第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式）（核心考点精讲精练）1. 4年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考1.正弦的和差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-2.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-4.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =5.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=6.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=7.半角公式(1)sin α2＝± 1－cos α2.(2)cos α2＝± 1＋cos α2.(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．8.和差化积与积化和差公式sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos 2cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=++=+--=2sin cos sin()sin()A B A B A B =++-2cos cos cos()cos()A B A B A B =++-2sin sin cos()cos()A B A B A B =--+9.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα10.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈【分析】由题得原式=sin15cos75cos15sin 75︒︒+︒︒，再利用和角的正弦公式化简计算.【详解】由题得原式=sin15cos 75cos15sin 75=sin(1575)sin 901︒︒+︒︒+== .故选C【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.【分析】由两角差的正切公式即可求解.【详解】解：tan(α－β)＝tan tan 1tan tan a αββ-+＝4334133-+⨯＝13，故选：C.【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=所以()tan 1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2πα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（（）（cos sin 44ππαβαβ+=+（（sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =0444πππαβαβαβαβαβ∴-+-+---（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即t an(）=-1,故选：C.【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin 12θθθ++=，则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin66ππθθ+=，即sin6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】()1sin 70sin10cos10cos 70cos 7010cos 602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=．故选：A.【分析】运用正切两角和公式变形求解即可.【详解】8748135︒+︒=︒，令87,48αβ=︒=︒，则()tan tan tan tan13511tan tan αβαβαβ++=︒==--，所以tan tan tan tan 1αβαβ+-=-，即tan 87tan 48tan 87tan 481︒+︒-︒︒=-.故选：A.【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于sin α的方程，解之即可求得sin α的值.【详解】2π1sin sin sin sin 32ααααα⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 2αα=，π1sin sin 32ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又2ππsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11sin sin 22αααα=-，则sin 0α=故选：A【分析】直接利用和角的正切公式求解.【详解】由题得11tan +12tan 3141tan 12πααα+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-.故答案为：3【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.【详解】因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβαβαβαβ++=+++=++-+π1tan (1tan tan )tan tan 24αβαβ=+-+=，故答案为：2【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos6π==故选：D.【答案】13【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】已知πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππ5sin 2cos 22sin 1249ααα⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为πsin 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以22ππ2cos 12sin 122243αα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 3α=-，所以2221cos212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭．22179cos42cos 2121981αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B ．【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=αα⎫=⎪⎪⎭sin θ=，cos θ=()αθ-=，∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.；45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin α=210sin 90αα-+=，解得sin α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.；45.【答案】35-13【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos 2θ，根据两角差正切公式得tan()4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++，tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31, 53 -【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为2cos12sin2αα=-=，而α为锐角，解得：sin2α===故选：D．【分析】根据同角三角函数关系求得cosθ，再根据半角公式即可求得结果.【详解】因为37πsin,3π52θθ=-<<，故可得4cos5θ==-，又23sin sin cos sin5222tan3121coscos cos225θθθθθθθθ-=====-+.【分析】根据诱导公式求出cosθ，再利用平方关系可求sinθ，然后利用公式1cos sintan2sin1cosθθθθθ-==+即可求解.【详解】解：因为1cos()3πθ+=，所以1cos 3θ=-，又θ是第二象限角，所以sin θ=所以1cos tan 2sin θθθ-=故选：B ．【分析】将表达式1tan21tan 2αα+-中的正切化成正余弦，由4cos 5α=-，求出3sin 5α=-，代入即可求解．【详解】由4cos 5=-α且α是第三象限的角，可得3sin 5α==-，又由311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，即1tan221tan 2αα-=-+.故选：C.A ．sin tan 21cos θθθ=-C ．1cos tan2sin θθθ-=【分析】根据直角三角形中的定义写出sin ,cos θθ，用θ表示出BCH ∠，然后分析可得．【详解】由已知COB θ∠=，则π22CBO θ∠=-，2BCH θ∠=，又tan2BH CH θ=，sin CH OC θ=，cos OHOCθ=，BH OH OB OC +==，因此11cos tan sin OH BH OC CH CH OCθθθ--===，故选：C ．【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin()3f x x =-，代入自变量π12x =，计算即可.【详解】∵π()03f A ==，∴1A =∴()sin 2sin(f x x x x ==ππππ(2sin(2sin 121234f =-=-=故答案为：1，【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sincos 333334xx x x x f x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==故选：C ．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.【分析】法一：令x y k -=，利用判别式法即可；法二：通过整理得()()22219x y -+-=，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x y k =，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+故x y - 的最大值是1，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值1+，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离3d =≤，解得11k -≤≤+故选：C.【答案】π6-（答案不唯一）.【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数ϕ的一个取值即可.【详解】()sin cos()f x x x ϕ=++可化为()sin cos cos sin sin f x x x x ϕϕ=+-，所以()()sin 1sin cos cos f x x x ϕϕ=-+，设a ==则1sin cos ()sin cos f x a xx a a ϕϕ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设1sin cos cos ,sin a aϕϕθθ-==，则()()sin f x a x θ=+，因为函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为所以=1sin 2ϕ=-，所以π2π6k ϕ=-或5ππ26k ϕ=-，其中Z k ∈，故答案为：π6-（答案不唯一）.32【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出()f x 的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值.【详解】(1sin )(1cos )1sin cos sin cos ()f x x x x x x x ++=+++=，2(sin cos )11sin cos 2x x x x +-=+++,令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以πsin 4x ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦,所以(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,所以(211(),22g t t t t =++∈,对称轴011t =-<,所以211()22g t t t =++在(单调递增,所以当0t =max 3()2g t g ==,即当πsin 14x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π4x =时，()(1sin )(1cos )f x x x =++32.故答案为:32.【答案】12/0.5【分析】利用辅助角公式得πsin 13x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可求出π2π,6x k k =+∈Z 即可求解cos 2x .【详解】因为πsin 2sin 23x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以ππ2π,32x k +=+ 即π2π,6x k k =+∈Z ，所以π24π,3x k k =+∈Z ，所以ππ1cos 2cos 4πcos 332x k ⎛⎫=+==⎪⎝⎭故答案为:12.【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A 选项，cos82sin 52sin 82cos128︒︒︒+︒()cos82sin 52sin 82co 18052s =︒︒︒︒-+︒cos82sin 52si 5s 2n 82co -=︒︒︒︒()sin 528i 0221s n 3=︒︒=-︒=--，所以A 选项正确.B 选项，sin15sin 30sin 75︒︒︒()1111sin15sin 9015sin15cos15sin 302248=︒︒-︒=︒︒=︒=，B 选项正确.C 选项，22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=C 选项正确.D 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒D 选项错误.故选：D【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到224sin sin cos cos 22αβαβ=，再由余弦的倍角公式，得到22224sin sin (12sin )(12sin )2222αβαβ=--，令22sin ,sin 22x y αβ==，求得12x y +=，结合2cos cos 12sin 12sin 2ααβ+=-+-，即可求解.【详解】解：由tan tan tan tan122αβαβ⋅⋅⋅=，可得sin sin sinsincos cos coscos2222αβαβαβαβ=，又由正弦的倍角公式，可得224sin cossin coscos cos cos cos222222ααββαβαβ=，即22224sinsin cos cos (12sin 2sin )2222αβαβαβ==--，令22sin,sin 22x y αβ==，则4(12)(12)1224xy x y x y xy =--=--+，解得12x y +=，所以22cos cos 12sin12sin 22()122x y αβαβ+=-+-=-+=.故选：C.【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.【详解】αQ 为第二象限角，π3π4sin ;cos 4545αα⎛⎫⎛⎫+=∴+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式)11πsin cos sin cos 224ααααααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.πππ424αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.【分析】利用两角和的正弦公式化简得到sin αα=，利用辅助角公式得到πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出α，从而得解.【详解】因为πππ1sin sin cos cos sin sin 3332ααααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2π2π2π1sin sin cos cos sin sin 3332ααααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，又π2πsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin αα+=，所以1sin 2αα=，即πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为α为锐角，所以ππ5π336α<+<，所以π2π33α+=，所以π3α=，即tan α=.【分析】首先求出cos37︒()()4sin53sin cos53 cos53sin sin534545545︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-利用两角差的正、余弦公式展开，最后利用诱导公式变形，代入计算可得.【详解】因为3sin375︒≈，所以4cos375︒=≈，=()()sin53sin cos53cos53sin sin4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-sin5353sin cos53cos5353sin sincos45cos sin4545cos45sin sin453455︒︒-︒︒︒︒︒︒+︒︒︒︒+=-cos45cossin53cos5345︒︒︒︒=()()4sin9037cos37453cos9037sin3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选：B【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.【详解】因为()tan()tantan=tan1tan()tanαββααββαββ+-+-=++⋅，又因为costan1sinαβα=-，()1sintancosααβα++=，所以(1sin)(1sin)cos cos1sin coscos(1sin)cos1sintan1sin cos cos(1sin)cos(1sin)1cos1sin cos(1sin)ααααααααααααααααααααα+⋅--⋅+---==+⋅-+⋅++⋅--，所以22(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos tan cos (1sin )cos (1sin )2cos αααααααααααα+⋅--⋅--==⋅-+⋅+因为22sin cos 1αα+=，所以tan 0α=，所以π,Z k k α=∈，所以当k 为奇数时，cos 1α=-，sin 0α=，当k 为偶数时，cos 1α=，sin 0α=，因为cos tan 1sin αβα=-，所以tan 1β=±，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4β=.故选：C.【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin 34sin cos tan tan 4cos 55αβααβββ+==+=-=g ，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan 7144αβαβαβ--++===-⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【答案】14-/0.25-【分析】根据二倍角公式化简()1sin 24f x x =-，即可求解最值.【详解】因为33()sincos sin cos 2222x x x x f x =-22sin cos sin cos 2222x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x -1sin 24x =-，所以当π22π,Z 2x k k =+∈时，sin 21x =，此时()f x 的最小值为14-.故答案为：14-【基础过关】【分析】先用两角差的正切公式可求出tan α的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以5tan 3α=，故πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故选：C ．【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2π2ππcos 2cos 2cos 2333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22π312sin 1235α⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：C【答案】D【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.【详解】由()sin 2sin sin αβαβ+=得sin cos cos sin 11sin cos cos sin 2sin sin 22sin sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβ++=⇒=⇒+=，进而可得tan tan 32tan tan tan tan 2αβαβαβ+=⇒=，所以()tan tan 3tan 631tan tan 12αβαβαβ++===---=，故选：D【分析】利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】因为直线210x y -+=的倾斜角为α，所以tan 2α=.所以222222222cos2cos sin 1tan 12311sin cos 2sin 12tan 12293αααααααα---====-=-++++⨯.故选：B.【分析】首先求出sin2α，即可得到2sin cos αα，再根据sin cos αα+=.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πα∈，sin 0α>，cos 0α>，又7cos29α=，所以sin2α==，即2sin cos αα=所以sin cos αα+====故选：C【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简求解即可.【详解】由题意得，()22sin cos 1sin 2sin cos 0ααβαβ++=，因为3ππ2α<<，所以sin 0α≠，所以()cos 1sin sin cos 0αβαβ++=，即()cos sin 0ααβ++=，所以()sin cos αβα+=-.故选：B.【详解】因为cos sin sin2cos sin 1cos2ααβααβ-=+-，所以2cos sin 2sin cos cos sin 112sin ααββααβ-=+-+，所以cos sin cos cos sin sin ααβααβ-=+，所以1tan 11tan tan ααβ-=+，即tan tan tan 1tan βαβα-=+，即1tan tan tan tan αβαβ--=-，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ--==-+.故选：C【分析】先根据二倍角公式化简条件得：()cos sin 0ααβ++=，再根据角的范围及诱导公式得()7πsin cos sin 2αβαα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可得7π2αβα+=-，化简求值即可.【详解】由()()sin21sin 1cos2cos 0αβαβ++-=，得()2sin21sin 2sin cos 0αβαβ++=，①化简①式，得()22sin cos 1sin 2sin cos 0ααβαβ++=，又3ππ2α<<，所以()cos 1sin sin cos 0αβαβ++=，即()cos sin 0ααβ++=，因为3π5π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，7π5π3π5π2π,,2222α⎛⎫⎛⎫-∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()7πsin cos sin 2αβαα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，且sin y x =在3π5π,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以7π2αβα+=-，所以7π22αβ+=，则7π24βα+=，所以tan 12βα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故选：B ．【答案】45-/-0.8【分析】根据正切的差角公式得出tan α，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由πtan 1tan 2tan 341tan αααα-⎛⎫-==⇒=- ⎪+⎝⎭，又222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα---==++，代入tan 3α=-得24sin 22cos 5αα-=-.故答案为：45-【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出2πsin(2)3α+，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.【详解】因为πtan()23α+=-，则222πππ2sin()cos()2tan()2ππ4333sin(2)sin 2()πππ335sin ()cos ()tan ()1333αααααααα++++=+===-+++++，则π2π4cos(2sin(2635αα+=+=-，即2π42cos ()1125α+-=-，解得πcos()12α+=所以πcos()12α+的值为故答案为：【能力提升】【分析】根据积化和差公式可得()sin 3cos 2sin 2cos ααβ-=，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.【详解】由()sin cos sin βαβα=+得()()1sin sin sin 122βαβααβα+--⎡⎤⎦=⎣++⎡⎤⎦⎣，进而()1sin sin 2sin 212βαββ=+-，则()3sin sin 2sin 2cos cos 2sin βαβαβαβ=+=+所以()sin 3cos 2sin 2cos βααβ-=，则22222sin 22sin cos sin cos tan 1tan 3cos 24sin 2cos 2sin cos 2tan 13ααααααβαααααα=====-+++.故选：A.【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.【详解】πππππcos cos[()]sin()2cos 32666αααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πtan()26α∴+=，222πππ2sin()cos()2tan()πππ4666sin 22sin()cos(πππ3665sin ()cos ()tan ()1666ααααααααα+++⎛⎫+=++=== ⎪⎝⎭+++++.故选：D【分析】利用辅助角公式化简a ，正切二倍角公式和放缩放化简b ，余弦二倍角公式化简c ，然后根据正弦函数的单调性比较可得.【详解】()1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin 306sin 242a=︒︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒，22tan13sin 26sin 26tan 26sin 261tan 13cos 261b ︒︒︒==︒=>=︒-︒︒，sin 25c =︒，当090x ︒<<︒，sin y x =单调递增，所以sin 26sin 25sin 24︒>︒>︒，所以a c b <<.故选：C【分析】先根据1111tan 1tan αα-=-+求出tan α，再利用二倍角得正切公式求出πtan 8，再根据两角和得正切公式即可得解.【详解】由1111tan 1tan αα-=-+，得()21tan 1tan 1tan ααα+--=-，即2tan 2tan 10αα+-=，解得tan 1α=-±，又α为锐角，所以tan 1α=-+，又2π2tanππ8tan tan 21π481tan 8⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭-，即2ππtan 2tan 1088+-=，解得πtan 18=-+πtan 18=-，所以π8α=，所以ππtan tan 184α⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：D.【分析】利用二倍角和两角差的余弦公式，再结合角的范围，即可求解.【详解】依题意可知，22ππcos 2cos 2cos 155αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2π2πcos 2cos cos 55αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2π2π2πcos cos sin sin 2cos cos 555ααα+=，得2πcos 05α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎝⎭2π2π9π,5510α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ52α+=，即π10α=.故选：D6．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a<<【答案】A【分析】利用导数证明不等式当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，进而得sin 0.10.1tan 0.1<<，再讨论,a b c b 与1的关系即可判断.【详解】解：令()sin f x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以，函数()sin f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()sin 00f x x x f =-<=，即sin x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；令()tan g x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()22222222cos sin 1cos 1sin 110cos cos cos cos g x x x x xx x x x '+--=-=-==<，所以，函数()tan g x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 00g x x x g =-<=，即tan x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x所以，sin 0.10.1tan 0.1<<，因为sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，所以0,0,0a b c >>>所以，sin0.22sin 0.1cos 0.110sin 0.1100.110.2cos0.10.2cos 0.1a b ===<⨯=，即a b <2sin 0.110tan 0.1100.110.2cos 0.1c b ==>⨯=，即c b >所以，a b c <<故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，结合二倍角公式，比较,a b c b 与1的关系判断.【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b 与c ，a 与b ，利用中间值比较即可.【详解】记1()e ,(01)1xf x x x =-<<-，则22(1)e 1()(1)x x f x x '--=-，记2()(1)e 1x g x x =--，则2()(1)e x g x x '=-，又01x <<，所以2()(1)e 0x g x x '=-<，所以2()(1)e 1x g x x =--在(0,1)上单调递减，所以20()(0)(10)e 10g x g <=--=，则22(1)e 1()0(1)x x f x x --=<-'，所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以0()(0)e 10f x f <=-=，故01x <<时，1e 01xx-<-，所以1515e 1415<=-，所以151e 14c =-<，又sin40sin80sin(6020)sin(6020)312055104b ︒+︒︒-︒+︒+︒===︒>︒=>，所以14c b <<，记2(1)()ln ,(1)1x h x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x h x x x -'=>+，所以2(1)()ln 1x h x x x -=-+在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0h x h <=，即1x >时，2(1)ln 1x x x ->+，所以32(1)322ln 32512->=+，所以32ln2025a b =>>>︒=，所以c b a <<.故选：D【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.【分析】由tan α，tan β的符号即可判断A ；由正弦函数的单调性可判断B ；由正、余弦的降幂公式化二次为一次，结合三角函数值的符号可判断C ；用两角和的正切公式的变形可判断D.【详解】因为α，β为锐角，所以tan 0α>，tan 0β>，若tan α，tan β是方程2340x x --=的两根，由韦达定理得tan tan 40αβ⋅=-<，故A 错误；因为α，β为锐角且αβ>，函数sin y x =在π[0,2上单调递增，故B 正确；因为α，β为锐角，所以cos 0α>，cos 0β>，故221cos 1cos cossin (cos cos 02222βαβααβ+--=-=+>，C 错误；因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，所以tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅，又παβγ++=，所以tan()tan(π)tan αβγγ+=-=-，所以tan tan tan tan()(1tan tan )tan αβγαβαβγ++=+-⋅+tan (1tan tan )tan γαβγ=--⋅+tan tan tan αβγ=⋅⋅，故D 正确.故选：BD.【答案】π2（答案不唯一）【分析】根据题意，由三角恒等变换公式进行化简，然后由函数的最小值为2-，列出方程，即可得到结果.【详解】因为()()sin cos sin cos cos sin cos f x x x x x x ϕϕϕ=++=++()()cos sin 1sin cos x x x ϕϕθ=+++其中，1sin tan cos ϕθϕ+=2=，即22cos 1sin 2sin 4ϕϕϕ+++=22sin 4ϕ+=，所以sin 1ϕ=，则π2π2k ϕ=+，k ∈Z .当0k =时，π2ϕ=，即ϕ的一个取值为π2.故答案为：π2.【答案】45-/0.8-【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.【详解】根据三角函数的定义可知sin α==，cos α===，由二倍角公式得4sin 22sin cos 5ααα==-.故答案为：45-.【真题感知】【分析】根据积化和差及诱导公式即得.【详解】()()11sin 20cos 70sin10sin 50sin 90sin 50cos 60cos 4022︒︒+︒︒=︒+-︒-︒+-︒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦1111sin 50cos 402242=-︒-+︒111cos 40cos 40422=-︒+︒14=.故选：A.【分析】根据二倍角的正弦公式化简计算即可.【详解】解：sin15cos30sin 75sin15cos30cos15︒︒︒=︒︒︒11sin 30cos30sin 6024=︒︒=︒=.故选：B.【分析】首先利用诱导公式以及二倍角公式将24sin 225α=化简得到249cos ()450πα-=，再进一步变形即可求解.【详解】224sin 2cos 22cos ()14425ππααα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭ ，则249cos ()450πα-=解得cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，745πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭.故选：D【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解.【详解】解：()442222sin cos sin cos 2sin cos y x x x x x x=+=+-()2112sin cos 2x x =-21sin 212x =-+11cos 4131cos 42244x x -=-⋅+=+，因为函数的最小正周期2ππ42T ==.故选：B.【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为()sin y A x ωϕ=+的形式，再由2πT ω=可得到答案．【详解】πππ4sin 33cos 35sin 3444y x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (其中3tan 4ϕ=)，2π3T ∴=．故选：C ．【分析】利用二倍角公式判断π(0,2α∈，即可得到sin cos 0αα+>，再由()2sin cos 12sin cos αααα+=+计算可得.【详解】解：由2sin 22sin cos 03ααα==>，又(0,)απ∈，所以π(0,2α∈，所以sin cos 0αα+>，又()25sin cos 12sin cos 3αααα+=+=，所以sin co s αα+=sin cos αα+=，所以sin co s αα+=故选：A ．【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810k k ++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<，即APB ∠为钝角，所以()sin sin πsin APB APB =-∠=∠=α法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r ，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，==，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以sin α==；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =，若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得1k =所以tan α，即sin cos αα=cos =α，则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0α>，解得sin α故选：B.二、多选题8．（2021·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（ ）【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP u u ur ，2AP u u u r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α==== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+ ，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【分析】化简1sin 22y x =即得解.【详解】解：由题得1sin 22y x =，所以函数的最小正周期为2ππ2=.故答案为：π【分析】由辅助角公式即可求解.【详解】1sin cos ))2y x x x x ϕϕ=-=+=+,其中πsin ,02ϕϕϕ⎛⎫==∈- ⎪⎝⎭.而1sin()1x ϕ-≤+≤，所以1sin cos 2y x x =-.。
