数学人教版九年级上册圆的切线的证明中考专题复习

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明1．如图，△ABD是△O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是△O外一点，且△DBC＝△A＝60°，连接OE并延长与△O相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为6cm，求弦BD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果∠BAC=60°，AE=4√3，求AC长．3．如图，AC与△O相切，切点为C，点B在CO的延长线上，BD△AO，垂足为D，△ABD=△BO D．（1）求证：AB为△O的切线；（2）若BC=4，AC=3，求BD的长．4．如图，AB 是△O 的直径，点E 在△O 上，连接AE 和BE ，BC 平分△ABE 交△O 于点C ，过点C 作CD△BE ，交BE 的延长线于点D ，连接CE ．（1）请判断直线CD 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin△ECD ＝35，CE ＝5，求△O 的半径． 5．如图，AB 为△O 的直径，C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点，△ABD ＝2△BAC ，连接CD ，过点C 作CE△DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点．（1）求证：CF 是△O 的切线；（2）当BD ＝ 185 ，sinF ＝ 35时，求OF 的长． 6．如图，线段AB 经过圆心O ，交△O 于点A 、C ，点D 为△O 上一点，连结AD 、OD 、BD ，△A ＝△B ＝30°．（1）求证：BD 是△O 的切线．（2）若OA ＝5，求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积．7．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的△O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，过点N 作NE△AB ，垂足为E（1）若△O的半径为52，AC＝6，求BN的长；（2）求证：NE与△O相切.8．如图，AB是△O的弦，OP△OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为√5，OP=1，求BC的长．9．如图，AB是△O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分△CAE交△O于点D，且AE△CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是△O的切线．（2）若BC=3，CD=3 √2，求弦AD的长．10．如图，AB为圆的直径，C是△O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD△MC，垂足为D，已知AC平分△MAD .（1）求证：MC是△O的切线：（2）若AB＝BM＝4，求tan△MAC的值11．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，BD平分∠ABC交△O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E.（1）求证：DE与△O相切；（2）若AB=10，AD=6，求DE的长.12．如图，点O在△APB的平分线上，△O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与△O相切；（2）PO的延长线与△O交于点E．若△O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．13．如图，已知A（﹣5，0）、B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，△CBO＝45°，CD△AB，△CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．（1）求点C的坐标；（2）当△BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的△P随点P的运动而变化，当△P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．14．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD=CB．（1）如图1，若AC=AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．①若⊙O的直径为√10，sinB=√10，求AD的长；10②若CD=2CE，求cosB的值．15．如图，AB、AC分别是△O的直径和弦，OD△AC于点D，过点A作△O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是△O的切线；（2）若△ABC=60°，AB=10，求线段CF的长，16．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，△BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，△P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是△P的切线；（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OB ，如图所示：∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE△BD ， BF ⌢=12BD ⌢ ， ∴△BOE ＝△A ，△OBE+△BOE ＝90°，∵△DBC ＝△A ，∴△BOE ＝△DBC ，∴△OBE+△DBC ＝90°，∴△OBC ＝90°，即BC△OB ，∴BC 是△O 的切线；（2）解：∵OB ＝6，△DBC ＝△A ＝60°，BC△OB ， ∴OC ＝12，∵△OBC 的面积＝ 12 OC•BE ＝ 12OB•BC ， ∴BE ＝ OB×BC OC =6×6√312=3√3 ， ∴BD ＝2BE ＝6 √3 ，即弦BD 的长为6 √3 ．2．【答案】（1）证明：连接 OD ，如图，∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D ，∴∠BAD=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAC，∴OD//AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，OD为半径，∴DE是⊙O的切线（2）解：作OF⊥AC于F∵∠BAC=60°，∴∠DAE=30°，在RtΔADE中，DE=AE⋅tan30°=4四边形ODEF为矩形，∴OF=DE=4，在RtΔOAF中，∵∠OAF=60°∴AF=√3=4√33∴AC=2AF=8√3 33．【答案】（1）证明：作OH△AB，垂足为H∵AC与△O相切，切点为C，∴△ACO=90°∴△OAC+△AOC=90°又BD△AO∴△BDO=90°∴△BOD+△DBO=90°，△BAD+△ABD=90°又△BOD=△AOC，△ABD=△BOD∴△OAC=△BAD∴OH=OC又OC为△O半径∴AB为△O的切线（2）解：在Rt△BOH和Rt△BAC中AB=√BC2+AC2=5sin∠ABC=OHOB=ACAB=354−OB OB=35，解得OB=52，OC=32，OA=√OC2+AC2=32√5∵△AOC=△BOD，△C=△D=90°∴△AOC△△BOD∴OAOB=ACBD∴32√552=3BD，解得：BD=√5．4．【答案】（1）解：结论：CD是△O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴△OCB＝△OBC，∵BC平分△ABD，∴△OBC＝△CBE，∴△OCB＝△CBE，∴OC//BD ，∵CD△BD ，∴CD△OC ，∵OC 是半径，∴CD 是△O 的切线；（2）解：设OA ＝OC ＝r ，设AE 交OC 于点J ．∵AB 是直径，∴△AEB ＝90°，∵OC△DC ，CD△DB ，∴△D ＝△DCJ ＝△DEJ ＝90°，∴四边形CDEJ 是矩形，∴△CJE ＝90°，CD ＝EJ ，CJ ＝DE ，∴OC△AE ，∴AJ ＝EJ ，∵sin△ECD ＝DE CE ＝35，CE ＝5， ∴DE ＝3，CD ＝4，∴AJ ＝EJ ＝CD ＝4，CJ ＝DE ＝3，在Rt△AJO 中，r 2＝（r ﹣3）2+42，∴r ＝256， ∴△O 的半径为256． 5．【答案】（1）解：连接OC ．如图1所示：∵OA＝OC，∴△1＝△2．又∵△3＝△1+△2，∴△3＝2△1．又∵△4＝2△1，∴△4＝△3，∴OC△DB．∵CE△DB，∴OC△CF．又∵OC为△O的半径，∴CF为△O的切线；（2）解：连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴△D＝90°，∴CF△AD，∴△BAD＝△F，∴sin△BAD＝sinF＝BDAB＝35，∴AB＝53BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC△CF，∴△OCF＝90°，∴sinF＝OCOF＝35，解得：OF＝5．6．【答案】（1）证明：∵△ADO＝△BAD＝30°，∴△DOB＝60°∵△ABD＝30°，∴△ODB＝90°∴OD△BD．∵点D为△O上一点，∴BD是△O的切线．（2）解：∵△DOB＝60°，∴△AOD＝120°．∵OA＝5，∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为120·π·52360=253π．7．【答案】（1）解：∵ △O 的半径为52，则CD=5，AB=10，BC=√AB2−AC2=√100−36=8CD为直径，得DN△BC，D为AB的中点，则BD=CD，则△BDC为等腰三角形，由三线合一知，BN=NC=12BC=4。

专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】【人教版】【题型1 利用切线长定理求周长】 (1)【题型2 三角形内切圆中求角度】 (5)【题型3 三角形内切圆中求面积】 (9)【题型4 三角形内切圆中求线段长度】 (13)【题型5 三角形内切圆中求半径】 (17)【题型6 三角形内切圆中求最值】 (20)【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】 (25)【题型1 利用切线长定理求周长】【例1】（2022秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，已知AD ＝10cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形（△AMN ），则剪下的△AMN 的周长为　20cm ．【分析】利用切线长定理得出DM ＝MF ，FN ＝EN ，AD ＝AE ，进而得出答案．A B C I【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．【变式1-1】（2022秋•莒南县期末）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA＝PB，又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA与PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，∴PA+PB＝m，PA•PB＝m﹣1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，∴PA＝PB=m2，即m2•m2=m﹣1，即m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，∴PA＝PB＝1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴AD＝ED，BC＝EC，∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2．【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）A．14B．20C．24D．30【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴四边形OECF为正方形，∵⊙O的半径为2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，∴在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，解得x＝10，∴△ABC的周长为12+5+13＝30．故选：D．【变式1-3】（2022秋•崇川区月考）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是劣弧AB上任意一点，过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知PA的长为5cm，∠DOE＝65°，点M、N分别在PA、PB的延长线上，MN与⊙O相切于点F，已知DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．（1）求∠P的度数；（2）求△PDE的周长；（3）求四边形DEMN的周长．【分析】（1）只要证明∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形内角和定理即可解决问题；（2）利用切线长定理即可解决问题；（3）因为DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．可得DN+EM＝10，再利用切线长定理即可解决问题；【解答】解：（1）连接OA、OB、OC．∴PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA⊥OA，OB⊥PB，∠DOA＝∠DOC，∠EOB＝∠EOC，∵∠DOE＝65°，∴∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．（2）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EC＝EB，PA＝PB＝5，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝10．（3）∵DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．∴DN+EM＝10，∴PN，PM，MN是⊙O的切线，∴AN＝NF，MF＝MB，DA＝DC，EC＝EB，∴四边形EMND的周长＝EM+MN+DN+DE＝EM+BM+NA+DA+EB+DN＝2（DN+EM）＝20．【题型2 三角形内切圆中求角度】【例2】（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝　130°　．【分析】利用直角三角形性质求出∠ABC＝50°，再利用切线性质求出∠BDO＝∠BEO＝90°，再利用四边形内角和为360°，即可求得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∴AB、BC是⊙O的切线，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝360°﹣∠BDO﹣∠BEO﹣∠ABC＝130°，故答案为：130°．【变式2-1】（2022秋•昌平区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝　110　°，∠DEF＝　70　°．【分析】连接OD和OF，根据内切圆的性质可得OB，OC平分∠ABC，∠ACB，再根据三角形内角和定理即可求出角BOC的度数；根据切线的性质可得∠DOF的度数，进而根据圆周角定理可得∠DEF的度数．【解答】解：如图，连接OD和OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，∴OB，OC平分∠ABC，∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝180°−12×140°＝180°−12＝110°，∵OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∴∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∠DOF＝70°．∴∠DEF=12故答案为：110，70．【变式2-2】（2022•万年县校级模拟）如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED，（1）若∠A＝40°，求∠BIC与∠FDE的度数．（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β的关系，并证明你的结论．（∠ABC+∠ACB），求出∠ABC+∠ACB 【分析】（1）根据圆I是△ABC的内切圆求出∠IBC+∠ICB=12的度数，求出∠IBC+∠ICB即可；连接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠FDE；（2）由（1）得出∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB），∠FDE＝180°﹣2∠A，根据三角形的内角和定理求出∠BIC ＝90°+12∠A ，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵圆I 是△ABC 的内切圆，∴∠IBC =12∠ABC ，∠ICB =12∠ACB ，∴∠IBC +∠ICB =12（∠ABC +∠ACB ），∵∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ＝140°，∴∠IBC +∠ICB ＝70°，∴∠BIC ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝110°，如图，连接IF 、IE ，∵圆I 是△ABC 的内切圆，∴∠IFA ＝∠IEA ＝90°，∵∠A ＝40°，∴∠FIE ＝360°﹣∠IFA ﹣∠IEA ﹣∠A ＝140°，∴∠EDF =12∠EIF ＝70°，答：∠BIC ＝110°，∠FDE ＝70°；（2）解：α＝180°﹣β，证明：由圆周角定理得：∠FIE ＝2∠FDE ，由（1）知：2∠FDE ＝180°﹣∠A ，即∠A ＝180°﹣2∠FDE ，∴∠A ＝180°﹣∠EIF ，由（1）知：2∠FDE ＝180°﹣∠A ，∴∠A ＝180°﹣2∠FDE ＝180°﹣2β，∠BIC ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝180°−12（∠ABC +∠ACB ）＝180°−1（180°﹣∠A）2∠A，＝90°+12（180°﹣2β），∴∠BIC＝α＝90°+12即α＝180°﹣β．【变式2-3】（2022秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（ ）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组y−x=18°2y+x=72°，求解即可得结论．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y﹣x＝18°，在△ANM中，∠NAM+∠ANM＝180°﹣108°，∴x+2y＝72°，y−x=18°2y+x=72°，解得x=12°y=30°，∴∠BAC＝4x＝48°．故选：B．【题型3 三角形内切圆中求面积】【例3】（2022秋•黄冈期中）如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E 为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．【分析】设AF＝x，由切线长定理可得EF＝AF＝x，则FD＝1﹣x，CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．【解答】解：设AF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，∴AD是圆的切线，∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF＝AF＝x，∴FD＝1﹣x，∵CB⊥AB，∴CB为⊙O的切线，∴CB＝CE，∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，解得x=14，∴DF＝1﹣x=34，∴S△CDF =12×1×34=38．【变式3-1】（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB．若AE＝ABE的面积为（ ）A ．B ．2CD ．1【分析】延长BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，OF ，根据AB 是⊙O 的直径，可得∠AFB ＝∠C ＝90°，证明△FEA 是等腰直角三角形，可得AF ＝EF ＝2，根据垂径定理可得EF ＝BE ＝2，进而可得△ABE 的面积．【解答】解：如图，延长BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，OF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝∠C ＝90°，∴∠CAB +∠CBA ＝90°，∵E 是△ABC 的内心，∴∠EAB =12∠CAB ，∠EBA =12∠CBA ，∴∠EAB +∠EBA =12（∠CAB +∠CBA ）＝45°，∴∠FEA ＝45°，∴△FEA 是等腰直角三角形，∴AE ==，∵AE ＝∴AF ＝EF ＝2，∵OE ⊥EB ，∴EF ＝BE ＝2，∴△ABE 的面积为：12BE •AF =12×2×2＝2．故选：B ．【变式3-2】（2022春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm ．如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（ ）A ．150πB ．C ．D ．200【分析】画出图形，连接AD ，OB ，则AD 过O ，求出∠OBD ＝30°，求出OB ，根据勾股定理求出BD ，同法求出CD ，求出BC 的长后求得一个三角形的面积即可求得花边的面积．【解答】解：从中选择一个等边三角形和其内接圆如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，⊙O 切AB 于F ，切AC 于E ，切BC 于D ，连接AD ，OB ，则AD 过O （因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上），∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴∠OBC =12∠ABC ＝30°，∵⊙O 切BC 于D ，∴∠ODB ＝90°，∵OD ＝1，∴OB ＝2，由勾股定理得：BD ==∴BC ＝∴S △ABC =12BC •AD =12××3＝∴这条花边的面积＝100S △ABC ＝故选：C ．【变式3-3】（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）cm2A．12B．24C．8D．6【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC；设EF＝EC＝xcm．则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．【解答】解：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，设EF＝EC＝xcm，则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42＝（4+x）2，∴x＝1cm，∴CE＝1cm，∴DE＝4﹣1＝3cm，＝AD•DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．∴S△ADE故选：D．【题型4 三角形内切圆中求线段长度】【例4】（2022秋•乌兰察布期末）如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB ＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．【分析】由切线长定理，可知：AF ＝AD ，CF ＝CE ，BE ＝BD ，用未知数设AD 的长，然后表示出BD 、CF 的长，即可表示出BE 、CE 的长，根据BE +CE ＝7，可求出AD 的长进而求出BE 、CF 的长．【解答】解：假设AD ＝x ，∵⊙O 分别切△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ；∴根据切线长定理得出AD ＝AF ，BD ＝BE ，EC ＝FC ，∴AF ＝x ，∵AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，∴BE ＝BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣x ，FC ＝EC ＝AC ﹣AF ＝6﹣x ，∴BC ＝BE +EC ＝5﹣x +6﹣x ＝7，解得：x ＝2，∴AD ＝2，BE ＝BD ＝5﹣2＝3，CF ＝AC ﹣AF ＝6﹣2＝4．【变式4-1】（2022秋•崇川区月考）如图，已知△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ，∠A ＝60°，CB ＝6cm ，△ABC 的周长为16cm ，则DF 的长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD ＝BE ，CE ＝CF ，AD ＝AF ，进而得出△ADF 是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ，CB ＝6cm ，△ABC 的周长为16cm ，∴BD ＝BE ，CE ＝CF ，AD ＝AF ，∵BE +EC ＝BD +FC ＝6，∴AD ＝AF =12（AB +AC +BC ﹣BC ﹣BD ﹣CF ）=12（16﹣6﹣6）＝2，∵∠A ＝60°，∴△ADF 是等边三角形，∴DF ＝2．故选：A ．【变式4-2】（2022秋•龙凤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，⊙O 是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长度是 ．【分析】如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理求出AB＝5，根据△ABC的内切圆，得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，推出四边形CFOE是正方形，得到CE＝CF＝OF＝OE，根据3﹣r+4﹣r＝5求出r、AQ、OQ的长求出AD、DQ的长【解答】解：如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理得：AB=5，∵⊙O是三角形ABC的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，AE＝AQ，BF＝BQ，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，∴四边形CFOE是正方形，∴CE＝CF＝OF＝OE，∴3﹣r+4﹣r＝5，r＝1，AQ＝AE＝3﹣1＝2，OQ＝1，∵D是AB的中点，，∴AD=52，∴DQ＝AD﹣AQ=12∴OD2＝OQ2+DQ2，∴OD=【变式4-3】（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，点E、F为切点，则EF的长是　4　cm．【分析】根据矩形的性质得到AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，由∠B＝90°，推出四边形O1NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，过O1作O1M⊥FO2于M，则O1M＝PQ＝8，QM＝BN＝4，同法可得DG＝4，根据EF＝AC﹣AE﹣CF计算即可．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，∴AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，∵∠B＝90°，∴四边形O1NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，∴BP＝BN＝4，同法可得DG＝4，∴AN＝AE＝CG＝CF＝8，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝20﹣16＝4故答案为：4．【题型5 三角形内切圆中求半径】【例5】（2022•定安县二模）如图，在矩形ABCD中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，则△ACD内切圆的半径是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据矩形性质和勾股定理可得AC＝15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，然后根据切线长定理即可解决问题．【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝9，AB＝12，根据勾股定理，得AC==15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，如图，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，∴DF＝DG＝r，∴AG＝AE＝AD﹣DG＝9﹣r，CF＝CE＝CD﹣DF＝AB﹣DF＝12﹣r，∵AE+CE＝AC，∴9﹣r+12﹣r＝15，解得r＝3．∴△ACD内切圆的半径是3．故选：C．【变式5-1】（2022秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC 的内切圆，则⊙O的半径为（ ）A ．1BC ．2D ．【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，∴AC ==4，如图，分别连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，∵⊙O 是△ABC 内切圆，D 、E 、F 为切点，∴OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB 于D 、E 、F ，OD ＝OE ＝OF ，∴S △ABC ＝S △BOC +S △AOC +S △AOB =12BC •DO +12AC •OE +12AB •FO =12（BC +AC +AB ）•OD ，∵∠C ＝90°，∴12×AC •BC =12（BC +AC +AB ）•OD ，∴OD =3×4345=1．故选：A ．【变式5-2】（2022秋•虎丘区校级期中）若四边形ABCD 有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积为S ，各边长分别为a ，b ，c ，d ，则该圆的直径为（ ）A ．a b c d SB ．S a cC ．c−d S(a b)D ．2S a b c d【分析】连接OA 、OB 、OC 、OD ．由S 四边形ABCD ＝S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD ，由S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12（a +b +c +d ）•r ＝S ，即可推出r =2S a b c d ．【解答】解：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD ．∵S 四边形ABCD ＝S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD又∵S △OAB =12AB •r ，S △OBC =12BC •r ，S △OCD =12CD •r ，S △AOD =12AD •r ，∴S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12（a +b +c +d ）•r ＝S ，∴r =2S a b c d ．故选：D ．【变式5-3】（2022秋•南丹县期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与AB ，AC ，BC 相切于点D ，E ，F ．若∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则⊙O 的半径等于 2　．【分析】连结OD ，OE ，OF ，设⊙O 半径为r ，根据勾股定理可得AB ＝10，证明四边形OECF 是正方形，可得CF ＝CE ＝OF ＝r ，然后根据切线长定理可得AE ＝AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣r ，BF ＝BD ＝BC ﹣CF ＝8﹣r ，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连结OD ，OE ，OF ，设⊙O 半径为r ，∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ==10，∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，F ，E ，∴AC ⊥OE ，AB ⊥OD ，BC ⊥OE ，且OF ＝OD ＝OE ＝r ，∴四边形OECF 是正方形，∴CF ＝CE ＝OF ＝r ，∴AE ＝AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣r ，BF ＝BD ＝BC ﹣CF ＝8﹣r ，∵AD +BD ＝AB ＝10，∴6﹣r +8﹣r ＝10，∴r ＝2．∴⊙O 的半径等于2．故答案为：2．【题型6 三角形内切圆中求最值】【例6】（2022春•长兴县月考）如图，矩形ABCD ，AD ＝6，AB ＝8，点P 为BC 边上的中点，点Q 是△ACD 的内切圆圆O 上的一个动点，点M 是CQ 的中点，则PM +1　．【分析】由矩形性质和勾股定理可得AC ＝10，设△ADC 内切圆半径为r ，由面积法可得r ＝2，连接BQ ，易证PM 为△BCQ 的中位线，得出PM =12BQ ，当BQ 经过圆心O 时，BQ 最长，则此时PM 最大，作OE ⊥AD 与点E ，OF ⊥AB 与点F ，则BF ＝AB ﹣AF ＝8﹣2＝6，OF ＝AE ＝AD ﹣DE ＝6﹣2＝4，由勾股定理可得BO =BQ ＝BO +OQ ＝2，从而可得PM 的结果．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D ＝90°，CD ＝AB ＝8，∴AC ==10，设△ADC 的内切圆半径为r ，则有12r(AC +AD +DC)=12×6×8，即12r(10+6+8)=24，解得：r ＝2．连接BQ ，∵P为BC中点，M为CQ中点，∴PM为△BQC的中位线，BQ，∴PM=12当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最大，作OE⊥AD与点E，OF⊥AB与点F，则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，∴BO=∴BQ＝BO+OQ＝+2，BQ=1．∴PM=12+1．【变式6-1】（2022秋•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　4πcm2．　．r 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：12•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为12ABC的面积，可得r，求得圆的面积．【解答】解：如图1所示，S △ABC =12•r •（AB +BC +AC ）=12r ×42＝21r ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，如图2，设CD ＝x ，由勾股定理得：在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2﹣BD 2＝400﹣（7+x ）2，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2﹣x 2＝225﹣x 2，∴400﹣（7+x ）2＝225﹣x 2，解得：x ＝9，∴AD ＝12，∴S △ABC =12BC ×AD =12×7×12＝42，∴21r ＝42，∴r ＝2，该圆的最大面积为：S ＝πr 2＝π•22＝4π（cm 2），故答案为：4πcm 2．【变式6-2】（2022•温州自主招生）设等边△ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足PI ＝1，则△ABC 与△APC 的面积之比的最大值为　6　．【分析】P 满足PI ＝1，则P 在以I 为圆心，以1位半径的圆上，当P 是⊙O 和BE 的交点时，△ACP 的面积最小，即△ABC 与△APC 的面积之比最大．此时PE ＝2﹣1＝1，则△ABC 与△APC 的面积的比值是BE 与PE 的比值，据此即可求解．【解答】解：点P 满足PI ＝1，则P 在以I 为圆心，以1位半径的圆上．作BE ⊥AC ，则BE 一定过点I ，连接AI ．∵在直角△AIE 中，∠IAE =12∠BAC =12×60°＝30°，IE ＝2，∴AI ＝2IE ＝4，∴BE ＝IE +BI ＝IE +AI ＝2+4＝6．当P是⊙I和BE的交点时，△ACP的面积最小，即△ABC与△APC的面积之比最大．此时PE＝2﹣1＝1，则△ABC与△APC的面积的比值是BEPE =61=6．故答案是：6．【变式6-3】（2022秋•滨湖区期末）已知点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120゜．（1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：AC+BC＝CD；（2）如图2，△ABC内切圆半径为r．①用含r的代数式表示AC+BC；②求r的最大值．【分析】（1）在CD上截取CE＝BC，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到△BCE为等边三角形，根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝60°，则BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，所以∠1＝∠2，于是可根据“AAS”判断△ACB≌△DEB，得到AC＝DE，由此得到CD＝CE+DE＝BC+AC；（2）①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC于F，根据内心的性质得PF＝PQ＝PH＝r，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到∠CPF＝∠CPH＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CF，CH==，然后根据切线长定理得到AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC，而AB＝AQ+BQ，所以AC+BC＝6，整理得AC+BC＝6+；②由于AC+BC＝CD得到CD＝6，所以当CD为直径时，r最大；当CD为直径，根据垂径定理的推论得CD⊥AB，AM＝BM=12AB＝3，AC＝BC，可计算出CD=AC＝2CD＝+=6+，可解得r＝6﹣【解答】（1）证明：在CD上截取CE＝BC，如图1，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△BCE为等边三角形，∠ABD＝∠ACD＝60°，∴BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，∴∠1＝∠2，在△ACB和△DEB中∠A=∠D∠1=∠2，BC=BE∴△ACB≌△DEB，∴AC＝DE，∴CD＝CE+DE＝BC+AC；（2）解：①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC 于F，如图，则PF＝PQ＝PH＝r，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∴∠CPF＝∠CPH＝30°，∴CF=，CH==，∴AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC，而AB＝AQ+BQ，∴AC+BC＝6，∴AC+BC＝6+；②∵AC+BC＝CD，∴CD＝6+，∴当CD为直径时，r最大，如图3，当CD为直径，∴CD⊥AB，垂足为M，AB＝3，AC＝BC，∴AM＝BM=12∵∠ACD＝60°，∴∠CAM＝30°，∴CD∴AC＝2CD＝∴+6，∴r＝6﹣即r的最大值为6﹣【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】【例7】（2022秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R 和r，则R﹣r＝　1.5　．【分析】利用三角形的外心与内心的性质即可进行计算．【解答】解：因为直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，所以R==2.5；如图，若Rt △ABC 的边AC ＝3，BC ＝4，根据勾股定理，得AB =5，其内切圆⊙O 分别切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F ．设OE ＝OF ＝OD ＝r ，∴S △ABC ＝S △AOB +S △BOC +S △AOC ，即12AC •BC =12AB •OD +12BC •OE +12AC •OF ，12×3×4=12×5×r +12×4×r +12×3×r ，6=12r （5+4+3），6＝6r ，∴r ＝1，则R ﹣r ＝2.5﹣1＝1.5．故答案为：1.5．【变式7-1】（2022•鞍山模拟）如图，⊙O 内切于Rt △ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∠C ＝90°．已知∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝　15　°，∠B ＝　60　°．已知AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，则△ABC 的外接圆的半径为　52　cm ，内切圆的半径为　1　cm ．【分析】由三角形内心的性质得到OC 平分∠ACB ，求得∠ACO =12∠ACB ＝45°，根据三角形的内角和得到结论；根据勾股定理得到AB ==5，于是得到结论．【解答】解：∵⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C ＝90°，∴OC 平分∠ACB ，∴∠ACO =12∠ACB ＝45°，∵∠AOC ＝120°，∴∠OAC ＝180°﹣45°﹣120°＝15°，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠OAC ＝30°，∴∠B ＝90°﹣30°＝60°；∵AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，∠C ＝90°，∴AB ==5，∴△ABC 的外接圆的半径为52；设内切圆的半径为r ，∴r =34−52=1，故答案为：15，60，52，1．【变式7-2】（2022•游仙区模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，其周长为20，⊙I 是△ABC 的内切BIC 的外接圆直径为 ．【分析】设△BIC 的外接圆圆心为O ，连接OB ，OC ，作CD ⊥AB 于点D ，在圆O 上取点F ，连接FB ，FC ，作OE ⊥BC 于点E ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，根据三角形内心定义可得S △ABC =12lr =12×20×=12AB •CD ，可得bc ＝40，根据勾股定理可得BC ＝a ＝7，再根据I 是△ABC 内心，可得IB 平分∠ABC ，IC 平分∠ACB ，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC ＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB 的长．【解答】解：如图，设△BIC 的外接圆圆心为O ，连接OB ，OC ，作CD ⊥AB 于点D ，在圆O 上取点F ，连接FB ，FC ，作OE ⊥BC 于点E ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，∵∠BAC ＝60°，∴AD =12b ，CD ，∴BD ＝AB ﹣AD ＝c −12b ，∵△ABC 周长为l ＝20，△ABC 的内切圆半径为r∴S △ABC =12lr =12×20×12AB •CD ，∴=•c ，∴bc ＝40，在Rt △BDC 中，根据勾股定理，得BC 2＝BD 2+CD 2，即a 2＝（c −12b ）2+）2，整理得：a 2＝c 2+b 2﹣bc ，∵a +b +c ＝20，∴a 2＝c 2+b 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（20﹣a ）2﹣3×40，解得a ＝7，∴BC ＝a ＝7，∵I 是△ABC 内心，∴IB 平分∠ABC ，IC 平分∠ACB ，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OE⊥BC，，∠BOE＝60°，∴BE＝CE=72÷∴OB=72【变式7-3】（2022秋•鄞州区校级月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．【分析】连接ID、IE、IF，如图，由AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，根据圆周角定理的推论和勾股定理AB＝5，连接OI，设⊙I的得到AB为△ABC的外接圆的直径，AB＝10，则外心O为AB的中点，BO=12半径为r，根据切线的性质和切线长定理得ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，易得四边形IDCE为正方形，则DC＝CE＝r，所以AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，即AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，利用AF+BF＝AB得8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，所以BF＝4，则OF＝OB﹣BF＝1，在Rt△IOF中，根据勾股定理得IO【解答】解：连接ID、IE、IF，如图，∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，AB=10，∴外心O为AB的中点，AB＝5，∴BO=12连接OI，如图，设⊙I的半径为r，∵⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，而∠C＝90°，∴四边形IDCE为正方形，∴DC＝CE＝r，∴AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，∴AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，而AF+BF＝AB，∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，∴BF＝6﹣r＝4，∴OF＝OB﹣BF＝5﹣4＝1，在Rt△IOF中，IF＝2，OF＝1，∴IO=即Rt△ABC的内心I与外心O。

2022中考数学圆综合大题证明切线的两种常用方法类型1直线与圆有交点方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．1．(朝阳中考)如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD交于点C，且CD＝BD.(1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．2．(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．3．(毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．类型2不确定直线与圆是否有公共点方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．【例2】如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC 相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)求线段AC的长．参考答案【例1】 证明：法一：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OB ＝OD ，∴∠BDO ＝∠B.∴∠BDO ＝∠C.∴OD ∥AC.∵DM ⊥AC ，∴DM ⊥OD.∴DM 与⊙O 相切．法二：连接OD ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠CAD.∵DM ⊥AC ，∴∠CAD ＋∠ADM ＝90°.∵OA ＝OD ，∴∠BAD ＝∠ODA.∴∠ODA ＋∠ADM ＝90°.即OD ⊥DM ，∴DM 是⊙O 的切线．1.(1)连接OB ，∵OA ＝OB ，∴∠OAC ＝∠OBC.∵OA ⊥OD ，∴∠AOC ＝90°.∴∠OAC ＋∠OCA ＝90°.∵DC ＝DB ，∴∠DCB ＝∠DBC.∵∠DCB ＝∠ACO ，∴∠ACO ＝∠DBC.∴∠DBC ＋∠OBC ＝90°.∴∠OBD ＝90°.∵点B 是半径OB 的外端，∴BD 与⊙O 相切．(2)设BD ＝x ，则CD ＝x ，OD ＝x ＋1，OB ＝OA ＝3，由勾股定理得：32＋x 2＝(x ＋1)2.解得x ＝4.∴BD ＝4.2.(1)连接BD ，则∠DBE ＝90°.∵四边形BCOE 是平行四边形，∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC ＝12AD ＝1.∴AD ＝2.(2)BC 是⊙O 的切线，理由如下：连接OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD.∴四边形BCDO 是平行四边形．又∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD.∴四边形BCDO 是矩形．∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．3.(1)连接OA ，OD ，∵D 为BE 的下半圆弧的中点，∴∠FOD＝90°.∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠AFC.∵∠AFC＝∠OFD，∴∠CAF＝∠OFD.∵OA＝OD，∴∠ODF＝∠OAF.∵∠FOD＝90°.∴∠OFD＋∠ODF＝90°.∴∠OAF＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°.∴AC与⊙O相切．(2)∵半径R＝5，EF＝3，∴OF＝OE－EF＝5－3＝2.在Rt△ODF中，DF＝52＋22＝29.【例2】法一：连接DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．法二：连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴F在⊙D上，∴AC与⊙D相切．4.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC.∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.∴N在⊙O上．∴CD与⊙O相切．5.(1)证明：过点D作DF⊥AC于F.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，∴EB＝FC.∵AB＝AF，∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC，∴AC＝5＋3＝8.2022年中考数学复习专题---圆中阴影面积计算班级：___________姓名：___________学号：___________1．如图，直线y kx b=+经过点M(1，√3)和点N(1−，3√3)，A、B是此直线与坐标轴的交点．以AB为直径作⊙C，求此圆与y轴围成的阴影部分面积．2．如图，AAAA是⊙OO的直径，CC,DD是圆上两点，且有BD�=CCDD�，连结AADD,AACC，作DDDD⊥AACC的延长线于点DD．(1)求证：DDDD是⊙OO的切线；(2)若AADD=2√3,∠AADDDD=60∘，求阴影部分的面积．（结果保留ππ）3．如图，AAAA是圆OO的直径，AACC⊥AAAA，DD为圆OO上的一点，AACC=DDCC，延长CCDD交AAAA的延长线于点DD.(1)求证：CCDD为圆OO的切线.(2)若OOFF⊥AADD，OOFF=1，30∠=o，求圆中阴影部分的面积.(结果保留ππ)OAF4．如图，⊙OO是等边ΔAAAACC的外接圆，连接AAOO并延长至点PP，且AAAA=AAPP．（1）求证：PPAA是⊙OO的切线；（2）若AAAA=2√3，求图中阴影部分的面积．（结果保留ππ和根号）5．如图，OO为等边△AAAACC的外接圆，DD为直径CCDD延长线上的一点，连接AADD，AADD=AACC．（1）求证：AADD是⊙O的切线；（2）若CCDD=6，求阴影部分的面积．6．如图，AC为圆O的直径，弦AD的延长线与过点C的切线交于点B，E为BC中点，AC= 4√3，BC=4.（1）求证：DE为圆O的切线；（2）求阴影部分面积.7．已知AB是⊙O的直径，点C是圆O上一点，点P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：P A为⊙O的切线；（2）如果OP＝AB＝6，求图中阴影部分面积．8．如图，AAAA为⊙OO的直径，弦CCDD⊥AAAA，垂足为DD，CCDD=4√5，连接OOCC,OODD=2DDAA,FF为圆上一点，过点FF作圆的切线交AAAA的延长线于点GG，连接AAFF,AAFF=AAGG．（1）求⊙OO的半径；（2）求证：AAFF=FFGG；（3）求阴影部分的面积．9．如图，△ABC中，∠C=90º，∠ABC=2∠A，点O在AC上，OA=OB,以O为圆心，OC为半径作圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BC=3，求图中阴影部分的面积．10．如图，在△ABC中，∠CC=60∘，⊙OO是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．(1)求证：PA是⊙OO的切线；(2)若AB=2√3，求图中阴影部分的面积.(结果保留ππ和根号)11．如图，AB为圆O的直径，射线AD交圆O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC(1)求证：CE是圆O的切线(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积12．如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD于G,OG:OC=3:5,AB=8.(1)求⊙O的半径；(2)点E为圆上一点,∠ECD=15º,将弧CE沿弦CE翻折,交CD于点F,求图中阴影部分的面积.13．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝4，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P．（1）求劣弧PC的长（结果保留π）；（2）过点P作PF⊥AC于点F，求阴影部分的面积（结果保留π）.14．如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分∠ADC，AC长10cm．（1）求点O到AB的距离；（2）求阴影部分的面积．15．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA 的延长线交于点E，连接CE，求阴影部分的面积．16．如图，∠APB的平分线过点O，以O点为圆心的圆与PA相切于点C，DE为⊙O的直径．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠CPO＝50°，∠E＝25°，求∠POD；（3）若⊙O的半径为2，CE＝2√3，求阴影部分的面积．17．如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A 关于直线PO对称，已知OA=4，∠POA=60°求：（1）弦AB的长；（2）阴影部分的面积（结果保留π）．18．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD＝1，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--切线的证明1．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，O是BC边上的点，⊙O与AB相切，切点为D，AC与⊙O相交于点E，且AD=AE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如果F为DE弧上的一个动点（不与D、E重合），过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，有两个结论：①四边形BCHG的周长不变，②∠GOH的度数不变．已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；（3）探究：在（2）的条件下，设BG=x，CH=y，试问y与x之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定变量x的取值范围，并说明当x=y时F点的位置．2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且CD平分⊙ACB，过点D作DE∥AB交CB延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC＝4，tan∠BAC=12，求DE的长．3．如图，以BC为直径的⊙O交⊙CFB的边CF于点A，BM平分⊙ABC交AC于点M，AD⊙BC于点D，AD交BM于点N，ME⊙BC于点E，AB2=AF·AC，cos⊙ABD=35，AD=12．（1）求证：⊙ABF⊙⊙ACB；（2）求证：FB是⊙O的切线；（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．4．如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD//OC.（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB=3AE=12，求BF的长.5．如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，⊙CBO=45°，CD⊙AB．⊙CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C 的坐标；（2）当⊙BCP=15°时，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．6．如图，A 为⊙O 外一点，AO⊙BC ，直径BC ＝12，AO ＝10，BD 的长为π，点P 是BC 上一动点，⊙DPM ＝90°，点M 在⊙O 上，且⊙DPM 在DP 的下方．（1）当sinA ＝35时，求证：AM 是⊙O 的切线； （2）求AM 的最大长度．7．如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（0，8）、（6，0），以AC 为直径作⊙O ，交坐标轴于点B ，点D 是⊙O 上一点，且 BD =AD ，过点D 作DE⊙BC ，垂足为E.（1）求证：CD 平分⊙ACE ；（2）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）求线段CE 的长.8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦（不是直径），OD ⊙AC 垂足为G 交⊙O 于D ，E 为⊙O 上一点（异于A 、B ），连接ED 交AC 于点F ，过点E 的直线交BA 、CA 的延长线分别于点P 、M ，且ME ＝MF ．（1）求证：PE是⊙O的切线．（2）若DF＝2，EF＝8，求AD的长．（3）若PE＝6 √2，sin⊙P＝13，求AE的长．9．如图，已知等边⊙ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D 作DF⊙AC，垂足为F，过点F作FG⊙AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan⊙FGD的值．10．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，圆心O在AB上，且⊙B=2⊙A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC．（1）求证：CF是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长11．如图，⊙ O是⊙ ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（1）∠ECB=∠BAD；（2）BE是⊙ O的切线．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若BC=6，cosC=35，求DN的长．13．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊙OF于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且⊙OEB=⊙ACD.（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为52，BG的长为154，求tan⊙CAB.14．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF⊙BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2√3，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.15．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF=∠GBC，连接FG.备用图（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4.①当OD=3，求AD的长度；②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积.16．如图1，在矩形ABCD中，AB=9,BC=12，点P是线段AD上的一个动点，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，连接CP.（1）当⊙P经过PC的中点时，PC的长为；（2）当CP平分∠ACD时，判断AC与⊙P的位置关系.说明理由，并求出PD的长；（3）如图2，当⊙P与AC交于E,F两点，且EF=9.6时，求点P到AC 的距离．答案解析部分1．【答案】（1）解：如图，连接OA，OD，OE，∵AB是⊙O的切线，点D为切点，∴⊙ADO=90°，∵AD=AE，OD=0E，AO=AO，∴⊙AOD⊙⊙AOE，∴⊙ADO=⊙AEO=90°，∴AC是⊙O的切线，点E为切点；（2）解：根据题意，四边形BCHG的周长为BC+CH+BG+HG，∵∠A=90°，AB=AC=4，∴⊙B=⊙C=45°，BC=4 √2，∵⊙ADO=⊙AEO=90°，OD=0E，∴⊙DOB=⊙EOC=45°，⊙BOD⊙⊙COE，∴OB=OC，BD=CE，∴⊙EOD=90°，⊙AOB=90°，⊙BAO=45°，∴BD=OD=DA=CE= 12AB=2，∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，∴HF=HE，GD=GF，∴四边形BCHG的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD=BC+CE+BD+GH+HF+FG= BC+CE+BD+2GH=4+4 √2+2GH，∵GH是变量，∴四边形BCHG的周长不是定值，这个结论不符合题意；∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，根据切线长定理，得GO平分⊙DOF，HO平分⊙EOF，∴⊙GOH=⊙GOF+⊙HOF= 12⊙DOF+12⊙EOF=12（⊙DOF+⊙EO）= 12⊙EOD，∵⊙EOD=90°，∴⊙GOH=45°，是个定值，故该结论符合题意（3）解：根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2，∴GH=x+y-4，AG=4-x，AH=4-y，在直角三角形AGH中，AG2+AH2=GH2，∴(x−2)2+(y−2)2=(x+y−4）2，整理，得y= 8x，且2＜x＜4，当x=y时，∴AG=AH，∴AG：AB=AH：AC，∴GH⊙BC，∴OF⊙GH，∵BG=CH，⊙B=⊙C，BO=CO，∴⊙BOG⊙⊙COH，∴GO=HO，∴GF=FH，∴A，F，O三点一线，∴⊙DOF=⊙EOF，∴弧DF=弧EF，故点F是弧DE的中点．2．【答案】（1）解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝90°，∵CD平分⊙ACB，∴⊙ACD＝45°，∴⊙AOD＝2⊙ACD＝90°，∵AB∥DE，∴⊙ODE＝⊙AOD＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点B作BG⊙DE于点G，∴⊙BGD＝⊙BGE＝90°，∵⊙AOD＝90°，∴⊙DOB＝90°，∵⊙ODE=90°，∴四边形ODGB是矩形，∵OD＝OB，∴四边形ODGB是正方形，∴OB＝OD＝DG＝BG，∵AC＝4，∴tan∠BAC=1 2，∴BC＝2，∴AB=√AC2+BC2=2√5，∴BG=DG=OB=√5，∵AB∥DE，∴⊙ABC＝⊙E，∴⊙EBG＝⊙BAC，∴tan∠EBG=tan∠BAC=1 2，∴EG=12BG=√5 2，∴DE=DG+EG=3√52．3．【答案】（1）证明：∵BC为⊙O的直径∴⊙BAC=90°∴⊙BAF=⊙BAC=90°又∵AB2=AF·AC∴ABAC=AF AB∴⊙ABF⊙⊙ACB（2）证明：∵⊙ABF⊙⊙ACB∴⊙ABF=⊙C又∵⊙ABC+⊙C=90°∴⊙FBC=⊙ABC+⊙ABF=90°∴BF是⊙O的切线（3）证明：∵ME⊙BC，MA⊙AB，BM平分⊙ABC ∴MA=ME∴⊙AMN=90°－⊙ABM=90°－⊙EBM=⊙EMN∴AB=BE∵NM=NM∴⊙AMN⊙⊙EMN∴AN=NE又∵AD⊙BC，ME⊙BC，∴ME⊙AD，∴⊙ANM=⊙EMN，∴⊙ANM=⊙AMN∴AN=AM∴AN=NE=EM=MA，∴四边形AMEN是菱形．∵cos⊙ABD= 35，⊙ADB=90°∴BDAB=3 5设BD=3x，则AB=5x，AD= √(5x)2−(3x)2=4x 又∵AD=12，∴x=3，∴BD=9，AB=15，∴BE=BA=15∴DE=BE-BD=6∵ND⊙ME，∴⊙BND⊙⊙BME∴NDME=BD BE设ME=y，则ND=12-y，12−y y=9 15，解得y= 15 2∴S= ME⋅DE=152×6=454．【答案】（1）证明：连接OD∵CB与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC∵AD//OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC，∴△DOC≌△BOC(SAS)，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC又OD为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x∵AE⊥EB，∴AE为⊙O的切线，∴CD、CB为⊙O的切线，∴ED=AE= 4，CD=CB=x，∠DOC=∠BCO，∴BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M，则EM=12，CM=x−4，∴(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9，∴CB=9，∴OC=√62+92=3√13，∵AB是直径，且AD⊙OC∴⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又∵⊙COB=⊙BOF∴OB BF =OC BC∴BF =OB⋅BC OC =6×93√13=1813√13 5．【答案】（1）解：∵⊙BCO=⊙CBO=45°，∴OC=OB=3，又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴点C 的坐标为（0，3）（2）解：分两种情况考虑：①当点P 在点B 右侧时，如图2，若⊙BCP=15°，得⊙PCO=30°，故PO=CO•tan30°= √3 ，此时t=4+ √3 ；②当点P 在点B 左侧时，如图3，由⊙BCP=15°，得⊙PCO=60°，故OP=COtan60°=3 √3 ，此时，t=4+3 √3 ，∴t 的值为4+ √3 或4+3 √3（3）解：由题意知，若⊙P 与四边形ABCD 的边相切时，有以下三种情况： ①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有⊙BCP=90°，从而⊙OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊙CD，即点P与点O重合，此时t=4；③当⊙P与AD相切时，由题意，得⊙DAO=90°，∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，解得：t=5.6，∴t的值为1或4或5.6．6．【答案】（1）证明：如图①，过点O作OE⊙AM于点E，∵在Rt⊙AOE 中，当sinA ＝35，OA ＝10， ∴OE ＝6∵直径BC ＝12，∴OM ＝6＝OE ，∴点E 与点M 重合，OM⊙AM ，∴AM 是⊙O 的切线．（2）解：如图②，当点P 与点B 重合时，AM 取得最大值．AM 的最大长度可以通过勾股定理求得．延长AO 交⊙O 于点F ，作MG⊙AF 于点G ，连接OD 、OM ，DM ，∵BD 的长为π，∴π＝∠BOD⋅π⋅6180， ∴⊙BOD ＝30°，∵⊙DBM ＝90°，∴DM 是⊙O 的直径，即DM 过点O ，∴⊙COM ＝30°，∵AO⊙BC ，∴⊙MOG ＝60°，在Rt⊙GOM 中，⊙MOG ＝60°，OM ＝6，∴OG＝3，GM＝3√3，在Rt⊙GAM中，AM＝√AG2+GM2＝14，∴AM的最大长度：14．7．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴⊙BAD+⊙BCD=180°，又∵⊙BCD+⊙DCE=180°，∴⊙DCE=⊙BAD，∵＝，∴⊙BAD=⊙ACD，∴⊙DCE=⊙ACD，∴CD平分⊙ACE.（2）解：直线ED与⊙O相切.连接OD.∵OC=OD，∴⊙ODC=⊙OCD，又∵⊙DCE=⊙ACD，∴⊙DCE=⊙ODC，∴OD⊙BE，∴⊙ODE=⊙DEC，又∵DE⊙BC，∴⊙DEC=90°，∴⊙ODE=90°∴OD⊙DE，∴ED与⊙O相切（3）解：延长DO交AB于点H.∵OD⊙BE，O是AC的中点，∴H是AB的中点，∴HO是⊙ABC的中位线，∴HO= 12BC=3，又∵AC为直径，∴⊙ADC=90°，又∵O是AC的中点∴OD= 12AC=12× √62+82=5，∴HD=3+5=8，∵⊙ABC=⊙DEC=⊙ODE=90°，∴四边形BEDH是矩形，∴BE=HD=8，∴CE=8﹣6=28．【答案】（1）证明：连接OE，∵OD⊙AC，∴⊙DGF＝90°，∴⊙D+⊙DFG＝⊙D+⊙AFE＝90°，∴⊙DFG＝⊙AFE，∵ME＝MF，∴⊙MEF＝⊙MFE，∵OE＝OD，∴⊙D＝⊙OED，∴⊙OED+⊙MEF＝90°，∴OE⊙PE，∴PE是⊙O的切线（2）解：∵OD⊙AC，∴CD=AD，∴⊙FAD＝⊙AED，∵⊙ADF＝⊙EDA，∴⊙DFA ～⊙DAE ， ∴AD DE =DF AD， ∴AD 2＝DF•DE ＝2×10＝20， ∴AD ＝2 √5（3）解：设OE ＝x ， ∵sin⊙P ＝ OE OP =13， ∴OP ＝3x ，∴x 2+（6 √2 ）2＝（3x ）2，解得：x ＝3，过E 作EH 垂直AB 于H ，sin⊙P ＝ EH PE =6√2=13 ， ∴EH ＝2 √2 ，∵OH 2+EH 2＝OE 2，∴OH ＝1，∴AH ＝2，∵AE 2＝HE 2+AH 2，∴AE ＝2 √3 ．9．【答案】（1）解：连结OD ，如图，∵⊙ABC 为等边三角形，∴⊙C ＝⊙A ＝⊙B ＝60°，而OD ＝OB ，∴⊙ODB 是等边三角形，⊙ODB ＝60°，∴⊙ODB ＝⊙C ，∴OD⊙AC ，∵DF⊙AC ，∴OD⊙DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD⊙AC ，点O 为AB 的中点，∴OD 为⊙ABC 的中位线，∴BD ＝CD ＝6．在Rt⊙CDF中，⊙C＝60°，∴⊙CDF＝30°，∴CF＝12CD＝3，∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9，在Rt⊙AFG中，∵⊙A＝60°，∴FG＝AF×sinA＝9× √32＝9√32（3）解：过D作DH⊙AB于H．∵FG⊙AB，DH⊙AB，∴FG⊙DH，∴⊙FGD＝⊙GDH．在Rt⊙BDH中，⊙B＝60°，∴⊙BDH＝30°，∴BH＝12BD＝3，DH＝√3BH＝3√3，在Rt⊙AFG中，∵⊙AFG＝30°，∴AG＝12AF＝92，∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝12﹣92﹣3＝92，∴tan⊙GDH＝GHDH=923√3=√32，∴tan⊙FGD＝tan⊙GDH＝√32．10．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵⊙O是⊙ABC的外接圆，圆心O在AB上，∴AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，又∵⊙B=2⊙A，∴⊙B=60°，⊙A=30°，∵EM⊙AB ，∴⊙EMB=90°，在Rt⊙EMB 中，⊙B=60°，∴⊙E=30°，又∵EF=FC ，∴⊙ECF=⊙E=30°，又∵⊙ECA=90°，∴⊙FCA=60°，∵OA=OC ，∴⊙OCA=⊙A=30°，∴⊙FCO=⊙FCA+⊙ACO=90°，∴OC⊙CF ，∴FC 是⊙O 的切线（2）解：在Rt⊙ABC 中，∵⊙ACB=90°，⊙A=30°，AB=4， ∴BC=12AB=2，AC=√3BC=2√3， ∵AC=CE ，∴CE=2√3，∴BE=BC+CE=2+2√3，在Rt⊙BEM 中，⊙BME=90°，⊙E=30°∴BM=12BE=1+√3， ∴AM=AB ﹣BM=4﹣1﹣√3=3﹣√311．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴⊙ECB=⊙BAD ．（2）证明：连结OB，OD，在⊙ABO和⊙DBO中，{AB=BD BO=BOOA=OD，∴⊙ABO⊙⊙DBO （SSS），∴⊙DBO=⊙ABO，∵⊙ABO=⊙OAB=⊙BDC，∴⊙DBO=⊙BDC，∴OB⊙ED，∵BE⊙ED，∴EB⊙BO，∴BE是⊙O的切线12．【答案】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°；又∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，∵AO=DO，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AC；∵DM⊥AC，∴∠AMD=90°，∴∠ODN=∠AMD=90°，∴OD⊥MN；又∵OD是⊙O半径，∴MN是⊙O的切线；（2）∵BC=6，BD=CD，∴BD=CD=3；在Rt△ADC中，cosC=CD AC，∵cosC=35，∴AC=5；又∵AB=AC，∴AB=5；在Rt△ADB中，根据勾股定理AD=√AB2−BD2=4，∵∠ODN=90°，∴∠NDB+∠BDO=90°；又∵∠ADB=90°，∴∠BDO+∠ODA=90°，∠OAD=∠ODA，∴∠NDB=∠OAD；又∵∠N=∠N，∴△BDN∽△DAN，∴BNDN=DNAN=BDDA=34，∴BN=34DN，DN=34AN，∴BN=34(34AN)=916AN，∵BN+AB=AN，∴916AN+5=AN，∴AN=80 7，∴DN=34AN=607．13．【答案】（1）证明：∵∠OEB=∠ACD，∠ACD=∠ABD，∴∠OEB=∠ABD，∵OF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠OEB+∠EBF=90°，∴∠ABD+∠EBF=90°，即∠OBE=90°，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵OA=OB，∴∠CAO=∠ACO，∵∠CDB =∠CAO ，∴∠ACO =∠CDB ，∵∠CFD =∠GFC ，∴△CDF ∼△GCF ，∴GF CF =CG CD， ∵∠CDB =∠CAB ， ∠DCA =∠DBA ， ∴△DCG ∼△ABG ，∴CG CD =BG AB， ∴GF CF =BG AB， ∵r =52 ， BG =154， ∴AB =2r =5 ，∴tan∠CAB =tan∠ACO =GF CF =BG AB =34. 14．【答案】（1）解：直线AF 与⊙O 相切. 理由如下：连接OC ，∵PC 为圆O 切线，∴CP⊙OC ，∴⊙OCP ＝90°，∵OF⊙BC ，∴⊙AOF ＝⊙B ，⊙COF ＝⊙OCB ，∵OC ＝OB ，∴⊙OCB ＝⊙B ，∴⊙AOF ＝⊙COF ，∵在⊙AOF 和⊙COF 中，{OA =OC ∠AOF =∠COF OF =OF，∴⊙AOF⊙⊙COF（SAS），∴⊙OAF＝⊙OCF＝90°，∴AF⊙OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）解：∵⊙AOF⊙⊙COF，∴⊙AOF＝⊙COF，∵OA＝OC，∴E为AC中点，即AE=CE=12AC，OE⊥AC，∵⊙OAF=90°，OA=6，AF=2√3，∴tan∠AOF=AFOA=2√36=√33，∴⊙AOF＝30°，∴AE=12OA=3，∴AC=2AE=6；（3）解：∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴⊙AOC是等边三角形，∴⊙AOC＝60°，OC＝6，∵⊙OCP＝90°，∴CP=√3OC=6√3，∴S⊙OCP＝12OC⋅CP=12×6×6√3=18√3，S扇形AOC=60⋅π×62360=6π，∴阴影部分的面积=S⊙OCP﹣S扇形AOC＝18√3−6π. 15．【答案】（1）证明：连接AF，∵BF为⊙O的直径，∴∠BAF =90° ， ∠FAG =90° ， ∴∠BGF +∠AFG =90° ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ， ∵∠ACB =∠AFB ， ∠BGF =∠ABC ， ∴∠BGF =∠AFB ，∴∠AFB +∠AFG =90° ，即 ∠OFG =90° . 又∵OF 为半径，∴FG 是 ⊙O 的切线.（2）解：①连接CF ，则 ∠ACF =∠ABF ，∵AB=AC ，OB=OC ，OA=OA ，∴△ABO ≅△ACO ，∴∠ABO =∠BAO =∠CAO =∠ACO ， ∴∠CAO =∠ACF ，∴AO ∥CF ，∴AD CD =OD DF. ∵半径是4， OD =3 ，∴DF =1 ， BD =7 ， ∴AD CD =3 ，即 CD =13AD ， 又由相交弦定理可得： AD ⋅CD =BD ⋅DF ， ∴AD ⋅CD =7 ，即 13AD 2=7 ， ∴AD =√21 （舍负）；②∵△ODC 为直角三角形， ∠ODC =90° 不可能等于 90° . ∴（i ）当 ∠ODC =90° 时，则 AD =CD ， 由于 ∠ACO =∠ACF ，∴OD =DF =2 ， BD =6 ， ∴AD ⋅CD =AD 2=6×2=12 ，∴AD=2√3，AC=4√3，∴S△ABC=12×4√3×6=12√3；（ii）当∠COD=90°时，∵OB=OC=4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴BC=4√2，延长AO交BC于点M，∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，∴AM⊥BC，∴MO=sin45∘⋅BO=2√2，∴AM=4+2√2，∴S△ABC=12×4√2×(4+2√2)=8√2+8.16．【答案】（1）6√3（2）⊙P与AC相切，理由如下：如图1，过点P作PH⊥AC于点H．∵CP平分∠ACD，∴PH=PD，∴⊙P与AC相切于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90∘在Rt△ADC中，CD=9,AD=12，∴AC=15，∴sin∠DAC=3 5设⊙P半径为x，则PH=PD=x，AP=12−x．在 Rt △AHP 中， sin∠PAH =PH AP =x 12−x∴x 12−x =35 ∴x =4.5 ，即 PD 的长为 4.5 ． （3）如图2，过点 P 作 PH ⊥AC 于 H ，连接 PF ．由（2）可知：在 Rt △AHP 中， sin∠PAH =PH AP =35设 ⊙P 半径为 x ，则 PF =PD =x,AP =12−x ．∴PH =35(12−x). 在 ⊙P 中， PH ⊥AC,EF =9.6∴HF =245在 Rt △PHF 中， [35(12−x)]2+(245)2=x 2 ∴x 1=6,x 2=−392 (舍)．∴PD =6 ，∴PH =35(12−x)=185 ，即点 P 到 AC 的距离为 185 ．。

2023年中考数学高频考点突破-圆的切线的证明1．如图，直线AD经过⊙O上的点A，⊙ABC为⊙O的内接三角形，并且⊙CAD＝⊙B.（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙CAD＝30°，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）2．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=．BC，AC=12OB（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．3．如图，△ABC内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG=EC．（1）求证：EC是圆O的切线；（2）当∠ABC=22.5°时，连接CF，①求证：AC=CF；②若AD=1，求线段FG的长．4．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，求⊙ABC的面积．5．如图，在⊙ABC中，⊙C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE（1）求证:直线DE是⊙O的切线，AC＝6，OA＝2，求图中阴影部分的面积（2）若BE＝10√336．如图，在⊙ABC中，⊙C=90°，⊙ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是⊙BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊙AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EF= √10，求AF长．7．如图，在⊙ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN⊙BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝√3．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．8．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．（1）求证：MC是⊙O的切线；（2）若OB=152，BC＝12，连接PC，求PC的长．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且⊙AED=45°．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为6cm，AE=10cm，求⊙ADE的正弦值．10．如图，以Rt⊙ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE．（1）DE 与半圆O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD 、AB 的长是方程x 2﹣10x+24=0的两个根，求直角边BC 的长．11．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，⊙ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE⊙BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF⊙AB 于点F ，若BE=3 √3 ，DF=3，求图中阴影部分的面积．12．如图，在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，AD 平分⊙BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DF ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，求证：⊙BDE ∼⊙BAD（3）若BE ＝52，sinB ＝35，求AD 的长． 13．如图，已知 ΔABC 内接干 ⊙O ， AB 是 ⊙O 的直径， ∠CAB 的平分线交 BC 于点 D ，交 ⊙O 于点 E ，连接 EB ，作 ∠BEF =∠CAE ，交 AB 的延长线于点 F .（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF=10，EF=20，求⊙O的半径和AD的长.14．如图，在△ABC中，AC=AB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，2∠BCP=∠BAC．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠BCP=12，求点B到线段AC的距离．15．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，⊙BCP＝⊙BAC，⊙ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：⊙PEC是等腰三角形；（3）若AC＋BC＝2时，求CD的长．16．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．（1）求证：⊙ABC=⊙D；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：直线AD与⊙O的位置关系是相切，理由是：作直径AE，连接CE，∵AE为直径，∴⊙ACE＝90°，∴⊙E+⊙EAC＝90°，∵⊙B＝⊙DAC，⊙B＝⊙E，∴⊙E＝⊙DAC，∴⊙EAC+⊙DAC＝90°，即OA⊙AD，∵OA过O，∴直线AD与⊙O的位置关系是相切；（2）解：连接OC，过O作OF⊙AC于F，则⊙OFA＝90，∵⊙CAD＝30°，⊙DAO＝90°，∴⊙OAC＝60°，∵OC＝OA＝1，∴⊙OAC是等边三角形，∴AC＝OA＝1，⊙AOC＝60°，∵OA ＝OC ，OF⊙AC ，∴AF ＝FC ＝ 12， 由勾股定理得：OF ＝ √12−(12)2=√32， ∴阴影部分的面积为： 60π×12360−12×1×√32=π6−√34【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）作直径AE ，连接CE ，求出⊙OAD ＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出⊙OAC 是等边三角形，再分别求出⊙OAC 和扇形OCA 的面积，即可得出答案.2．【答案】（1）证明：如图，连接OA ； ∵OC =BC,AC =12OB,∴OC=BC=AC=OA. ∴⊙ACO 是等边三角形. ∴∠O =∠OCA =60∘，∵AC=BC ， ∴⊙CAB=⊙B ， 又⊙OCA 为⊙ACB 的外角， ∴⊙OCA=⊙CAB+⊙B=2⊙B ， ∴∠B =30∘, 又 ∠OAC =60∘， ∴∠OAB =90∘，∴AB 是 ⊙O 的切线（2）解：作AE⊙CD 于点E ， ∵∠O =60∘，∴∠D =30∘.∵∠ACD =45∘，AC =OC =2，∴在Rt⊙ACE 中, CE =AE =√2；∵∠D =30∘，∴AD =2√2，∴DE =√3AE =√6，∴CD =DE +CE =√6+√2.【知识点】圆周角定理；切线的判定【解析】【分析】（1） 如图，连接OA ，根据题意得出OC =BC =AC =OA . 根据三边相等的三角形是等边三角形得出 ⊙ACO 是等边三角形 ，根据等边三角形的性质得出⊙O=⊙OCA=60°,根据等边对等角得出 ⊙CAB =⊙B ， 根据三角形外角的定理得出 ⊙OCA =⊙CAB +⊙B =2⊙B ，故⊙B=30°,根据角的和差得出⊙OAB=90°，故 AB 是 ⊙O 的切线 ；（2） 作AE ⊙CD 于点E ，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出⊙D=30°,然后根据等腰直角三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系得出CE,DE 的长，进而根据线段的和差即可算出答案。

2021年九年级数学中考复习专题之圆：切线的判定与性质（一）一．选择题1．下列说法中，正确的是（）A．圆的切线垂直于经过切点的半径B．垂直于切线的直线必经过切点C．垂直于切线的直线必经过圆心D．垂直于半径的直线是圆的切线2．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m的值为（）A．4或﹣4 B．4﹣或4+C．﹣4+或4+ D．4﹣或4+ 3．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（）A．B．l1和l2的距离为2C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切D．若MN与⊙O相切，则4．如图，∠ACB＝60°，半径为3的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．3 B．3C．6πD．5．如图，AB是⊙O的直径，＝，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA 的延长线于点F，已知AB＝2，∠F＝30°，则四边形ABEC的面积是（）A．2B．C．D．6．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，∠D＝110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．7．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝3；②点C在⊙D外；③直线CM与⊙D相切．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线9．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（）A．9 B．10 C．8D．1210．如图，在矩形ABCD中，AD＝80cm，AB＝40cm，半径为8cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切，此时⊙O移动了（）cm．A．56 B．72 C．56或72 D．不存在二．填空题11．直线l经过点A（4，0），B（0，2），若⊙M的半径为1，圆心M在x轴上，当⊙M 与直线l相切时，则点M的坐标．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB 上，沿DE将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD，点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为．14．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是．15．如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是．三．解答题16．如图，三角形ABC中，AC＝10，AB＝12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，D为AB的中点，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sin∠E的值．17．如图，圆O的直径AB＝12cm，C为AB延长线上一点，点P为中点，过点B作弦BD∥CP，连接PD．（1）求证：CP与圆O相切；（2）若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．18．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交CA的延长线于点F，延长BA交⊙O于G，且∠BAF＝2∠C．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若tan∠EFC＝，求的值．19．如图，点B为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，点P为OB上一点且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC，OC⊥OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若OB＝10，⊙O的半径为8．求AP的长．20．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE、DE、BD，BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC，求证：四边形OEDB是菱形．参考答案一．选择题1．解：A、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确；B、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；故本选项错误；C、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；故本选项错误；D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故本选项错误；故选：A．2．解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝，∴A（0，1），B（，0），∴AB＝2；如图，设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，∴△BMC～△BAO，∴＝，即＝，∴BM＝4，∴OM＝4﹣，或OM＝4+．∴m＝﹣4，m＝4+．故选：C．3．解：如图1，过点N作NC⊥AM于点C，∵直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，∴CN＝AB＝2，∵∠1＝60°，∴MN＝＝，故A与B正确；如图3，若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，故CO＝NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．故C正确；如图2，∵MN是切线，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴∠AMO＝∠1＝30°，∴AM＝；∵∠AM′O＝60°，∴AM′＝，∴若MN与⊙O相切，则AM＝或；故D错误．故选：D．4．解：设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP．∵⊙O与CA相切，⊙O与CB相切，∴∠OCD＝∠ACB＝30°，∵OP＝OD＝3，∴CD＝3．故选：B．5．解：连接OD、OC、BC，如图：∵AB是⊙O的直径，AB＝2，∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝AB＝1，∵BE⊥FE，∠F＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠F＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵＝，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是边长为1的等边三角形，∴AC＝OA＝1，∠OAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∴BC＝AC＝，∠CBE＝60°﹣30°＝30°，∴CE＝BC＝，BE＝CE＝，∴四边形ABEC的面积＝△ABC的面积+△BCE的面积＝×1×+××＝；故选：B．6．解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D＝110°，∴∠B＝180°﹣∠D＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°，∵∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∵的度数是70°，∴∠COD＝70°，∴∠AOD＝70°，∠BOC＝50°，∴AD弧的长度＝＝π，∴BC弧的长度＝＝π，∵70π＝6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．7．解：由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确；∵抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），∴4＝9a+，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）；∴AB＝10，∴AD＝5，∴OD＝3∵C（0，4），∴CD＝＝5，∴CD＝AD，∴点C在圆上，故②错误；由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：M（3，），∵C（0，4），∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝﹣x+4，∴CM⊥CD，∵CD＝AD＝5，∴直线CM与⊙D相切，故③正确；故选：C．8．解：A、如图，连接OE，则OB＝OE，∵∠B＝60°∴∠BOE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOE＝∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B＝60°，OB＝OE，∴BE＝OB，∵BE＝CE，∴BC＝AB＝2BO，∴AO＝OB，如图，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC＝60°，∴OH＝AO≠OB，∴C选项错误；D、如图，∵BE＝EC，∴CE＝BE，∵AB＝BC，BO＝BE，∴AO＝CE＝OB，∴OH＝AO＝OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．9．解：连接OE，延长EO交BF于点M，∵C'D'与⊙O相切，∴∠OEC′＝90°，又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'，∴∠EMB＝90°，∴BM＝FM，∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′，∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝B′C＝8，∴四边形EMBC'为矩形，∴ME＝8，设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，∵OM2+BM2＝OB2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴AB＝CD＝10．故选：B．10．解：存在这种情况，设点P移动速度为v1cm/s，⊙O2移动的速度为v2cm/s，由题意，得＝＝，如图②：设直线OO1与AB交于E点，与CD交于F点，⊙O1与AD相切于G点，若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G＝O1H．易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB＝∠BDP．∵BC∥AD，∴∠ADB＝∠CBD∴∠BDP＝∠CBD，∴BP＝DP．设BP＝xcm，则DP＝xcm，PC＝（80﹣x）cm，在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2+CD2＝PD2，即（80﹣x）2+402＝x2，解得x＝50，此时点P移动的距离为40+50＝90（cm），∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD，∴＝，即＝，EO1＝64cm，OO1＝56cm．①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为40cm，此时点P与⊙O移动的速度比为＝＝，∵≠，∴此时PD与⊙O1不能相切；②当⊙O在返回途中到达⊙O1位置时，⊙O移动的距离为2（80﹣16）﹣56＝72（cm），∴此时点P与⊙O移动的速度比为＝＝，此时PD与⊙O1恰好相切．此时⊙O移动了72cm，故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：∵直线l经过点A（4，0），B（0，2），∴AB＝＝2，设M坐标为（m，0）（m＞0），即OM＝m，若M′在A点左侧时，AM′＝4﹣m，当AB是⊙O的切线，∴∠M′C′A＝90°，∵∠M′AC′＝∠BAO，∠M′C′A＝∠BOA＝90°，∴△M′AC′∽△BAO，∴＝，即＝，解得：m＝4﹣，此时M′（4﹣，0）；若M在A点右侧时，AM＝m﹣4，同理△AMN∽△BAO，则有＝，即＝，解得：m＝4+．此时M（4+，0），综上所述，M（4﹣，0）或（4+，0），故答案为：M（4﹣，0）或（4+，0），12．解：作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，在Rt△ABC中，AC＝＝5，由题意可知，⊙P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切，当⊙P与AD相切时，PE＝PC，∵PE⊥AD，CD⊥AD，∴PE∥CD，∴△APE∽△ACD，∴＝，即＝，解得，CP＝，当⊙P与AB相切时，PF＝PC，∵PF⊥AB，CB⊥AB，∴PF∥BC，∴△APE∽△ACD，∴＝，即＝，解得，CP＝，综上所述，当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长或，故答案为：或．13．解：设BD＝x，由折叠知AD＝BD＝x，CD＝16﹣x，在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2＝82+（16﹣x）2，解得，x＝10，∴BD＝10，∵AB＝，∴AE＝BE＝AB＝4，∴DE＝，∴点P是线段AD上运动时，⊙P不可能与AB相切，分两种情况：①当⊙P与AC相切时，过点P作PF⊥AC于点F，如图1，∴PF＝5，PF∥CD，∴△APF∽△ADC，∴，即，∴；②⊙P与BC相切时，过点P作PG⊥BC于点G，如图2，∴PG＝5，PG∥AC，∴△DPG∽△DAC，∴，即，∴DP＝，∴AP＝10﹣，综上，AP的长为或．14．解：连接AD，∵D为BC中点，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，①正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠ADC，即AD⊥BC，又BD＝CD，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，②正确；∵DE⊥AC，且DO∥AC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线，∴④正确；∴∠ODA+∠EDA＝90°，∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；∵D为BC中点，AD⊥BC，∴AC＝AB，∵OA＝OB＝AB，∴OA＝AC，∴③正确，故答案为：①②③④⑤．15．解：∵直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝3，∴A（3，0），B（0．﹣3），∴OA＝3，OB＝3，∴AB＝6，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴＝，∴＝，∴AP＝2，∴OP＝3﹣2或OP＝3+2，∴P（3﹣2，0）或P（3+2，0），故答案为（3﹣2，0）或P（3+2，0）．三．解答题（共5小题）16．证明：（1）连接OD、CD，∵BC是直径，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴D是AB的中点，∵O为CB的中点，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线；（2）连BG，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴CD＝＝＝8，∵AB•CD＝2S△ABC＝AC•BG，∴BG＝＝，∴CG＝＝＝，∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF．∴∠E＝∠CBG，∴sin∠E＝sin∠CBG＝＝＝．17．（1）证明：连接OP，交BD于点E，∵点P为的中点．∴BD⊥OP，∵BD∥CP，∴∠OEB＝∠OPC＝90°∴PC⊥OP，∴CP与⊙O相切于点P；（2）解：∵∠C＝∠D，∵∠POB＝2∠D，∴∠POB＝2∠C，∵∠CPO＝90°，∴∠C＝30°，∵BD∥CP，∴∠C＝∠DBA，∴∠D＝∠DBA，∴BC∥PD，∴四边形BCPD是平行四边形，∵PO＝AB＝6，∴PC＝6，∵∠ABD＝∠C＝30°，∴OE＝OB＝3，∴PE＝3，∴四边形BCPD的面积＝PC•PE＝6×3＝18．18．解：（1）连接OD，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC，∵∠BAF＝2∠C，∠BAF＝∠B+∠C，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠ODC，∴AB∥OD，∵DE⊥AB，∴OD⊥DF，∴DE为⊙O的切线；（2）过O作OH⊥AG于点H，则AH＝GH，EF∥OH，∴∠AOH＝∠EFA，∵tan∠EFC＝，∴tan∠AOH＝＝，∴设AH＝3x，则AG＝2AH＝6x，OH＝4x，∴，∴AC＝2AO＝10x，OD＝OA＝5x，∵tan∠EFC＝＝，设AE＝3y，则EF＝4y，∴AF＝，∵AE∥OD，∴△AEF∽△ODF，∴，即，∴，∴AE＝3y＝2x，∴BE＝AB﹣AE＝10x﹣2x＝8x，∴＝．19．（1）证明：∵BP＝BA，OA＝OC，∴∠BAP＝∠BPA，∠PAO＝∠C，∵OC⊥OB，∴∠COP＝90°，∴∠OPC+∠C＝90°，∵∠OPC＝∠BPA，∴∠BAP＝∠OPC，∴∠BAP+∠OAP＝90°，即∠BAO＝90°，∴AB⊥OA，又∵OA为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：如图，作BD⊥AP于点D，∵⊙O的半径为8，∴CO＝OA＝8，由（1）得：∠BAO＝90°，∴AB＝＝＝6，∴BP＝BA＝6，∴OP＝OB﹣BP＝4，在Rt△CPO中，OP＝4，CO＝8，∴CP＝＝＝4，∵BA＝BP，BD⊥AP，∴AD＝PD，∠BDP＝90°＝∠COP，∵∠BPD＝∠CPO，∴△BPD∽△CPO，∴＝，即＝，解得：PD＝，∴AP＝2PD＝．20．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∵∠DBC+∠ABD＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）∵OE∥BD，∴∠OEB＝∠DBE，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠OBE＝∠DBE，∵BF＝BC，∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠EBD，∵∠DEB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠DBE，∴∠DEB＝∠OBE，∴ED∥OB，∵ED∥OB，OE∥BD，OE＝OB，∴四边形OEDB是菱形．。

人教版九年级上册数学圆的切线相关证明题练习1．如图，以△ABC 的边BC 为直径作△O ，点A 在△O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD ＝AB ，△D ＝30°．(1)求证：直线AD 是△O 的切线；(2)若直径BC ＝4，求图中阴影部分的面积．2．如图，O 是ABC 的外接圆，其切线AE 与直径BD 的延长线相交于点E ，且60ACB ∠=︒．(1)求证：AE AB =；(2)若2DE =，求O 的半径．3．图，AB 为△O 的直径，C 为△O 上一点，CD 垂直AB,垂足为D ，在AC 延长线上取点E，使，CBE=，BAC，4．如图，BE为△O的直径，点A和点D是△O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使△EAC=△ED A．(1)求证：AC是△O的切线；(2)若AD△BC于点F，DE=4，OF=2，求图中阴影部分的面积．5．如图，AB为△O的切线，B为切点，过点B作BC△OA，垂足为点E，交△O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．(1)求证：AC为△O的切线；(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．6．如图，在Rt△ABC中，△ABC＝90°，△BAC的平分线交BC于点O，D为AB上的一点，OD＝OC，以O为圆心，OB的长为半径作△O．7．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ，以点A 为圆心，AB 为半径的△O 交AC 于点E ，12CBE CAB ∠=∠．(1)求证：BC 是△A 的切线；(2)△当CE ＝______时，四边形ABCD 是正方形；△当CE ＝______时，以点A ，B ，E ，D 为顶点的四边形是菱形．8．如图，AB 、CD 为O 的直径，AB CD ⊥，点E 为BC 上一点，点F 为EC 延长线上一点，FAC AEF ∠=∠．连接ED ，交AB 于点G ．(1)证明：AF 为O 的切线；(2)证明：AF AG =；(3)若O 的半径为2，G 为OB 的中点，AE 的长．9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分BC ，BE 平分△ABC 交AD 于点E ．点O 在AB 边上，以点O 为圆心的△O 经过B 、E 两点，交AB 于点F ．(1)求证：AE 是△O 的切线；(2)若△BAC ＝60°，AC ＝12，求阴影部分的面积．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线MN ，使得∠=∠ACN ABC ．(1)求证：直线MN 是O 的切线．(2)点D 为直线MN 上一点，连接AD ，交O 于点E ，若AC 平分BAD ∠，3,2==DE AC CD ，求图中阴影部分（弓形）的面积．11．如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，点D 为O 上一点，且12ABD BAC ∠=∠，过点D 作DE BC ∥交CA 的延长线于点E ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若8,12AE DE ==，求O 的半径．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)求BD 的长．13．如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上一点，连接AC ，BC ，CBD BAC =∠∠．且CD BD ⊥．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若2BC =，BD π）．14．如图1，AB 是△O 的直径，C ，D 是△O 上的点，连接CB ，CD ，延长CA ，BD 交于点E ，△BDC =2△ABE ．(1)求证：AE =AB ；(2)如图2，过点D 作△O 的切线交AE 于点F ，若DF =52，CD =132，求EF 长．15．如图1，四边形ABCD 内接于△O ，AD 为直径，过点C 作CE △AB 于点E ，连接AC ．(1)求证：△CAD ＝△ECB ；(2)若CE 是△O 的切线，△CAD ＝30°，连接OC ．如图2，当AB ＝2时，求AD 、AC 与弧CD 围成阴影部分的面积．16．已知AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，点P 为圆O 外一点，且OP BC ∥，P BAC ∠=∠．(1)求证：P A 为圆O 的切线；(2)如果2OP AB ==，求AC 的长．17．如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连接AD ，BD ．(1)如图1，连接OC ．若58ADC ∠=︒，求CDB ∠及COB ∠的大小；(2)如图2，过点C 作O 的切线，交DB 的延长线于点E ，连接OD ．若2ABD CDB ∠=∠，求CED ∠的大18．如图，已知点D在△O的直径AB延长线上，CD为△O的切线，过D作ED AD⊥，与AC的延长线相交于E．(1)求证：CD＝DE；(2)若BD＝1，DE△ADE的面积；(3)在（2）的条件下，作ACB∠的平分线CF与△O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．19．如图，AB为△O的直径，CD是△O的弦，点E在AB的延长线上，连接OC、AD，CD△AB。