2.3.4 圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆的位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎬⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元 一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含1．两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r ＞0)外切，则r 的值是( ) A ．5B ．5C．52D．2 5C[∵两圆外切，∴圆心距d＝(0－2)2＋(0＋1)2＝2r，解得r＝5 2.]2．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切B[两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．]3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．x＋3y＝0[圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10，又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.]12y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[思路探究]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a.(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交． (3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离． (4)当|C 1C 2|＜3，即0<a ＜3时，两圆内含．12两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是______________．(2)经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程为____________．(1)3x －y －9＝0 (2)x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0 [(1)两圆的方程相减得AB 的方程为x ＋3y ＝0，圆O 1的圆心为(2，－3)，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ＋3＝3(x －2)，即3x －y －9＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2， 解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892.故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.]1．求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．2．求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．3．已知圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)．2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5. 法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5.设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2， 即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.1．圆与圆相切是什么意思？[提示]两圆相切指得是内切和外切两种情况．2．两圆相切可用什么方法求解？[提示](1)几何法，利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得d＝R＋r为外切，d＝|R－r|为内切．(2)代数法，将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．【例3】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．[思路探究]设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得．[解]设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则(a－1)2＋b2＝r＋1. ①又所求圆过点M的切线为直线x＋3y＝0，故b＋3a－3＝ 3. ②|a＋3b|2＝r. ③解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.1．将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－3)的圆的方程”，如何求？[解]因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为 (a,0)，设半径为r ， 则所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，又因为与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，且过点(3，－3)， 所以⎩⎨⎧(a －1)2＋02＝r ＋1，(3－a )2＋(－3)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，r ＝2， 所以圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.2．将本例改为“若圆x 2＋y 2－2x ＝0与圆x 2＋y 2－8x －8y ＋m ＝0相外切，试求实数m 的值．”[解] 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为A (1,0)，半径为r 1＝1，圆x 2＋y 2－8x －8y ＋m ＝0的圆心为B (4,4)，半径为r 2＝32－m .因为两圆相外切，所以(4－1)2＋(4－0)2＝1＋32－m ，解得：m ＝16.处理两圆相切问题的两个步骤1．定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．2．转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两圆位置关系的方法及应用．(2)求两圆公共弦长的方法．3．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． ( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )[答案] (1)× (2)× (3)× [提示] (1)错误，还可能是内切．(2)错误，还需要大于两半径之差的绝对值． (3)错误，在相交的情况才是．2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A ．外离 B ．相交 C ．外切D ．内切 B [圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．]3．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为________．2或－5 [C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2，由题意得|C 1C 2|＝5，即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝25，解得m ＝2或m ＝－5.] 4．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[解] 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为 d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋(－4)2＝95.∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.。
一、内容及其解析（一）内容：直线与圆的位置关系（二）解析：本节课是关于圆的一般方程的一节概念课，是高中新课改人教A版教材数学必修2第四章的第二节课．在第三章学生已经学习了直线的一般方程。
本节首先给出了两个二次项系数相同的二元二次方程，思考这两个方程分别表示什么图形，从特殊到一般，进而让学生思考满足什么条件的二元二次方程表示圆，从而得到圆的一般方程。
1．本节是进一步对圆的方程进行探讨，是解决直线和圆的位置关系的基础。
2．本节的知识是建立在旧知识之上，是旧知识的应用和延伸。
3．采用从特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。
4．本节体现了类比的数学思想。
二、目标及其解析（一）教学目标1．掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心和半径，会用待定系数法求圆的方程。
2．提高学生从特殊到一般的归纳概括能力，提升学生的数学语言表达和交流能力，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度。
3．体会方程、待定系数法、代入法等数学思想方法，感受用代数思想解决几何问题的优势。
（二）解析1．《课程标准》已明确提出掌握圆的一般方程，且圆的一般方程是为解决直线和圆的位置关系奠定基础，基于以上分析特提出此目标。
2．掌握圆的一般方程及其特点，主要是指能够判断一个二元二次方程是圆的一般方程，并且能够通过配方和公式得到圆的圆心和半径，掌握能够利用待定系数法求圆的方程，掌握什么时候用圆的标准方程，什么时候用圆的一般方程。
3．在圆的一般方程的探究中，进一步学习由特殊到一般，待定系数法等数学思想方法。
三、问题诊断分析同学在理解圆的一般方程的特点的过程中可能会遇到困难，具体表现在忽略D、E、F 所要满足的条件和二次项的系数要求，以及不知道什么时候用圆的一般方程什么时候用圆的标准方程。
因为并不是所有的二元二次方程都是圆的一般方程，圆的一般方程和标准方程各有各的特点。
要克服这一困难，关键是引导同学在已有的认知基础上，探究出圆的一般方程所要满足的条件，通过正推和反推得出D、E、F与圆的圆心和半径之间的关系，从具体例子出发，不断地观察、比较、判断，从而牢固掌握，从而克服可能遇到的困难．四、教学过程设计（一）教学基本流程（二）教学情景1．15分钟学生阅读教材设计意图：锻炼学生自学能力。
