2012年全国高考理科数学试题-湖南卷
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2012年全国高考理科数学试题-湖南卷1.设集合{}21,0,1,{|}M N x x x =-=≤，则M N ⋂=（ ） A. {}B. {}0,1C. {1,1}-D. {}1,0,0-答案：B分析：∵{}|01N x x =≤≤，{}1,0,1M =-，∴{}0,1M N ⋂=．2.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ）A. 若4πα≠，则tan 1α≠ B. 若4πα=，则tan 1α≠C. 若tan 1α≠，则4πα≠D. 若tan 1α≠，则4πα=答案：C分析：因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，所以 “若4πα=，则ta n 1α=”的逆否命题是 “若tan 1α≠，则4πα≠”．3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）A. B. C. D.答案：D分析：本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A 、B 、C 都可能是该几何体的俯视图，D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为中间含虚线的矩形．4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,,)i i x y i n =⋯，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，则下列结论中不正确的是（ ） A. y 与x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重为58.79kg 答案：D分析：由回归方程为ˆ0.8585.71yx =-知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心(,)x y ，利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确．5.已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为10 ，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A. 221205x y -=B. 221520x y -=C. 2218020x y -=D. 2212080x y -= 答案：A分析：设双曲线C ：22221x y a b-=的半焦距为c ，则210,5c c ==．又C 的渐近线为b y x a =±，点(2,1)P 在C 的渐近线上，12ba∴=⋅，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==∴C 的方程为221205x y -=．6．函数()sin cos()6f x x x π=-+的值域为（ ）A. [2,2]-B. [C. [1,1]-D. [答案：B分析：1()sin cos()sin sin )626f x x x x x x x ππ=-+=+=-， ∵[]sin()1,16x π-∈-，()f x ∴值域为[．7.在ABC ∆中，2AB =，3AC =，1AB BC ⋅=则BC =_____．A.B. C. D. 答案：A分析：由下图知||||cos()2||(cos )1AB BC AB BC B BC B π⋅=-=⨯⨯-=．1cos2B BC ∴=-．又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，解得BC =．8.已知两条直线1l ：y m = 和2l ：8(0)21y m m =>+ ，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C ，D．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，当m 变化时，ba的最小值为（ ）A.B. C. D. 答案：B分析：在同一坐标系中作出y m =，8(0)21y m m =>+，2log y x =图像如下图， 由2log x m =，得122,2mmx x -==，28log 21x m =+，得882121342,2m m x x -++==.依照题意得882121|22|,|22|mmm m a b --++=-=-，888212121821|22|222|22|mm m m m m mm b a ++++--+-===- ∵814111432122222m m m m +=++-≥-=++，min ()b a ∴=．9.在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数) 与曲线2sin ,:3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩ （θ 为参数，0a >）有一个公共点在X 轴上，则a = ______． 答案：32分析：曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与轴交点为(,0),(,0)a a -，由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =．10.不等式21210x x +-->的解集为_____． 答案：1{|}4x x >分析：令()2121f x x x =+--，则由()f x =13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()0f x >的解集为1{|}4x x >．11.如图，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B两点．若1PA =，2AB =，3PO =，则圆O 的半径等于_____．分析：设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，即1(12)(3)(3),r r r ⨯+=-+∴12.已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则||z =_____． 答案：10分析：22(3)9686z i i i i =+=++=+，10z ==．13.6的二项展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 答案：160-分析：6的展开式通项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-，由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-．14.如果执行如图所示的程序框图，输入1x =-，3n =，则输出的数S =_____．答案：4-分析：输入1x =-，3n =，执行过程如下：2:6213i S ==-++=-；1:31115i S ==-⨯++=；0:5(1)014i S ==⨯-++=-，所以输出的是4-．15.函数 ()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A 、C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．(1) 若6πϕ=，点P 的坐标为，则ω=_____； (2) 若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC ∆内的概率为_____．答案：(1) 3；(2)4π 分析：(1) ()cos()y f x x ωωϕ'==+，当6πϕ=，点P 的坐标为时，cos 36πωω=∴=； (2) 由图知222T AC ππωω===，122ABC S AC πω∆=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b ．设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则|()||()|||sin()sin()|2bb a aS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在ABC ∆内的概率为224ABC S P S ππ∆===．16.设*2(,2)n N n N n =∈≥，将N 个数12,,,N x x x ⋯依次放入编号为1,2,...,N 的N 个位置，得到排列012N P x x x =⋯．将该列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列113124N N P x x x x x x -=⋯⋯，将此操作称为C 变换，将1P 分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当22i n ≤≤-时，将i P 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段C 变换，得到1i P +，例如，当8N =时，21537264P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置．(1) 当16N =时，7x 位于2P 中的第_____个位置； (2) 当2(8)n N n =≥时，173x 位于4P 中的第_____个位置．答案：(1)6；(2)43211n -⨯+分析：(1) 当16N =时，012345616P x x x x x x x =，可设为(1,2,3,4,5,6,,16)，113571524616P x x x x x x x x x =，即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)，7x 位于2P 中的第6个位置；(2) 方法同(1) ，归纳推理知173x 位于4P 中的第43211n -⨯+个位置．。
