3.1刚体的转动定律解析
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第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的物理规律的公式。
在刚体绕定轴转动时，其角加速度与作用力矩成正比，与转动惯量成反比。
具体公式为：
M = Iα
其中，M表示作用力矩，I表示转动惯量，α表示角加速度。
这个公式的意义在于，当一个刚体绕定轴转动时，其转动惯量越大，需要的作用力矩也就越大，才能使其达到相同的角加速度。
反之，转动惯量越小，需要的作用力矩也就越小。
这个公式在实际应用中非常重要。
例如，在机械工程中，我们需要设计各种机械零件的转动部件，这时就需要考虑转动惯量的大小，以及所需的作用力矩大小。
只有在合理地设计转动部件的转动惯量和作用力矩，才能保证机械零件的正常运转。
刚体的定轴转动定律公式还可以用来解决一些物理问题。
例如，当我们需要计算一个刚体绕定轴转动的角加速度时，可以通过测量作用力矩和转动惯量，然后代入公式中进行计算。
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的重要公式，它在机械工程和物理学等领域都有着广泛的应用。
刚体的定轴转动
J
1 2 m( R12 R2 ) 2
1 mR 2 2 若R1 R2 R, J mR 2
16
例：求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。 m 解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： l L 1 3 2 2 dm A B J A x dm x dx L o 0 3 x
2 0
2
0
dm MR
2
绕圆环质心轴的转动惯量为
M
o
R
பைடு நூலகம்dm
J MR
2
讨论：若圆环绕其直径轴转动，再求此圆环的转动 惯量。
14
例: 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
m 解： σ πR 2
dm σ 2π rdr
dJ r dm 2πσ r dr
5
匀变速圆周运动的基本公式
p
1 2 0 0t t 2
0 t
s
R
o
p
x
2 2 0 2 ( 0 )
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 s R 路程与角位移之间的关系：
v R 线速度与角速度的关系：
加速度与角量的关系： 2 dv d v at R R , an 2 R, dt dt R
1
柱壳形状的质元 ,其长为l半径为r厚度为dr, 则该质元的质量为 dm dV ( 2 rdr )l
R2
R2
l
J r dm 2lr dr
2 3 m R1
l
2
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
3.1刚体的转动定律
角坐标为标量。但可有正负。
2.角位移 (angular displacement) 描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移 3.角速度 (angular velocity) 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。 d lim 角速度 t 0 t dt
M ij 0
j
rj
m j
Fej
M
j
ej
( m r )
2 j j
Fij
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以 M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
定义转动惯量 转动定律
2
2
该点的切向加速度和法向加速度(线量)
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 (4 π) m s 31.6 m s
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速 度 0 0 ，经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内， 转子转过多少转？ d ct ，积分 解 由题意，令 ct，即
R
y
v2
p
P
v1
x
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
刚体上任一质元的速度表示为： v r , v r 3.角加速度 (angular acceleration) d lim t 0 t dt
2.角位移 (angular displacement) 描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移 3.角速度 (angular velocity) 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。 d lim 角速度 t 0 t dt
M ij 0
j
rj
m j
Fej
M
j
ej
( m r )
2 j j
Fij
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以 M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
定义转动惯量 转动定律
2
2
该点的切向加速度和法向加速度(线量)
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 (4 π) m s 31.6 m s
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速 度 0 0 ，经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内， 转子转过多少转？ d ct ，积分 解 由题意，令 ct，即
R
y
v2
p
P
v1
x
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
刚体上任一质元的速度表示为： v r , v r 3.角加速度 (angular acceleration) d lim t 0 t dt
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
3-1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5π
π 6
6)rad
s1
4π
rad
s1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4π m s2 2.5 m s2
该点的切向加速度和法向加速度
at
r
0.2 (
π)m s2 6
0.105
m s2
an r 2 0.2 (4π)m s2 31.6 m s2
3 – 1 刚体及其运动规律
二 刚体的定轴转动定律
1）单个质点 m与转轴
刚性连接
Ft mat mr
M Z rF sin rFt mr 2
M Z mr 2
质量2元）受刚外体力Fi e
x，内力
Fi in
M
物体 B上。滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间 的摩擦力可略去不计。问：
A mA
C
mC
（1） 两物体的线加 速度为多少？水平和 竖直两段绳索的张力 各为多少？
mB B
（2） 物体 B 从静止
落下距离 y 时，其
速率是多少？
刚体平动 质点运动
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
+ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
2 刚体定轴转动的描述——四个角量
刚体定轴转动定律公式
刚体定轴转动定律公式刚体定轴转动定律是描述刚体绕定轴做转动运动的数学公式。
本文将详细介绍刚体定轴转动定律的公式及相关参考内容。
1.刚体定轴转动定律公式1.1角位移公式刚体绕定轴做转动运动时，它的每一个质点都有一个角位移，角位移是一个标量，用Δθ表示。
角位移与刚体绕定轴转动的弧长有关，它们之间的关系可以用以下公式表示：Δθ = Δl / r其中，Δl表示弧长的长度，r表示刚体绕定轴的半径。
1.2角速度公式角速度是描述刚体绕定轴的旋转速度的物理量，用ω表示，角速度是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
角速度与角位移之间的关系可以用以下公式表示：ω = Δθ / Δt其中，Δt表示时间间隔。
1.3角加速度公式角加速度是描述刚体绕定轴转动加速度的物理量，用α表示，角加速度是一个矢量，它的方向也垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
角加速度与角速度之间的关系可以用以下公式表示：α = Δω / Δt其中，Δt表示时间间隔。
1.4力矩公式力矩是描述外力对刚体绕定轴转动影响的物理量，用M表示，力矩是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
力矩与角加速度之间的关系可以用以下公式表示：M = I α其中，I表示刚体绕定轴的转动惯量，α表示角加速度。
2.参考内容2.1转动惯量的定义转动惯量是描述刚体绕定轴转动惯性的物理量，用I表示，它反映了刚体对于绕定轴转动的惯性大小。
转动惯量的计算方法取决于刚体的形状和密度分布。
常见的刚体的转动惯量计算公式：(1)矩形薄板绕转轴的转动惯量Izz = 1/12m(a²+b²)其中，m表示薄板的质量，a和b表示薄板的长和宽。
(2)圆环绕轴的转动惯量Izz = mr²其中，m表示圆环的质量，r表示圆环的半径。
2.2角动量的定义角动量是描述刚体绕定轴转动动量的物理量，用L表示，它反映了刚体绕定轴转动的惯性大小和角速度大小。
质点系动力学：刚体运动规律及转动动能定理
质点系动力学在物理学中，质点系动力学是研究物体间相互作用的力以及物体运动轨迹的学科。
本文将讨论质点系动力学中的一个重要概念：刚体运动规律及转动动能定理。
刚体运动规律刚体是一个比较理想化的物理模型，假设物体的形状和大小在运动过程中保持不变。
根据刚体运动规律，刚体在外力作用下会发生运动，根据牛顿第二定律，刚体的运动状态取决于作用在刚体上的合力。
刚体的运动可分为平动和旋转两种类型。
在平动运动中，刚体整体沿直线或曲线运动；而在旋转运动中，刚体绕固定轴线旋转。
根据刚体运动规律，刚体的运动轨迹可以用运动学方程描述，运动方程中包含了速度、加速度等因素。
转动动能定理转动动能定理是描述刚体绕固定轴线旋转动能变化的重要定理。
根据转动动能定理，刚体旋转过程中的动能变化等于作用在刚体上的转动力做功的总和。
假设有一个质量为m、半径为r的刚体，绕垂直轴线（转动惯量为I）旋转。
根据转动动能定理，刚体的转动动能变化ΔK等于转动力做的功W。
转动动能的变化由以下公式给出：ΔK = W = τθ其中，τ为转动力矩，θ为转动角度。
转动角度与角速度的关系为θ = ωt，因此转动动能变化ΔK还可以表示为ΔK = τωt。
结论通过以上讨论，我们了解了质点系动力学中的刚体运动规律以及转动动能定理。
刚体运动规律可以帮助我们理解物体在运动过程中的轨迹和状态变化，而转动动能定理则为解释物体旋转运动提供了重要定量关系。
深入研究质点系动力学中的这些概念，有助于我们更好地理解物体的运动规律和相互作用过程。
在质点系动力学的研究中，刚体运动规律及转动动能定理是重要的基础知识，对于进一步探索物体间相互作用和运动规律具有重要意义。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解质点系动力学中的这一部分内容，激发对物理学的兴趣和探索。
简述刚体转动定律
简述刚体转动定律刚体转动定律是描述刚体绕定轴转动的物理定律。
在刚体转动过程中，有三个关键定律对于描述和解释刚体的转动运动非常重要，它们是转动惯量定理、角动量定理以及角动量守恒定律。
1.转动惯量定理：转动惯量（或称为转动惯性）是描述刚体绕轴旋转惯性的物理量，用字母I表示。
它与物体的质量分布和轴线的位置有关。
转动惯量定理指出，刚体绕一个固定轴的转动惯量等于质量分布关于轴线的积分：I = ∫r^2 dm其中，r是质量元素dm到轴线的距离。
对于均匀杆的转动惯量，可以使用以下公式计算：I = 1/12 * mL^2其中，m为杆的质量，L为杆的长度。
2.角动量定理：角动量是描述刚体转动状态的物理量，用字母L表示，它等于刚体的转动惯量与角速度的乘积。
L = I * ω其中，ω为角速度，即刚体绕轴旋转的每秒角度变化量。
角动量定理指出，当刚体受到外力矩作用时，角动量的变化率等于外力矩的大小和作用时间的乘积：τ = dL/dt其中，τ为外力矩，即力矩的角动量。
3.角动量守恒定律：角动量守恒定律是指刚体绕固定轴转动时，如果物体不受到外力矩的作用，则角动量保持不变，即角动量守恒。
L1 = L2其中，L1和L2分别是刚体在转动过程中的初态和末态的角动量。
根据以上三个定律，可以得到一些关于刚体转动的重要结论：1.转动惯量与物体的质量分布有关，质量分布越集中，转动惯量越小；质量分布越分散，转动惯量越大。
2.角动量与转动惯量和角速度的乘积成正比，如果转动惯量越大，角速度越小，那么角动量也会越小。
3.当物体受到一个外力矩的作用时，物体的角动量会发生变化，且变化的速率与作用力矩的大小和作用时间的长度有关。
4.如果刚体不受外力矩作用，则刚体的角动量守恒，即刚体的角动量保持不变。
5.刚体转动的动能与转动惯量和角速度的平方成正比，转动惯量越大，角速度越小，刚体的转动动能也会越小。
以上是关于刚体转动定律的简要说明。
刚体转动定律在物理学中具有重要的意义，能够帮助我们理解刚体绕轴旋转的运动规律，并应用于工程、天文和机械等领域。
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现在将这些方法用之于刚体和流体的研究．
一、刚体（rigid body）
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体
----物体内任意两点的距离不变
刚体运动研究的基础：刚体是由无数个连续分布的质 点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元dm。 每个质点运动都服从质点力学规律。刚体的运动是这 些质量元运动的总和。
2. 转动 (rotation)
刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同 一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线 就叫做转轴 (axis of rotation)。如果转轴是固定不动的， 就叫做定轴转动 (fixed-axis rotation)。
定轴转动：转轴相对参考系静止。
3.一般运动：可看成平动和转动的叠加。如车轮的转动
解：（1）0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时，0 0 .飞轮做匀减速运动
0 0 5 π rads1 π rads2
t
30
6
飞轮 30 s 内转过的角度 2 02 2 ( 0 )
2 02 (5 π)2 75 π rad 2 2 ( π 6)
,
v r
3.角加速度 (angular acceleration)
lim d
t0 t
dt
ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为：
at
dv dt
r
d
dt
r
,
an
v2 r
r 2
角加速度是矢量，但对于刚体定轴转
动角加速度的方向只有两个，在表示角 加速度时只用角加速度的正负数值就可 表示角加速度的方向，不必用矢量表示。
在转动平面内，过O点作 一极轴，设极轴的正方向 是水平向右，则OP与极轴
之间的夹角为。
角称为角坐标（或角位置）。
角坐标为标量。但可有正负。
P
o
x
2.角位移 (angular displacement)
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度 (angular velocity)
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdt
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴
转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
rv
刚体上任一质元的速度表示为：
v
r
轴的转动角度决定。
(1) 确 定 定 点 位 置 。 空 间 任 何
一个点需要三个独立坐标来确
o
y
定位置，因此用三个坐标如
C(x,y,z) 来 决 定 刚 体 上 某 一 定 x 点位置。
（2）刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直线
的方位坐标有两个，借用纬度角与经度角来描述，在
直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：
二、平动和转动
1.平动（translation）
当刚体运动时，如果刚 体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方 向不变，这种运动叫平动。
特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视为质点
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的 位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和 加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动， 都可代表整个刚体的运动。
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5
π
π 6
6)rads1
4
π
rad s 1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4π m s2 2.5 m s2
该点的切向加速度和法向加速度(线量)
at
r
0.2 (
π)m s2 6
三、自由度(degree of freedom)
自由度：确定一个物体在空间的 位置所需的独立坐标的数目。它反 映了运动的自由程度
火车：被限制在轨道上运动，自由度为1
轮船：在一水平面上运动，自由度为2
飞机：在空中飞行，自由度为3
刚体的自由度
考虑到刚体既有平动又有
z
转动，其独立坐标数由质心坐
标，转轴的方位角与刚体绕转
（3）刚体绕定轴转动时，需要一
个坐标来描述，选定参考方向后， z
转动位置用表示。
p
刚体共有6个自由度，其中3个平
动自由度，3个转动自由度。
物体有几个自由度，它的
o
y
运动定律可归结为几个独
立的方程。
x
四、 刚体转动的角量描述
1.角坐标 (angular position) 描写刚体转动位置的物理量。
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2
2 0
2 (
0)
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1， 因受制动 而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和 在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时 飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、 切向加速度和法向加速度(线量) .
a 0
说明： 角坐标、角位移、角速度和角 加速度等角量是用来描述定轴转动刚体 的整体运动，也可用来描述质点的曲线 运动；
位矢、位移、速度、加速度等线量是 用来描述质点的运动。
0 a
定轴转动的特点
1） 2）
每任一一质质点点均运作动圆周 ,运,动 ，圆均面相为同转，动但平v,面a；不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
0.105 m s2
an r2 0.2 (4 π)2 m s2 31.6 m s2
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速
第三章
刚体和流体的运动
§3-1 刚体模型及其运动
一般的力学分析方法可归纳为：
(1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； (2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象作为突破口 (3)根据受力情况，正确地画出受力图；
(4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原理、定律， 列出方程式； (5)根据要求，求解方程，统一变量，积零为整，用积分法求 出结果.积分上下限的选取要特别注意 (6)讨论分析所得结果，检验是否正确．
一、刚体（rigid body）
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体
----物体内任意两点的距离不变
刚体运动研究的基础：刚体是由无数个连续分布的质 点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元dm。 每个质点运动都服从质点力学规律。刚体的运动是这 些质量元运动的总和。
2. 转动 (rotation)
刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同 一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线 就叫做转轴 (axis of rotation)。如果转轴是固定不动的， 就叫做定轴转动 (fixed-axis rotation)。
定轴转动：转轴相对参考系静止。
3.一般运动：可看成平动和转动的叠加。如车轮的转动
解：（1）0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时，0 0 .飞轮做匀减速运动
0 0 5 π rads1 π rads2
t
30
6
飞轮 30 s 内转过的角度 2 02 2 ( 0 )
2 02 (5 π)2 75 π rad 2 2 ( π 6)
,
v r
3.角加速度 (angular acceleration)
lim d
t0 t
dt
ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为：
at
dv dt
r
d
dt
r
,
an
v2 r
r 2
角加速度是矢量，但对于刚体定轴转
动角加速度的方向只有两个，在表示角 加速度时只用角加速度的正负数值就可 表示角加速度的方向，不必用矢量表示。
在转动平面内，过O点作 一极轴，设极轴的正方向 是水平向右，则OP与极轴
之间的夹角为。
角称为角坐标（或角位置）。
角坐标为标量。但可有正负。
P
o
x
2.角位移 (angular displacement)
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度 (angular velocity)
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdt
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴
转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
rv
刚体上任一质元的速度表示为：
v
r
轴的转动角度决定。
(1) 确 定 定 点 位 置 。 空 间 任 何
一个点需要三个独立坐标来确
o
y
定位置，因此用三个坐标如
C(x,y,z) 来 决 定 刚 体 上 某 一 定 x 点位置。
（2）刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直线
的方位坐标有两个，借用纬度角与经度角来描述，在
直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：
二、平动和转动
1.平动（translation）
当刚体运动时，如果刚 体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方 向不变，这种运动叫平动。
特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视为质点
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的 位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和 加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动， 都可代表整个刚体的运动。
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5
π
π 6
6)rads1
4
π
rad s 1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4π m s2 2.5 m s2
该点的切向加速度和法向加速度(线量)
at
r
0.2 (
π)m s2 6
三、自由度(degree of freedom)
自由度：确定一个物体在空间的 位置所需的独立坐标的数目。它反 映了运动的自由程度
火车：被限制在轨道上运动，自由度为1
轮船：在一水平面上运动，自由度为2
飞机：在空中飞行，自由度为3
刚体的自由度
考虑到刚体既有平动又有
z
转动，其独立坐标数由质心坐
标，转轴的方位角与刚体绕转
（3）刚体绕定轴转动时，需要一
个坐标来描述，选定参考方向后， z
转动位置用表示。
p
刚体共有6个自由度，其中3个平
动自由度，3个转动自由度。
物体有几个自由度，它的
o
y
运动定律可归结为几个独
立的方程。
x
四、 刚体转动的角量描述
1.角坐标 (angular position) 描写刚体转动位置的物理量。
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2
2 0
2 (
0)
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1， 因受制动 而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和 在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时 飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、 切向加速度和法向加速度(线量) .
a 0
说明： 角坐标、角位移、角速度和角 加速度等角量是用来描述定轴转动刚体 的整体运动，也可用来描述质点的曲线 运动；
位矢、位移、速度、加速度等线量是 用来描述质点的运动。
0 a
定轴转动的特点
1） 2）
每任一一质质点点均运作动圆周 ,运,动 ，圆均面相为同转，动但平v,面a；不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
0.105 m s2
an r2 0.2 (4 π)2 m s2 31.6 m s2
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速
第三章
刚体和流体的运动
§3-1 刚体模型及其运动
一般的力学分析方法可归纳为：
(1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； (2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象作为突破口 (3)根据受力情况，正确地画出受力图；
(4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原理、定律， 列出方程式； (5)根据要求，求解方程，统一变量，积零为整，用积分法求 出结果.积分上下限的选取要特别注意 (6)讨论分析所得结果，检验是否正确．