对转动惯量平行轴定理的证明

转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究摘要：采用三线摆，双线摆，扭摆，测量不同刚性物体的转动惯量，并进一步验证平行轴定理，同时应用扭摆的特性测量切边模量。

关键字：转动惯量；平行轴定理；切变模量转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量分布和转轴位置有关。

根据物体的规则与否，转动惯量的获得分为理论公式法与实验法。

对于规则物体，测量其尺寸和质量，即可通过理论公式计算获得；对于不规则、质量分布不均匀的物体则要通过实验测定。

一． 实验原理（一） 双线摆本实验中，认为双线摆是纯转动的理想模型。

这样，双线摆摆锤的运动可分解为：水平面上的转动以及竖直方向上的振动。

设均匀细杆质量、长为l、绕通过质心竖直轴转动的惯量为；两相同圆柱体的质量之和为2m 1,之间距离为2c ；双绳之间距离为d ，绳长L 。

由右图几何关系分析，当很小时，，得81)2cos -L(1=h 2θθL =（1）由上式可得系统的势能为20018p E m gh m gL θ== （2）杆的转动动能为20)(21dtd I E k θ=（3）由能量守恒得22000011() 28d I m gL m gh dt θθ+= （4）用（4）关于时间求导，并除以，得202004m gL d dt I θθ+= （5）解上面的简谐振动方程，得杆的转动惯量：2020016T gL m I π=（6）测量物体的转动惯量：202()16x m m gL I T π+=(7)待测物体的转动惯量为：22200000222()()161616x x x m m gL m m gL m gL I T I T T πππ++=-=- (8)（二） 三线摆和扭摆① 三线摆左图是三线摆示意图。

上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。

三根对称分布的等长悬线将两圆盘相连。

拨动转动杆使圆盘进行小角度转动，当转动角很小时，忽律空气阻力，以及悬线扭力的影响，由刚体转动定理，得圆盘的转动惯量为(9)式中，m 0为下圆盘的质量；r 和R 分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H 0为平衡时上下圆盘间的垂直距离；T 0为下圆盘的摆动周期，g 为重力加速度。

容易得 到
（） ７
动惯 量． 问题 就在 于其 没能深 刻 把握 平行 轴定 理 的使 用条件 ． 平行 轴定理 的二 轴其 中之一 为质 心
轴， 而解法 一 中轴 Ｄ并 不是 杆 Ａ Ｄ的质 心轴 ， ｃ 轴
也不 是杆 Ｂ Ｃ的质 心轴 ， 因此并 不 符 合 平行 轴 定 理 的使用条 件． 管 也 得 到 了同样 的最 终 结 果 ， 尽
对 于密度 均匀形 状 规则 物体 的转 动 惯 量 ， 以用 可
积分法 求 出． 另外 ， 体 对 定 轴 的转 动 惯 量 还 可 刚 以运用 平行 轴定 理 和垂 直轴 定理 求解 ． 刚体平 行 轴定 理 表 述 如 下 ． 二 轴 平 行 ， 若 其 中一轴 过质 心 ， 刚体 对二 轴 的转 动 惯 量有 下 列 则
．
１ 正 方 形 框 架 转 动 惯 量 的 ３种 解 法
文 献 ［ ］ ２ ７页 中习题 ７ ５ ２以及 习题 ７ １第 ５ ．． ．
５ ３的求解 过程 中关 键 的一 步就是 确 定正 方形 框 ．
（） ２
根 据平 行轴 定理 有 ：
架对 定轴 的转 动 惯 量 ， 以 归结 为 如下 的模 型 ： 可
［ 收稿 日期 ］０ ０一ｌ 一１ ２１ 】 ７
，＾ ＝ ｏ ＋ （ ）， ０Ｄ Ｉ㈣ ｍ ÷ｚ （） （ ， ＝Ｉ ＋ （ ｚ ０ （ ｃ ｍ÷） （ ，
，（ ）＝Ｉ（ ＋ｍ ＤＢ Ａ Ｅ ㈣ 又 由于
（） ３ （） ４
（） ５
Ｉ Ｉ（ ）＋Ｉ（ ）＋，（ ）＋，（ ） （ ） ｏ ｏＤ Ａ ｏ日 ｃ ｏ口 ＾ Ｄ Ｄ ． ６ ｃ
２ １ 年 ２月 ０１
重 庆 文 理 学 院 学 报 （自然 科 学 版 ）

5.4 转动惯量的计算
dm
mr
转轴
分散系统
J
mi
ri
2
连续体
J r2 d m m
J 由质量对轴的分布决定，与转动状态无关。
一. 常见刚体的转动惯量的计算
1、细圆环
z
R C
m
dm
JC mR2
J r2dm m
2、均匀圆盘
z
JC

1 2
mR2
dm
C Rm
r dr
JC

R
R
r 2dm 2rdr
m
0
0
R 2
r2
1 mR2 2
3、均匀细杆 m l
zA
dr
对A轴的转动惯量
A
r dm
JA

1 3
m l2
J A

l 0
r 2dm

l 0
r2
m l
dr

1 ml2 3
AC
m 对过质心C轴的转动惯量l Nhomakorabeal
2
2
zC
JC

1 ml2 12
二、计算转动惯量的几条规律
J Jc md 2
平行轴定理应用
z
zc
求相对于求外任 一轴的转动惯量
JC

2 mR2 5
3、对薄平板刚体的正交轴定理
z
薄板刚体
xi O x
ri
yi
Oxyz 在刚体平面内
y
mi (xi, yi, zi )
J z miri2 mi xi2 mi yi2
Jx mi zi2 mi yi2 J y mi zi2 mi xi2

I0 K
再测定载物盘加塑料圆柱转动的周期 T1,有
7
3·实验安装装置时应该注意哪些方面？ 答：（1）·由于弹簧的扭转常数 K 值不是固定常数，它与摆动角度略有关系，实
验中摆角在 90 左右为宜。 （2）. 光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处，挡光杆不能和它相接触，以免 增大摩擦力矩。 （3）．为提高测量精度，应先让扭摆自由摆动，然后按“执行”键进行计时。 （4） . 在安装待测物体时， 其支架必须全部套入扭摆主轴， 并将止动螺丝旋紧， 否则扭摆不能正常工作。
3
五·实验数据与处理: 注：此处时间均为物体十个转动周期的时间,单位（s)。 T1 金属载物盘 塑料圆柱（小） 塑料圆柱（大） 金属圆筒 塑料球 金属细杆 滑块置于 5cm 滑 块 置 于 10 cm 滑 块 置 于 15 cm 滑 块 置 于 20 cm 滑 块 置 于 25 cm 5.812 5.808 5.809
三实验仪器： 1.扭摆及几种待测转动惯量的物体；
2. 转动惯量测量仪；
2
3. 游标卡尺，电子天平。
四·实验内容和步骤：
1．测出塑料圆柱体的直径、塑料球的直径、金属圆筒的内、外直径、金属细杆长度 及各物体的质量（各测量三次，收集数据）。 2．调整扭摆基座底角螺丝，使水准仪中的气泡居中。 3．测定扭摆的扭转常数 K （1）装上金属载物盘，并调整光电探头的位置，使载物盘上的挡光杆处于其缺口 中央且能遮住发射、接收红外光线的小孔。测定其摆动周期 T0。 （2）将塑料圆柱体垂直放在载物盘上，测定摆动周期 T1。 （3）计算扭摆的扭转常数 K。 4．分别测定金属圆筒、塑料球和金属细杆及砝码处于不同位置时的转动惯量。 （1）用金属圆筒代替塑料圆柱体，测定其摆动周期 T2 （2）取下载物金属盘，装上塑料球，测定其摆动周期 T3（在计算塑料球的转动惯 量时，应扣除夹具的转动惯量 I 支座）。 （3）取下塑料球，装上金属细杆（金属细杆中心必须与转轴重合），测定其摆动周 期 T4（在计算转动惯量时，应扣除夹具的转动惯量 I 夹具）。 （4）根据上述测定的摆动周期，分别计算出各待测物的转动惯量的实验值，并与理 论值比较，计算二者的百分误差。