一定会发生的事件 S基本事件：试验中不能再分的最简单的 “单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的； 试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（ 2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件 的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解 关系事件 A 与B 不可能同时两事件交集为空事件A 与B 对立，则A互斥事件与B 必为互斥事件；发生事件 A 与B 不可能同时两事件互补 事件A 与B 互斥，但不对立事件一是对立事件 发生，且必有一个发生（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件 ”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的， 但古典概型问题中所有可能出现的 基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数 ．基本事件的总数构成事件A 的区域长度(面积或体积) 几何概型的概率计算公式： P (A )．试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是 “求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率P(A)的X 围为：0≤P(A)≤1．②互斥事件A 与B 的概率加法公式： P(AB)P(A) P(B)．③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1．（7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p kkn―kn的展开式的第k+1 项.n (1 ―p).实际上，它就是二项式[(1 ―p)+p] (k)=C n p2（8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为( X k )k k (1)nk(012 )P Cp p，k ，，，，nn．此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，⋯，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当N（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，nk N；当N不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，n n这时k N；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则n抽取样本．通常是将l加上间隔 k得到第2个编号(l k)，将(l k)加上k，得到第3个编号(l 2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个X围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．3①用样本频率分布估计总体频率分布时， 通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作 频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤． 画样本频率分布直方图的步骤： 求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点： 一是所有的信息都可以从图中得到； 二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程1 n 2．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，度，其计算公式为s(x i x)ni1两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值， 获得对这两个变量之间的整体关系的了解． 分析两个变量的相关关系 时 ,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近， 那么就说这两个变量之间具有线性相关关系， 这 条直线叫做回归直线， 其对应的方程叫做回归直线方程． 在本节要经常与数据打交道， 计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤：n n 2；第一步：先把数据制成表，从表中计算出 ，， x i y i ， xy x ii1 i1 第二步：计算回归系数的 a ，b ，公式为n n nn x i y i ( x i )( y i ) b i 1 i1 i 1 ， n 2 n x i )2n x i (i 1 i 1a y ；bx第三步：写出回归直线方程y bxa ． （4）独立性检验①22 列联表：列出的两个分类变量 X 和Y ，它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的 样本频数表称为 2 2列联表1分类y1 y2 总计x1 a b a bx2cdc d总计 a c b da bcd构造随机变量K2(an(ad bc)2d)（其中n ab cd）b)(c d)(a c)b4得到K2的观察值k常与以下几个临界值加以比较：如果k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果k 3.841 就有9500的把握因为两分类变量如果k 6.635 就有9900的把握因为两分类变量如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：X和Y是有关系；X和Y是有关系；X和Y是有关系．①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

高考数学排列组合与概率计算重点清单一、背景介绍在高考数学中，排列组合和概率计算是不可忽视的重要内容。

掌握了这两个知识点，可以帮助学生在考试中获得更好的成绩。

本文将为大家列出高考数学排列组合与概率计算的重点清单，帮助大家快速掌握这些知识点。

二、排列组合的重点1. 排列的定义和运算法则- 不重复元素的全排列：n!- 重复元素的全排列：n!/(n1!×n2!×...)- 部分相同元素的排列：n!/(n1!×n2!×...)，其中n1、n2等表示重复出现的元素个数2. 组合的定义和运算法则- 不重复元素的组合：C(n, k) = n!/(k!(n-k)!)- 重复元素的组合：C(n+k-1, k-1)- 全部选或全不选的方案数：2^n3. 排列组合的应用- 在几何问题中，通过排列组合可以确定数量关系、判断位置关系等- 在概率问题中，通过排列组合可以计算事件发生的概率- 在工程问题中，通过排列组合可以计算不重复的方案数三、概率计算的重点1. 事件的概率定义- 事件发生的概率：P(A) = n(A)/n(S)，其中n(A)为事件A发生的可能性，n(S)为样本空间中的所有可能性数- 事件的对立事件：P(A') = 1-P(A)- 事件的必然事件：P(S) = 1，其中S为样本空间2. 概率的运算性质- 事件的和事件概率：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)- 事件的积事件概率：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率3. 条件概率与独立事件- 条件概率的计算：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)- 事件的独立性：如果P(A∩B) = P(A) × P(B)，则事件A与事件B 相互独立4. 一些常见的概率问题- 排列组合与概率计算相结合的问题- 球与盒子问题、扑克牌问题等四、总结通过本文的介绍，我们了解到高考数学中排列组合与概率计算的重点知识点，这些内容对于考生来说至关重要。

高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的计数与事件高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与概率的计数与事件数学作为一门基础学科，对于高中学生来说，无疑是学习过程中必不可少的一部分。

在高中阶段，学习数学的内容相当繁杂，其中涉及的知识点众多。

本文将对高中数学的排列组合与概率的计数与事件进行系统的总结，并提供相关公式大全供参考。

一、排列组合基础知识排列与组合是数学中的两个基本概念，具有广泛的应用。

在学习排列组合的过程中，有几个核心的概念需要掌握。

1. 排列排列是从若干元素中按照一定的顺序选取出一部分元素，形成一个有序的序列。

常见的排列可以分为全排列和局部排列两种。

- 全排列：将若干元素按照不同的顺序进行排列，所得的不同排列数称为全排列。

全排列的公式为：A(n, n) = n!，其中 n 表示元素的个数。

- 局部排列：从若干元素中选取出其中的一部分元素，按照一定的顺序进行排列，所得的不同排列数称为局部排列。

局部排列的公式为：A(n, m) = n!/(n-m)!，其中n 表示元素的总数，m 表示选取的元素个数。

2. 组合组合是从若干元素中选取出一部分元素，不考虑其顺序，形成一个无序的集合。

常见的组合有全组合和局部组合两种。

- 全组合：将若干元素选取出所有可能的组合，所得的不同组合数称为全组合。

全组合的公式为：C(n) = 2^n，其中 n 表示元素的个数。

- 局部组合：从若干元素中选取出其中的一部分元素，不考虑其顺序，所得的不同组合数称为局部组合。

局部组合的公式为：C(n, m) =n!/[m!(n-m)!]，其中 n 表示元素的总数，m 表示选取的元素个数。

二、概率与事件概率和事件是数学中研究随机事件发生可能性的重要内容。

在学习概率与事件的过程中，有几个核心的概念需要了解。

1. 概率概率是对随机事件发生可能性的量化描述。

以事件 A 在随机试验中发生为例，事件 A 发生的概率记为 P(A)。

概率的计算公式为：P(A) =N(A)/N(S)，其中 N(A) 表示事件 A 中有利的试验结果的个数，N(S) 表示样本空间 S 中的所有可能结果的个数。

排列组合复习一、 知识回顾1.分类计数原理和分步计数原理 （1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法。

那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

(2) 分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

2.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 .3.排列数定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示.4.排列数公式：!()()().()!n m n nn m n m A n An n n n m A n m --=---+==-1215.全排列：n 个不同元素全部取出的排列。

6.阶乘：从自然数1到n 的连乘积，记为!n n A n = ，规定：0！=17.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

8.组合与排列的区别：组合无序，排列有序。

9.组合数：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有组合的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的组合数，用符号mn C 表示.10.组合数公式：()()()!.!!()!m m n n mm A n n n n m n C A m m n m ---+===-121()n m m n ≤∈*,,N11.两个性质：m n n m n C C -=；11-++=m nm n m n C C C ． 规定：01.n C =12.几个常用公式：⑴ !)!1(!n n n n -+=⋅ ⑵)!1(1!1)!1(+-=+n n n n ⑶ 111+++=+++m n m n m m m m C C C C⑷m mm m m n A A A ++++=1m m A ()m mm m m m m n m n C C C A C ++++++=⋅111概率统计复习分布列、数学期望和方差1、 分布列:ξx 1x 2 … x i … PP 1 P 2… P i…2、分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)3、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 性质: b aE b a E +=+ξξ)(4、方差：ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；5、二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn kkn qp C -＝b (k ；n ，p )．ξ1 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n nE ξ=np, =ξD np (1-p )排列组合试题1、不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有A、12种B、20种C、24种D、48种2、有6个座位连成一排，安排3人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有A、36种B、48种C、72种D、96种3、从0，1，2，3，4每次取出不同的三个数字组成三位数，那么这些三位数的个位数字之和为A、80B、90C、110D、1204、以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是B、C、-6D、5、5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为A、48B、54C、60D、666、由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有A、72B、60C、48D、527、用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数。

排列、组合、概率与统计的高考热点分析每年的高考考试，排列组合、概率与统计等知识点都经常出现在高考考题中，也是学生们头疼的课题之一，对考生们掌握好此类知识，可以提高他们应用排列组合、概率与统计的能力，大大提升他们在高考考试中的表现，所以本文针对此类考题进行热点分析，为考生提供此类知识的复习和研究帮助。

首先介绍一下排列组合，这是一类数学思维的学科，也是高考考题中经常出现的科目之一。

排列组合是一种可以在指定字符集中任意排列组合，计算组合中字符个数的学科。

它可以应用于分层抽样等社会调查中，也可以用于数学逻辑、统计分析等各个领域，其计算方法复杂而实用性强，在高考中经常出现。

其次介绍概率，概率也是高考考题中经常出现的科目之一。

概率是研究事件发生的可能性的一种数学方法，它可以帮助确定某一事件发生的几率，是研究和评价不同情况下物品具有不同可能性的工具，它也是用于描述不同情况之间的相互关系的学科。

在高考中，考生除了要知道概率的原理和计算方法，还要了解概率的应用情况。

最后介绍统计学，它是一类结合计算机应用的学科，主要研究社会科学中的定量数据，可以帮助我们更好地了解特定社会的情况，从而进行更有效的管理和决策。

统计学也是高考考题中经常出现的，最常见的统计学问题是简单抽样、方差分析等，这些考题需要学生有系统的理解，能够根据不同条件计算出准确的结果。

总体来说，在高考考题中，排列组合、概率与统计是重要的知识点，它们的考题不仅考查学生的数学技能，还考查学生的应用能力。

考生在复习时一定要充分把握此类知识点，多多练习，熟悉此类考点，并多多思考，才能够在高考考试中取得一个好的成绩。

本文从排列组合、概率与统计三个角度，分析了高考中此类知识点的热点，指出此类考题的重要性，帮助考生把握好知识点复习，以期取得高考考试的优异成绩。

专题六 排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点聚焦】考点1：排列、组合的概念，排列数、组合数的计算公式和组合数的性质；考点2：二项式定理和二项展开式的性质及利用它们计算和证明一些简单问题；考点3：利用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率，利用互拆事件的加法公式一些事件的概率，利用独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.【自我检测】1、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做从n 个不同元素中取出个元素的一个排列，排列数m n A ＝_____________________________=_________.2、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做从n 个不同元素中取出m 元素的一个排列，组合数m n C ＝______________________=_______________.3、 组合数的性质：（1）m n C ＝＿＿＿＿＿＿＿，（2）m n C ＋1-m n C ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4、 二项式定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.其通项为1+r T ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5、 二项式系数的性质是（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6、 在大量重复进行同一试验时，事件A 发生＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做事件A 的概率，记作＿＿＿＿.7、 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的＿＿＿＿＿＿，那么每一个基本事件的概率都是＿＿＿，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率P （A ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿.8、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做互斥事件，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿对立事件.设A ，B 是互斥事件，P （A ＋B ）＝＿＿＿＿＿.P （A ）＝＿＿＿＿＿.9、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，这样的两个事件叫做相互独立事件.设A 、B 是相互独立事件，则P （A ·B ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿.10、若n 次独立重复试验中，每次试验结果的概率＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿则称这n次试验是独立的.在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)=_________.【重点∙难点∙热点】问题1：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件.例1：在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212111121212121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n m n m n m m n n m mn n m m n n m +++++++++思路分析：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合 解法一 第一类办法 从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2n 个； 第二类办法 从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C 2m C 1n 个；第三类办法 从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 1m C 1n 个由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形 解法二 从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有C 31+m 个，三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个 所以，个数为N =C 31++n m －C 31+m －C 31+n 个 答案 C点评：本题考查组合的概念及加法原理，解题中常用分类讨论思想及间接法例2：四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________ 思路分析 解法一，采用处理分堆问题的方法 解法二，分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的解：（法一）分两步 先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C 24种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A 33种 依乘法原理，共有N =C 2433A =36(种) （法二）分两步 从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A 34种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种 值得注意的是 同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的 因此，共有N =21A 34·3=36(种) 点评：本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力 根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A 34种 忽略此种办法是 将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的演变1：四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 （ ）A ．96 B.48 C.24 D.0点拨与提示：本题考查了排列组合综合运用问题，可以画出四棱锥标出8个数字帮助直观分析，注意分类要全面准确,抓住问题实质.演变2：4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18点拨与提示：注意对甲进行分类讨论.问题2：求展开式中的系数二项式系数是指二项展开式中出现的组合数),2,1,0( =r C r n ；系数是指每一项前的系数，注意它们的区别.要正确运用通项公式和基本定理.例3：n x )21(-展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项.思路分析：先求出n 的值，再由二项式系数的最大项是“最中间”的项，求出二项式系数的最大项.利用不等式组求系数绝对值最大项.解：66165515)2(,)2(x C T x C T n n -=-=++，依题意有665522n n C C =，∴n=8.则nx )21(-展开式中二项式系数最大的项为x x C T 1120)2(4485=-=. 设第r+1项系数的绝对值最大，则有65,,65222211881188==∴∈≤≤⇒⎩⎨⎧≥≥++--r r Z r r C C C C r r r r r r r r 或又 . 则系数绝对值最大项为67561792,1792x T x T ==.点评：求展开式中某一项或某一项的系数问题是高考题型之一，复习时要给予重视. 演变3：如果(3n x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是 A.7 B.7- C.21 D.21-点拨与提示：本题考查二项展开式的性质.演变4：已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos ．点拨与提示：分别求出x 2和x 3的系数.问题3：求复合事件的概率对较复杂事件的概率通常是将所求事件化面彼此互斥的事件的和或求其对立事件的概率. 例4：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3.4假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（Ⅲ）假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？思路分析：本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解.第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式.解：(1)记“甲连续射击4次至少有一次末中目标”为事件A 1，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故)(1)(11A P A P -==.8165)32(14=- 答：甲连续射击4次至少有一次末中目标的概率为：.8165 （2）记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件B 2，则 P 278)321()32()(22242=-⋅⋅=C A ， 6427)431()43()(13342=-⋅⋅=C B P 由于甲乙射击相互独立，故 .816427278)()()(2222=⨯==B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.81（3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3“乙第i 次射击末中”为事件Di （I=1,2,3,4,5）,则A 3=12345D D D D D ⋅⋅⋅ ，且41)(=i D P 由于各事件相互独立，故 )()()()()(123453D D P D P D P D P A P ⋅⋅⋅=.102445)41411(434141=⨯-⨯⨯⨯ 答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.102445 点评：本题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.演变5：甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.点拨与提示：对于（Ⅰ）分甲中乙未中和乙中甲未中两类；对于（Ⅱ）可考虑其对立事件. 问题四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差求分布列，首先要确定随机变量的取值，其次求其取某个值的概率，在这里，一般都要通过排列组合的知识来计算其取值的概率.期望和方差是离散型随机变量两个重要特征，求期望和方差的步骤是：（1）写出随机变量的分布列；（2）正确应用期望和方差的公式计算（同时还应掌握如二项分布的期望和方差计算的结论等）例5：在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .思路分析：随机取出2张奖券奖品总价值的可能情况有：0，10，20，50，60，求出ξ取每一个值时的概率，列出分布列，根据离散型随机变量的期望与方差的概念、公式及性质解答.解：（法一）（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32. （Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）. .151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二： （Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.点评：在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要搞清其分布特征和分布列，然后要准确运用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度. 演变6：袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.（I ）求袋中所有的白球的个数；（II ）求随机变量ξ的概率分布；（III ）求甲取到白球的概率.点拨与提示：对于（II ）ξ的可能取值为1,2,3,4,5，分别求出它们的概率，得到分布列. 专题小结1、解决排列组合应用问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件.2、二项式系数是指二项展开式中出现的组合数),2,1,0( =r C r n ；系数是指每一项前的系数，注意它们的区别.要正确运用通项公式和基本定理3、对较复杂事件的概率通常是将所求事件化面彼此互斥的事件的和或求其对立事件的概率.4、求分布列，首先要确定随机变量的取值，其次求其取某个值的概率，在这里，一般都要通过排列组合的知识来计算其取值的概率.期望和方差是离散型随机变量两个重要特征，求期望和方差的步骤是：（1）写出随机变量的分布列；（2）正确应用期望和方差的公式计算（同时还应掌握如二项分布的期望和方差计算的结论等）【临阵磨枪】一．选择题1．6个人并排站成一排，B 站在A 的右边，C 站在B 的右边，则不同的排法总数为（ ）A 4433A AB 44A C 3366A A ÷ D 3544A A 2．某人射击8次，命中4次，并且恰好有3次命中排在一起，则不同的结果有（ ）A 20种B 240种C 480种D 720种3．两人掷一枚硬币，掷出正面者为胜，但这枚硬币不均匀，以致出现正面的概率P 1与出现反面的概率P 2不相等.已知出现正面与出现反面是对立事件.设两人各掷一次成平局的概率为P ，则P 与0.5的大小关系为（ ）A P ＜0.5B P ＞0.5C P ＝0.5D 不确定4．三边长均为整数，且最长边长为11的三角形的个数为（ ）A 25B 26C 36D 375．某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号，组成一注，则这人把这种特征的号买全，至少要花（ ）A 3360元B 6720元C 4320元D 8640元6．在(x−1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( )A −14B 14C −28 D287．若,)1()1()1()21(1001002210100-++-+-+=+x a x a x a a x 则10021a a a +++ ＝（ ）A 10010035-B 1005C 1003D 13100-8．若二项式61(x x x -展开式中的第5项是5，则111(lim 123-∞→+++n n xx x 等于 A 21 B 83 C 1 D 89 9．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．4201 10．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ ）A ．0,27,78B ．0,27,83C ．2.7,78D ．2.7,83二．填充题 11 从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax +By +C =0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示)12．左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球.若从左口袋里取出1个球 装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为＿＿13．如图，一个地区分为5个行政区域，现给它们着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色.若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有＿＿＿（用数字作答）14．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人.为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数为_____.三、解答题15．假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是相互独立，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，问对于多大的P 而言，四引擎飞机比二引擎更安全？16．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而每个保护区每个季度发现的违反保护条例的事件次数的分布列分别为甲保护区 乙保护区试评定这两个保护区的管理水平. 17 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？ 18 二次函数y =ax 2+bx +c 的系数a 、b 、c ，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？19．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.20．设函数)2,()(22432≥∈++++=-n N n xC x C x C C x f n n n n n n n ，当x>－1且x ≠0时，试证明：0)(>x f n 恒成立. ζ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 ζ 0 1 2 P 0.1 0.50.4参考答案1． C 提示：6个人的全排列中，A 、B 、C 三人的顺序已定.2． A 提示：将3次和1次命中看着2个元素插入四次未命中的空中，有25A 种.3． B 提示：因为P 1≠P 2，P 1＋P 2＝1，P ＝2221P P +，又因为41)2(22212221=+>+P P P P ，2221P P +＞0.5 4． C 提示：另两边边长用x, y 表示，且不妨设1≤x ≤y ≤11,构成三角形必须x+y ≥12.当y 取11时，x=1,2，3，…,11，可能有11个三角形；当y 取10时，x=2，3，…,10，可能有9个三角形；……；当y 取6时，x=6，有1个三角形；所以所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36个.5． D 提示：这种特殊要求的号共有432061098+⨯⨯⨯（注）.6． B7． A 提示：令x-1=0,即x=1时得到10003=a ，再令x-1=1即x=2时得1001002105=++++a a a a ，∴1001001002135-=+++a a a .8． B 提示：51515==-x T ，x=3,原式＝8391131=- 9．A 提示：将1,2，3，…，9平均分成三组的数目为33396333280C C C A =,又每组的三个数成等差数列,种数为4,所以答案为B10．A 提示：由图象可知，前4组的公比为3，最大频率40.130.10.27a =⨯⨯=，设后六组公差为d ，则560.010.030.090.27612d ⨯+++⨯+=，解得：0.05d =-， 后四组公差为－0.05， 所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人）.选A.11．30 提示 因为直线过原点，所以C =0，从1，2，3，5，7，11这6个数中任取2个作为A 、B 两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A 26=3012．154 提示：分两种情况，从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里，则从右边口袋里取出的是红球，其概率是6253⨯；从左边口袋里取出的是白球，再从右边的口袋里取出的是红球，其概率是6152⨯，相加得所求概率. 13．7214．50 提示：设不到40岁的教师中应抽取的人数为x 人，则xx -=70140350，则x ＝50 15．解：四引擎飞机成功飞行的概率为4443342224)1()1(P C P P C P P C +-+-；二引擎飞机成功飞行的概率为22212)1(P C P P C +-，要使四引擎的飞机比二引擎的飞机更安全，则4443342224)1()1(P C P P C P P C +-+-≥22212)1(P C P P C +-，解得P ≥32 16．解：甲保护区的违规次数的数学期望与方差分别为1.3和1.21；乙保护区违规次数的数学期望与方差分别为1.3和0.41.两保护区每季度发生的违规平均次数相等，但乙保护区的违规事件次数更集中和稳，而甲保护区的违规事件数相对分散和波动. 17 解 出牌的方法可分为以下几类(1)5张牌全部分开出，有A 55种方法；(2)2张2一起出，3张A 一起出，有A 25种方法；(3)2张2一起出，3张A 一起出，有A 45种方法；(4)2张2一起出，3张A 分两次出，有C 23A 35种方法；(5)2张2分开出，3张A 一起出，有A 35种方法；(6)2张2分开出，3张A 分两次出，有C 23A 45种方法因此，共有不同的出牌方法A 55+A 25+A 45+A 23A 35+A 35+C 23A 45=860种 18 解 由图形特征分析，a ＞0,开口向上，坐标原点在内部⇔f (0)=c ＜0;a ＜0,开口向下，原点在内部⇔f (0)=c ＞0,所以对于抛物线y =ax 2+bx +c 来讲，原点在其内部⇔af (0)=ac ＜0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a 和c ，再确定b ,故满足题设的抛物线共有C 13C 14A 22A 16=144条19．解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C - （II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p20．解：1)1()(2--+=nx x x f x n n ，要证0)(>x f n 由于x>－1且x ≠0所以只要用数学归纳法证明01)1()(2>--+=nx x x f x n n 即可.【挑战自我】已知数列｛a n ｝满足a n ＝n2n-1(n>0,n ∈Z),是否存在等差数列｛b n ｝,使a n ＝n nn n n C b C b C b +++ 2211对一切自然数n 成立，证明你的结论. 解：n=1时b 1=1，当n=2时b 2=2，因为｛b n ｝是等差数列，∴b n =n.当b n =n 时，n nn n n C b C b C b +++ 2211=n n n n nC C C +++ 212. 令x n =112211--+++n n n n n C b C b C b =121)1(2--+++n nn n C n C C =121)2()1(nn n n n C C n C n ++-+--- . 2x n ＝)22()(121-=+++-n n n n n n C C C n∴x n ＝)12(1--n n .n nn n n C b C b C b +++ 2211＝x n ＋n n n C b ＝)12(1--n n ＋n n n C b ＝12-n n ∴ a n ＝n nn n n C b C b C b +++ 2211对一切自然数n 成立【答案及点拨】演变1：由题意分析，如图,先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有2444=A 种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放:7放入①，8放入②，5放入③，6放入④;或者6放入①，7放入②，8放入③， 5放入④两种放法.综上所述:共有48244=⨯A 种放法.故选B.演变2：设四个人为A ，B ，C ，D.（1）设A 选甲且回答对，则选B 、C 、D 回答错有C 13种；余下两人答乙，一个答对，一个答错共有：C 13.A 622=种. A B D 1 2 3 4 5 6 7 8 P（2）设A 选甲且回答错，同（1）有6种.同理B ，C ，D 再同样讨论，则共有12+12+12+12=48种.除去其中有12种重复的情况. 综合得4位同学不同的得分情况为36种.故选B 演变3：n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，所以n =7，展开式中第7项为616617321(3)(T C x x+=⋅=，∴ 31x 的系数是21. [答案] C 演变4：解：4)45(+x 的通项为r r rr x C T )45(441⋅⋅=-+，1,34==-∴r r ， ∴4)45(+x 的展开式中3x 的系数是54514=⋅C , 5)1cos (+θx 的通项为R R R x C T -+⋅=551)cos (θ，3,25==-∴R R ，∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是,5cos 235=⋅θC∴ 21cos 2=θ，22cos ±=θ. 演变5：(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则P(A)=12,P(B)=25,P(A )=12,P(B )=35甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的事件为A B B A ⋅+⋅ P(A B B A ⋅+⋅)=P(A B ⋅)+P(A B ⋅)=1321125522⨯+⋅= 答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为12(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是113392255100P =⨯⨯⨯= ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1-P =1-991100100= 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为91100演变6：解:(I)设袋中原有n 个白球,由题意知227(1)1(1)2767762n n n C n n C --===⨯⨯ 可得3n =或2n =-(舍去)即袋中原有3个白球.(II)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,53(1);7P ξ== ()4322;767P ξ⨯===⨯ 4326(3);76535P ξ⨯⨯===⨯⨯43233(4);765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ 432131(5);7654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以ξ的分布列为:(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则()()()22()13535P A P P P ξξξ==+=+==。

高考排列组合、概率知识点总结及典型例题排列组合知识点总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式：()()()C A A n n n m m n m n m n m nm mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①m m n c -=n n c ；②111-m n c --+=m n n n c c ；③11-k n kc -=k n nc ；11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或 四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C概率知识点总结：一、基本知识在一定的条件下必然要发生的事件，叫做必然事件； 在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随即事件。

排列与组合主标题：排列与组合副标题：为学生详细的分析排列与组合的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：排列，组合难度：2重要程度：4考点剖析：1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题.命题方向：排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，难度中等或稍易．考查古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算．规律总结：1．熟练掌握：(1)排列数公式A m n ＝n！n－m！；(2)组合数公式C m n＝n！m！n－m！，这是正确计算的关键．2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．3．排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(2)C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.性质(1)0！＝1；A n n＝n！.(2)C m n＝C n－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.。

高考数学知识归纳分析第一讲 排列组合与概率分析 [排列组合] 一、基本知识点1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+．．．．．．．．…．+mn ．．．种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。

3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。

4．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n mnCC -=；（2）11--+=n n m nm n CC C；（3）kn k n C C k n =--11；（4）nnk kn n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）kn m n m k k n C C C --=。

①先分类再分步②有无特殊条件的限制；③检验是否有重复或遗漏
特殊优先法优先安排特殊元素或特殊位置
1.并(和)事件包含三种情况：①事件A 发生，事件B 不发生；②事件A 不发生，事件B 发生；
③事件A ，B 都发生.即事件A ，B 至少有一个发生.2.互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A 发生且事件B 不发生；曲线与x 轴之间的面积为1
若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，X 是随机变量，①Y 也是随机变量；
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均任何事件的条件概率都在0和1之间
“X 与Y 有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推。

十年高考分类解析与应试策略数学第十章排列、组合、二项式定理和概率、统计●考点阐释本章从内容到方法都是比较独特的，是进一步学习概率论的基础知识.其中分类计数原理和分步计数原理是本章的基础，它是学习排列、组合、二项式定理和计算事件的概率的预备知识.在对应用题的考查中，经常要运用分类计数原理或分步计数原理对问题进行分类或分步分析求解，如何灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解应用题的关键.从两个原理上，完成一件事的“分类”和“分步”是有区别的，因此在应用上，要注意将两个原理区分开.排列、组合也是本章的两个主要概念.定义中从n个不同元素中，任取M（M≤n）个元素“按一定的顺序排成一列”与不管怎样的顺序“并成一组”是有本质区别的.只有准确、全面把握这两个概念，才能正确区分是排列问题，还是组合问题.具体解决手段：只要取出2个元素交换看结果是否有变化.二项式定理中，公式一般都能记住，但与其相关的概念如：二项式系数、系数、常数项、项数等，学生易混，须在平常加以对比分析，对通项公式重点训练.应用上要注意：①它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项随之确定.②公式表示的是第r+1项.③公式中a、b的位置不能颠倒，它们的指数和为n.④r的取值从0到n，共n+1个.古典概型是学习概率与统计的起点，而掌握古典概型的前提是能熟练掌握排列组合的基本知识.熟练掌握五种事件的概率以及抽样方法、总体分布的估计、期望和方差.●试题类编一、选择题1.（2003京春理，9）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A.42B.30C.20D.122.（2003京春文，10）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）A.6B.12C.15D.303.（2002京皖春理，6）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）A.280种B.240种C.180种D.96种4.（2002京皖春文，6）若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有（ ）A.180种B.360种C.15种D.30种5.（2002京皖春理，10）对于二项式（x1+x 3）n（n ∈N *），四位同学作出了四种判断： ①存在n ∈N *，展开式中有常数项 ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项 ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项 ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项上述判断中正确的是（ ）A.①③B.②③C.②④D.①④6.（2002京皖春文，10）在（x1+x 2）6的展开式中，x 3的系数和常数项依次是（ ） A.20，20 B.15，20 C.20，15D.15，157.（2002全国文，12、理，11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）A.8种B.12种C.16种D.20种8.（2002北京文，9）5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（ ）A.480B.240C.120D.969.（2002北京理，9）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A.4448412C C C 种B.34448412C C C 种C.3348412AC C种D.334448412A C C C 种 10.（2001京皖春，3）1222C C lim ++∞→n n n nn 等于（ ）A.0B.2C.21D.41 11.（2001天津理，9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）A.3种B.4种C.5种D.6种12.（2000京皖春，8）从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中“ｑu ”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ）A.120个B.480个C.720个D.840个13.（1999全国理，8）若（2x ＋3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋ax 4，则（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值为（ ）A.1B.－1C.0D.214.（1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A.5种B.6种C.7种D.8种15.（1998全国理，11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1 名医生和2名护士.不同的分配方法共有（ ） A.90种B.180种C.270种D.540种16.（1997全国理，15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A.150种B.147种C.144种D.141种17.（1997全国文）四面体的一个顶点为A ，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有（ ）A.30种B.33种C.36种D.39种18.（1996全国文）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ） A.720种B.360种C.240种D.120种19.（1995全国文15，理13）用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）A.24个B.30个C.40个D.60个20.（1995全国，6）在（1－x 3）（1+x ）10的展开式中，x 5的系数是（ ） A.－297B.－252C.297D.20721.（1994全国，10）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种22.（1994上海，18）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）A.5544A A 种 B.554435A A A 种 C.554413A A A 种D.554422A A A 种二、填空题23.（2003上海春，9）8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有_____场比赛.24.（2002上海7）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是_____.（结果用数值表示）25.（2002上海春，7）六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是_____.26.（2002上海春，5）若在（xx 15）n的展开式中，第4项是常数项，则n = . 27.（2002全国理，16）（x 2+1）（x －2）7的展开式中x 3项的系数是 . 28.（2002上海文，9）某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天.29.（2002天津文，15）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）：其中产量比较稳定的小麦品种是_____.30.（2001上海，7）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种．（结果用数值表示）31.（2001全国，16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .32．（2001上海理，8）在代数式（4x 2－2x －5）（1＋21x ）5的展开式中，常数项为 ． 33.（2001全国文，13）（21x ＋1）10的二项展开式中x 3的系数为 . 34.（2001上海春）在大小相同的6个球中，2个红球，4个白球.若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是_____.（结果用分数表示）35.（2001广东河南，13）已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能（用数字作答）.36.（2001江西、山西、天津理）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_____.（用数字作答）37.（2001上海文）利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是_____.38.（2000上海春，4）若（x +a ）5的展开式中的第四项是10a 2（a 为大于零的常数），则x =_____.39.（2000上海春，10）有n （n ∈N *）件不同的产品排成一排，若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种，则n =_____.40.（2000京皖春理，17）103)1(xx 展开式中的常数项是_____. 41.（2000全国文、理，3）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）.42.（2000年上海，9）在二项式（x －1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 .（结果用数值表示）43.（2000上海，10）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3.现任取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 .44.（2000两省一市理，13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品数以ξ的概率分布是45.（1999全国，16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种（用数字作答）.46.（1999上海理，3）在（x 3+22x）5展开式中，x 5项的系数为 . 47.（1999上海理，11）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2=16内的概率是 .48.（1998全国理，17）（x +2）10（x 2－1）的展开式中x 10的系数为_____（用数字作答）.49.（1998上海，9）设n 是一个自然数，（1＋n x ）n的展开式中x 3的系数为161，则n =_____.50.（1997全国，16）已知（2x x a）9的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_____. 51.（1997上海，11）若（3x +1）n （n ∈N *）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x 2的系数是_____.52.（1997上海，16）从集合｛0、1、2、3、5、7、11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax +By +C =0中的A 、B 、C ，所得经过坐标原点的直线有_____条（结果用数值表示）.53.（1996全国，17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_____个（用数字作答）.54.（1996上海，17）有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_____种（结果用数字表示）.55.（1996上海理，14）在（1+x ）6（1－x ）4的展开式中，x 3的系数是_____（结果用数值表示）.56.（1995上海，13）若（x +1）n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1（n ∈N *），且a ∶b ＝3∶1，那么n =_____.57.（1995上海，19）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取法有_____种.（结果用数值表示）.58.（1995全国，20）四个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____种.（用数字作答）59.（1994全国，16）在（3－x ）7的展开式中，x 5的系数是_____（用数字作答）. 三、解答题60.（2002天津文20，理19）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率； （Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？61.（2001江西、山西、天津）如图10—1，用A 、B 、C三类不同的元件连接成两个系统N 1，N 2.当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0．80、0．90、0．90.分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.62.（2001上海理）对任意一个非零复数z ，m z ={ω|ω=z 2n －1，n ∈N } （1）设α是方程x +21=x的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P .（2）设复数ω∈M z ，求证：M ω⊆M z .63.（2001全国理，20）已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n . （1）证明n i i m A ＜m i i n A ； （2）证明（1＋m ）n ＞（1＋n ）m .64.（2000江西、山西、天津理，17）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 65.（2000上海，22）规定!)1()1(C m m x x x mx+-⋅⋅-⋅=Λ，其中x ∈R ，m 是正整数，且0C x =1，这是组合数mn C （n 、m 是正整数，且m ≤n 的一种推广）.（1）（文）求315C -的值； （理）求515C -的值；（2）（文）设x ＞0，当x 为何值时，213)C (C x x 取最小值？（理，文2）组合数的两个性质： ①m n n mn-=C C . ②mn m n m n 11C C C +-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由.（3）（理）已知组合数mn C 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，mn C ∈Z .66.（1996全国文24，理23）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?●答案解析 1.答案：A解析：这是一个插空问题，应分两类：第一类，新增的两个节目连在一起；第二类，两个新增节目不连在一起，而原来的5个节目可看做分出6个空位.第一类则有2×16A 种不同的插法，第二类则有26A 种不同的插法.应用分类计数原理，共有12+30=42种不同的插法.评述：该题是应用问题，内容贴近学生，有一定的综合性、灵活性、考查分析，解决问题及逻辑思维的能力.同时应有周密的思维习惯.2.答案：D 解析：见第1题.3.答案：B 解析：因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作.因此，翻译工作从余下的四名志愿者选一人有14A 种，再从余下的5人中选3人从事导游、导购、保洁有35A 种.因此3514A A =240.4.答案：B 解析：46A =360. 5.答案：D 解析：二项式（x 1+x 3）n 展开式的通项为T r +1=r n C (x1)n －r (x 3)r =r n C x r －n ·x 3r =r n C x 4r －n 当展开式中有常数项时，有4－n =0，即存在n 、r 使方程有解. 当展开式中有x 的一次项时，有4r －n =1，即存在n 、r 使方程有解. 即分别存在n ，使展开式有常数项和一次项. 6.答案：C 解析：二项式（x1+x 2）6展开式的通项为：T r +1=636266C )()1(C --=r r r r rx x x∴当T r +1为x 3项时，r =3，∴T r +1=36C ·x 3=20·x 3 当T r +1为常数项时，r =2，∴T r +1=26C =15 7.答案：B解析：联想以空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面构造，即16C ·12C ；也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即：1836C C -. 8.答案：B解析：先把5本书中的两本捆起来（25C ），再分成四份（44A ），∴分法种数为25C ·44A =240（种）.9.答案：A解析：先分配4个人到第一个路口，再分配4个人到第二个路口，最后分配4个人到第三个路口，即：412C ·48C ·44C .10.答案：D解析：原式＝n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 2411)12(21)12)(22()1)(1(A A A A A A A A 122112111222++=++=++++=⋅⋅=++++++++ ∴41C C lim 1222=++∞→n n n nn11.答案：A解析：设该队胜x 场，平y 场，则负（15－x －y ）场，由题意得3x +y =33，∴y =33－3x ≥0∴x ≤11，且x +y ≤15，（x ，y ∈N ） 因此，有以下三种情况：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==69310011y x y x y x 或或 评述：本题利用不定方程及穷举法解决排列、组合问题. 12.答案：B解析：4436A C ＝480． 13.答案：A 14．答案：C解法一：由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种； 买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种，故共有1＋2＋4＝7种不同的选购方式，答案为C.解法二：先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘、再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿解法一可知选C.评述：本题主要考查分类计数原理、分类讨论思想.背景简单，但无现成模式可用，对分析解决问题的能力有较高要求.15.答案：D解析：设计让3所学校依次挑选，先由学校甲挑选，有2613C C 种，再由学校乙挑选，有2412C C 种，余下的到学校丙只有一种，于是不同的方法数共有13C ·26C ·2412C C ＝540种，答案为D.评述：设计一个程序是解答排列组合应用题的常见解法. 16.答案：D解法一：10个点任取4个点取法有410C 种，其中面ABC 内的6个点中任意4点都共面，从这6点中任取4点有46C 种，同理在其余3个面内也有46C 种，又每条棱与相对棱中点共面有6种，各棱中点中4点共面的有3种，故10个点中取4点，不共面的取法共有36C 4C 46410---＝141种.解法二：四面体记之为A —BCD ，设平面BCD 为α，那么从10个点中取4个不共面的点的情况共有四类：（1）恰有3个点在α上，有4（3C 36-）＝68种取法；（2）恰有2个点在α上，可分两种情况：该2个点在四面体的同一条棱上时有3)3C (C 2423-＝27种，该2个点不在同一条棱上，有（2326C 3C -）·（24C －1）＝30种；（3）恰有1个点在α上，可分两种情况，该点是棱的中点时有3×3＝9种，该点是棱的端点时有3×2＝6种；（4）4个点全不在α上，只有1种取法.根据分类计数原理得，不同的取法共有68＋27＋30＋9＋6＋1＝141种．评述：本题对空间想象能力要求较高，对观察能力和思维能力要求也高.在应用背景及其限制条件下合理分类是解题的关键.17.答案：B解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面，点A 所在的每个面中含A 的4点组合有35C 个，点A 在3个面内，共有335C 个组合，点A 在6条棱的三条棱上，每条棱上有3个点，这3点与对棱的中点共面，所以与点A 共面的四点组合共有335C +3=33（个）评述：本题考查组合的知识和空间想象能力.对考生的观察能力和思维能力有较高要求，考生失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算入内.18.答案：C解析：把甲、乙两人看作1个人，这样6个人看作5个人，5个人的全排列有55A 种，甲、乙两个人还有顺序问题，所以排法总数为55A ·22A =240（种）评述：这是一道有限制条件的排列题，考查排列的概念和排列数公式.“相邻问题”是一个常见的典型问题.19.答案：A解法一：其中2在个位的三位数有24A 个，4在个位的三位数有24A 个，故没有重复数字的三位偶数共有224A ＝24个，故选A.解法二：先排个位有12A 种，再排十位、百位有24A 种，于是合乎要求的三位偶数共有2412A A ＝24个.故选A. 评述：本题为有特殊要求的排列问题，考查排列基础知识和逻辑推理能力. 20.答案：D解析：∵原式=（1+x ）10－x 3（1+x ）10.∴欲求原展开式中x 5的系数，只需求出（1+x ）10展开式中x 5和x 2的系数.而（1+x ）10=1+…+210C x 2+…+510C x 5+….故（1－x 3）（1+x ）10展开式中，x 5的系数为510C －210C =207.21.答案：C解法一：从10人中选派4人有410C 种，进而对选出的4人具体分派任务，有1224C C 种，由分步计数原理得不同的选派方法为1224410C C C ＝2520种，答案为C.解法二：据分步计数原理，不同选法种数为210C ·18C ·17C ＝2520种.评述：本题主要考查组合和分步计数原理，答数较大，对组合数的计算要求较高.方法一用的是先选后派方法是处理排列组合应用题的基本方法.22.答案：D解析：先各看成整体，但水彩画不在两端，则为22A ，然后水彩画与国画各全排列，所以共有554422A A A ．23.答案：16解析：分两组比赛，每组有24C 场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，三、四名比赛，冠亚军比赛，共有224C +2+2=16（场）24.答案：133 解析：有效分应该是由没有受贿裁判的评分，因此，7名裁判应从12人中选712C ，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是133C C 714712=.25.答案：201 解析：因为后排每人均比前排人高，因此应将6人中最高的3个人放在后排，其余3人站前排.故所有排法有33A ·33A =36种.故后排每人均比前排同学高的概率为201A A A 663333=⋅ 26.答案：18 解析：∵5183333534)1(C )1()(C ---=-=n n n nx xx T 为常数项. ∴518-n =0，即n =18.27.答案：1008解析：系数为：17C （－2）6+37C （－2）4=1008. 28.答案：11解析：要完成某项工序，必须先完成它的紧前工序且在紧前工序完成的条件下，若干件工序可同时进行，因而工程总时数为：3+2+5+1=11（天）.29.答案：甲解析：根据题意，需要比较2*甲S 和2*乙S由于2*甲S =0.158，2*乙S =0.552 因此甲产量比较稳定. 30.答案：7解析：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有245C 25⨯=＝10（种）选择方式至少为200种，设素菜为x 种，∴252C C x ≥2002)1(-x x ≥20，x （x －1）≥40，x ≥7 ∴至少应为7种素菜. 31.答案：2n （n －1）解析：先在圆上找一点，2n 个点因为是等分点，所以过圆心的直径应有n ，减去过这点的直径，剩下的直径n －1个都可以与这个点形成直角三角形，∴一个点可以形成n －1个直角三角形，这样的点有2n 个.∴一共为2n （n －1）. 32.答案：15 解析：15205)1(1C )4()1(1C 512415202505=+-=+-xx x . 33.答案：15 解析：15816891081C )21(C 3103310=⨯⨯⨯=⨯= 34.答案：54解析：所选3球中至少有一个红球的选法有12C ·2224C C +·14C =16（种） 从6个球中任选3个球的选法有36C =20（种）. 故概率p =542016=. 评述：本题主要考查对可能事件的概率计算，以及考生分析问题解决问题的能力.古典概率是学习概率与统计的起点，而掌握古典概型的前提是能熟练地掌握排列组合的基本知识.35.答案：4900解析：完成这件事可分为两步：第一步：从甲组8人中抽取4个，有48C 种方法； 第二步：从乙组8人中抽取4人，有48C 种方法. 因此，比赛人员的组成共有48C ·48C =4900种可能.评述：本题考查分步计数原理、组合的概念以及组合数的运算，考查分析问题、解决问题的能力.36.答案：1.2解析：设其中含红球个数为x ，则x =1或 x =2.而含一个红球的概率A 1=106C C C 251213=⋅ 含两个红球的概率为A 2=103C C 2523=∴含红球个数的数学期望为1×106+2×103=1.2 评述：本题考查数学期望的概念、概率的概念及它们的计算. 37.答案：A 3解析：A 1的数学期望：1x E =0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7 A 2的数学期望：2x E =0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5 A 3的数学期望：3x E =0.25×（－20）+0.30×52+0.45×78=45.7A 4的数学期望：4x E =0.25×98+0.30×82+0.45×（－10）=44.6评述：本题考查概率与数学期望，考查学生识表的能力.对图表的识别能力，是近年高考突出考查的热点.图表语言与其数学语言的相互转换，应成为数学学习的一个重点，应引起高度重视.38.答案：a1 解析：∵x a a x T 33352135410)(C ==-，∴x ＝a1.39.答案：5解析：由11A 2--n n ＝48，得11A --n n ＝24，∵44A ＝24，∴n ＝5. 40.答案：210 解析：T r ＋1＝65301031102110)1(C )()(C r r rr rrxx x----=-⋅，令30－5r =0，得r =6.∴常数项T 7＝610C ·（－1）6＝210．41.答案：252解析：222733A C A ＝252． 42.答案：－462解法一：因为在（x －1）11的展开式中，各项的二项式系数与系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项511C x 6（－1）5．第七项611C x 5（－1）6，所以得系数最小的项的系数为462C 511-=-． 解法二：展开式中第r +1项为r rrx)1(C 1111--，要使项的系数最小，则r 为奇数，且使r11C 为最大，由此得r =5，所以项的最小系数为462)1(C 5511-=-．43.答案：141解析：从9面旗帜中任取3面，共有39C （种）取法. 现取3面，颜色与号码均不相同共有13C ·12C ·11C =6（种）因此，所求概率为141846C 639==. 44.答案：解析：设次品数为ξ，则ξ~（2，0.05），其中p =0.05为次品率，则q =0.95为正品率，于是由二项分布公式（列成表格）：即得所求结果. 45.答案：12解析：先考虑A 种植在左边的情况，有三类：A 种植在最左边一垄上时，B 有三种不同的种植方法；A 种植在左边第二垄上时，B 有两种不同的种植方法；A 种植在左边第三垄上时，B 只有一种种植方法.又B 在左边种植的情况与A 时的相同，故共有2×（3＋2＋1）＝12种不同的选垄方法.评述：本题主要考查两个基本原理、分类讨论思想，对分析解决问题的能力有较高要求. 46.答案：40解析：由通项公式T r +1=r5C （x 3）5－r ·（22x ）r =r 5C ·2r ·x 15－5r由题意，令15－5r =5.得r =2. ∴含x 5项的系数为25C ·22=40. 47.答案：92 解析：掷两次骰子分别得到的总数m 、n 作为P 点的坐标共有16A ·16A =36（种）可能结果，其中落在圆内的点有8个：（1，1）、（2，2）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（3，1）、（2，3）、（3，2），则所求的概率为92368=. 评述：本题考查点与圆的位置关系，概率概念等基础知识以及运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力.48.答案： 179解析：展开式中x 10的系数与（x +2）10的展开式中x 10的系数和x 8的系数有关，由多项式运算法则知所求系数为010C ·（－1）＋210C ·22·1＝179.评述：本题考查在逻辑思维能力上的要求，兼考查分类讨论的思想. 49. 答案：4解析：T r ＋1＝r r nn x )(C ，令r =3得x 3的系数1611C 33=n n ，解得n =4.50.答案： 4解析：T r ＋1＝929299292C )1()()2()1(C -+---⋅⋅⋅-=-r rr r r r r r rr x a xa x当392=-+r r ，即r =8时，492C )1(28898=⋅⋅--a ，解得a =4.评述：本题考查二项式定理的基础知识，重点考查通项公式和项的系数的概念，兼考运算能力.51.答案： 54解析：令x =1得展开式各项系数之和4n ＝256解得n =4，所以x 2的系数是24C ·32＝54． 52.答案：30解析：因过原点的直线常数项为0知c =0，从集合中任取两个非零元素作系数A 、B 有26A 种，所以适合条件的直线有26A ＝30条.53.答案： 32解析：7个点任取3点的组合数37C ＝35，其中三点在一线上不能组成三角形的有3个，故组成三角形的个数为35－3＝32个.评述：本题是有限制条件的组合应用题，背景采用几何图形，对逻辑思维能力要求较高.易出现不排除不构成三角形的情况的错误.54.答案： 1440解析：将数学书与外文书分别捆在一起与其他3本书一起排，有55A ＝120种排法，再将3本数学书之间交换有33A ＝6种，2本外文书之间交换有22A ＝2种，故共有223355A A A ＝1440种排法.55.答案： －8解析：原式=（1＋x ）2（1－x 2）4＝（1＋2x ＋x 2）(1－x 2)4含x 3的项为2x ·14C ·(－x 2)＝－8x 3，故x 3的系数为－8.56.答案：11 解析：2233C C ,C C nn n n n nb a ====--， 由已知有113)1(62)2)(1(13C C 23=⇒=-⋅--⇒=n n n n n n n n ． 57. 答案：350解析：选法是原装取2台组装取3台，原装取3台组装取2台.故不同的选取法有25363526C C C C +＝350种. 58. 答案：144解法一：考虑用分配的数学模型来解.若1号盒空，2号盒放2个球，3号盒和4号盒各放一个球有111224C C C ＝12种放法. 若1号盒空，3号盒放2个球，4号盒和2号盒各放一个球时仍有111224C C C ＝12种放法. 若1号盒空，4号盒放2个球，2号盒和3号盒各放一个球同样有111224C C C ＝12种放法. 即1号盒空共有3×12＝36种放法.同理2号盒空有36种放法，3号盒空有36种放法，4号盒空有36种放法. 故按题中要求恰有一个空盒的放法共有4×36＝144种放法.解法二：先将4个球分成3组每组至少1个，分法有6种.然后再将这3组球放入4个盒子中每盒最多装一组.则恰有一个空盒的放法种数为634A ＝144种.评述：本题是一道排列组合综合题，运用先分组，后排列的方法较好. 59.答案： －189 解析：r r r r x T )()3(C 771-=-+，所以r =5，x 5的系数为57C 32（－1）5＝－189．评述：本题考查二项式定理，重点考查通项公式，兼考计算能力.60.解：（Ⅰ）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即32216415611)5.0(C )5.0(C )5.0(C 1626616606=++-=---.（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为3.03211)5.0(C )5.0(C )5.0(C 666656646>=++ 至少5人同时上网的概率为：3.0647)5.0)(C C (66656<=+. 因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.61.解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件 P （A ）＝0．80，P （B ）＝0．90，P （C ）＝0．90.（Ⅰ）因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率P 1＝P （A ·B ·C ）＝P （A ）·P （B ）·P （C ）＝0．80×0．90×0．90＝0．648. 故系统N 1正常工作的概率为0．648． （Ⅱ）系统N 2正常工作的概率)]()(1[)()](1[)(2C P B P A P C B P A P P ⋅-⋅=⋅-⋅=.∵P （B ）＝1－P （B ）＝1－0．90＝0．10. P （C ）＝1－P （C ）＝1－0．90＝0．10.∴P 2＝0．80×［1－0．10×0．10］＝0．80×0．99＝0．792. 故系统N 2正常工作的概率为0．792. 62.解：（1）解方程x +21=x得x =i 2222± 当α1=i 2222+时ω=α12n －1=112121])2222[()(ααααn nni i =+=由i n 的周期性知：ω有四个值. n =1时，ω=i i i 22222222+=+n =2时，ω=i i 222222221+-=+- n =3时，ω=i i i 22222222--=+- n =4时，ω=i i 222222221-=+ 当α2=2222-i 时，ω=α22n－1=2222)()(αααnn i -= n =1时，ω=i i i 22222222-=-- n =2时，ω=i i 222222221--=-- n =3时，ω=i i i 22222222+-=- n =4时，ω=i i 222222221+=- ∴不管α=i 2222+还是α=i 2222- M α={i i i i 2222,2222,2222,2222--+--+ } P =3162C 224== （2）∵ω∈M z ，则ω=z 2m －1，m ∈N 任取x ∈M ω，则x =ω2n －1，n ∈N 而ω=z 2m －1 ∴x =（z 2m －1）2n －1=z (2m－1)(2n －1)∵（2m －1）（2n －1）为正奇数 ∴x ∈M z ∴M ω⊆M z评述：复数的运算是复数的基础，本题考查复数的奇数次幂，由于i n 的周期性，因而α2n －1只有四个值，题目以集合的形式给出复数ω，使复数与集合有机的结合在一起，不仅考查复数还考查集合的表示方法.而证明一个集合是另一个集合的子集在对集合的考查上又高了一个层次.证明尽管不繁，但思维层次较高.63.证明：（1）方法一：i i i m m i m m m m )1()1(A +-⋅⋅-⋅=Λi i i n ni n n n n )1()1(A +-⋅⋅-⋅=Λ 对于m ＜n ，∴k ＝1，2，…，i －1有mkm n k n ->- ∴ii m i i n mn A A >即m i i n A ＞n ii m A 方法二：n i in A =43421Λ个n n n n ⋅⋅·m ·（m －1）·（m －2）·…·（m －i +1） =mn ·（mn －n ）·（mn －2n ）·…·［mn －n （i －1）］①同理m i im A =mn ·（mn －m ）·（mn －2m ）·…·［mn －m （i －1）］ ② ∵1＜i ≤m ＜n ，∴mn －n ＜mn －m ，mn －2n ＜mn －2m ，…， mn －n （i －1）＜mn －m （i －1）③∴联系①、②、③可得n i im A ＜m i A i n . （2）由二项式定理：nn n n n nmm m m C C C )1(1100+++=+Λ mm m m m m n n n n C C C )1(1100+++=+Λ又∵!A C i m m i i n ii n=而i n A m i ＞im A n i ∴2222C C n mmn >。

高中数学总复习——专题 排列与统计概率数学考试姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题 1.从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )A. ①B. ②④C. ③D. ①③ 2.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在 [10,50] ，（单位：元）之间，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 [10,30) （单位：元）内的同学有33人，则支出在 [40,50] （单位：元）内的同学人数为（ ）A. 100B. 120C. 30D. 300 3.ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A. 1−π4B. 1−π8C. π4D. π84.已知随机变量X 的分布列如下：若随机变量Y 满足 Y =3X −1 ，则Y 的方差 D(Y)= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 9 5.(1−x 3)(1−x)10的展开式中，x 5的系数是（ ）A. -297B. -252C. 297D. 207 6.盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为 328 ，从盒中取出2个球都是黄球的概率是 514 ，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是（ ） A. 1328 B. 57 C. 1528 D. 377.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 α=π6 ，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. B. C. D.8.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙不站排尾” C. “甲站排头”与“乙站排尾” D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”9.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从 1~160 编号，若第1组抽出的号码为6，则第6组中抽取的号码是（ ） A. 66 B. 56 C. 46 D. 12610.已知随机变量服从正态分布N （0，σ2），且P （﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P （ξ＞2）=（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.611.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如表所示：根据上表可得回归直线方程y ∧=0.56x+a ∧， 据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为（ ）A. 70.09 kgB. 70.12 kgC. 70.55 kgD. 71.05 kg 12.样本4，2，1，0，－2的标准差是：（ ）A. 1B. 2C. 4D. 2√5 13.某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到所示联表：附：K 2=n (n 11n 22−n 12n 21)2n 1+n 2+n 1+n 2， 则下列结论正确的是（ ）A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”B. 有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”D. 有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”14.已知X 是离散型随机变量，P （X=1）=23 ， P （X=a ）=13 ， E （X ）=43 ， 则D （2X ﹣1）等于（ ）A. 89 B. −19 C. 43 D. 1315.A 、B 两位同学各有3张卡片，现以投掷硬币的形式进行游戏．当硬币正面向上时，A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率为（ ）A. 116B. 18C. 332D. 316 16.设随机变量X 的概率分布如右下，则P （X≥0）=（ ） 23A. 16 B. 13 C. 12 D. 56 17.（1+x ）10的二项展开式中的一项是（ ）A. 45xB. 90x 2C. 120x 3D. 252x 4二、填空题18.从 {1,2,3,4,5,6} 中随机选一个数 a ，从 {1,2,3} 中随机选一个数 b ，则 a <b 的概率等于________.19.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为________．20.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组 1~20 号，第二组 21~40 号，…，第五组 81~100 号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为________． 21.国家气象局统计某市2016年各月的平均气温（单位：C ）数据的茎叶图所示，则这组数据的中位数是________.22.若(x−1ax )6的二项展开式中常数项为−52，则常数a的值是________.23.掷一枚骰子，出现的点数X是一随机变量，则P（X＞5）的值为________．24.已知样本数据a1,a2,a3,a4,a5的方差s2=15(a12+a22+a32+a42+a52−20)，则样本数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1,2a5+1的平均数为________．25.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为________26.在(x−2√x)5的展开式中，x2的系数为________27.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________.28.西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有________种涂色方法．29.若(√a−1)6的展开式中的第5项等于152，则limn→∞(a+a2+⋯+a n)的值为________．30.分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是________31.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为________.32.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为________．33.两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为________.34.若（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，则a2+a4+…+a12=________三、解答题35.某校书法兴趣组有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加书法比赛(每人被选到的可能性相同)．(I)用表中字母列举出所有可能的结果；(II)设M为事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”，求事件M发生的概率．36.2020年4月21日，习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研，在镇中心小学的课堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市01中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽1000名中学生进行调查，统计他们每周参加体育锻炼的时长，右图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周体育锻炼时长不足4小时的体育锻炼的中学生有100人，求直方图中a，b的值；（2）为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况，利用分层抽样的方法从[10,12)和[12,14]两组中共抽取了6名中学生参加线上座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行体育锻炼视频展示，求这2名学生来自不同组的概率．37.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定A省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%分别赋分70分、60分、50分、40分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单料全班排名），知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理82分，化学70多分．（1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．38.已知一个科研小组有4位男组员和2位女组员，其中一位男组员和一位女组员不会英语，其他组员都会英语，现在要用抽签的方法从中选出两名组员组成一个科研攻关小组．（Ⅰ）求组成攻关小组的成员是同性的概率；（Ⅱ）求组成攻关小组的成员中有会英语的概率；（Ⅲ）求组成攻关小组的成员中有会英语并且是异性的概率．39.衡州市临枣中学高二某小组随机调查芙蓉社区160个人，以研究这一社区居民在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：下面临界值表：K2=n(ad−bc)2，n=a+b+c+d（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分别列和期望；（Ⅱ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？40.根据国家统计局数据，1999年至2019年我国进出口贸易总额从3万亿元跃升至31.6万亿元，中国在国际市场上的贸易份额越来越大对外贸易在国民经济中的作用日益突出.将年份1999，2004，2009，2014，2019分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t，y表示全国进出口贸易总额.参考数据：① 0.142+0.342+0.662+1.862+2.042=8.192 ② 0.142+0.342+1.862+2.042+2.142=12.336 ③ 8.192555.792≈0.0147 ④ 12.336555.792≈0.0222参考公式：线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b̂=∑(x i −x̅)(y i −y ̅)ni=1∑(x i −x̅)2n i=1 ， a ̂=y ̅−b̂x̅ ，相关指数 R 2=1−∑(y i −y ̂i )2ni=1∑(y i −y ̅)2ni=1 .（1）根据以上统计数据及图表，给出了下列两个方案，请解决方案1中的问题. 方案1：用 y ̂=bt +a 作为全国进出口贸易总额 y 关于 t 的回归方程，根据以下参考数据，求出 y 关于 t 的回归方程，并求相关指数 R 12 . 方案2：用 y ̂=ce dt 作为全国进出口贸易总额 y 关于 t 的回归方程，求得回归方程 ŷ=2.3259e 0.5721x ，相关指数 R 22 . （2）通过对比（1）中两个方案的相关指数，你认为哪个方案中的回归方程更合适，并利用此回归方程预测2020年全国进出口贸易总额.41.2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的 COVID −9 病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为1，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.2（1）求一个接种周期内出现抗体次数K的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案.42.参与舒城中学数学选修课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.参考数据: ∑i=16(x i -x ¯)·(y i -y ¯)=-34580,∑i =16(x i -x̅)·(z i -z̅)=-175.5,∑i=16(y i -y̅)2 ， =776840,∑i=16(y i -y̅)·(z i -z̅)=3465.2 . （1）根据散点图判断y 与x,z 与x 哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)? （2）根据(1)的判断结果及数据,建立y 关于x 的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字). （3）当定价为150元/千克时,试估计年销量.附:对于一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x n ,y n ),其回归直线 y ＾=b＾x+ a ＾ 的斜率和截距的最 小二乘估计分别为 b ＾=∑i=1n(x i -x ¯)⋅(y i -y ¯)∑i=1n(x i -x̅)2=∑i=1nx i ⋅y i -n⋅x̅⋅y̅∑i=1nx i 2-n⋅x̅2,a ＾=y ̅-b ＾x̅43.某中学有一调查小组为了解本校学生假期中白天在家时间的情况，从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天在家的时间（在家时间在4小时以上的就认为具有“宅”属性，否则就认为不具有“宅”属性）参考公式： K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中n=a+b+c+d ． 参考数据：（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否具有‘宅’属性与性别有关？”（2）采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生里抽取一个6人的样本，其中男生和女生各多少人？从6人中随机选取3人做进一步的调查，求选取的3人至少有1名女生的概率．44.某商超为庆祝店庆十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案∶方案①∶一个不透明的盘子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案②∶一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3（1）现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；（2）如果某顾客获得一次抽奖机会.那么他选择哪种方案更划算.45.从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x̅和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,δ2)，其中μ近似为样本平均数x̅，δ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用（i）的结果，求E（X）．附：√150≈12.2．若Z∼N(μ,δ2)，则P(μ−δ<Z<μ+δ)=0.6826，P(μ−2δ<Z<μ+2δ)=0.9544．46.某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．47.用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）可组成多少个无重复数字的自然数？（2）可组成多少个无重复数字的四位偶数？48.为了搞好某运动会的接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动.附：K2=n(ad−bc)2.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？（3）如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有4人会外语），抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？49.为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下．理科：79，81，81，79，94，92，85，89文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差：S2=1[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(x n−x̅)2]，其中x̅为样本平均数）n（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．50.盒中有标号分别为0，1，2，3的球各一个，这些球除标号外均相同．从盒中依次摸取两个球（每次一球，摸出后不放回），记为一次游戏．规定：摸出的两个球上的标号之和等于5为一等奖，等于4为二等奖，等于其它为三等奖．（1）求完成一次游戏获三等奖的概率；（2）记完成一次游戏获奖的等级为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】互斥事件与对立事件【解析】【解答】解：根据对立事件的定义，只有③中两事件符合定义.故答案为：C.【分析】由对立事件的定义直接求得答案。

高考数学一轮复习排列组合和概率必考知识点归纳
高考数学一轮复习排列组合和概率必考知识点归纳
解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。

二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。

二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。

二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r
你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的'概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式。

) 二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率易记混。

通项公式：它是第r+1项而不是第r项;
事件A发生k次的概率：。

其中k=0，1，2，3，…，n，且0
求分布列的解答题你能把步骤写全吗?
如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方图矩形面积的几何意义。

)
你还记得一般正态总体如何化为标准正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，其中表示标准正态总体取值小于的概率)。

一、规律与方法1．处理排列、组合应用题的规律： （1）两种思路：直接法、间接法.（2）两种途径：元素分析法、位置分析法.（3）对排列、组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列，弄清要完成什么样的事件是前提.（4）基本题型及方法：捆绑法、插空法、错位法、分组分配法、均匀分组法、逆向思考法等等.2．解答概率应用题的关键是弄清基本概念：等可能性事件、随机事件、互斥事件、对立事件、独立事件；灵活运用概率计算公式：加法公式、乘法公式. （1）等可能性事件概率nmA P =)(，[]1,0)(∈A P ； （2）互斥事件A 、B 中有一个发生的概率：加法公式)()()(B P A P B A P +=+，特别地， 1)()(=+A P A P ，即对立事件的概率和为1.（3）相互独立事件A 、B 同时发生的概率)()()(B P A P B A P ⋅=⋅.（4）事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n p p C k P --=)1()(，其中p事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[]np p +-)1(展开式的第1+k 项.3．常用抽样方法 （1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样. 实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法.（2）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样方法叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层. 二、强化训练 一、选择题1．四名篮球运动员和三名足球运动员站成一排，任何两名足球运动员不能站在一起的不同排法的总数为（ ）A ．()244A B ．3444A A⋅ C ．3344A A ⋅ D ．3544A A ⋅2．某仪表显示屏上面一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1. 若每次显示其中3个孔，但相邻的两个小孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示不同信号数为（ ） A ．10 B ．48 C ．60 D ．80 3．十二人分成两队进行排球赛，每队六人的不同分法总数为（ ） A ．66612C C B ．61221C C ．2266612A C C D ．66612A A4．在8312⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，常数项是（ ）A ．－28B ．－7C ．7D ．28 5．满足}1,0{=B A 的集合A ，B 的组数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．11人排成两排照相，前排5人，后排6人，若某两人必须在前排，另两人必须在后排，则排法总数为（ ）A ．66511A AB ．772625A A A ⋅⋅ C ．44372625A A C C ⋅⋅⋅ D ．33442625A A A A ⋅⋅⋅7．若a ∈{1,2,3,4,5},b ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则方程12222=+by a x 表示不同椭圆的个数为（ ）A ．50B ．40C ．35D ．30 8．(x +1)(2x +1)(3x +1)…(nx +1)的展开式中一次项的系数是（ ） A ．1-n n C B ．2n C C ．21+n C D ．n ! 二、填空题9．已知92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中，x 3的系数为49，则常数a 的值为______. 10．的系数之差为的系数与展开式中4481,1x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛- .11．某车队有编号分别为1，2，3，4，5的五辆车，现为完成一件任务，需派三辆车按不同时间出车. 假如选取的车辆中有1号、4号时，则1号车一定要排在4号车前面，则不同的派法共有_______种.12．用4种不同的颜色涂入图中编号为1，2，3，4的正方形，要求每个正方形只涂一种颜色，且有公共边的两个正方形颜色不同，则共有_______种不同的涂法.三、解答题13．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算： (1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率.14．某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直投到4次为止，已知运动员甲的投篮命中率为0.7.（1）求一轮练习中运动甲的投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ（结果保留两位有效数字）；（2）求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.15．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.1、0.5，今两人各投2次.（1）求甲投中1次的概率；（2）若每投中1次得1分，投不中得0分，试问甲、乙得分之和为几分的可能性最小. 16．有一种摸奖游戏，在布袋里装了黑、白各8个围棋子，并作如下规定：摸奖者每人交2元钱作为“手续费”，然后一次从袋中摸出5个棋子，中奖情况如下表：摸5个棋子中奖情况恰有5个白棋子奖10元钱恰有4个白棋子奖4元钱其它情形奖1元钱试计算：（1）一次性获得4元奖金的概率；E；（2）设一次性中奖所得钱数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列和数学期望ξ（3）按1000人次进行统计，分析设奖者可以净赚多少元钱？参考答案1．D 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．D 8． C9．4； 10．0； 11．51； 12．8413．解：(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A，“乙射击一次击中目标”叫做事件B.显然事件A、B相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36答：两人都击中目标的概率是0.36.(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×(1－0.6)=0.6×0.4=0.24甲未击中、乙击中的概率是P(A·B)=P(A)P(B)=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A·B与A·B互斥，所以恰有一人击中目标的概率是P(A·B)+P(A·B)=0.24+0.24=0.48答：其中恰有一人击中目标的概率是0.48.(3)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=P(A·B)+［P(A·B)+P(A)·B］=0.36+0.48=0.84.答：至少有一人击中目标的概率是0.84.14．解：（I ）ζ的可能取值为1，2，3，4， ζ＝1时，P （ζ＝1）＝0.7；ζ＝2时，P （ζ＝2）＝0.7（1－0.7）＝0.21； ζ＝3时，P （ζ＝3）＝()27.017.0-＝0.063；ζ＝4时，P （ζ＝4）＝()()437.017.017.0-+-＝0.027.∴ζ的分布列为ζ1 2 3 4 P0.70.210.0630.0274.1027.04063.0321.027.01=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ζE（II ）()()()09.0027.0063.0433=+==+==≥ζζζP P P ， 故一轮练习中运动员甲至少投篮3次数的概率为0.09. 15．解：（I ）设1ξ表示甲投中的次数，2ξ表示乙投中的次数，()()()()()()()()()(),25.05.02,5.02.015.01,25.05.010,01.01.02,18.01.011.01,81.01.01021122222112121====-⋅⋅===-======-⋅⋅===-==ξξξξξξP C P P P C P P甲比乙投中次数多的概率()()()()()().0525.05.001.025.001.025.018.0120201212121=⨯+⨯+⨯===+==+===　ξξξξξξP P P P P P P（Ⅱ）设ξ为甲、乙得分之和，则ξ可取值分别为0，1，2，3，4，,2025.025.081.0)0()0()0(21=⨯=====ξξξP P P)0()1()1()0()1(2121==+====ξξξξξP P P P P =,45.025.018.05.081.0=⨯+⨯ )1()1()0()2()2()0()2(212121==+==+====ξξξξξξξP P P P P P P=,295.05.018.025.001.05.081.0=⨯+⨯+⨯)2()1()1()2()3(2121==+====ξξξξξP P P P P =.05.025.018.05.001.0=⨯+⨯ .0025.025.001.0)2()2()4(21=⨯=====ξξξP P P经比较，甲、乙得分之和为4分的概率最小，即甲、乙得分之和为4分的可能性最小.16．解：（1）一次性获得4元奖金对应的事件为“摸出的5个棋子中有4个白棋子、1个黑棋子”，因此，一次性获得4元奖金的概率395C C C P 51618481==. （2）由已知，ξ的可能取值为10，4，1，则781C C )10(P 51658===ξ； 395C C C 4)P(5161848===ξ； 78673957811)4(P )10(P 1)1(P =--==-=-==ξξξ. 所以，随机变量ξ的概率分布列为：数学期望5.1787813947810==⨯+⨯+⨯=ξE（3）一次性中奖所得钱数的数学期望5.1=ξE 元，则设奖者一次性抽奖可以净赚5.05.12=-（元）.按1000人次进行统计，则设奖者可以净赚10005005.0=⨯（元）.答：按1000人次进行统计，设奖者可以净赚500元钱.。