有关数学模型-数学建模

1. 数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定的目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 2. 选煤数学模型：是将选煤实际应用问题转化为数学问题的形式，并利用计算机求解，给出其近似最优的解法，然后对结果加以分析、检验、讨论和推广 3. 物理模型主要指科技工作者根据与原型相似的原理构造的模型。 思维模型指人们通过对原型的反复认识，获得的知识以经验的形式直接储存于大脑中，并根据思维或直觉做出相应的决策。 4. 数学模型的分类: ①根据来源分类：a.理论模型:根据实体的物理和化学性质，通过分析推导出来的模型b.经验模型:指不考虑实际内部的变化，只着重于外部的关系，把收集到的输入和输出观测值，用数理统计的方法，导出输入、输出变量之间的关系，建立数学模型c.综合模型：模型结构来自理论分析，但其中的某些参数未确定，需要收集现场生产数据或通过试验用数学方法来确定 ②根据模型中变量和时间的关系分类：a.稳态模型：单纯反应生产过程变量之间的因果关系，不考虑时间影响。b.动态模型：生产过程中各变量的状态是随时间而变化的，此时各输入输出量之间的数学关系可以用微分方程或积分方程进行描述。 ③根据模型中变量的的性质分类：a.确定性模型：自变量与因变量自身之间的关系都是确定的。b.随机模型。全部或部分变量是随机变量，变量之间的关系不是确定性的函数关系，而是随机变化的相关关系。 ④根据模型的基本关系：分线性模型和非线性模型 ⑤根据变量的连续性，分成离散模型和连续模型。 5. 建立数学模型方法：①机理分析方法：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律②测试分析：将对象看作“黑箱”通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型③二者结合：用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数 6. 数学建模一般步骤：①模型准备：了解实际背景，明确目的，搜集信息；②模型假设：针对问题特点和目的，作出合理的、简化的假设；③模型构成：用数学的语言、符号描述问题；④模型求解；⑤模型分析：误差分析、统计分析等；⑥模型检验：检验模型的合理性、适用性；⑦模型应用 7. 经验模型的建立：①试验数据的整理：在建模前需要进行检查和取舍；②模型形式的确定：应该切合实际，可以根据专业知识，实际经验和试验所取得的数据来决定；③模型参数的估计：公式中的常数和系数还需要确定，最小二乘法、回归分析或最优化方法；④模型的检验：以模型的计算值与实测值相差多少为标准。多次试验，反复修改。 8. 随机变量：设随机试验空间是S={e}.如果对于每一个e∈S，有一个实数X(e)，与之对应，这样就得到一个定义在S上的实值单值函数X(e)，称为随机变量 9. 离散型随机变量：随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个 连续型随机变量：随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间 10. 众数：指使得频率函数或密度函数达到极大值的点。具体说，当X为离散型随机变量时，若Pi>Pj对于一切i≠j成立，则称xj为X的众数。当X为连续型随机变量时，若f(x0)=maxf(x)则称x0为X的众数。 11. 分位数中位数：给定常数0量X的p分位点，当p=0.5时相应的a0.5叫做随机变量的中位数 12. 数学期望：设随机变量X有分布函数F(x)，定义其数学期望为E(x)=[+∞]S[-∞]xdF(x)，对于离散型随机变量E(x)= [n]E[i=1]xipi，i=1,2,3…n；连续型随机变量E(x)= [+∞]S[-∞]xf(x)dx 13. 方差、标准差：设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X)或Var(X)，称根号“D(X)”为标准差或均方差，记为ζ(X)。方差与标准差均是用来刻画随机变量围绕均值的散布程度的量。当方差数值小时，说明随机变量的取值就集中在均值附近，反之，随机变量的取值向均值左右两边散开。 14. 数学期望的性质：设C是常数，则E(C)=C，若C是常数，则E(C X)= C E(X); E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 15. 方差的性质：①设C是常数，则有D(C)=0②设X是一个随机变量，C是常数，则有D(CX)=C^2*D(X)，D(X+C)+D(X)③设X,Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} ④D(X)=0↔P(X= C)=1，C为常数 16. 偏度系数：设分布函数F(x)有二阶中心矩u2和三阶中心矩u3，其偏度系数为r1=u3/[(u2)3/2]，偏度系数是一个无量纲的量，它刻画分布函数的对称性。当r1=0时，分布函数对称；当r1>时，概率分布偏向均值的右边，反之，则偏向左边。 17. 峰度系数：设分布函数F(x)有二阶中心矩u2和四阶中心矩u4，其峰度系数为r2=u4/(u22)-3。峰度系数r2是一个无量纲的量，它用来刻画不同类型的分布函数的集中和分散程度。对于单峰分布，r2越小，说明密度函数形状越“陡峭”r2越大密度函数形状越“平缓”。正态分布峰度系数r2=0，一个对称分布，其峰度系数越接近于9，越接近正态分布。

18. 正态分布：设连续型随机变量X的概率密度为xσxfσμx,eπ21)(222)( 19. 其中，u，ζ(ζ>0)为常数，则称X服从参数为u，ζ的正态分布，记为X~N(u,ζ2)。期望方差：E(X)=u，D(X)=ζ2。特征：①曲线关于x=u对称；②当x=u时，f(x)取得最大值；③当x→±∞时，f(x)→0；④曲线在x=u±ζ处有拐点；⑤曲线以x轴为渐近线；⑥当固定ζ，改变u的大小时，f(x)图形的形状不变，只沿x轴平移；⑦固定u改变ζ大小时，f(x)图形的对称轴不变形状变，ζ越小图形越高瘦，ζ越大图形越矮胖。 20. 标准正态分布：正态分布N(u,ζ2)中的u=0，ζ=1时，这样的称为标准正态分布 21. 对数正态分布：一个随机变量的对数服从正态分布，则该随机变量服从对数正态分布。 22. 3σ法则：服从正态分布N(u,ζ2)的随机变量X落在区间(u-3ζ,u+3ζ)内的概率为0.9974，落在该区间外的概率只有0.0026即X几乎不可能在区间之外取值 23. X2分布：设X1X2…Xn相互独立，同N(0,1)分布的随机变量定义Q=[n]E[i=1]xi2则Q的分布称具自由度n的X2分布，记Q~X2(n)。X2(n)的特征数为E(Q)=n，Var(Q)=2n，r1=2*20.5/n0.5，r2=12/n 24. t分布：设X~N(0,1)，Q~X2(n)，且X与Q相互独立，记T=X/(Q/n)0.5，则T的分布称为具自由度n的t分布，记作T~t(n)。t(n)的密度函数曲线也是一个对称曲线，且n越大，t(n)的曲线越接近于N(0，1)。 t(n)的特征数为: E(T)=0，Var(T)=n/(n-2)(n>2)，r1=0，r2=6/(n-4) 25. F分布：设Q1~X2(n1)，Q2~X2(n2)且Q1与Q2相互独立，记F=(Q1/n1)/(Q2/n2)，则F的分布称为具自由度(n1，n2)的F分布，记住F~F(n1,n2)；期望方差：E(F)=n2/(n2-2)，(n2>2)；Var(F)=2n2^2*(n1+n2-2)/ [n1(n2-2)^2*(n2-4)]，(n2>4)。F分布常用于①检查两个正态分布间方差的显著性差异。②检验方差分析中某个因素是否对指标有显著作用。 26. 泊松分布：设X~π(λ)，且分布律为P{X=k} =λk/k!*e^-λ，k=0,1,2…，λ>0；期望方差均为λ 27. 指数分布：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为f(x)={1/θ*e^(-x/θ)，x>0；0，x≤0}其中θ>0。指数分布的期望和方差分别为θ和θ^2 28. 威布尔分布：设随机变量X有分布密度函数w(x,α,β,δ)={(α/β)(x-δ)α-1e^-((x-δ)α/β)，x≥δ；0，

x29. 若吉斯蒂克分布：设随机变量X有分布密度函数L(x,α,β)=1/[1+exp(-(x-α)/ β)]；β>0，-∞小，曲线越陡，β数值越大，曲线越平缓。特征数：E(X)=α，Var(X)=π2β2/3，r1=0，r2=1.2 30. 样本：为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验以获得有关总体的信息。所抽取的部分个体称为样本 31. 拒绝域与临界点：当检验统计量取某个区域C中的值时，我们拒绝原假设H0，则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点 32. 区间估计：设θ为一维未知数，^θ1和^θ2为两个统计量，满足^θ1≤^θ2，用区间[^θ1，^θ2]去估计θ存在的范围，称为θ的一个区间估计。 33. 置信区间、置信度：设[^θ1，^θ2]为θ的一个区间估计，若对给定的正数1-α及θ的任一可能值θ’有P(^θ1≤θ'≤^θ2)≥1-α；则称[^θ1，^θ2]为θ的一个置信水平为1-α的置信区间。而α称为置信度或显著性水平。 34. 置信上下限：设θ为未知参数，1-α为给定的置信水平，若统计量-θ和θ分别满足

P(-θ≤θ)≥1-α；P(θ≤-θ)≥1-α，则称-θ和-θ为θ的置信水平1-α的置信上(下)限

35. 假设检验：就是根据样本对所提出的假设作出判断：是接受，还是拒绝。 36. 原假设与备择假设：假设检验问题通常叙述为：在显著性水平α下，检验假设H0：u=u0，H1：u≠u0，H0称变回原假设或零假设，H1称为备择假设。 37. 两类错误：当原假设H0为真，观察值却落入拒绝域，而作出了拒绝H0的判断，称做第一类错误，又叫弃真错误，第一类是拒绝一个正确的假设；当原假设 H0 不真，而观察值却落入接受域，而作出了接受 H0 的判断，称做第二类错误，又叫取伪错误,第二类是接受一个错误的假设 38. 检验的一般步骤：①根据经验，对研究中的代表试验模型的总体分布做出假设，如正态等。②确定原假设和被择假设。③选取统计量Z。④确定统计量Z的分布。⑤给定显著性水平α。⑥确定拒绝域|u|≥uα/2，或u≤uζ，u≥uα（由给定的显著性水平查统计量Z概率分布表确定）。⑦根据试验数据，计算统计量Z的值。⑧作出决策：若统计量落在拒绝域内，择拒绝原假设H0，反之则接受H0 39. 回归分析：利用统计方法研究变量之间的相关关系称 回归系数：回归方程中常数项或者各自变量对应的系数叫做回归方程的回归系数