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[精品]2017年北京市东城区高考数学三模试卷及解析答案word版(理科)

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2017年北京市东城区高考数学三模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|x2﹣4≤0}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）已知a=2﹣3，，c=log25，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a3．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．4 B．3 C．1 D．04．（5分）已知命题p：若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行；q：若x＞a2+b2，则x＞2ab．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（¬p）∧（¬q）C．p∨q D．p∨（¬q）5．（5分）已知数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，且a4是a2与a5的等比中项，S n为{a n}的前n项和，则S6=（）A．﹣90 B．﹣45 C．0 D．156．（5分）设，，为单位向量，且•=0，则•（+）的最大值为（）A．2 B．C．1 D．07．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则面积最大的侧面面积为（）A．B．C．D．38．（5分）已知数集A={a+bi|a，b∈Z}．下面四个数中哪一个不满足：存在z1，z2∈A，使得z=z1•z2且|z1|＜|z|，|z2|＜|z|（）A．z=3 B．z=5i C．z=2i D．z=2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（1﹣2x）n（其中n∈N且n≥4）展开式中，x3与x4项的二项式系数相等，则n=．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．11．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ与ρcosθ=2的公共点为M，则M的极坐标为．12．（5分）在△ABC中，已知△ABC的面积为，，b﹣a=2，则c= _．13．（5分）三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积或周长的方法．刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．刘徽在半径为1的圆内，作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，计算出圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形的面积．以此面积逼近该圆的面积．记该圆的面积为S，该圆内接正六边形面积为S6，该圆内接正十二边形的面积为S12，…，以此类推．则S12=；S（2S96﹣S48）（填“＜”，“=”，“＞”）．14．（5分）已知x∈R，[x]表示不大于x的最小整数，例如：[3.1]=3，[﹣1.2]=﹣2，令f（x）=x﹣[x]，那么f（1.5）=；f（x）+f（﹣x）的值域为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x ）在区间上的最小值．16．（13分）某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，以下记录了A，B，C，D四个项目的招募情况，其中有两个数据模糊．某同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为该生被招募后参加的项目个数，已知，．（Ⅰ）求该生至多获得三个项目招募的概率；（Ⅱ）求a，b的值；（Ⅲ）求ξ的分布列与数学期望Eξ．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E为PC上异于P，C的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅱ）当BE与平面PAC所成角为45°时，求CE的长；（Ⅲ）当BE⊥PC时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．18．（14分）设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线x+y﹣1=0相切．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．19．（13分）已知椭圆的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P是椭圆C上异于A，B的一点，直线AP和BP分别与y轴交于M，N两点，求△AOM与△BON面积之和的最小值．20．（13分）正整数列a1，a2，…，a n满足条件a i+a j≤a i+j≤a i+a j+c，对任意的i+j ≤n都成立，其中c∈R．（Ⅰ）当a1=c=1时，写出一个满足此条件的正整数列；≤a i+a j+c的数列为等差数列的充要条件是c=0；（Ⅱ）求证：满足条件a i+a j≤a i+j（Ⅲ）对于满足条件a i+a j≤a i≤a i+a j+1的数列，求证：成立，其中i，+jj∈N*．2017年北京市东城区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|x2﹣4≤0}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵集合A={x∈Z|x2﹣4≤0}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故选：C．2．（5分）已知a=2﹣3，，c=log25，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a=2﹣3∈（0，1），∈（1，2），c=log25＞2，∴c＞b＞a．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．4 B．3 C．1 D．0【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3．故选：B．4．（5分）已知命题p：若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行；q：若x＞a2+b2，则x＞2ab．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（¬p）∧（¬q）C．p∨q D．p∨（¬q）【解答】解：命题p：若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行；是假命题；命题q：若x＞a2+b2，则x＞2ab，是真命题，则p∨q是真命题，故选：C．5．（5分）已知数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，且a4是a2与a5的等比中项，S n为{a n}的前n项和，则S6=（）A．﹣90 B．﹣45 C．0 D．15【解答】解：由题意可得a42=a2•a5，公差d=﹣1，∴（a1+3d）2=（a1+d）•（a1+4d）代入数据可得（a1﹣3）2=（a1﹣1）•（a1﹣4），解得a1=5，∴S6=6a1+d=15．故选：D．6．（5分）设，，为单位向量，且•=0，则•（+）的最大值为（）A．2 B．C．1 D．0【解答】解：由，，为单位向量，且•=0，可设，，，∴•（+）=（cosθ，sinθ）•（1，1）=sinθ+cosθ=．∴•（+）的最大值为．故选：B．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则面积最大的侧面面积为（）A．B．C．D．3【解答】解：由几何体三视图知，该几何体是一个三棱锥P﹣ABC，把该三棱锥放入棱长为2的正方体中，如图所示；=×2×=，由图形知，S△ABCS△PBC=×2×2=2，S△PAB=××=，△PAC中，cos∠APC==，∴sin∠APC=，=××2×=3；∴S△PAC综上，三棱锥中面积最大的侧面面积为3．故选：D．8．（5分）已知数集A={a+bi|a，b∈Z}．下面四个数中哪一个不满足：存在z1，z2∈A，使得z=z1•z2且|z1|＜|z|，|z2|＜|z|（）A．z=3 B．z=5i C．z=2i D．z=2【解答】解：∵z=z1•z2，故|z|=|z1|•|z2|，又由|z1|＜|z|，|z2|＜|z|，z1，z2∈A，故当z=5i时，存在z1=2+i，z2=1+2i∈A满足条件，当z=2i时，存在z1=1+i，z2=1+i∈A满足条件，当z=2时，存在z1=1+i，z2=1﹣i∈A满足条件，当z=3时，不存在满足条件的z1，z2，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（1﹣2x）n（其中n∈N且n≥4）展开式中，x3与x4项的二项式系数相等，则n=7．【解答】解：∵（1﹣2x）n（其中n∈N且n≥4）展开式中，x3与x4项的二项式系数相等，则=，∴n=7，故答案为：7．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为，∴2b=a，∴c==，∴双曲线的离心率是e==．故答案为：．11．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ与ρcosθ=2的公共点为M，则M的极坐标为．【解答】解：由题意得：，解得，故答案为：（2，）．12．（5分）在△ABC中，已知△ABC的面积为，，b﹣a=2，则c= 8_．【解答】解：∵，∴sinC=由S=absinC=，可得ab=35…①b﹣a=2…②由①②解得：b=7，a=5余弦定理：：=解得：c=8故答案为：8．13．（5分）三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积或周长的方法．刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．刘徽在半径为1的圆内，作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，计算出圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形的面积．以此面积逼近该圆的面积．记该圆的面积为S，该圆内接正六边形面积为S6，该圆内接正十二边形的面积为S12，…，以此类推．则S12=3；S＜（2S96﹣S48）（填“＜”，“=”，“＞”）．【解答】解：圆的半径为1，圆的面积为S，由圆内接正十二边形的每条边的中心角为=30°，则S12=12××1×1×sin30°=6×=3；圆内接正四十八边形的每条边的中心角为=（）°，圆内接正九十六边形的每条边的中心角为=（）°，2S96﹣S48=2×96××1×1×sin（）°﹣48××1×1×sin（）°≈96×0.0654﹣24×0.1305=3.1464＞S=π，则S＜2S96﹣S48，故答案为：3，＜．14．（5分）已知x∈R，[x]表示不大于x的最小整数，例如：[3.1]=3，[﹣1.2]=﹣2，令f（x）=x﹣[x]，那么f（1.5）=0.5；f（x）+f（﹣x）的值域为{0，1} ．【解答】解：由f（x）=x﹣[x]，那么f（1.5）=1.5﹣[1.5]=1.5﹣1=0.5．∵符号[x]表示不超过x的最大整数，如：[3.1]=3，[﹣1.2]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]∴0≤x﹣[x]＜1，即0≤f（x）＜1∵f（x）+f（﹣x）=﹣[x]﹣[﹣x]，∴当x为整数时，f（x）=0，∴当x不为整数时，f（x）=1，故答案为：0.5；{0，1}三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x ）在区间上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数=sin2x+=sin（2x ﹣）+，所以f（x ）的最小正周期为=π．（Ⅱ）∵，∴，故当，即时，f（x）取得最小值．所以f（x ）在区间上的最小值为．16．（13分）某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，以下记录了A，B，C，D四个项目的招募情况，其中有两个数据模糊．某同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为该生被招募后参加的项目个数，已知，．（Ⅰ）求该生至多获得三个项目招募的概率；（Ⅱ）求a，b的值；（Ⅲ）求ξ的分布列与数学期望Eξ．【解答】（共13分）解：设事件A表示“该生项目A被招募”，由题意可知，；设事件B表示“该生项目B被招募”，由题意可知，；设事件C表示“该生项目C被招募”，由题意可知，；设事件D表示“该生项目D被招募”，由题意可知，；（Ⅰ）由于事件“该生至多获得三个项目招募”与事件“ξ=4”是对立的，所以该生至多获得三个项目招募的概率是；…（4分）（Ⅱ）由题意可知，；；所以解得a=120，b=160．…（8分）（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4..．．所以ξ的分布列．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E为PC上异于P，C的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅱ）当BE与平面PAC所成角为45°时，求CE的长；（Ⅲ）当BE⊥PC时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE；解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD．∵底面ABCD为正方形，∴AD⊥AB．如图以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，2，0），D（﹣2，0，0），P（0，0，2）．．设E是CP上一点，且，λ∈（0，1）．因此点E（2λ﹣2，﹣2λ+2，2λ）．∴=（2λ﹣2，﹣2λ，2λ）．∵|cos＜＞|==，∴，此时；解：（Ⅲ）∵BE⊥PC，BD⊥PC，∴PC⊥平面BDE．∴=（﹣2，2，﹣2）为平面BDE的法向量，∴，．设平面ABE的法向量为，由，取z=1，得．设与的夹角为α，∴．由图可知二面角A﹣BE﹣D为锐角，二面角A﹣BE﹣D的余弦值为．18．（14分）设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线x+y﹣1=0相切．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=，所以．由题意，解得：a=2，b=1．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，（x＜2，x≠0），由f′（x）=及x2＞0知，f′（x）与﹣ln（2﹣x）同号，令g（x）=﹣ln（2﹣x），则g′（x）=，所以，当x＜0时，g′（x）＞0，0＜x＜2时，g′（x）＜0，所以，g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，故g（x）＜g（0）=﹣ln2＜0，从而g（x）＜0在（﹣∞，0），（0，2）上恒成立．所以f′（x）＜0在（﹣∞，0），（0，2）上恒成立．故f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（0，2）．…（13分）19．（13分）已知椭圆的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P是椭圆C上异于A，B的一点，直线AP和BP分别与y轴交于M，N两点，求△AOM与△BON面积之和的最小值．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由题意得解得b=1．所以椭圆C的方程为．…（5分）（Ⅱ）设点P（x0，y0），则，所以直线AP的方程为．令x=0，可得．同理可解得直线BP 与y 轴的交点N 的纵坐标．所以S△AOM +S△BON ==因为P （x 0，y 0）在椭圆上， 所以，即，所以，当且仅当点M 在短轴端点时，△AOM 与△BOM 面积之和的最小值为2．…（14分）20．（13分）正整数列a 1，a 2，…，a n 满足条件a i +a j ≤a i +j ≤a i +a j +c ，对任意的i +j ≤n 都成立，其中c ∈R ．（Ⅰ）当a 1=c=1时，写出一个满足此条件的正整数列；（Ⅱ）求证：满足条件a i +a j ≤a i +j ≤a i +a j +c 的数列为等差数列的充要条件是c=0； （Ⅲ）对于满足条件a i +a j ≤a i +j ≤a i +a j +1的数列，求证：成立，其中i ，j ∈N *．【解答】解：（Ⅰ）当a 1=c=1时，正整数列为1，2，3，4，5，…，证明：（Ⅱ） 当a i +a j =a i +j 时，数列为1，2，3，4，5，…，此时S n =n （n +1），这时S n 取最小值．当a i +j =a i +a j +1时，数列为1，2，4，8…，此时S n =n （n +1）+1，这时S n 取最大值． 通过调整a i +j =a i +a j ，a i +j =a i +a j +1成立的个数， 可使得S n 取遍与n （n +1）+1之间所有的整数值． …（9分）证明：（Ⅲ）当i +j=2，即i=j=1时，易见结论成立；假设i +j ≤k 时结论成立不妨设i ≤j ，由归纳假设（j ﹣i ）a i ＜i （a j ﹣i +1）， 化简得：ja i ＜i （a i +a j ﹣i +1）≤j （a j +1），从而结论成立． 综上所述，成立，其中i ，j ∈N +，i +j ≤n ． …（13分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

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2017年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)(K12教育文档)

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学(理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2017年北京，理1，5分】若集合–21{|}A x x =<<,–1{|}3B x x x =<>或,则A B =（ )(A ）1|}–2{x x <<- （B ）3|}–2{x x << （C ）1|}–1{x x << (D)3|}1{x x << 【答案】A【解析】{}21A B x x =-<<-，故选A ．（2）【2017年北京，理2，5分】若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(),1-∞ （B ）(),1-∞- （C ）()1,+∞ （D ）()1,-+∞ 【答案】B【解析】()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限,所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B ．（3)【2017年北京，理3,5分】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ) (A ）2（B ）32 (C ）53 (D ）85【答案】C【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环111,21k s +===，13<成立，第二次进入循环,2132,22k s +===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C ．(4）【2017年北京,理4，5分】若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则2x y +的最大值为（ ） （A ）1 （B)3 （C)5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域,2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D ．(5）【2017年北京，理5，5分】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （ ）(A ）是奇函数,且在R 上是增函数 （B)是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数 (D ）是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数故选A ．(6）【2017年北京，理6，5分】设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件(C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180,那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<,反过来，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，KS5U 并不一定反向,即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A ．（7）【2017年北京,理7，5分】某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）(A ）32 （B ）23 （C ）22 （D)2 【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体,最长的棱长为正方体的对角线，22222223l =++=,故选B ．（8）【2017年北京，理8,5分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（ )（参考数据：30.48lg ≈)（A ）3310（B ）5310 (C ）7310 （D ）9310 【答案】D【解析】设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310,故选D ．第二部分(非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分,共30分。

2017,5东城高三数学试题及参考答案(理科)校正稿

2017,5东城高三数学试题及参考答案(理科)校正稿

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ðA ．{|2x x ≤-或2}x ≥B ．{|2x x <-或2}x >C ．{|22}x x -<<D ．{|22}x x ≤≤- 2．下列函数中为奇函数的是A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+ C．y D ．||e x y -=3．若,x y 满足10,0,0x y x y y -++⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥则2x y +的最大值为A ．1-B ．0C ．12D ．2 4．设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和．若15172a a +=，244a a =，则6=S A ．2716 B ．278C ．634 D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶(约12021261-)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利 用秦九韶算法求多项式的一个实例． 若输入的5,1,2n v x ===， 则 程序框图计算的是 A ．5432222221+++++ B ．5432222225+++++ C ．654322222221++++++ D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格 低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是 A ．若A B p ，B C p ，则A C pB ．若A B p ，BC p 同时不成立，则A C p 不成立 C ．A B p ，B A p 可同时不成立D ．A B p ，B A p 可同时成立第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为 ．10．在极坐标系中，直线cos sin 10r q q +=与圆2cos (0)a a r q >=相切，则a = ． 11．某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有 种．（用数字作答）12．如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=︒，30ADB ∠=︒，1BC =， 2DC =，1cos 4BCD ∠=，则BD = ；三角形ABD 的面积为 ．13．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA =．14．已知函数|1|,(0,2],()min{|1|,|3|},(2,4],min{|3|,|5|},(4,).x x f x x x x x x x -∈=--∈--∈+∞⎧⎪⎨⎪⎩① 若()f x a =有且只有一个根，则实数a 的取值范围是_______．② 若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围 是_______．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 15.（本小题13分）已知函数()2cos 2()f x x a x a =+⋅∈R ． （Ⅰ）若()26f =π，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在7[,]1212ππ上单调递减，求()f x 的最大值．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该 主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之 比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择 8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17.（本小题共14分）如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ^平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，2EA ED AB EF ===，EF AB ∥，M 为BC 中点．（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ；（Ⅱ）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ^？若存在，求CG CF的值；若不存在，说明理由．设函数2()()e ()x f x x ax a a R -=+-⋅∈．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（Ⅱ）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t Î，存在[0,2]s Î使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围．19.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ， 线段BN 的中点为E ．证明： 点B 关于直线EF的对称点在直线MF 上．20.（本小题共13分）对于n 维向量12(,,,)n A a a a =鬃?，若对任意{1,2,,}i n 巫鬃均有0i a =或1i a =，则 称A 为n 维T 向量. 对于两个n 维T 向量,A B ，定义1(,)||ni i i d A B a b ==-å．（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，求(,)d A B 的值；（Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：231,,,A A A ⋅⋅⋅，若1(1,1,1,1,1)A =且满足：1(,)2i i d A A +=，*i ÎN ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)；（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：231,,,A A A ⋅⋅⋅，若112(1,1,,1)A个=鬃?且满足：1(,)i i d A A m +=， *m N Î，1,2,3,i 鬃?=，若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A个鬃?=，j A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m ．东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）C （4）B （5）D （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）(1,2) （10）1 （11）14（12）21 （13 （14）(1,)+∞ (4,2)(2,4--U 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()2cos 2=2666f a πππ=⋅+⋅⋅， ………3分 所以31222a +?． ………5分所以1a =． ………6分（Ⅱ）由题意(22)f x x x)x ϕ=+，其中tanϕ=．………8分 所以T =π，且712122πππ-=， ………9分所以当12x π=时，max ()sin()126y f ϕππ==+．所以=+23k k ϕππ(∈)Z ． ………10分所以tanϕ=3a =． ………11分所以π())3f x x =+． ………12分所以()f x 的最大值为 ……………………13分（16）（共13分）解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”（1,2,,9i = ）. 根据题意，1()9i P A =，且()i j A A i j =乒 . …………1分（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则47B A A = . …………2分C所以47472()()()()9P B P A A P A P A ==+=. …………5分 （Ⅱ）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2， …………6分4784781(0)()()()()3P X P A A A P A P A P A ===++= ，…………7分356935694(1)()()()()()9P X P A A A A P A P A P A P A ===+++= ，…………8分12122(2)()()()9P X P A A P A P A ===+=． …………9分 所以X 的分布列为分故X 的期望14280123999EX =???．…………………11分 （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）取CD 中点N ，连结,MN FN ．因为,N M 分别为,CD BC 中点， 所以MN ∥BD ． 又BD ⊂平面BDE 且MN Ë平面BDE ， 所以MN ∥平面BDE ， 因为EF ∥AB ，2AB EF =， 所以EF ∥CD ，EF DN =． 所以四边形EFND 为平行四边形． 所以FN ∥ED ．又ED ⊂平面BDE 且FN Ë平面BDE ，所以FN ∥平面BDE ， ………2分 又FN MN N = ，所以平面MFN ∥平面BDE ． ………3分 又FM Ì平面MFN ，所以FM ∥平面BDE ． …………4分C（Ⅱ）取AD 中点O ，连结EO ，因为EA ED =，所以EO ^因为平面ADE ^平面ABCD 所以EO ^平面ABCD ，EO 因为AD AB =，60DAB ∠=所以△ADB 为等边三角形． 因为O 为AD 中点， 所以AD BO ^．因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点，,,OA OB OE 为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -．…………6分 由题意得，(2,0,0)A ，B ，(C -，(2,0,0)D -，E ，(1F -．………7分(3,CF =，DE = ，(0,BE =-．设平面BDE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BE DE ì?ïíï?î n n 即0,0.y z x ì-=ïíï=î 令1z =，则1y =，x =-所以(,1)=-n ．………9分 设直线CF 与平面BDE 成角为α，sin |cos ,|αCF =< n 所以直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值为10． ……………………10分 （Ⅲ）设G 是CF 上一点，且CG CFλ=，[0,1]λ∈．……………11分因此点(34,)G λ-+．……………12分(34,)BGλ=-． 由0BG DE ? ，解得49λ=．所以在棱CF 上存在点G 使得BG ^DE ，此时49CG CF =．………14分解：（Ⅰ）当0a =时，因为2()e x f x x -=?，所以2'()(2)e x f x x x -=-+?， …………1分'(1)3e f -=-． …………2分又因为(1)e f -=， …………3分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为e 3e(1)y x -=-+，即3e 2e 0x y ++=． ……………………4分（Ⅱ）“对任意的[0,2]t Î，存在[0,2]s Î使得()()f s g t ³成立”等价于“在区间[0,2]上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”． …………………5分因为2215()1()24g x x x x =--=--， 所以()g x 在[0,2]上的最大值为(2)1g =．2'()(2)e ()e x x f x x a x ax a --=+?+-?2e [(2)2]x x a x a -=-+-- e (2)()x x x a -=--+ 令'()0f x =，得2x =或x a =-． …………………7分 ① 当0a -?，即0a ³时，'()0f x ³在[0,2]上恒成立，)(x f 在[0,2]上为单调递增函数， ()f x 的最大值为21(2)(4)e f a =+?, 由21(4)1ea +壮，得2e 4a ?． ……………9分 ② 当02a <-<，即20a -<<时，当(0,)x a ∈-时，'()0f x <，()f x 为单调递减函数，当(2)x a ∈-，时，'()0f x >，()f x 为单调递增函数． 所以()f x 的最大值为(0)f a =-或21(2)(4)e f a =+?, 由1a -?，得1a ?；由21(4)1ea +壮，得2e 4a ?． 又因为20a -<<，所以21a -<?． ……………11分 ③ 当2a -?，即2a ?时，'()0f x £在[0,2]上恒成立，()f x 在[0,2]上为单调递减函数，()f x 的最大值为(0)f a =-，由1a -?，得1a ?， 又因为2a ?，所以2a ?．综上所述，实数a 的值范围是1a ?或2e4a ?．……………………13分解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2a =． ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB Д．……………6分设直线AM 的方程为(2)(0)y k x k =+?，则(2,4),(2,2)N k E k ．……7分设点00(,)M x y ，由22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî得2222(34)1616120k x k x k +++-=，得2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+î……9分 ① 当MF x ^轴时，01x =，此时12k =?． 所以3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?．此时，点E 在BFM Ð的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+， 即EF 平分MFB Ð． ……10分 ② 当12k 贡时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k==--， 所以直线MF 的方程为24(41)40kx k y k +--=． ……11分 所以点E 到直线MF 的距离2d2=22|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==． 即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，由定义1(,)||niii d A B a b ==-å，可得(,)4d A B =. …………………………4分（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,,m A A A A L ，使得1(1,1,1,1,1)A =，(0,0,0,0,0)m A =.因为向量1(1,1,1,1,1)A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第(1,2,3,4,5)i i =个分量1变化了21i n -次之后变成0， 所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要12345(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n -+-+-+-+- 123452(2)1n n n n n =++++--次，此数为奇数.又因为*1(,)2,i i d A A i +=?N ，说明i A 中的分量有2个数值发生改变， 进而变化到1i A +，所以共需要改变数值2(1)m -次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0). ……………9分 （Ⅲ）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =. ……………13分易见当m 为12的因子1,2,3,4,6,12时，给 (1分). 答出5,8,10m =给(1分).答出7,9,11m =中任一个给(1分)，都对给(2分)。

2017届东城区普通校高三第一学期联考理科数学试卷及答案

2017届东城区普通校高三第一学期联考理科数学试卷及答案

2017届东城区普通校⾼三第⼀学期联考理科数学试卷及答案东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考试卷⾼三数学（理科）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，共150分，考试⽤时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

祝各位考⽣考试顺利！第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题列出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．若集合{}20M x x =->，{}(3)(1)0N x x x =--<，则M N =(A) {}23x x << （B ）{}1x x < （C ）{}3x x > （D ）{}12x x << 2. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是（A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤ （D ）若1a b +<，则a b <3. “2x >”是“24x >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 4. 已知数列{}n a 为等差数列，且1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 5. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（A ）lg y x = （B ）cos y x =（C ）||y x =（D ）sin y x =6．曲线 331x y =在x=1处切线的倾斜⾓为（A ）1 （B ）4π- （C ）4π（D ）54π7. 要得到函数sin24y x π=-（）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移π（B ）向右平移π单位（C ）向右平移8π单位（D ）向左平移8π单位 8．下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是（A ）12log y x =（B ）21x y =- （C ）212y x =-(D) 3y x =- 9．设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b c a << （D ）b a c <<10．如图，是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下⾯判断正确的是（A ）在区间（－2,1）上)(x f 是增函数（B ）在（1,3）上)(x f 是减函数（C ）在（4,5）上)(x f 是增函数（D ）当4=x 时，)(x f 取极⼤值11．已知数列}{n a 为等⽐数列，274=+a a ，865-=?a a ，则101a a +的值为（A ）7 （B ）5- （C ）5 （D ）7-12. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分．13. 函数)1lg()(-=x x f 的定义域是______________.14. 已知53sin =α，且α为第⼆象限⾓，则αtan 的值为 . 15. 若曲线21232-+=x x y 的某⼀切线与直线341+-=x y 垂直，则切点坐标为 .16. 在ABC ?中，若3a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 17．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R)满⾜f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．18．①命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；②函数2()2xf x x =-的零点有2个；③若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝0；④函数[]sin (,)y x x ππ=∈-图象与x 轴围成的图形的⾯积是π-πsin d S x x =；⑤若函数f (x )＝a x －5x >6 ，? ??4－a 2x ＋4 x ≤6 ，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为（1，8）．其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本⼤题共4⼩题，共60分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．19．（本⼩题满分14分）已知函数2()cos cos f x x x x -．（Ⅰ）求()f x 的最⼩正周期；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最⼤值及相应的x 的值．20. （本⼩题满分14分）在锐⾓ABC ?中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .21.（本⼩题共14分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，410a =，且3a ，6a ，10a 成等⽐数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(*)n an b n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和公式.22.（本⼩题共18分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 在[1,3]上的最⼩值；（Ⅱ）若存在1[,e]ex ∈（e 为⾃然对数的底数，且e =2.71828 ）使不等式22()3f x x ax ≥-+-成⽴，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若)(x F 的导函数为)(x f ，试写出⼀个符合要求的)(x F （⽆需过程）.东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考试卷答题纸⾼三数学（理科）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉第Ⅰ卷1_______2_______3_______4_______5_______6_______7_______8_______9______10______11_______12______13. 14.15. 16学号17. 18. 19解：20. 解：21. 解：号学22. 解：东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考答案⾼三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法⾃⼰根据情况相应地给分）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉⼀.选择题1 A2 C3 A4 B5 D6 C7 C8 B9 B 10C 11D 12A⼆.填空题13. {x | x >1 } 14. 43-15. （1，2）16.①③（写对⼀个给2分，写错⼀个不得分）三．解答题19．解：（Ⅰ）因为11()2cos 2222--1sin(2)62x π=--，所以22T ππ==，故()f x 的最⼩正周期为π. …………………… 7分（Ⅱ）因为 02x π≤≤，所以52666x πππ--≤≤．所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最⼤值12. ………………14分20．解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在ABC ?中，sin 0C >，所以sin 4C =. ……………………………………………7分（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 28A C ==.因为ABC ?是锐⾓三⾓形，所以cos C =，cos A =.所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=A=，所以a =…………………………14分 21．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，⼜410a =，可得310a d =-，6102a d =+， 10106a d =+．由3a ，6a ，10a 成等⽐数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =．由0d ≠,可得1d =．14310317a a d =-=-?=，所以1(1)6n a a n d n =+-=+． …………………7分（Ⅱ）由2(*)n an b n =∈N ，6n a n =+，可得62n n b +=.所以1612128b +==．因为716222n n n n b b +++==，所以数列{}n b 是⾸项为128，公⽐为2的等⽐数列．所以{}n b 的前n 项和公式为7128(12)212812n n n S +-==--．………14分 22．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，当1(0,)ex ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当1(,)ex ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．所以函数)(x f 在[1,3]上单调递增．⼜(1)ln10f ==，所以函数()f x 在[1,3]上的最⼩值为0． …………………7分（Ⅱ）由题意知，22ln 3,x x x ax ≥-+-则32ln a x x x ≤++．若存在1[,e]ex ∈使不等式2只需a ⼩于或等于32ln x x x++的最⼤值．设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x+-'=+-=．当1[,1)x e∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当(1,e]x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增．由11()23e e e h =-+ +，3(e)2e e h =++，12()(e)2e 40e eh h -=-->，可得1()(e)eh h >．所以，当1[,e]e x ∈时，)(x h 的最⼤值为11()23e e eh =-++．故123e ea ≤-++． ………………14分（Ⅲ）4ln 2)(22x x x x F -=………………18分。

北京市2017届高三数学(理)综合练习32 Word版含答案

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北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}2|4A x x =∈<N ，{}2|230B x x x =∈--<R ，则A B =I （ ）、 A ．{}101-，，B ．{}01，C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x -<<2. 已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 3.一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A ．4B ．8C ．43D ．834.已知向量a b r r ，满足1a b a b ==+=r r r r，则向量a b r r ，夹角的余弦值为（ ） A ．12 B ．12- C 3 D ．35.已知数列{}n a 是等差数列，38a =，44a =，则前n 项和n S 中最大的是（ ）A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ．6S6.已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（ ）A 5B 5C 53D ．5或57.已知x y ，满足()2221x y x y y a x ⎧-⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．2a ≥C ．12a -<≤D ．1a <-或2a ≥8.已知函数：①()12f x x =，②()πsin2x f x =，③()1ln 12f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（ ）命题():1p f x +是偶函数； 命题():1q f x +在()01，上是增函数； 命题():r f x 恒过定点()11，； 命题11:22s f ⎛⎫> ⎪⎝⎭． A ．命题p 、q B ．命题q 、r C ．命题r 、sD ．命题s 、p第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中横线上． 9. 51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为 ．10.已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，则圆心C 的坐标是 ；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是 ．11.如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点，且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =，则PT 的长为 ．12.如图所示程序图运行的结果是 ．13.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30︒角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东15︒方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为 米．14.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对0x ∀≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()T f x =+成立，则称()f x 满足“性质P ”．已知函数()g x 满足“性质P”，且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x kx =-恰有9个零点，则k = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin cos 23sin 3444x x xf x =-+．⑴ 求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；⑵ 令π103f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()0πα∈，，求tan2α的值．16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且602DAB AB ∠=︒=，，E 为AD 的中点．⑴ 求证：AD PB ⊥；⑵ 求二面角A PD C --的余弦值；⑶ 在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17.（本小题满分13分）如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．⑴ 问A B C D ，，，型号的产品各抽取了多少件？⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型 号的产品的概率；⑶ 在50件样品中，从A C ，两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．18.（本小题满分13分）已知函数()()2121ln 12f x mx x x =-+++．⑴ 当32m =-时，求函数()f x 的极值点；⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m的范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ⎛⎫⎪⎝⎭，，且其右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合．⑴ 求椭圆1C 的方程；⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D ，两点．求AB CD的最大值．20.（本小题满分13分） 已知集合{}12320112012S =L ，，，，，，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，，若x y -都不能．．．整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”．⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；⑵ 求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值； ⑶ 设123m A A A A L ，，，，是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为()12i k i m =L ，，，，求证：()1!2012!2012!mi i i k k =⋅-∑≤数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题三、解答题15、（I ）()f x 的最大值为2，相应的x 取值集合为π|4π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（II ）24tan 27α=-．16、（I ）略；（II ）二面角A PD C --的余弦值为 （III ）在棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ．17、（I ）A 型号的产品10件，B 型号的产品20件，C 型号的产品5件，D 型号的产品15件；（II ）这两件产品恰好是不同类型的产品的概率为57；（III ）随机变量X 的分布列为18、（I ）()f x 的极大值点为13x =-；（II ）m 的取值范围为(]{},01-∞U ．19、（I ）椭圆的方程为22143x y +=；（II ）AB CD 的最大值为34．20、（I ）P 不是S 的“好子集”；Q 是S 的“好子集”； （II ）A 的最大值为671； （III ）略．提示：（II ）考虑1,2a b -≠，作S 的模3同余类，可构造{}1,4,7,,2011A =L 即可． （III ）12,,,m A A A L 是S 的“好子集”的条件多余，可直接改为“子集”；考虑2012个数的全排列即可．。