正项级数收敛性判别法的比较及其应用论文

本科毕业论文题目正项级数收敛性判别法的比较及其应用学生姓名__宋婕学号120050901008系别数学系年级2005 级专业数学与应用数学指导教师_ _赵利彬职称教授完成日期2009年2月15日正项级数收敛性判别法的比较及其应用宋婕摘要：级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Positive series convergence criterion of comparison and itsapplicationSong JieAbstract:Series of mathematical analysis theory is an important part of the positive series is a series of important theoretical component of the progression of convergence is the core issue of series theory, in order to resolve the positive series Summation of the problem must be resolved positive series convergence judge. Positive series convergence solution may be judged more, but still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency, especially some typical problems, using the typical method to a multiplier.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。

级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。

而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。

正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。

二、预备知识（一）正项级数收敛的充要条件部分和数列有界，即存在某正数M，对，有<M。

（二）几种不同的判别法1.比较判别法设和是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有，那么（1）若级数n ∑收敛，则级数n 也收敛； （2）若级数n 发散，则级数n 也发散；即n 和同时收敛或同时发散；。

比较判别法的极限形式 ： 设和n 是两个正项级数。

若li u ，则（1）当0<时，n 与n 同时收敛或同时发散； （2）当l =且级数n 收敛时，n 也收敛；（3）当且n发散时，n也发散。

2. 比式判别法比式判别法的极限形式： 若n 为正项级数，则3. 根式判别法根式判别法的极限形式： 设是正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当l >时，级数n 发散。

4. 积分判别法设()f x 为[1,上非负递减函数，那么正项级数∑与反常积分⎰同时收敛或同时发散。

5. 拉贝判别法设n是正项级数，且存在自然数N 及常数r ，拉贝判别法的极限形式：（1）当r >时，级数n 收敛；（2）当时，级数发散。

（3）当时，拉贝判别法无法判断 6. 阿贝尔判别法 若数列，，且为单调有界数列，级数收敛，则级数收敛。

7. 狄利克雷判别法若数列，，且数列单调递减，，又级数的部分和数列有界，则级数收敛。

8. 伯尔特昂（Bertrand ）判别法设n是正项级数，且，若，则（1）当B>1时，级数n 收敛； （2）当B<1时，级数发散。

9. 对数判别法10. 等价判别法三、判别方法的比较（一）当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。

如：P级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便。

（二）当级数表达式型如，为任意函数、级数一般项如含有等比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。

（三）当级数含有阶层、n次幂，型如a或或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比式判别法。

当通项含（-与u的函数可以选用比式判别法的极限形式进行判断，例：x级数收敛一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比式判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比式判别法更优。

例如：(0)b c<<比由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别法与比式判别法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。

因此，上题选用根式判别法比比式判别法更好。

在使用判别法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。

同时也存在只能使用根式判别法，使用比式判别法无法判断的情况。

例如：因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时，我们可以选用比式判别法或根式判别法。

（五）当级数表达式型如1，为含有的表达式或可以找到原函数，或级数为上非负单调递减函数，含有等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。

例：（六）当级数同时含有阶层与n 次幂，型如与时，或使用比式、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。

例：不能用比式判别法不能用根式判别法因此，当根式判别法与比式判别法无法判断敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。

（七）当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有si等三角函数、（等；或可化为（-1，如；也可以型如，u为任意函数，则可以选用狄利克雷判别法。

阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的特殊形式。

例：（八）当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。

例：（十一）当通项型如，其中为含的函数，可以选择伯尔特昂判别法。

如：四、应用举例例1分析：本题无法使用根式判别法与比式判别法，因此选择比较判别法进行判断所以级数收敛例2 ∞分析：本题无法使用根式判别法、比式判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断。

所以级数收敛 例3分析：本题分母含有的表达式，优先选择积分判别法例4分析：本题型如，为任意函数，则可以选用狄利克雷判别法。

因此，级数收敛 例5例6分析例7分析五、 总结与展望数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。

级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。

而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。

判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则发散，若不为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。

若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。

当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、根式判别法或拉贝判别法。

当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法、库默判别法或高斯判别法。

库默尔判别法可以推出比式判别法、拉贝尔判别法与伯尔特昂判别法。

当无法使用根式判别法时，通常可以选用比式判别法，当比式判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断。

由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种。

正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。

本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断。

正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径。

由于时间仓促，本文尚有许多不足之处，欢迎大家提出意见和建议，同时希望通过本文能加深学习者对正项级数的了解。

致谢本文是在导师赵利彬教授的指导下完成的，在此谨致谢意。

参考文献[1]陈欣.关于数项级数求和的几种特殊方法 [J] . 武汉工业学院学报，2002，4.[2]陈金梅.幂级数求和法例谈[J] . 石家庄职业技术学院报，2005，9.[3]夏学启. 贝努利数的简明表达法[J] . 芜湖职业技术学院学报，2006，2.[4]吴良森等编著.数学分析习题精解[M] . 北京：科学出版社，2002，2.[5]费定晖，周学圣编著.吉米多维奇数学分析习题集题解[M] . 济南：山东科学技术出版社，2005，1.[6]周应编著.数学分析习题及解答[M] . 武汉：武汉大学出版社，2001，8.[7]王晓敏，李晓奇编著.数学分析学习方法与解题指导[M] . 长春：东北大学出版社，2005，12.[8]B.A卓里奇编著，蒋锋等译. 数学分析[M] .北京：高等教育出版社，2006，12.[9]胡适耕，张显文编著.数学分析原理与方法 [M] .北京：科学出版社，2008，5.[10]陈纪修，于崇华，金路编著. 数学分析下册[M]. 北京：高等教育出版社，2000，4.附录其它判别法 一、库默尔判别法 设n 是正项级数，c 是使级数∑发散的正数列，设，若存在正整数N ，正数δ，（1） 对所有n>N ，成立不等式k ，则级数n 收敛；（2） 对所有n>N ，成立不等式，则级数n 发散。