2019年江苏省淮阴中学、姜堰中学、前黄高中、溧阳中学高考数学模拟试卷(4月份)

2019年江苏省高考数学全真模拟试卷(1)含答案2019年江苏省高考数学全真模拟试卷（一）注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）和解答题（第15题~第20题）两部分。

本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。

2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内。

试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。

考试结束后，交回答题纸。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合A = {2.3}，B = {1.log2a}，若AB = {3}，则实数a的值为 ________。

2.已知复数z = 1 - i3，其中i为虚数单位，则z的模为________。

3.根据XXX所示的伪代码，可知输出的结果S为________。

4.一组数据2.x。

4.6.1的平均值是5，则此组数据的标准差是 ________。

5.有一个质地均匀的正四面体木块，4个面分别标有数字1.2.3.4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 ________。

6.若抛物线x^2 = 4y的焦点到双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a。

0，b。

0)的渐近线距离等于1/3，则双曲线C的离心率为 ________。

7.若实数a。

b满足a ≤ 1，b - a - 1 ≤ 0，则(a + 2b)/(2a + b)的最大值为 ________。

8.在三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABC的体积为V1，三棱锥DE-ABC的体积为V2，则V1/V2 = ________。

9.设等差数列{an}的公差为d（d ≠ 0），若a1 + a2 + a3 = 6，a2 + a3 + a4 = 8，则d的值为 ________。

10.已知tan(α + β) = 1，tan(α - β) = 2，其前n项和为Sn。

江苏省淮阴中学高三数学模拟试卷2019．5．24注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则A B ＝ ．2．已知复数z ＝i(1＋i)，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是 ． 3．如下图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是 ．第5题第3题4．袋中装有3个红球，2个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为 ．5．某学校组织部分学生参加英语口语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80,100]，若不低于60分的人数是35人，则参加英语口语测试学生人数是 ． 6．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作角α，已知角4πα+的终边经过点P(﹣2，1)，则tan α的值是 ．7．设正项数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知2239a a -=，4422S a -=，则10a ＝ ．8．已知函数1()(, 0]()2(2)(0, )xa x f x f x x ⎧+∈-∞⎪=⎨⎪-∈+∞⎩，，，且(3)1f =，则实数a 的值是 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，椭圆上一点P 满足PF 2⊥F 1F 2，若三角形PF 1F 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率是 ．10．已知球O 的半径R，圆柱内接于球O ，若圆柱的轴截面是一个正方形ABCD ，则圆柱的表面积为 ．11．已知实数x ＞0，y ＞0，且2x y xy +=，则x y +的最小值是 ． 12．已知直线y m =+与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，若OA OB ⋅＝0，则实数m 的值为 ．13．如图，在△ABC 中，已知AC ＝4，AB ＝3，∠BAC ＝60°，且CD CB λ=，若AD AB ⋅＝8，则实数λ的值为 ． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，a ＋b ＝2c cosB ，则111()sin A tan B tan C⋅+的最小值为 ． 第13题 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，PA 的中点．（1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：平面PAC ⊥平面MNC ．16．（本小题满分14分）已知在斜三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且tanA ＋tanBtanAtanB ＝0，3a ＝b ．（1）若a ＝1，求△ABC 的面积； （2）求tanA 的值．17．（本小题满分14分）华人著名建筑设计师贝津铭设计的“苏州博物馆”用中国元素和几何元素营造中国气度和内涵．其中一处平面图纸设计如图所示，在矩形ABCD 中，阴影区域为墙体涂料部分，空白区域为墙体玻璃部分（边界面积忽略不计），点P ，Q 是矩形边长AB ，CD 的中点，且EF ＝2AE ，设∠PEH ＝∠PFH ＝θ，θ∈(0，2π)，PE ＝a (米)． （1）若a ＝5米，用θ表示墙体的总面积为S （即矩形ABCD 的面积），并求S 的最大值；（2）若PQ ＝10米，求墙体涂料部分（即阴影区域）面积的最大值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为3圆的左右顶点分别为A 、B ，右准线方程为直线x ，以右顶点B 为圆心，半径为r (r ＞0)的圆B 交椭圆于点P ，Q(点P 位于x 轴上方)，直线AP 与圆B 相交于另一点C ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线OP 与圆B 相切，求圆B 的标准方程；（3）若BP ＝PC ，求直线AP 的方程．19．（本小题满分16分）已知函数()ln 1f x a x x =-+．（1）若函数()f x 在x ＝1处取得极大值，求实数a 的值； （2）若函数()f x 有唯一零点，求实数a 的值； （3）若不等式()12xf x ->对任意实数x ＞0恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）己知等比数列{}n a 首项11a =，公比为q ，n S 为{}n a 的前n 项和．数列{}n b 满足11b =，且n b ＝max{11b S +，222S b +，…，111n n S b n --+-}，设1(1)()n n n C n b b -=--． （1）若公比q ＝1，求数列{}n b 的通项公式； （2）若{}n a 单调递增，①求证：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增；②求{}n C 的前n 项和； （3）数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中是否存在无穷等差子数列？若存在，求出所有满足条件q 的值；若不存在，请说明理由．。

2019届江苏省姜堰中学、前黄高级中学、淮阴中学、溧阳中学高三下学期4月阶段测试数学试题一、填空题1．已知集合{}0,1,1A =-，{}210B x x =-≥，则A B =I ______.【答案】{}1,1-【解析】计算(][),11,B =-∞-+∞U ，再计算交集得到答案. 【详解】{}(][)210,11,B x x =-≥=-∞-⋃+∞，故A B =I {}1,1-.故答案为：{}1,1-. 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2．已知复数z 满足32z i i ⋅=-，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是______. 【答案】23i -+【解析】化简得到23z i =--，再计算共轭复数得到答案. 【详解】32z i i ⋅=-，则()()323223iz i i i i-==--=--，故23z i =-+. 故答案为：23i -+. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.3．已知角510︒的终边经过点()P a ，则实数a 的值是______. 【答案】1【解析】直接根据诱导公式和三角函数定义计算得到答案. 【详解】根据题意：()tan 510tan 54030tan 303︒=︒-︒=-︒=-=，故1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 4．如图所示的流程图，输出的n = .【答案】4【解析】试题分析：第一次循环：1,1,n S ==第二次循环：2,4,n S ==第三次循环：3,9,n S ==第四次循环：4,1616,n S ==≥结束循环，输出.4=n【考点】循环结构流程图5．已知函数()()3sin f x x a x =+为偶函数，则实数a 的值是______. 【答案】0【解析】直接根据偶函数得到()()f x f x -=，代入计算得到答案. 【详解】()()3sin f x x a x =+，则()()()3sin 3sin f x x a x ax x x f x -=--=-+=，故0a =.故答案为：0. 【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 6．现有5根铁丝，长度(单位：cm )分别为2.1，2.2，2.4，2.5，2.7，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm 的概率是______. 【答案】310【解析】5根铁丝随机抽取两根铁丝，共有2510C =种抽法，长度恰好相差0.3cm 有3种，得到概率. 【详解】5根铁丝随机抽取两根铁丝，共有2510C =种抽法，长度恰好相差0.3cm 有()2.1,2.4，()2.2,2.5，()2.4,2.73种，故310p =. 故答案为：310. 【点睛】本题考查了古典概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．已知单位向量a r，b r的夹角为120o ，则||2a b -rr的值是________． 【答案】7【解析】直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可． 【详解】解：单位向量a b rr，的夹角为120°，则22124414472a b a a b b -=-⋅+=+⨯+=r rr r r r ．故答案为7． 【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．8．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，14AA =，若点P 从点A 出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱11A B 运动到点1C ，则点P 运动的最短路程为______.31【解析】如图所示：将111A B C 翻折到与11ABA B 共面，故点P 运动的最短路程为1AC ，计算得到答案. 【详解】如图所示：将111A B C 翻折到与11ABA B 共面，故点P 运动的最短路程为1AC .在11AA C ∆中，2221111111112cos 31AC AA A C AA A C AA C =+-⋅∠=，故131AC =.故答案为：31.【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离，余弦定理，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4226a a -=，则11S 的值=______. 【答案】66【解析】化简得到1656a d a +==，计算11611S a =得到答案. 【详解】4226a a -=，则()()11236a d a d +-+=，即1656a d a +==，()1111161111662a a S a+⨯===.故答案为：66. 【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生的计算能力和对于数列公式的灵活运用.10．已知函数()1a f x x =-(0a >)，()()31g x x =-，若()f x 与()g x 的图像交于A ､B 两个不同的点，点P 在圆C ：()2211x y +-=上运动，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围是______.【答案】2⎡⎤⎣⎦【解析】计算341A a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，341B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()cos ,1sin p θθ+，计算PA PB +=u u u r u u u r .【详解】()()()311a f x g x x x ===--，故1x =故341A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，341B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设()cos ,1sin p θθ+，故33441cos ,1sin 1cos ,1sin A PB a a P θθθθ⎛+---⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝-u u u r u u u r()22cos ,22sin θθ=---=[]sin 1,14πθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故2PA PB +∈⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r.故答案为：2⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查了向量模的范围问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．如图，由一个正方形ABCD 与正三角形BDE (点E 在BD 下方)组成一个“风筝骨架”，O 为正方形ABCD 的中心，点P 是“风筝骨架”上一点，设OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(m ，n R ∈)，则m n +的最大值是______.3【解析】2，DE ：31y x =+，计算313m n x x ⎛⎫+=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】2，则()1,0A -，()0,1B -，当P 在DE 上时，DE ：31y x =+，3,0x ⎡⎤∈-⎣⎦，故设3,13P x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 故()3,1,3OP x x mOA nOB m n ⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，故3133m n x x ⎛⎫+=-++≤ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3x =-同理可得P 在其他“风筝骨架”的最值，比较知当P 与E 点重合时m n +33【点睛】本题考查了向量运算，意在考查学生的计算能力，建立直角坐标系是解题的关键.12．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)，存在过左焦点F 的直线与椭圆C 交于A ､B两点，满足2AFBF=，则椭圆C 离心率的最小值是______. 【答案】13【解析】如图：过点A 作AM ⊥准线于M ，BN ⊥准线于N ，AB 交准线于Q ，准线交x 轴于G ，计算2232a a AM c a c c ⎛⎫=-≤+ ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】如图：过点A 作AM ⊥准线于M ，BN ⊥准线于N ，AB 交准线于Q ，准线交x 轴于G .2AFBF=，则2AM BN =，故AB BQ =， 故46GF QF AM AQ ==，223322a a AM GF c a c c ⎛⎫==-≤+ ⎪⎝⎭，即2132e e ≤+，解得13e ≥. 当A 取右顶点，B 取左顶点时等号成立.故答案为：13.【点睛】本题考查了椭圆离心率的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.13．已知函数()()12log 1,1211,x x t f x x t x a⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪--+<≤⎩，若存在实数t ，使()f x 的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是______.【答案】1,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据()1f a ≥-，()1f t ≤解得02a ≤≤，12t ≤，讨论102a ≤≤和122a <≤两种情况，计算最值得到答案. 【详解】根据题意知()2111f a a =--+≥-，解得02a ≤≤，()()12log 11f t t =-+≤，解得12t ≤； 当102a ≤≤时，()f x 在[]1,t -上的最大值为()1f t <，在(],t a 上的最大值为()210f a a =-≤，不成立；当122a <≤时，取12t =，故()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-，在1,2a ⎛⎤⎥⎝⎦上的满足[]121101,12--+=∈-，[]211111,1--+=∈-，[]2111,1a --+∈-，故满足条件；综上所述：1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了根据值域求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14．对任意x ∈R ，不等式()()442223x xxx a b --+++≤恒成立，则+a b 的最大值是______.【解析】设22x x t -+=，则2t ≥或2t ≤-，()2223f t at bt a =+--，计算(10f +≤得到a b +≤，再验证等号成立得到答案.【详解】设22x x t -+=，则2t ≥或2t ≤-，()()442223x xxx a b --+++≤，即()2223a t bt -+≤恒成立，设()2223f t at bt a =+--，则((()1230f a b +=++-≤，解得a b +≤现在验证，存在,a b使等号成立，341a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，则3,42a b ==， 此时()2f t =，对称轴为1t =()(max 10f x f ==.满足条件，故+a b.故答案为：34. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、解答题15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos 3A =， sin 5cos B C =.(1)求tanC 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 【答案】(1)5；(2)5 【解析】解：(1)∵0<A<π，cosA ＝23， ∴sinA ＝21cos A -＝53． 又5cosC ＝sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝53cosC ＋23sinC ，∴tanC ＝5．(2)由tanC ＝5，得sinC ＝56，cosC ＝6．于是sinB ＝5cosC ＝56． 由a ＝2及正弦定理sin aA＝sin C ，得c ＝3， 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12acsinB ＝5．16．如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC ．(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ； (2)点F 在BE 上．若DE ∥平面ACF ，求BFBE的值． 【答案】(1)见解析 (2)12【解析】(1)证明 因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC.因为平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE.因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB.因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB∩BE ＝B ， 所以CE ⊥平面ABE.因为CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE. (2)解 连接BD 交AC 于点O ，连接OF.因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF∩平面BDE ＝OF ， 所以DE ∥OF.又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点， 所以F 为BE 中点，即＝12. 17．某工厂C 发生爆炸出现毒气泄漏，已知毒气以圆形向外扩散，且半径以每分钟1km 的速度增大. 一所学校A ，位于工厂C 南偏西45︒，且与工厂相距5km .消防站B 位于学校A 的正东方向，且位于工厂C 南偏东60︒，立即以每分钟2km 的速度沿直线BC 赶往工厂C 救援，同时学校组织学生P 从A 处沿着南偏东75︒的道路，以每分钟km a 的速度进行安全疏散(与爆炸的时间差忽略不计).要想在消防员赶往工厂的时间内(包括消防员到达工厂的时刻)，保证学生的安全，学生撤离的速度应满足什么要求？【答案】学生撤离的速度至少要是每分钟1km【解析】因为安全撤离，所以PC t >在[]0,5t ∈上恒成立，设学生速度为a ，故()()2215250f t a t at =--+>恒成立，讨论a 的范围，计算得到答案.【详解】因为安全撤离，所以PC t >在[]0,5t ∈上恒成立，设学生速度为a ，2222222cos 255PC AC AP AC AP CAP a t at t =+-⋅∠=+->在[]0,5t ∈上恒成立，所以()()2215250f t a t at =--+>1°1a =时，()5250f t t =-+>在[]0,5t ∈上恒成立，所以1a =符合题意；2°01a <<时，()f t 的最小值只可能在端点处取得，所以只要()00f >且()50f >， 解得0a <或1a >，舍去； 3°1a >时，（1）当()25521a a ≥-即1a <<时，()f t 的最小值为()50f >，得0a <或0a <，所以1a <<；（2）当()25521aa <-即a >时，∆<0得a >>，所以14a >. 综上，1a ≥即学生撤离的速度至少要是每分钟1km . 【点睛】本题考查了余弦定理，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.18．如图所示，已知椭圆：22221x y a b+=(0a b >>)的离心率为12，右准线方程是直线l ：4x =，点P 为直线l 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线PA ､PB ，切点分别为A ､B (点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方).（1）求椭圆的标准方程；（2）①求证：分别以PA ､PB 为直径的两圆都恒过定点C ；②若12AC CB =u u u r u u u r，求直线PC 的方程.【答案】（1）22143x y +=.（2）①答案见解析：②2525y x =+【解析】（1）计算得到2a =，1c =得到答案. （2）计算切线AP ：00143x x y y+=，得到P 坐标，得到AP 为直径的圆的圆方程，取0y =计算得到答案；设()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0C ，解得AP 坐标，得到直线方程. 【详解】（1）12c e a ==，准线24a x c==，解得2a =，1c =，故3b =故椭圆方程为：22143x y +=.（2）①设切点()00,A x y ，当0y >时，2334xy =-，234'334x y x -=-故0034x k y -=，则切线AP ：00143x x y y+=，所以点()00314,x P y -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 以AP 为直径的圆：()()()()00003140x x x x y y y y -⎛⎫--+--=⎪⎝⎭， 由对称性可知定点在x 轴上，令0y =得()200430x x x x -+++=，过定点()1,0C ，同理，以BP 为直径的圆过定点()1,0C ，得证.②设()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0C ，因为12AC CB =u u u r u u u r ，所以2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩，又因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以7,48A ⎛ ⎝⎭，4,5P ⎛- ⎝⎭， 所以直线PC的方程为y x =【点睛】本题考查了椭圆方程，定点问题，直线和椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19．设函数()22ln f x x a x =+，(a R ∈).（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x m =+，求实数a ､m 的值； （2）关于x 的方程()2cos 5f x x +=能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若()()2122f x f x -+>对任意[)2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2a =-，0m =.（2）不可能有三个不同的实根，证明见解析. （3）12a ≤ 【解析】（1）求导根据导数等于斜率，过点()()1,1f 计算得到答案. （2）讨论0a <，0a ≥得到()0g x '=在()0,∞+至多1个实根，得到答案. （3）不等式等价于()()224ln 421ln 21x a x x a x ->---，令()4ln h t t a t =-，则()()221h x h x >-，根据单调性得到答案.【详解】（1）()22ln f x x a x =+，则()'4af x x x=+，故()'12f =，()122f m ==+， 解得2a =-，0m =.（2）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令()()2cos g x f x x =+，如果()5g x =有三个不同的实根，则()g x 至少要有三个单调区间，则()0g x '=至少两个不等实根，所以只要证明()0g x '=在()0,∞+至多1个实根，()42sin ag x x x x'=+-，()242cos a g x x x x ''=--，1°当0a <时，42cos 0x ->，20ax->，∴()0g x ''>，∴()g x '在()0,∞+单调递增，∴()0g x '=在()0,∞+至多1个实根；2°当0a ≥时，()42sin 42cos 0x x x '-=->，∴42sin y x x =-在()0,∞+单调递增，∴42sin 0y x x =->，又因为0a ≥时0a x ≥，∴()42sin 0ag x x x x'=+->， ∴()0g x '=在()0,∞+没有实根综合1°2°可知，()0g x '=在()0,∞+至多1个实根，所以得证.（3）∵()()2122f x f x -+>对任意[)2,x ∈+∞恒成立，且()22ln f x x a x =+，∴()2484ln 212ln x x a x a x -++->对任意[)2,x ∈+∞恒成立，∴()()224ln 421ln 21x a x x a x ->---对任意[)2,x ∈+∞恒成立，令()4ln h t t a t =-， 则()()221h xh x >-对任意[)2,x ∈+∞恒成立，∵[)2,x ∈+∞时221x x >-，且()()221h xh x >-，[)24,x ∈+∞，[)213,x -∈+∞∴()4ln h t t a t =-在[)3,t ∞∈+单调递增∴()40ah t t'=-≥在[)3,t ∞∈+恒成立， ∴12a ≤. 【点睛】本题考查了切线问题，方程解的个数问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20．若无穷数列{}n a 满足：0n a >，且对任意s k l n <<<，s n k l +≥+(s ，k ，l ，n *∈N )都有s n k l a a a a +≥+，则称数列{}n a 为“T ”数列. （1）证明：正项无穷等差数列{}n a 是“T ”数列；（2）记正项等比数列{}n b 的前n 项之和为n S ，若数列{}n S 是“T ”数列，求数列{}n b 公比的取值范围；（3）若数列{}n c 是“T ”数列，且数列{}n c 的前n 项之和n T 满足12n nT c c n +≥，求证：数列{}n c 是等差数列.【答案】（1）答案见解析.（2）1q ≥.（3）答案见解析【解析】（1）()s n k l a a a a s n k l d +--=+--，根据题意得到s n k l a a a a +≥+，得到证明.（2）讨论1q =，1q >，01q <<三种情况，1q >时，计算0s n k l S S S S +-->，01q <<时，计算0s n k l S S S S +--<，得到答案.（3）计算得到12n n T c c n +≤，根据题意得到12n nT c c n +=，利用退项相减得到122n n n a a a ++=+，得到证明.【详解】（1）()s n k l a a a a s n k l d +--=+--，因为正项无穷等差数列{}n a ，所以0d >，且s n k l +≥+，所以s n k l a a a a +≥+， 所以正项无穷等差数列{}n a 是“T ”数列.（2）1°1q =时()10s n k l S S S S s n k l a +--=+--≥成立，所以1q =； 2°1q >时()()11111k l n s s k s l s n s s n k l a aS S S S q q q q q q q q q q---+--=+--=+----， 因为s n k l +≥+，所以n k l s ≥+-，又因为1q >，所以2n sk l s k s l s q q q q -+---≥=⋅，所以()()11110k sl s n s k s l s k s l s k s l s qq q q q q q q q ---------+--≤+-⋅-=--<，所以()1101s k sl s n s s n k l a S S S S q q q q q---+--=+-->-，所以1q >. 3°01q <<时， ()()11111k l n s n k n l n s n s n k l a aS S S S q q q q q q q q q q---+--=+--=+----1111111n k n n sn a q q q q q ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为s n k l +≥+，所以n k l s ≥+-，又因为01q <<，所以111n sk sl sq q q ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111111111n kn ln ss ks lk sl sq q q q q q q -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--≤⋅+-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110k s l s q q --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 所以1111101n s n kn ln s n k l a S S S S q q q q q ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+--=+--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭舍去， 综上：1q ≥（3）12n n T c c c =+++L ，11n n n T c c c -=+++L ， 所以()()()12112n n n n T c c c c c c -=++++++L ，数列{}n c 是“T ”数列，故211n n c c c c -+≤+，321n n c c c c -+≤+，…，11n n c c c c +≤+， 所以()122n T n c c ≤+，所以12n n T c c n +≤，又因为12n n T c c n +≥，所以12n nT c c n +=， 即()12n n T n c c =+，()()11121n n T n c c ++=++，相减得到()111n n na n a a +=-+， 故()1211n n n a na a +++=+，相减得到122n n n a a a ++=+，故数列{}n c 是等差数列. 【点睛】本题考查了数列的新定义，证明等差数列，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用能力.21．已知直线l ：0ax y -=在矩阵0112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点()1,1，求实数a 的值.【答案】1a =-【解析】根据矩阵变换得到()210a x ay ''-++=，将点()1,1代入方程，计算得到答案. 【详解】设(),P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点､(),P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得2x x y y x =-+⎧⎨='''⎩， 代入0ax y -=，整理得()210a x ay ''-++=.将点()1,1代入上述方程，解得1a =-. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计计算能力和转化能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是32{12x t m y t，=+=（t 是参数）， 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，且直线l 与圆C 相切，求实数m 的值． 【答案】6或2-.【解析】【详解】试题分析：把直线l 的参数方程消去参数t 可得普通方程为30x y m --=，把圆的极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程为224x y x +=，即22(2)4x y -+=，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得m 的值. 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即圆C 的方程为()2224x y -+=，又由3,{1,2x t m y t =+=消t ，得30x y m --=，由直线l 与圆C 相切， 所以222m-=，即2m =-或6m = 【考点】参数方程化为普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化.23．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率； （2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）14；（2）随机变量X 的分布列为:20EX =.【解析】试题分析：（1）这属于一个古典概型问题，可以考虑摸2次，总的方法数为2412P =，而摸2次后停止摸奖，说明第一次不是黑球，而第2次摸的是黑球，有133P =种可能，因此所求概率为31124=；（2）因为是不放回的摸球，因此得奖金额可能为0元、10元、20元、30元、40元，这样随机变量X 的分布列就要求出，奖金0元，说明第1次摸的是黑球，奖金10元说明第一次摸的是拍球或黄球，第2次黑球，奖金20元，说明第1次红球，第2次黑球或第1、第2次是白球或黄球，第3次黑球，奖金30元，第1次与第2次里有1次是红球，另一次为白球或黄球，第3次黑球，而奖金40元说明第4次是黑球，由上可计算出名概率计算出分布列，期望. 试题解析：（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A ，则13241()4P P A P ==，（4分）故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率14． （2）随机变量X 的所有取值为0,10,20,30,40．1(0)4P X ==，12241(10)6P P X P ===,22324411(20)6P P X P P ==+=1222341(30)6C P P X P ===，33441(40)4P P X P ===（9分）所以，随机变量X 的分布列为:（12分）111110102030402046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（14分）【考点】(1)古典概型；（2）随机变量分布列与数学期望.24．随着城市化建设步伐，建设特色社会主义新农村，有n 个新农村集结区1A ，2A ，3A ，…，n A 按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上(4n ≥)，如图所示，任意两个集结区之间建设一条新道路i j A A ，两条道路的交汇处安装红绿灯(集结区1A ，2A ，3A ，…，n A 除外)，在凸多边形内部任意三条道路都不共点，记安装红绿灯的个数为()P n .（1）求()4P ，()5P ；（2）求()P n ，并用数学归纳法证明.【答案】（1）()41P =，()55P =.（2）答案见解析 【解析】（1）直接根据图像得到答案.（2）()4n P n C =，验证4n =时成立，假设n k =时成立，计算1n k =+时也成立，得到答案. 【详解】（1）如图所示：()41P =，()55P = （2）()4n P n C =，①4n =，()4441P C ==，命题成立；假设n k =(4k ≥)时，()4k P k C =第 21 页 共 21 页 则1n k =+时，1A ，2A ，3A ，…，k A ，k 1A +按逆时针方向排列，依次连结11k A A +，12k A A +，……，1k k A A +可增加k 条道路，则11k A A +与凸四边形内部的道路交点为0； 12k A A +与凸四边形内部的道路交点为()12k ⋅-；13k A A +与凸四边形内部的道路交点为()23k -；依次类推11k k A A +-与凸四边形内部的道路交点为()21k -⋅； 则()()()()1232122321P k k k k k k k k +=++++--⨯+⨯++--⎡⎤⎣⎦L L()()()422242311222k k k k C C C C ---=+-+++L 4334132k k k k C C C C +=+-=. 故()4n P n C =.【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的计算能力和推断能力.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________．4. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x(x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证：（1）平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； （2）MN ∥平面ABC .16. (本小题满分14分)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.（1）若A ＝5π12，求边c 的大小；（2）若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．（1）求开学第二天选择A餐厅的人数；（2）若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．18. (本小题满分16分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l：x－y＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，m＝(k1－2，1)，n＝(1，k2－2)，若m⊥n，求证：直线AB过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和． （1）求a n 和T n ；（2）若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．（1） 当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （2） 若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围；（3） 若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d (c ，d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．C. (选修45：不等式选讲)已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.（1）求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；（2）求二面角BAB1C平面角的余弦值．23. 在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．（1）当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；（2）求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3. 102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z |＝14＋94＝102.4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e .5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x <4时，f (x )＝f (x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f (log 23－3)＝f (log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f (log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos[(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315. 10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V P ACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝x y 时等号成立． 12. n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n－⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n .13. 4 解析：y ＝2x x －1－f (x )的零点即为2x x －1＝f (x )的解，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )有四个交点．∵y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f (x )≥0及x >0，得a ≤ex e x 的解集恰为[m ，n ]，设 g (x )＝exe x ，则g ′(x )＝e （1－x ）e x，由g ′(x )＝0，得x ＝1，当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，且g (1)＝1，g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝exex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C .又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1， 故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP . ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1.又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN ∥BP .又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC .(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c .由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)， 第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)， 故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)，而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时， 有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000， 即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M (0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4，∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4，即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k2－1，故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k2－1，即y ＝k ⎝⎛⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0， 则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12，此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12，∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n .(2分)b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. (5分)(2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n －3恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min ，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大，∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min ＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n ＋5恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min .(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9，当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9.综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f (x )＝ln x ＋2e x，得f ′(x )＝1－2x －xln xxe x，x ∈(0，＋∞)，(1分)∴ 曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e .∵ f (1)＝2e ，∴ 曲线y ＝f (x )切线方程为y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由xe x f (x )>m ，得k >mx－ln x ，令F (x )＝mx－ln x ，则k >F (x )max ，又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e ]．当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e ]上单调递减， ∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e ]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e <m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e ]上单调递减， k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln (－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e ]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e )＝me－1，综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e <m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫me －1，＋∞.(8分) (3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1. 令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于1－x －xln x <e xx ＋1(e －2＋1)． 由h (x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －xln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0，∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x －(x ＋1)>0，即e x x ＋1>1， ∴ 1－x －xln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)， 故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)21. A . 解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42c ＋d ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3c ＋d ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋d ＝2，c ＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，d ＝4，(4分) 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－1316 16.(10分) B. 解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )， 所以直线l 的普通方程为y ＝3x .(2分)因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)， 所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2，2]). (4分) 联立解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝12x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6， 由x ∈[－2，2]，则x ＝23，y ＝6(舍去)，故P 点的直角坐标为(0，0)．(10分)C. 证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32) ≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33， 即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.(10分)22. 解：如图，以{CA →，CB →，CC 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A 1(1，0，2)，B 1(0，1，2)，所以CB 1→＝(0，1，2)，AB →＝(－1，1，0)，AB 1→＝(－1，1，2)，BA 1→＝(1，－1，2)．(1) 因为cos 〈CB 1→，BA 1→〉＝CB 1→·BA 1→|CB 1→||BA 1→|＝35×6＝3010， 所以异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值为3010.(4分)(2) 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB 1→＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取平面CAB 1的一个法向量为m ＝(0，2，－1)．设平面BAB 1的法向量为n ＝(r ，s ，t )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－r ＋s ＋2t ＝0，－r ＋s ＝0， 取平面BAB 1的一个法向量为n ＝(1，1，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝25×2＝105. 易知二面角BAB 1C 为锐角， 所以二面角BAB 1C 平面角的余弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 由已知得a 3＝70，a 4＝180，所以当n ＝2时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500；当n ＝3时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500.(2分)猜想：a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)．下面用数学归纳法证明：① 当n ＝2时，结论成立．② 假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k －a k －1a k ＋1＝－500.将a k ＋1＝3a k －a k －1代入上式，可得a 2k －3a k a k －1＋a 2k －1＝－500，则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1－a k a k ＋2＝a 2k ＋1－a k (3a k ＋1－a k )＝a 2k ＋1－3a k a k ＋1＋a 2k ＝－500，故当n ＝k ＋1时结论成立， 根据①②可得a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)成立．(4分)(2) 将a n －1＝3a n －a n ＋1代入a 2n －a n －1a n ＋1＝－500，得a 2n ＋1－3a n a n ＋1＋a 2n ＝－500，则5a n ＋1a n ＝(a n ＋1＋a n )2＋500，5a n a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋a n )2＋501.设5a n ＋1a n ＋1＝t 2(t ∈N *)，则t 2－(a n ＋1＋a n )2＝501，即[t －(a n ＋1＋a n )](t ＋a n ＋1＋a n )＝501.又a n ＋1＋a n ∈N *，且501＝1×501＝3×167，故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n －t ＝－1，a n ＋1＋a n ＋t ＝501或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n －t ＝－3，a n ＋1＋a n ＋t ＝167，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝251，a n ＋1＋a n ＝250或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝85，a n ＋1＋a n ＝82. 由a n ＋1＋a n ＝250，解得n ＝3； 由a n ＋1＋a n ＝82，得n 无整数解， 所以当n ＝3时，满足条件．(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 1＝4－3i ，z 2＝1＋i ，则复数(z 1－z 2)i 的模为________．3. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．4. 学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数，成绩≥80分记为优秀)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，则分数在[70，80)内的人数为________．5. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且BE →＝12EC →，DF →＝FC →，则AE →·EF →＝________．6. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积小于8的概率是________．7. 已知函数f (x )＝12x ＋1，则f (log 23)＋f (log 213)＝________． 8. 已知锐角θ满足sin(θ2＋π6)＝45，则cos(π6－θ)的值为________. 9. 若直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的________条件．10. 已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x 3，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则f (2 019)＝________．11. 设点O ，P ，Q 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y 2＝4x 的交点，O 为坐标原点，若△OPQ 的面积为2，则双曲线的离心率为________．12. 若a ≥c >0，且3a －b ＋c ＝0，则ac b的最大值为__________． 13. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 2≥4，S 4≤16，则S 9的最大值是________．14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 在区间[a －1，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值之差为4，则实数a 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直，AB ＝AD ＝12CD ，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，M 为PD 的中点．求证：（1）AM ∥平面PBC ；（2）平面BDP ⊥平面PBC .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C . （1）求a 的值；（2） 若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．17. (本小题满分14分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q .（1）若点P (－3，0)，点Q (－4，－1)，求椭圆C 的方程；（2）若AP →＝3PQ →，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．18. (本小题满分16分)某公司一种产品每日的网络销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/件时，每日可售出产品21千件．（1）求m 的值；（2）假设网络销售员工的工资、办公等所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数)，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售产品所获得的利润最大．(结果保留一位小数)19. (本小题满分16分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.（1）求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是等比数列； （2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝12x 2＋kx ＋1，g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，h (x )＝f (x )＋g ′(x )． （1）若函数g (x )的图象在原点处的切线l 与函数f (x )的图象相切，求实数k 的值；（2）若h (x )在[0，2]上单调递减，求实数k 的取值范围；（3）若对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围．已知[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π3)＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．23. 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．（1）若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；（2）若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)1. {x |－1<x ≤0} 解析：由题意可得，A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{y ∈R |y ≤0}＝{x |x ≤0}．故A ∩B ＝{x |－1<x ≤0}．2. 5 解析：∵ (z 1－z 2)i ＝(3－4i )i ＝4＋3i ， ∴ |(z 1－z 2)i |＝5.3. 154. 18 解析：分数在[70，80)内的人数为[1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10]×60＝18.5. －3 解析：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，EF →＝EC →＋CF →＝－12AB →＋23AD →，又AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，∴ AE →·EF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →⎝⎛⎭⎫－12AB →＋23AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋29AD →2＝－12×42＋12×4×3×cos π3＋29×32＝－3. 6. 13解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数相乘，共有6个结果，其中乘积小于8的有2个，故所求概率为26＝13.7. 1 解析：∵ f (x )＋f (－x )＝12x ＋1＋12－x ＋1＝1，∴ f (log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 213＝f (log 23)＋f (－log 23)＝1.8. 2425 解析：∵ 0<θ<π2，∴ π6<θ2＋π6<5π12，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝35，∴ sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425，∴ cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425.9. 充分不必要 解析：l 1⊥l 2 的充要条件是m (m －3)＋1×2＝0，即m ＝1或m ＝2，∴ “m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．10. 1 解析：∵ 函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，∴ 函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又函数f (x )的周期为4，∴ f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1.11. 5 解析：不妨设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则y 20＝4x 0，12x 0(2y 0)＝2，∴ x 0＝1，y 0＝2.又y 0＝b a x 0，∴ b a ＝2，∴ b 2a 2＝4，∴ c 2－a 2a 2＝4，∴ e ＝ 5.12. 36 解析：∵ 3a －b ＋c ＝0，则b ＝3a ＋c ，设t ＝c a ，则t ∈(0，1]，∴ ac b ＝ac 3a ＋c ＝c a 3＋c a ＝t 3＋t 2＝13t＋t .∵ 3t ＋t ≥23，∴ ac b ≤123＝36，∴ ac b 的最大值为36. 13. 81 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 2≥4，S 4≤16，∴ 2a 1＋d ≥4，4a 1＋6d ≤16，即2a 1＋d ≥4且2a 1＋3d ≤8.又S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )，由线性规划可知，当a 1＝1，d ＝2时，S 9取得最大值81. 14. 1或0 解析：f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，则x ＝－1或x ＝1，则f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．∵ a ≥0，x ∈[a －1，a ＋1]，∴ a －1≥－1，a ＋1≥1.① 当a －1<1即a <2时，f (x )min ＝f (1)＝－2，f (x )max ＝max {f (a －1)，f (a ＋1)}，又f (x )max －f (x )min＝4，f (x )max ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （a －1）＝2f （a ＋1）≤f （a －1）或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ＋1）＝2，f （a －1）≤f （a ＋1），∴ a 的值为1或0；② 当a －1≥1即a ≥2时，f (x )min ＝f (a －1)，f (x )max ＝f (a ＋1)， ∴ f (a ＋1)－f (a －1)＝4，无解． 综上，a 的值为1或0.15. 证明：(1) 如图，取为PC 中点N ，连结MN ，BN ， ∵ M 为PD 的中点，N 为PC 中点，∴ MN ∥CD ，MN ＝12CD .又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴ MN ∥AB ，MN ＝AB ，∴ 四边形ABNM 为平行四边形， ∴ AM ∥BN .又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ， ∴ AM ∥平面PBC .(7分)(2) 如图，在等腰中梯形ABCD 中，取CD 中点T ，连结AT ，BT .∵ AB ＝12CD ，AB ∥CD ，∴ AB ＝DT ，AB ∥DT ，∴ 四边形ABTD 为平行四边形．又AB ＝AD ，∴ 四边形ABTD 为菱形， ∴ AT ⊥BD .同理，四边形ABCT 为菱形，∴ AT ∥BC . ∵ AT ⊥BD ，∴ BC ⊥BD .∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，CP ⊥CD ，CP ⊂平面PCD ， ∴ CP ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， ∴ CP ⊥BD .∵ BC ⊥BD ，BC ∩CP ＝C ，∴ BD ⊥平面PBC . 又BD ⊂平面BDP ，∴平面BDP ⊥平面PBC .(14分) 16. 解：(1) 由题知，c ＝3，sin A ＝6sin C .由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a ＝csin C·sin A ＝3 2.(6分)(2) ∵ cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－13，且0<A <π，∴ sin A ＝63.由于角A 为锐角，得cos A ＝33.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴ b 2－2b －15＝0， 解得b ＝5或b ＝－3(舍去)，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝522.(14分)17. 解：(1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上得b ＝3，又点Q 在椭圆C 上，得（－4）2a 2＋（－1）232＝1，解得a 2＝18，∴ 椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb 1＋k 2； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2.∵ AP →＝3PQ → ，∴ AP →＝34AQ →，∴ 2kba 2k 2a 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k2，∴ k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. ∵ k 2>0，∴ 4e 2>1，即e >12.又0<e <1，∴ 12<e <1，即离心率e 的取值范围是(12，1)．(14分)18. 解：(1) 因为当x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10. (6分)(2) 由(1)可知，产品每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售产品所获得的利润为f (x )＝(x －2)·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6).令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值，故当销售价格约为3.3元/件时，该公司每日销售产品所获得的利润最大．(16分)19. (1) 证明：设b n ＝a 2n －32，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－32a 2n －32＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13a 2n －12a 2n －32＝13，所以数列{a 2n －32}是以a 2－32即－16为首项，以13为公比的等比数列．(6分)(2) 解：由(1)得b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32，由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，所以 a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n －3(n －1)2＋2， 显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减，又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0，所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n >0的所有正整数n 为1和2.(16分) 20. 解：(1) 函数g (x )的定义域为(－1，＋∞)， g ′(x )＝ln (x ＋1)＋1，则g (0)＝0，g ′(0)＝1，∴ 直线l ：y ＝x .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋kx ＋1，y ＝x ，消去y ，得x 2＋2(k －1)x ＋2＝0.∵ l 与函数f (x )的图象相切，∴ Δ＝4(k －1)2－8＝0⇒k ＝1±2.(4分)(2) 由题意知，h (x )＝12x 2＋kx ＋1＋ln (x ＋1)＋1，h ′(x )＝x ＋k ＋1x ＋1.令φ(x )＝x ＋k ＋1x ＋1，∵ φ′(x )＝1－1（x ＋1）2＝x （x ＋2）（x ＋1）2>0对x ∈[0，2]恒成立， ∴ φ(x )＝x ＋k ＋1x ＋1，即h ′(x )在[0，2]上为增函数，∴ h ′(x )max ＝h ′(2)＝k ＋73.∵ h (x )在[0，2]上单调递减，∴ h ′(x )≤0对x ∈[0，2]恒成立，即h ′(x )max ＝k ＋73≤0，∴ k ≤－73，即k 的取值范围是(－∞，－73]．(8分)(3) 当x ∈[0，e －1]时，g ′(x )＝ln (x ＋1)＋1>0，∴ g (x )＝(x ＋1)ln (x ＋1)在区间[0，e －1]上为增函数，∴ x ∈[0，e －1]时，0≤g (x )≤e2.∵ f (x )＝12x 2＋kx ＋1的对称轴为直线x ＝－k ，∴ 为满足题意，必须－1<－k <4，此时f (x )min ＝f (－k )＝1－12k 2，f (x )的值恒小于f (－1)和f (4)中最大的一个．∵ 对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)， 且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，∴ ⎣⎡⎦⎤0，e2⊆(f (x )min ，min {f (－1)，f (4)})，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1<－k <4，f （x ）min<0，e2<f （4），e 2<f （－1）⇒⎩⎪⎨⎪⎧－4<k <1，1－12k 2<0，e 2<4k ＋9，e 2<32－k ，∴e 8－94<k <－2， 即k 的取值范围是(e 8－94，－2)．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)21. A . 解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为(BA )－1＝A －1B －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(10分) B. 解：由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3，可得ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝3，所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2， 所以圆心到直线l 的距离d ＝62＝3，所以P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.(10分) C ．证明：由题得a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4) ＝a 5(a －b )－(a －b )b 5 ＝(a －b )(a 5－b 5)＝(a －b )2(a 4＋a 3b ＋a 2b 2＋ab 3＋b 4)．(4分) 又a ≥0，b ≥0，∴ a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0， 即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．(10分)22. 解：(1) 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P ＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 33×⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1136.(3分) (2) ξ的取值为0，1，2，3，则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝724， P (ξ＝1)＝⎝⎛⎭⎫133×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1124，P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫133×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫23×13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 13×⎝⎛⎭⎫123＝524， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝124， 所以ξ(8分)所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.(10分)23. 解：(1) 110(2分)(2) 集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ，B)有2n (2n －1)个． 当A B ，并设B 中含有k(1≤k ≤n ，k ∈N *)个元素，则满足A B 的有序集合对(A ，B )有错误!C 错误!＝(3n －2n )个．同理，满足B A 的有序集合对(A ，B)有(3n －2n )个．故满足条件的有序集合对(A ，B)的个数为2n (2n －1)－2(3n －2n )＝4n ＋2n －2×3n .(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x |x －x 2≥0}，B ＝{x |y ＝lg(2x －1)}，则集合A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．3. 某学校高三年级有700人，高二年级有700人，高一年级有800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取________人．4. 已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．5. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数差的绝对值小于2的概率是________．6. 执行如图所示的伪代码，最后输出的S 值为________． n ←1 S ←0While S <9S ←S ＋(－1)n ＋n n ←n ＋1 End While Print S7. 曲线f (x )＝x －cos x 在点(π2，f (π2))处的切线方程为________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1（x ≥1），2x －x 2（x <1）是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 若sin α＝35且α是第二象限角，则tan(α－π4)＝________．10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，b2)，若线段AC 的垂直平分线过左焦点F ，则椭圆的离心率为________．11. 已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝a n ＋2a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 6成立，则实数a 的取值范围是________．12. 已知x ，y 为正实数，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a·b ＝0，且|c －a|＋|c －2b |＝5，则|c －b |的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，2)上有三个实数根，则实数k 的取值范围是______________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，∠PBC ＝∠BAD ＝90°.求证： （1）BC ⊥平面P AB ；（2）AD ∥平面PBC .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.（1）求a 的值；（2）设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．17. (本小题满分14分)如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA ＝5 m ，OC ＝4 m ，∠EOF ＝π4，设CF ＝x ，AE ＝y .（1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 的面积S 的最小值及此时x 的值．18. (本小题满分16分)在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P (2，1)，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ① 求直线l 的斜率；② 若P A →·PB →＝0，求直线l 的方程．19. (本小题满分16分)已知数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，且a n>0.（1）若a＝1，a1，a3＋2，a5－5成等差数列，求a n；（2）如果a2a4n－2＝a4n，①当a＝2时，求证：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列；②若b n＝a n lg a n，数列{b n}的每一项都小于它后面的项，求实数a的取值范围．20. (本小题满分16分)设函数f(x)的导函数为f′(x)．若不等式f(x)≥f′(x)对任意实数x恒成立，则称函数f(x)是“超导函数”．（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；（2）若函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数F(x)＝g(x)h(x)是“超导函数”；（3）若函数y＝φ(x)是“超导函数”且方程φ(x)＝φ′(x)无实根，φ(1)＝e(e为自然对数的底数)，判断方程φ(－x－ln x)＝e－x－ln x的实数根的个数并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，求矩阵A .B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．C. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.（1）按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？（2）若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．23. 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.（1）求抛物线C的标准方程；（2）问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)1. ⎝⎛⎦⎤12，1 解析：A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1. 2. 22 解析：z ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴ |z |＝22.3. 220 解析：设全校总共抽取x 人，则x 700＋700＋800＝80800，∴ x ＝220.4. 充分不必要 解析：由1a <12，得a <0或a >2，∴ “a >2”是“1a <12”的充分不必要条件．5. 16解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，有6个结果，绝对值小于2的只有一个，即取2个数差的绝对值小于2的概率是16.6. 10 解析：当n ＝1时，S ＝0；当n ＝2时，S ＝3；当n ＝3时，S ＝5；当n ＝4时，S ＝10.7. 2x －y －π2＝0 解析：f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2＝2，切线方程为y －π2＝2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x －y －π2＝0.8. [2，＋∞) 解析：由题知，k >0且k ×1－1≥2×1－12， ∴ k ≥2.9. －7 解析：∵ sin α＝35且α是第二象限角，∴ cos α＝－45，∴ tan α＝－34，∴ tan⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7.10. 4－13 解析：k AC ＝b2a ，AC 中点为P ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 4，k FP ＝b 4c －a2，由题知，k AC ·k FP ＝－1，∴ 3a 2－8ac ＋c 2＝0，∴ e 2－8e ＋3＝0，∴ e ＝4±13，又0<e <1， ∴ e ＝4－13.11. (－6，－5) 解析：a n ＝a ＋n －1，b n ＝1＋2a ＋n －1＝1＋2n ＋a －1，由y ＝1x 的图象可得6<1－a <7，∴ －6<a <－5.12. 18 解析：∵ 2x ＋y ＋6＝xy ，∴ xy －6＝2x ＋y ≥22xy ，令t ＝2xy ，则12t 2－6≥2t 即t 2－4t －12≥0，∴ t ≥6，∴ xy ≥18，当且仅当2x ＝y ＝6时“＝”成立，∴ xy 的最小值为18.13. 55解析：设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c 的起点放在原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义是c 的终点到向量a ，2b 的终点M (1，0)，N (0，2)的距离之和，由于点(1，0)，(0，2)的距离为5，故c 的终点在线段MN 上，∴ |c －b |的最小值即为点(0，1)到直线MN 的距离，即55.14. (1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫32，2 解析：显然x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的解，由f (x )－g (x )＝0，得k ＝h (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x ＋4，x ＜0，ln x ＋1x，x >0，由图象可得实数k 的取值范围是(1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫32，2. 15. 证明：(1) 如图，在平面P AB 内过点P 作PH ⊥AB 于H ， 因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面P AB ， 所以PH ⊥平面ABCD .(4分)。