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数学建模数学模型作业题

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一、对于6.4节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k +时段的价格1k y +由第1k +和k 时段的数量1k x +和k x 决定，如果设1k x +仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与6.4节的结果进行比较。

（2）若除了1k y +由1k x +和k x 决定之外，1k x +也由前两个时段的价格k y 和1k y -确定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。

解：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一个时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，设1k y +由1k x +和k x 的平均值决定，即二者平均值21kk x x ++，模型为： 1100100(),02(),0k k k k k x x y y x x x y y ααββ++++⎧-=-->⎪⎨⎪-=->⎩ 由此可以得到 22022(1)k k k x x x x αβαβαβ++++=+， 其特征方程为 022=++αβαβλλ，得出其特征根： 48--22,1αβαβαβλ）（±=*当8>αβ时，有： 4-48---22αβαβαβαβλ<=）（ 由以上可算出： 22,1αβλ=即：2<αβ所以与6.4节的结果相同，平衡点稳定的条件为2αβ<。

（2）设k x 也由k y 和1k y -的平均值决定，模型为：11001100(),02(),02k k k k k k x x y y x y y x x y ααββ++-++⎧-=-->⎪⎪⎨+⎪-=->⎪⎩得32142k k k k x x x x c αβαβαβ++++++=，c 由00,,x ,y αβ决定，其特征方程为042423=+++αβλαβλαβλ，该方程所有特征根1λ<的条件（即平衡点稳定的条件）仍为2αβ<。

二、在7.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从log istic 规律，而单位时间捕捞量为常数h （1）{（2）分别就/4,/4,/4h rN h rN h rN ><=这三种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点极其稳定状况。

（3）如何获得最大持续产量，其结果与17.1节的产量模型有何不同？解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()x t ，则由题设条件知：()x t 变化的模型为：()(1)dx t xrx h dt N=-- 即()(1)xF x rx h N=--（1）讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由()0F x =，得(1)0xrx h N--=即20rx rx h N-+= （1）?244()rh hr r r N N∆=-=-可以解得（1）：1,2x =①当/4h rN >，0∆<，（1）无实根，此时无平衡点； ②当/4h rN <，0∆>，得到两个平衡点：1x =2x = 可以知道：当12Nx <时，'1()0F x >； 当22Nx >时，'2()0F x <；∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定。

③当/4h rN =，0∆=，（1）有两个相等的实根，平衡点为：02N x =''02()(1),()0x rx rx F x r r F x N N N=--=-=所以不能断定其稳定性。

当0x x >及0x x <均有()(1)04x rN F x rx N =--<,即0dxdt <，0x ∴不稳定。

（2）最大持续产量的数学模型为：max ..F(x)0hs t ⎧⎨=⎩即max (1)x h rx N=-,可以得到*02N x =,此时4rN h =，但是*02N x =这个平衡点不稳定。

这是与17.1节的产量模型的不同之处。

要获得最大产量，应使渔场鱼量2Nx >,切尽量接近2N ，但不能等于2N 。

{三、与log istic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Compertz 模型：()lnNx t rx x=，其中r 和N 的意义与log istic 模型相同。

设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h Ex =，讨论渔场鱼量的平均平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平0x 。

解：()x t 变化规律的数学模型为：()ln dx t Nrx Ex dt x=- 即()ln NF x rx Ex x=-（1）令()0,F x =得 ln 0Nrx Ex x-= 12,0E r x Ne x -∴==∴平衡点为12,x x ，又'''12()ln,()0,()NF x r r E F x r F x x=--=-<=∞ ∴平衡点1x 是稳定的，而平衡点2x 不稳定。

（2）<（3）最大持续产量的数学模型为：max ..ln 0,0h Ex Ns t rx Ex x x =⎧⎪⎨-=≠⎪⎩由前面的结果可得E rh ENe-=,E E rr dh EN Ne e dE r --=-令0dh dE= 同时得到最大产量的捕捞强度m E r =，从而得到最大持续产量m rNh e=，此时渔场鱼量水平0N x e=。

四、下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入1x 千元，风险偏好度2x 和人寿保险额y 千元的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。

研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。

研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。

请你通过表中的数据来建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。

!解：输入程序：x1=[66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916];y1=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133]; p=polyfit(x1,y1,2)x2=0:0.01:85;y2=polyval(p,x2); plot(x1,y1,'*',x2,y2)解得：p = 0.0302 1.7886 -60.5239 可得：;1y x 对的散点图从上图可以知道，随着1x 的增加，y 的值有明显向上弯曲的二次增长趋势，图中的曲线是用二次函数模型拟合的。

（其中ε是随机误差）εβββ+++=212110x x y （1） 输入：x3=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6];q=polyfit(x3,y1,1)结果：q =13.5218 38.7434 输入：x4=0:0.01:15;y3=polyval(q,x4); 、plot(x3,y1,'ro',x4,y3)得到：2y x 对的一次散点图从图中可以发现，随着2x 的增加，y 的值比较明显的线性增长趋势，图中的曲线是用线性函数模型拟合的。

（其中ε是随机误差）εββ++=210x y （2） 综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型εββββ++++=21322110x x x y （3）`（3）式右端的1x 和2x 称为回归变量，21322110x x x ββββ+++是给定年平均收入1x 、风险偏好度2x 时，人寿保险额y 的值，其中的参数3210,,,ββββ称为回归系数。

还有影响y 的其它因素作用都包含在随机误差ε中。

输入程序：format short ex1=[66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916];x2=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6]; x3=x1.*x1; x0=ones(18,1); x=[x0 x1' x2' x3'];y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x,0.05) 结果：b =~r =-5.1227e-0023.0756e-001-1.3718e+000-6.7301e-001%-3.7605e+000-1.3560e+0002.7129e+000-4.8166e-0015.1302e-001-3.7247e-0016.8423e-0012.6781e+000￥-1.0293e+000-3.9296e-0015.5615e-0011.3578e+0002.3248e+000-1.6456e+000rint =-3.7791e+000 3.6766e+000 、-3.5324e+000 4.1475e+000 -4.4124e+000 1.6688e+000 -4.4677e+000 3.1217e+000 -6.6500e+000 -8.7098e-001 -4.2144e+000 1.5023e+000 -7.3438e-001 6.1602e+000 -4.2149e+000 3.2516e+000 -2.6183e+000 3.6443e+000-4.1840e+000 3.4390e+000 -2.6447e+000 4.0132e+000 -7.2173e-001 6.0779e+000 -4.7396e+000 2.6810e+000 -3.8132e+000 3.0272e+000 -3.2676e+000 4.3798e+000 -4.6375e-001 3.1793e+000 -1.0358e+000 5.6855e+000 -5.2685e+000 1.9773e+000stats =9.9958e-001 1.1070e+004 7.4095e-024 3.2518e+000由此得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平05.0=α）同时得到检验统计量p F R ,,2：2R =0.99958 F =11070 p =24104095.7-⨯2R =0.99958 指因变量y （保险额）的99.958%可由模型确定，F 的值远远超过F 的检验的临界值，p 远小于α，所以模型（3）比较合适。

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数学建模作业及答案

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数学建模作业姓名：叶勃学号：班级：024121一：层次分析法1、 分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵1261/2141/61/41A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征根和特征向量（1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量 程序为：#include<iostream> #include<math.h> using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20 #define err 0.0001 //幂法求特征值特征向量 void main(){cout<<"**********幂法求矩阵最大特征值及特征向量***********"<<endl; int i,j,k;double A[n][n],X[n],u,y[n],max;cout<<"请输入矩阵:\n"; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵 cout<<"请输入初始向量:\n"; for(i=0;i<n;i++)cin>>X[i]; //输入初始向量 k=1; u=0;while(1){ max=X[0]; for(i=0;i<n;i++) {if(max<X[i]) max=X[i]; //选择最大值 }for(i=0;i<n;i++)y[i]=X[i]/max; for(i=0;i<n;i++)X[i]=0;for(j=0;j<n;j++)X[i]+=A[i][j]*y[j]; //矩阵相乘}if(fabs(max-u)<err){cout<<"A的特征值是 :"<<endl; cout<<max<<endl; cout<<"A的特征向量为:"<<endl; for(i=0;i<n;i++) cout<<X[i]/(X[0]+X[1]+X[2])<<" ";cout<<endl;break;}else{if(k<N) {k=k+1;u=max;} else {cout<<"运行错误\n";break;}}} }程序结果为：（2）和法求矩阵最大特征值及特征向量程序为：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h> using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20void main(){int i,j,k;double A[n][n],w[n],M[n],u[n],W[n][n],max;cout<<"********和法求矩阵的特征根及特征向量*******"<<endl;cout<<"请输入矩阵:\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵 //计算每一列的元素和M[0]=0;M[1]=0;M[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){M[i]+=A[j][i];}//将每一列向量归一化for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){W[j][i]=A[j][i]/M[i];}//输出按列归一化之后的矩阵Wcout<<"按列归一化后的矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){cout<<W[i][j]<<" ";if(j==2)cout<<endl;} //求特征向量w[0]=0;w[1]=0;w[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){w[i]+=W[i][j];}cout<<"特征向量为:"<<endl; for(i=0;i<n;i++){u[i]=w[i]/(w[0]+w[1]+w[2]);cout<<u[i]<<" "<<endl;}//求最大特征值max=0;for(i=0;i<n;i++){w[i] = 0;for(j=0;j<n;j++){w[i] += A[i][j]*u[j];}}for(i = 0;i < n;i++){max += w[i]/u[i];}cout<<"最大特征根为："<<endl;cout<<max/n<<endl; }运行结果为：（3）根法求矩阵最大特征值及特征向量：程序为：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20void main(){int i,j;double A[n][n],w[n],M[n],u[n],W[n][n],max;cout<<"********根法求矩阵的特征根及特征向量*******"<<endl; cout<<"请输入矩阵:\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵//计算每一列的元素和M[0]=0;M[1]=0;M[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){M[i]+=A[j][i];}//将每一列向量归一化for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){W[j][i]=A[j][i]/M[i];}//输出按列归一化之后的矩阵Wcout<<"按列归一化后的矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){cout<<W[i][j]<<" ";if(j==2)cout<<endl;}//求特征向量//w[0]=A[0][0];w[1]=A[0][1];w[2]=A[0][2];w[0]=1;w[1]=1;w[2]=1;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){w[i]=w[i]*W[i][j];}w[i]=pow(w[i], 1.0/3);}cout<<"特征向量为:"<<endl;for(i=0;i<n;i++){u[i]=w[i]/(w[0]+w[1]+w[2]);cout<<u[i]<<" "<<endl;}//求最大特征值max=0;for(i=0;i<n;i++){w[i] = 0;for(j=0;j<n;j++){w[i] += A[i][j]*u[j];}}for(i = 0;i < n;i++){max += w[i]/u[i];}cout<<"最大特征值为:"<<endl; cout<<max/n;}运行结果为：2、编程验证n阶随机性一致性指标RI：运行结果：3、考虑景色、费用、居住、饮食、旅途五项准则，从桂林、黄山、北戴河三个旅游景点选择最佳的旅游地。

数学建模例题题

数学建模例题题

数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。

要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。

【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。

语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。

数学建模题目及答案

数学建模题目及答案

09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。

不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。

数学建模作业题+答案

数学建模作业题+答案

数学建模MATLAB 语言及应用上机作业11. 在matlab 中建立一个矩阵135792468101234501234A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦答案：A = [1,3,5,7,9;2,4,6,8,10;-1,-2,-3,-4,-5;0,1,2,3,4]2. 试着利用matlab 求解出下列方程的解（线性代数22页例14）123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 答案：A=[2 ,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6]; B=[8;9;-5;0]; X=A\B 或A=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6] b=[8,9,-5,0]' X=inv(A)*b3. 生成一个5阶服从标准正态分布的随机方阵，并计算出其行列式的值，逆矩阵以及转置矩阵。

答案:A=randn(5) det(A) inv(A) A'4. 利用matlab 求解出110430002A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量。

答案：A=[-1,1,0;-4,3,0;0,0,2] [V,D]=eig(A)5.画出衰减振荡曲线3sin3t y et -=在[0,4]π上的图像。

要求，画线颜色调整为黑色，画布底面为白色。

（在实际中，很多打印机时黑白的，因此大多数作图要考虑黑白打印机的效果。

） 给出恰当的x ，y 坐标轴标题，图像x 轴的最大值为4π。

6. 生成一个0-1分布的具有10个元素的随机向量，试着编写程序挑选出向量中大于0.5的元素。

数学建模和Matlab 上机作业2（2016-9-20）跟老师做（不用整合进作业中）：上机演示讲解：函数，递归的两个例子的写法。

附：1. Fibonacci Sequence （斐波那契数列）在数学上，费波那西数列是以递归的方法来定义： F1= 1；F2= 1；F （n ）=F （n-1）+F （n-2） 2. 阶乘举例：数学描述：n!=1×2×……×n ；计算机描述：n!=n*(n-1)!自己做（需要整合进作业中，提交到系统中）：1. 写一个m 文件完成分值百分制到5分制的转换（即输入一个百分制，转换后输出一个5级对应的得分，联系条件控制语句）。