2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性模拟演练理

2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标6函数的奇偶性与周期性 理[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数是奇函数的是( A ) A ．f (x )＝x |x | B ．f (x )＝lg x C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝x 3－1解析：选项B ，f (x )＝lg x 的定义域是x >0，所以不是奇函数，所以B 错；选项C ，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )是偶函数，所以C 错；选项D ，f (x )＝x 3－1不过原点，所以f (x )是非奇非偶函数，所以D 错．只有A ，满足定义域关于原点对称，并且f (－x )＝－f (x )，是奇函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( A ) A ．17 B ．－1 C ．1D ．7解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，得b ＝0，所以a ＋b ＝17，故选A ．3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)＝( A )A ．－2B ．2C ．－98D ．98解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 015)＝－2.4．(2016·重庆模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝( D )A ．1lg 2B ．－1lg 2C ．lg 2D ．－lg 2解析：因为当x >0时，f (x )＝lg x ， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝f (－2)，因为函数y ＝f (x )是奇函数， 所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝－f (2)＝－lg 2. 5．(2016·河北石家庄调研)已知偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋5)＝f (x －5)，且0≤x ≤5时，f (x )＝x 2－4x ，则f (2 016)＝( B )A ．－1B ．0C ．1D ．12解析：∵f (x ＋5)＝f (x －5)，∴f (x ＋10)＝f (x )，∴f (x )为周期函数，且周期为10，∴f (2 016)＝f (201×10＋6)＝f (6)＝ f (－4)＝f (4)＝42－4×4＝0，故选B ．6．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]解析：因为f (x )是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则ax ＋1≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，x －2≤ax ＋1时，a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝0.解析：因为函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，所以|－x ＋a |＝|x ＋a |，所以a ＝0.8．(2016·湖南长沙模拟)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.解析：因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )，等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2)时，f (x )是减函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m <12.9．(2016·陕西西安模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，所以f (－x )＝－f (x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ⇒f (x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (1＋x )＝－f (x )，f (2＋x )＝－f (1＋x )＝f (x )，所以f (0)＝f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，f (0)＝f (2)＝f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0. 三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ， 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． 解析：(1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，得f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4＋1＝－2x4＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解析：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，所以f (x －1)<2，等价于f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1， 所以x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。

2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性考点一函数奇偶性的判断1.下列函数为奇函数的是( )A.f(x)=B.f(x)=e xC.f(x)=cos xD.f(x)=e x-e-x2.已知函数f(x)=3x-,则f(x) ( )A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数3.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则( )A.函数f(g(x))是奇函数B.函数g(f(x))是奇函数C.函数f(x)·g(x)是奇函数D.函数f(x)+g(x)是奇函数4.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是( )A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)+5是奇函数D.f(x)+5是偶函数【解析】1.选D.对于A,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于B, f(-x)=e-x=≠-f(x),故不是奇函数;对于C,f(-x)=cos(-x)=cos x≠-f(x),故不是奇函数;对于D,f(-x)=e-x-e x=-(e x-e-x)=-f(x),是奇函数.2.选A.因为函数f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.因为函数y=在R上是减函数,所以函数y=-在R上是增函数.又因为y=3x在R上是增函数,所以函数f(x)=3x-在R上是增函数.3.选C.令h(x)=f(x)·g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.4.选C.取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.令x1=x,x2=-x,则f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数.判断函数奇偶性的方法(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.(2)图象法:利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)验证法:即判断f(x)±f(-x)是否为0.(4)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.考点二函数的周期性及应用【典例】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈时,f(x)=x3-3x,则f(2 018)= ( )A.2B.-18C.18D.-22.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-,且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 017)+f(2 019)的值为( )A.0B.-4C.-2D.23. (2019·某某模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)=________.【解题导思】序号联想解题1 由f(x+5)=f(x),想到周期函数2 由f(x+2)=-,想到周期函数3 由f(x)的图象关于直线x=3对称,想到f(x)=f(6-x) 【解析】1.选D.因为f(x)满足f(x+5)=f(x),所以f(x)是周期为5的函数,所以f(2 018)=f(403×5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2),因为f(x)是奇函数,且当x∈时,f(x)=x3-3x,所以f(-2)=-f(2)=-(23-3×2)=-2,故f(2 018)=-2.2.选A.当x≥0时,f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.所以f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,f(2 019)=f(3)=-=-1,所以f(-2 017)+f(2 019)=0.3.根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则有f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有f(x)=-f(x-6)=f(x-12),则f(x)的最小正周期是12,故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.答案:21.抽象函数的周期性(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|.(5)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|.(6)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.1.(2020·某某模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为( )A.1B.-1C.0D.2【解析】选B.因为函数f(x)的周期为π,所以f=f=f,因为f(x)为奇函数,所以 f=-f=-1.2.(2019·某某模拟)已知定义在R上的函数f(x)的周期为6,且f(x)=则f(-7)+f(8)= ( )A.11B.C.7D.【解析】选A.根据f(x)的周期是6,故f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4,f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7,所以f(-7)+f(8)=11.3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=____________.【解析】因为f(x+4)=f(x-2),所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2]即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.答案:6考点三函数性质的综合应用命题精解读考什么:(1)求函数值、解析式或参数值,奇偶性与单调性、奇偶性与周期性交汇等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养.怎么考:函数奇偶性、单调性、周期性以及对称性(奇偶性质的扩展)等知识单独或交汇考查.学霸好方法奇偶函数对称区间上的单调性:奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.求函数值、解析式或参数值【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln2)=8,则a=________.2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x2-x,则当x>0时,f(x)=( )A.2x2-xB.2x2+xC.-2x2-xD.-2x2+x【解析】1.因为ln2>0,所以-ln2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln2)=-f(ln2)=-8,即-e(-ln2)a=-8,解得a=-3.答案:-32.选C.当x>0时,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2x2-x.1.如何求奇偶函数对称区间上的解析式?提示:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.2.如何求奇偶函数对称区间上的函数值?提示:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.奇偶性与单调性交汇问题【典例】函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值X围是( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]【解析】选D.由已知,得f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1成立的x满足-1≤x≤1,所以由-1≤x-2≤1得1≤x≤3,即使-1≤f(x-2)≤1成立的x满足1≤x≤3.解决与抽象函数有关的不等式问题的关键是什么?提示:利用题设条件,想办法去掉“f”符号即可解决.奇偶性与周期性交汇问题【典例】(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )A.-50B.0C.2D.50【解析】选C.f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,图象关于原点对称,满足f(1-x)=f(1+x), 则f(x+4)=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.如何求解项数较多的式子的值?提示:因为多项式个数较多,可能与函数的周期性有关,可依据题设条件,先探索函数的周期性,再去求解.1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(-8)=( )A.-2B.-3C.2D.3【解析】选A.方法一:当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,则f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).因此g(x)=-log3(1-x),x<0,故g(-8)=-log39=-2.方法二:由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.2.(2020·某某模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,则实数a的取值X围为( )A.(-1,4)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-1,0)【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,所以f(5)=f(-1)=f(1),即<1,化简得(a-4)(a+1)<0,解得-1<a<4.3.设函数f(x)=为奇函数,则a=______.【解析】因为f(x)=为奇函数,所以f(1)+f(-1)=0,即+=0,所以a=-1.答案:-11.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e x,则g(x)=( )A.e x-e-xB.(e x+e-x)C.(e-x-e x)D.(e x-e-x)【解析】选D.由f(x)+g(x)=e x①,可得f(-x)+g(-x)=e-x.又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可得f(x)-g(x)=e-x②,则两式相减,可得g(x)=.2.(2020·某某模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,f(0)=,则f(10)等于________.【解析】因为f(2-x)+f(x)=0,所以f(x)=-f(2-x),又f(x)为偶函数,所以f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-2-2)]=f(x-4),故f(x)的周期T=4,f(10)=f(4×2+2)=f(2).又f(2-x)+f(x)=0,令x=0得f(2)+f(0)=0,所以f(2)=-.故f(10)=-.答案:-。

(时间:40分钟）1．函数f（x)＝1－ln x的定义域是（)A．（0,e）B．(0，e］C．，故选B。

2．已知函数f(x)＝错误!则函数f(log23）的值为（）A．3 B.错误!C．6 D.错误!答案D解析3．已知log a错误!〈1，那么a的取值范围是( ）A.错误!∪(1，＋∞) B。

错误!C。

错误!D．（1，＋∞）答案A解析∵log a错误!〈1＝log a a,故当0<a<1时，y＝log a x为减函数，0<a<错误!；当a>1时，y＝log a x为增函数，a〉错误!，∴a〉1，综上知A正确．4．函数f(x）＝ln (4＋3x－x2）的单调递减区间是（）A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!答案D解析y＝ln t是单调递增函数，则只需研究函数t＝4＋3x－x2的单调递减区间，并注意t＞0的限制．t＝4＋3x－x2的单调递减区间为错误!，当x≥4时，t≤0，所以区间错误!符合题意．5．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（)A．c〉b〉a B．b〉c〉aC．a>c>b D．a〉b>c答案D解析由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32,b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32〉log52>log72,所以a〉b〉c，故选D。

6．函数f(x)＝log a(x＋2)＋3(a〉0，且a≠1）的图象恒过定点________．答案(－1，3）解析当x＋2＝1时,x＝－1，f（－1)＝log a(－1＋2)＋3＝3，所以函数f(x）＝log a（x＋2）＋3的图象恒过定点（－1，3)．7．若a＝log43，则2a＋2－a＝________。

答案错误!解析∵a＝log43＝错误!log23＝log2错误!，8．函数f(x)＝log a(6－ax)在上为减函数，则a的取值范围是________．答案(1,3)解析底数a＞0，y＝6－ax为减函数，又f(x）＝log a(6－ax）为减函数，所以a＞1,6－ax在上要恒大于零，即错误!所以1＜a＜3。

2 个性质——奇、偶函数的两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0。 (2)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝ 奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。
8
3 条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象 关于直线 x＝a 对称。 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)，且 f(2b－x)＝f(x)(其中 a＜b)，则 y ＝f(x)是以 2(b－a)为周期的周期函数。 (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数， 其中一个周期为 T＝2|a－b|。
那么函数 f(x)就叫做奇函数。
(3)奇函数的图象关于□3 ___原__点_____对称；偶函数的图象关于□4 ___y__轴_______对
称。
5
2．奇函数、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性□5 相__同__，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性□6 ___相__反___。
答案：13
13
5．设函数 f(x)＝x3cosx＋1。若 f(a)＝11，则 f(－a)＝__________。 解析：令 g(x)＝f(x)－1＝x3cosx， ∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)， ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数。又∵f(a)＝11， ∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10。 又 g(－a)＝f(－a)－1， ∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9。 答案：－9