2012湖南卷高考数学理试题

高考试题汇编（理）---概率统计解答题1、（全国卷大纲版）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。

每次发球，胜方得1分，负方得0分。

设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。

甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望。

2、（全国卷新课标版）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(1) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：n∈）的函数解析式；枝，N(2)以（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.3、（北京卷）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误额概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中0a >， 600a b c ++=。

当数据c b a ,,的方差2s 最大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值。

（注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数） 4、（福建卷）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该将频率视为概率，解答下列问题：（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （2）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg
5．已知双曲线
A． x2 y2 1 20 5
C． x2 y2 1 80 20
C：
x2 a2
π
6．函数 f(x)＝sinx－cos(x＋ )的值域为( )
6
A．[－2,2]
C．[－1,1]

y2 b2
1的焦距为 10，点
样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 y 0.85x 85.71，则
下列结论中不正确的是( ) A．y 与 x 具有正的线性相关关系
为( )
B．回归直线过样本点的中心 (x, y)
C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合21,0,1,{}{|}M N x x x =-=≤,则M N = ( ) A .{0} B .{0,1} C .{-1,1} D .{-1,0,1}2.命题“若π4α=,则tan 1α=”的逆否命题是( )A .若π4α≠,则tan 1α≠B .若π4α=,则tan 1α≠C .若tan 1α≠,则π4α≠D .若tan 1α≠,则π4α=3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能．．．是 ( )A B C D4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系,根据一 组样本数据(,)i i x y (1,2,,)i n =,用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-,则下 列结论中不正确．．．的是( )A .y 与x 具有正的线性相关关系B .回归直线过样本点的中心(,)x yC .若该大学某女生身高增加1 cm ,则其体重约增加0.85 kgD .若该大学某女生身高为170 cm ,则可断定其体重必为58.79 kg5.已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10,点(2,1)P 在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A .221205x y -=B .221520x y -=C .2218020x y -= D .2212080x y -= 6.函数π()sin cos()6f x x x =-+的值域为 （ ）A .[]2,2- B.[ C .[]1,1- D.[227.在ABC △中,2,3AB AC ==,AB BC =1,则BC =( )ABC.D8.已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+,1l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点A B ,,2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C D ,.记线段AC 和BD 在x轴上的投影长度分别为a ,b .当m 变化时,ba的最小值为 ( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）9.在直角坐标系xOy 中,已知曲线11,:12,x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θ,θ,=⎧⎨=⎩（θ为参数,0a >）有一个公共点在x 轴上,则a = . 10.不等式|21|2|1|0x x +-->的解集为 .11.如图2,过点P 的直线与圆⊙O 相交于A ,B 两点.若1,2,PA AB ==3PO =,则圆O 的半径等于 .12.已知复数2i)(3z =+（i 为虚数单位）,则|z |= .13.6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 14.如果执行如图3所示的程序框图,输入1,3x n =-=,则输出的数S = . 15.函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图象如图4所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,,A C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点. （1）若π6ϕ=,点P的坐标为,则ω= ；（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC △内的概率 为 .16.设2(,2)n N n n =∈*≥N ,将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置,得到排列012N P x x x =.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置,得到排列113124N N P x x x x x x -=,将此操作称为C 变换.将1P 分成两段,每段2N个数,并对每段作C 变换,得到2P ；当22i n -≤≤时,将i P 分成2i 段,每段2i N个数,并对每段作C 变换,得到1i P +.例如,当8N =时,215372648P x x x x x x x x =,此时7x 位于2P 中的第4个位置.（1）当16N =时,7x 位于2P 中的第 个位置；（2）当2(8)n N n =≥时,173x 位于4P 中的第 个位置.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购 物的100位顾客的相关数据,如下表所示.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.（Ⅰ）确定,x y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）18.（本小题满分12分）如图5,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,4,3,5,AB BC AD ===90,DAB ABC E ∠=∠=是CD 的中点.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P ABCD -的体积.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数,记()A n =12n a a a +++,()B n =231n a a a ++++,()C n =342n a a a ++++,=1,2,n .（Ⅰ）若121,5a a ==,且对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列,求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N*,三个 数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20.（本小题满分13分）某企业接到生产3 000台某产品的A ,B ,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件 的数量分别为2,2,1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A 部件6 件,或B 部件3 件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k （k 为正整数）.（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ,分别写出完成A ,B ,C 三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最 短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 上的点均在222:(5)9C x y -+=外,且对1C 上任意一点,M M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点,过P 作圆2C 的两条切线,分别与曲线1C 相交 于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为 定值.22.（本小题满分13分）已知函数()e axf x x =-,其中0a ≠.（Ⅰ）若对一切x ∈R ,()1f x ≥恒成立,求a 的取值集合；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <,记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立？若存在,求0x 的取值范围；若不存在,请说明理由.2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题CBDPE图5A1.【答案】B 【解析】{0,1}N =，{1,0,1}M =-，{0,1}M N ∴=．【提示】先求出{0,1}N =，再利用交集定义得出MN ．【考点】集合的基本运算（交集） 2.【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以“若π4α=，则t a n 1α=”的逆否命题是“若tan 1,α≠则π4α≠”．【提示】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，即可求它的逆否命题． 【考点】四种命题及其之间的关系 3.【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A ，B ，C ，都可能是该几何体的俯视图，D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．【提示】根据已知的平面图形的正视图和侧视图，即可求出它的俯视图． 【考点】平面图形的直观图与三视图 4.【答案】D【解析】由回归方程为0.85571ˆ8.x y-=知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程的过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心(,)x y ，利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确．【提示】根据两变量之间的回归方程，即可判断两者之间的关系． 【考点】线性回归分析 5.【答案】A【解析】设双曲线22221x a C yb -=:的半焦距为c ，则210c =，5c =， 又C 的渐近线为by x a=±，点P （2，1）在C 的渐近线上，12ba∴=⨯，即2a b =，又222c a b =+，a ∴=b =C ∴的方程为221205x y -=．【提示】根据给出的双曲线的焦距及其渐近线上一点，即可求出双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程 6.【答案】B【解析】π1π()sin cos sin sin 626f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， πsin [1,1]6x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为[．【提示】根据给出的三角函数表达式，结合两角差的正弦即可求出其值域． 【考点】两角差的正弦，三角函数的值域 7.【答案】A【解析】由图知，||||cos(π)2||(cos )1AB BC AB BC B BC B =-=⨯⨯-=，1cos 2B BC∴=-，又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=，解得BC =．【提示】根据给出的三角形两边及数量积，结合数量积运算及余弦定理即可求解另一边． 【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理8.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y m =，8(0)21y m m =>+，2|log |y x =图象如图， 由2|log |x m =，得12m x -=，22mx =，由28|log |21x m =+，得82132m x -+=，82142m x +=，依照题意得82122mm a --+=-，82122m mb +=-，8218218218212222222m m mm mm m m b a++++--+-===-，8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，minb a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭【提示】根据给出的三个函数表达式，画出函数图象，结合图象与不等式即可判断b a最小值．【考点】函数图象的应用，基本不等式 二、填空题 9.【答案】32【解析】曲线1112x t C y t=+⎧⎨=-⎩：，直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；曲线2sin 3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩：，直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0)a -，(,0)a ， 由0a >，曲线1C 与曲线2C有一个公共点在x 轴上，知32a =． 【提示】根据给出的两条直线的参数方程与极坐标方程，分别转化成直角坐标方程，根据题意设交点求解．【考点】参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与普通方程的转化10.【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()|21|2|1|f x x x =+--，则由13,()21()41,(1)23,(1)x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，得()0f x >的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．【提示】设函数表达式，求其等价的分段函数，再分段求其大于零时的解集即可． 【考点】绝对值不等式 11.【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为r ，由割线定理知PA PB PC PD =， 即1(12)(3)(3)r r ⨯+=-+，r ∴=．【提示】根据给出的线段长，由切割线定理PA PB PC PD =，即可求出圆的半径． 【考点】切割线定理 12.【答案】10【解析】22(3i)96i i 86i z =+=++=+，||10z ==． 【提示】根据给出的复数表达式，进行四则运算，即可求出其模． 【考点】复数代数形式的四则运算 13.【答案】160-【解析】6⎛ ⎝的展开式项公式是6631662(1)rr r r r r rr T C C x ---+⎛==- ⎝， 由题意知30r -=，3r =，所以二项展开式中的常数项为333462(1)160T C =-=-． 【提示】根据给出的二项式，即可求出其展开式的常数项．【考点】二项式定理 14.【答案】4-【解析】输入1x =-，3n =，执行过程如下：2i =，6233S =-++=-；1i =，3(1)115S =--++=；0i =，5(1)014S =-++=-，所以输出的是4-．【提示】根据程序框图的逻辑关系，并根据程序框图即可求出S 的值． 【考点】循环结构的程序框图 15.【答案】3π4【解析】①()cos()y f x x ωωϕ'==+，当π6ϕ=，点P的坐标为⎛ ⎝⎭时，πcos 6ω= 3ω∴=；②由图知2ππ22T AC ωω===，1π22ABC S AC ω==△， 设A ，B 的横坐标分别为a ，b ，设曲线段弧ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S ， 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为π2π24ABC S P S ===△． 【提示】根据给出的函数导数的图象判断ω的大小，由定积分求面积，并结合概率求解即可．【考点】函数图象的应用，定积分的几何意义，几何概型 16.【答案】643211n -⨯+【解析】①当16N =时，0123456P x x x x x x x =…，可设为(1,2,3,4,5,6,…，113571524616P x x x x x x x x x =……，即为(1,3,5……，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =…，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)…，7x 位于2P 中的第6个位置；②方法同①，归纳推理知173x 位于4P 中的第43211n -⨯+个位置．【提示】根据题意归纳推理求解即可． 【考点】归纳推理 三、解答题17.【答案】（Ⅰ）由已知，得251055y ++=，35x y +=，所以15x =，20y =，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率，得：153(1)10020P X ===， 303( 1.5)10010P X ===，251(2)1004P X ===，X 的数学期望为()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2．5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且，由于顾客的结算相互独立，且1X ，2X 的分布列都与X 的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X PX P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=． 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980． 【提示】根据给出的数据求分布列与期望，判断事件之间互斥关系，从而求得对立事件的概率即可．【考点】用样本数字特征估计总体数字特征，对立事件的概率18.【答案】（Ⅰ）如图，连接AC ，由4AB =，3BC =，90ABC ∠=，得5AC =， 又5AD =，E 是CD 的中点，所以CD AE ⊥，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线， 所以CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）过点B 作BG CD ∥，分别与AE ，AD 相交于F ，G 连结PF ， 由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE ，于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥，由PA ⊥平面ABCD 知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，4AB =，2AG =，BG AF ⊥由题意，知PBA BPF ∠=∠，因为sin PA PBA PB ∠=，sin BFBPF PB∠=，所以PA BF =，由90DAB ABC ∠=∠=， 知，AD BC ∥，又BG CD ∥，所以四边形BCDG 是平行四边形，故3GD BC ==，于是2AG =，在Rt BAG △中，4AB =，2AG =，BG AF ⊥，所以BG =，2AB BF BG ===于是PA BF ==， 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=【解析二】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PA h =，则相关的各点坐标为：(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,3,0)C ，(0,5,0)D ，(2,4,0)E ，(0,0,)P h ；（Ⅰ）易知(4,2,0)CD =-，(2,4,0)AE =，(0,0,)AP h =，8800CD AE =-++=，0CD AP =，所以CD AE ⊥，CD AP ⊥，而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，CD ，AP 分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量，而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以cos ,cos ,CD PB PA PB <>=<>，即||||||||C D P BP A P BC D P B P A P B =，由（Ⅰ）知，(4,2,0)CD =-，(0,0,)AP h=-由(4,0,)PB h =-，故2216516h hh++，解得5h =，又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为1112851633V S PA =⨯⨯=⨯=【提示】根据定理判定线面垂直；找出四棱锥的高求其体积． 【考点】直线与平面垂直的判定，四棱锥的体积19.【答案】（Ⅰ）对任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-，即1122n n a a a a ++-=-，亦即21214n n a a a a +--=-=，故数列{}n a 是首项为1，公差为4的等差数列，于是1(1)443n a n n =+-⨯=-； （Ⅱ）①必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有1n n a a q +=， 由0n a >知，()A n ，()B n ，()C n 均大于0，于是231121212()()()n n n na a a q a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++…………， 342231231231()()()n n n n a a a q a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++…………， 即()()()()B nC n q A n B n ==， 所以三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列；②充分性：若对于任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列， 则()()B n qA n =，()()C n qB n =，于是()()[()()]C n B n q B n A n -=-， 得2211()n n a a q a a ++-=-，即2121n n a qa a a ++-=-， 由1n =有(1)(1)B qA =，即21a qa =，从而210n n a qa ++-=， 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==， 故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列．【提示】根据给出的三个关系式，根据三者之间的关系结合等差、等比性质求解即可． 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的性质20.【答案】（Ⅰ）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为1()T x ，2()T x ，3()T x 由题设有1230001000()6T x x x ⨯==，22000()T x kx=，31500()200(1)T x k x =-+，其中x ，kx ，200(1)k x -+均为1到200之间的正整数；（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),()f x T x T x T x =，其定义域为2000,1x x x k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭N ， 易知，1()T x ，2()T x 为减函数，3()T x 为增函数，注意到212()()T x T x k=，于是：①当2k =时，12()()T x T x =，此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭， 由函数1()T x ，3()T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得4009x =，由于40044459<<，而1250(44)(44)11f T ==，3300(45)(45)13f T ==，(44)(45)f f <， 故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =；②当2k >时，12()()T x T x >，由于k 为正整数，故3k ≥，此时375()50T x x=-，{}1()max (),()x T x T x ϕ=易知()T x 为增函数，则{}{}1311000375()max (),()max (),()()max ,50f x T x T x T x T x x x x ϕ⎧⎫=≥==⎨⎬-⎩⎭，由函数1()T x ，()T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =，由于400363711<<而1250250(36)(36)911T ϕ==>，375250(37)(37)1311T ϕ==>，此时完成订单任务的最短时间大于25011；③当2k <时，12()()T x T x <，由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数2()T x ，3()T x 的单调性知， 当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =， 类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011．综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68．【提示】根据题意建立模型，判断单调性求最值即可．【考点】分段函数模型，函数单调性的判断，利用函数单调性求最值21.【答案】（Ⅰ）解法一：设M 的坐标为(,)x y，由已知得|2|3x +，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧，于是20x +>，5x =+，化简得曲线1C 的方程为220y x =；解法二：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =；（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4)y y k x -=+，即040kx y y k -++=，于是3=，整理得2200721890k y k y ++-=①，设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，则1y ，2y 是方程①的两个实根，故001218724y y k k +=-=-②，由10124020k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩，得21012020(4)0k y y y k -++=③，设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为1y ，2y ，3y ，4y ，则1k ，2k 是方程③的两个实根，所以0112120(4)y k y y k +=④，同理可得0234220(4)y k y y k +=⑤，于是由②，④，⑤三式，得0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++= 2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=2201212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦==．所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400． 【提示】根据给出的圆的方程及两曲线之间的关系，联立方程由韦达定理即可求解． 【考点】曲线与方程，直线与曲线的位置关系 22.【答案】（Ⅰ）{1}（Ⅱ）0x 的取值范围为212211e e ln,()ax ax x a a x x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x e 1ax x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >，而()e 1ax f x a '=-，令()0f x '=，得11lnx aa =，当11ln x a a<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11ln x a a >时，()0f x '>，()f x 单调递增．故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111ln ln f a a a a a⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥，令()ln g t t t t =-，则()ln g t t '=-，当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减．故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =，因此，当且仅当11a=即1a =时，a 的取值集合为{1}； （Ⅱ）由题意知，21212121()()e e 1ax ax f x f x k x x x x --==---，令2121e e ()()e ax ax axx f x k a x x ϕ-'=-=--，则121()12121e ()[e ()1]ax a x x x a x x x x ϕ-=-----，212()21221e ()[e ()1]ax a x x x a x x x x ϕ-=----， 令()e 1tF t t =--，则()e 1tF t '=-．当0t <时，()0F t '<，()F t 单调递减；当0t >时，()0F t '>，()F t 单调递增． 故当0t =，()(0)0F t F >=，即e 10t t -->， 从而21()21e()10a x x a x x ---->，12()12e()10a x x a x x ---->，又121e 0ax x x >-，221e 0ax x x >-， 所以1()0x ϕ<，2()0x ϕ>，因为函数()y x ϕ=在区间12[,]x x 上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0x ϕ=，2()e 0axx a ϕ'=>，()x ϕ单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211e e ln ()ax ax c a a x x -=-，故当且仅当212211e e ln ,()ax ax x x a a x x ⎡⎤-∈⎢⎥-⎣⎦时，0()f x k '>．综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立，且0x 的取值范围为212211e e ln ,()ax ax x a a x x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦． 【提示】给出函数解析式，利用导数判断函数单调性求参数的取值范围；利用导数判断段单调性并求不等式．【考点】利用导数判断或求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题。

2012年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•湖南）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合N，然后直接求解M∩N即可．解答：解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．点评：本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2．（5分）（2012•湖南）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．解答：解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．3．（5分）（2012•湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题．分析：由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项解答：解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A 若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；故选C点评：本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图，由组合体的三视图，判断组合体的构成的方法，空间想象能力，属基础题4．（5分）（2012•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．分析：根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．5．（5分）（2012•湖南）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（5分）（2012•湖南）函数f（x）=sinx﹣cos（x+）的值域为（）A．[﹣2，2]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣，]考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：通过两角和的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域．解答：解：函数f（x）=sinx﹣cos（x+）=sinx﹣+=﹣+=sin（x﹣）∈．故选B．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力．7．（5分）（2012•湖南）在△ABC中，AB=2，AC=3，•=1，则BC=（）A．B．C．2D．考点：解三角形；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设∠B=θ，由•=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cosθ，再利用余弦定理表示出cosθ，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：∵•=1，设∠B=θ，AB=2，∴2•BC•cos（π﹣θ）=1，即cosθ=﹣，又根据余弦定理得：cosθ==，∴﹣=，即BC2=3，则BC=．故选A点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，余弦定理，以及诱导公式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．8．（5分）（2012•湖南）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A．16B．8C．8D．4考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用；平行投影及平行投影作图法．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，依题意可求得为x A，x B，x C，x D的值，a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，利用基本不等式可求得当m变化时，的最小值．解答：解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，则﹣log2x A=m，log2x B=m；﹣log2x C=，log2x D=；∴x A=2﹣m，x B=2m，x C=，x D=．∴a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，∴==||=2m•=．又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥2﹣=（当且仅当m=时取“=”）∴≥=8．故选B．点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到=是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，属于难题．二、填空题（共8小题，考生作答7小题，每小题0分，满分35分，9,10,11三题任选两题作答；12～16必做题）9．（2012•湖南）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．考点：椭圆的参数方程；直线的参数方程．专题：计算题．分析：化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论．解答：解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：点评：本题考查参数方程化为普通方程，考查曲线的交点，属于基础题．10．（5分）（2012•湖南）不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．解答：解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x ﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．11．（5分）（2012•湖南）如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：设出圆的半径，根据切割线定理推出PA•PB=PC•PD，代入求出半径即可．解答：解：设圆的半径为r，且PO与圆交于C，D两点∵PAB、PCD是圆O的割线，∴PA•PB=PC•PD，∵PA=1，PB=PA+AB=3；PC=3﹣r，PD=3+r，∴1×3=（3﹣r）×（3+r），r2=6∴r=，故答案为：．点评：本题主要考查切割线定理等知识点，熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．12．（5分）（2012•湖南）已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．解答：解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．点评：本题考查复数模的求法，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力．13．（5分）（2012•湖南）（）6的二项展开式中的常数项为﹣160（用数字作答）．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．解答：解：（）6展开式的通项为T r+1=C6r•（2）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•C6r•26﹣r•x3﹣r，令3﹣r=0，可得r=3，其常数项为T4=（﹣1）r•C6r•26﹣r=﹣160；故答案为﹣160．点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确写出其通项，属于基础试题．14．（5分）（2012•湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S=﹣4．考点：循环结构．专题：计算题．分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：判断前x=﹣1，n=3，i=2，第1次判断后循环，S=﹣6+2+1=﹣3，i=1，第2次判断后S=5，i=0，第3次判断后S=﹣4，i=﹣1，第4次判断后﹣1≥0，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．15．（5分）（2012•湖南）函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ=，点P的坐标为（0，），则ω=3；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为．考点：导数的运算；几何概型；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先利用导数的运算性质，求函数f（x）的导函数f′（x），再将φ=，f′（0）=代入导函数解析式，即可解得ω的值；（2）先利用定积分的几何意义，求曲线段与x轴所围成的区域面积，再求三角形ABC的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin （ωx+φ）的导函数y=f′（x）=ωcos（ωx+φ），其中φ=，过点P（0，），∴ωcos=∴ω=3．故答案为：3．（2）∵f′（x）=ωcos（ωx+φ），∴曲线段与x轴所围成的区域面积为[﹣f′（x）]dx=﹣f（x）=﹣sin﹣（﹣sin）=2，三角形ABC的面积为=，∴在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为P==．故答案为：．点评：本题主要考查了f（x）=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，导数运算及导函数与原函数的关系，定积分的几何意义，几何概型概率的计算方法，属基础题．16．（5分）（2012•湖南）设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1，x2，…，x N依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…x N．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…x N﹣1x2x4…x N，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，当2≤i≤n ﹣2时，将P i分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．（1）当N=16时，x7位于P2中的第6个位置；（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第3×2n﹣4+11个位置．考点：演绎推理的基本方法；进行简单的演绎推理．专题：压轴题．分析：（1）由题意，可按照C变换的定义把N=16时P2列举出，从中查出x7的位置即可；（2）根据C变换的定义及归纳（1）中的规律可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，3，5，7，9，11，13，15，2，4，6，8，10，12，14，16，再173=16×10+13，即可确定出x173位于P4中的位置．解答：解：（1）当N=16时，P0=x1x2…x16．由C变换的定义可得P1=x1x3…x15x2x4…x16，又将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，故P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，由此知x7位于P2中的第6个位置；（2）考察C变换的定义及（1）计算可发现，第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项，依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n≥8）故每段的数字有2n﹣4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第3×2n﹣4+11=3×2n﹣4+11个位置．故答案为3×2n﹣4+11点评：本题考查演绎推理及归纳推理，解题的关键是理解新定义，找出其规律，本题是探究型题，运算量大，极易出错，解题进要严谨认真，避免马虎出错三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次性购物量1至4件 5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x 30 25 y 10结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题．分析：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，将频率视为概率，故可求相应的概率，由此可得X的分布列与数学期望；（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X i（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1），由于各顾客的结算相互独立，且X i（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，故可得结论．解答：解：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；将频率视为概率可得P（X=1）==0.15；P（X=1.5）==0.3；P（X=2）==0.25；P（X=2.5）==0.2；P（X=3）==0.1X的分布列X 1 1.5 2 2.5 3P 0.15 0.3 0.25 0.2 0.1X的数学期望为E（X）=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X i（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1）由于各顾客的结算相互独立，且X i（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以P（A）=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125．点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望，属于中档题．18．（12分）（2012•湖南）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：解法一：（Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AE；再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明；（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．法二：（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到=0以及•=0．即可证明结论；（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA 的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．解答：解法一：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，又AD=5，E是CD得中点，所以CD⊥AE，PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD．所以PA⊥CD，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=，sin∠BPF=，所以PA=BF．由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3，于是AG=2．在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，所以BG==2，BF===．于是PA=BF=．又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．（Ⅰ）=（﹣4，2，0），=（2，4，0），=（0，0，h）．因为=﹣8+8+0=0，•=0．所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）由题设和第一问知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以：|cos＜，＞|=|cos＜，＞|，即||=||．由第一问知=（﹣4，2，0），=（（0，0，﹣h），又=（4，0，﹣h）．故||=||．解得h=．又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．点评：本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．19．（12分）（2012•湖南）已知数列{a n}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+a n，B（n）=a2+a3+…+a n+1，C（n）=a3+a4+…+a n+2，n=1，2，…．（1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a n}的通项公式．（2）证明：数列{a n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．考点：等差数列的性质；充要条件；等比关系的确定．专题：计算题；证明题．分析：（1）由于对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，可得到B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），即a n+1﹣a1=a n+2﹣a2，整理即可得数列{a n}是首项为1，公差为4的等差数列，从而可得a n．（2）必要性：由数列{a n}是公比为q的等比数列，可证得即==q，即必要性成立；充分性：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，可得a n+2﹣qa n+1=a2﹣qa1．由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而a n+2﹣qa n+1=0，即充分性成立，于是结论得证．解答：解：（1）∵对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，∴B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），即a n+1﹣a1=a n+2﹣a2，亦即a n+2﹣a n+1=a2﹣a1=4．故数列{a n}是首项为1，公差为4的等差数列，于是a n=1+（n﹣1）×4=4n﹣3．（2）证明：（必要性）：若数列{a n}是公比为q的等比数列，对任意n∈N*，有a n+1=a n q．由a n＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是===q，===q，即==q，∴三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列；（充分性）：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），于是C（n）﹣B（n）=q[B（n）﹣A（n）]，即a n+2﹣a2=q（a n+1﹣a1），亦即a n+2﹣qa n+1=a2﹣qa1．由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而a n+2﹣qa n+1=0．∵a n＞0，∴==q．故数列{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列．综上所述，数列{a n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．点评：本题考查等差数列的性质，考查充要条件的证明，考查等比关系的确定，突出化归思想，逻辑思维与综合运算能力的考查，属于难题．20．（13分）（2012•湖南）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）设完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x），则可得，，；（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为，可得T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x），分类讨论：①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解．解答：解：（1）设写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x）∴，，其中x，kx，200﹣（1+k）x均为1到200之间的正整数（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为∴T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x）①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{}∵T1（x），T3（x）为增函数，∴当时，f（x）取得最小值，此时x=∵，，，f（44）＜f（45）∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{}∵T1（x）为减函数，T（x）为增函数，∴当时，φ（x）取得最小值，此时x=∵，，∴完成订单任务的时间大于③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}∵T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，∴当时，φ（x）取得最小值，此时x=类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为，大于综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68． 点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定分类标准，有难度． 21．（13分）（2012•湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1上的点均在C 2：（x ﹣5）2+y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值． （Ⅰ）求曲线C 1的方程 （Ⅱ）设P （x 0，y 0）（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别于曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D ．证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 专题：综合题；压轴题． 分析：（Ⅰ）设M 的坐标为（x ，y ），根据对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值，可得|x+2|=且圆C 2上的点位于直线x=﹣2的右侧，从而可得曲线C 1的方程；（Ⅱ）当点P 在直线x=﹣4上运动时，P 的坐标为（﹣4，y 0），设切线方程为kx ﹣y+y 0+4k=0，利用直线与圆相切可得，从而可得过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率k 1，k 2是方程的两个实根，设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，从而可得；同理可得，由此可得当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D的纵坐标之积为定值为6400．解答：（Ⅰ）解：设M 的坐标为（x ，y ），由已知得|x+2|=且圆C 2上的点位于直线x=﹣2的右侧∴=x+5化简得曲线C 1的方程为y 2=20x（Ⅱ）证明：当点P 在直线x=﹣4上运动时，P 的坐标为（﹣4，y 0），∵y 0≠±3，∴过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y ﹣y 0=k （x+4），即kx ﹣y+y 0+4k=0， ∴，整理得①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根 ∴②由，消元可得③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4， ∴y 1，y 2是方程③的两个实根 ∴④同理可得⑤由①②④⑤可得==6400∴当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值为6400． 点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与圆相切，考查韦达定理的运用，解题的关键是切线与抛物线联立，属于中档题． 22．（13分）（2012•湖南）已知函数f （x ）=e ax ﹣x ，其中a ≠0． （1）若对一切x ∈R ，f （x ）≥1恒成立，求a 的取值集合．（2）在函数f （x ）的图象上取定两点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）（x 1＜x 2），记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使f ′（x 0）＞k 成立？若存在，求x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题． 专题： 压轴题． 分析：（1）先确定a ＞0，再求导函数，确定函数的单调性，可得时，f （x ）取最小值故对一切x ∈R ，f （x ）≥1恒成立，则，构建新函数g （t ）=t ﹣tlnt ，则g ′（t ）=﹣lnt ，确定函数的单调性，求出函数的最大值，由此即可求得a 的取值集合；（2）由题意知，，构建新函数φ（x）=f′（x）﹣k=，则，，构建函数F（t）=e t﹣t﹣1，从而可证明φ（x1）＜0，φ（x2）＞0，由此即可得到存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立．解答：解：（1）若a＜0，则对一切x＞0，函数f（x）=e ax﹣x＜1，这与题设矛盾，∵a≠0，∴a＞0∵f′（x）=ae ax﹣1，令f′（x）=0，可得令f′（x）＜0，可得，函数单调减；令f′（x）＞0，可得，函数单调增，∴时，f（x）取最小值∴对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则①令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减∴t=1时，g（t）取最大值g（1）=1∴当且仅当=1，即a=1时，①成立综上所述，a的取值集合为{1}；（2）由题意知，令φ（x）=f′（x）﹣k=，则令F（t）=e t﹣t﹣1，则F′（t）=e t﹣1当t＜0时，F′（t）＜0，函数单调减；当t＞0时，F′（t）＞0，函数单调增；∴t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e t﹣t﹣1＞0∴，∵＞0，∴φ（x1）＜0，φ（x2）＞0∴存在c∈（x1，x2），φ（c）=0∵φ（x）单调递增，故这样的c是唯一的，且当且仅当x∈（，x2）时，f′（x）＞k综上所述，存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立，且x0的取值范围为（，x2）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查构建新函数确定函数值的符号，从而使问题得解．。