线性代数第四版答案(总120页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式(1)解2(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644(2)解acb bac cba bbb aaa ccc3abc a3b3c3(3)解bc2ca2ab2ac2ba2cb2(a b)(b c)(c a)(4)解x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x33xy(x y)y33x2y x3y3x32(x3y3)2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 2解逆序数为4 41 43 42 32(3)3 4 2 1解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1(4)2 4 1 3解逆序数为3 2 1 4 1 4 3(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)解逆序数为3 2 (1个)5 2 5 4(2个)7 2 7 4 7 6(3个)(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2解逆序数为n(n1)3 2(1个)5 2 5 4 (2个)(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)4 2(1个)6 2 6 4(2个)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个)3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为(1)t a11a23a3r a4s其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是(1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424计算下列各行列式(1)解(2)解(3)解(4)解abcd ab cd ad1 5证明:(1)(a b)3;证明(a b)3(2);证明(3);证明(c4c3c3c2c2c1得)(c4c3c3c2得)(4)(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d);证明=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)(5)x n a1x n1a n1x a n证明用数学归纳法证明当n2时命题成立假设对于(n1)阶行列式命题成立即D n1x n1a1x n2a n2x a n1则D n按第一列展开有xD n1a n x n a1x n1a n1x a n因此对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式D det(a ij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得证明D3D证明因为D det(a ij)所以同理可证7计算下列各行列式(D k为k阶行列式)(1), 其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0解(按第n行展开)a n a n2a n2(a21)(2);解将第一行乘(1)分别加到其余各行得再将各列都加到第一列上得[x(n1)a](x a)n1(3);解根据第6题结果有此行列式为范德蒙德行列式(4);解(按第1行展开)再按最后一行展开得递推公式D2n a n d n D2n2b n c n D2n2即D2n(a n d n b n c n)D2n2于是而所以(5) D det(a ij)其中a ij|i j|;解a ij|i j|(1)n1(n1)2n2(6), 其中a1a2a n0解8用克莱姆法则解下列方程组(1)解因为所以(2)解因为所以9问取何值时齐次线性方程组有非零解解系数行列式为令D0得0或1于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解10问取何值时齐次线性方程组有非零解解系数行列式为(1)3(3)4(1)2(1)(3)(1)32(1)23令D0得02或3于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解第二章矩阵及其运算1已知线性变换求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换解由已知故2已知两个线性变换求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换解由已知所以有3设求3AB2A及A T B解4计算下列乘积(1)解(2)解(132231)(10)(3)解(4)解(5)解(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)5设问(1)AB BA吗解AB BA因为所以AB BA (2)(A B)2A22AB B2吗解 (A B)2A22AB B2因为但所以(A B)2A22AB B2(3)(A B)(A B)A2B2吗解 (A B)(A B)A2B2因为而故(A B)(A B)A2B26举反列说明下列命题是错误的(1)若A20则A0解取则A20但A0(2)若A2A则A0或A E解取则A2A但A0且A E (3)若AX AY且A0则X Y解取则AX AY且A0但X Y7设求A2A3A k 解8设求A k解首先观察用数学归纳法证明当k2时显然成立假设k时成立，则k1时，由数学归纳法原理知9设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B T AB也是对称矩阵证明因为A T A所以(B T AB)T B T(B T A)T B T A T B B T AB从而B T AB是对称矩阵10设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB BA证明充分性因为A T A B T B且AB BA所以(AB)T(BA)T A T B T AB即AB是对称矩阵必要性因为A T A B T B且(AB)T AB所以AB(AB)T B T A T BA11求下列矩阵的逆矩阵(1)解 |A|1故A1存在因为故(2)解 |A|10故A1存在因为所以(3)解 |A|20故A1存在因为所以(4)(a1a2a n0)解由对角矩阵的性质知12解下列矩阵方程(1)解(2)解(3)解(4)解13利用逆矩阵解下列线性方程组(1)解方程组可表示为故从而有(2)解方程组可表示为故故有14设A k O (k为正整数)证明(E A)1E A A2A k1证明因为A k O所以E A k E又因为E A k(E A)(E A A2A k1)所以 (E A)(E A A2A k1)E由定理2推论知(E A)可逆且(E A)1E A A2A k1证明一方面有E(E A)1(E A)另一方面由A k O有E(E A)(A A2)A2A k1(A k1A k)(E A A2A k1)(E A)故 (E A)1(E A)(E A A2A k1)(E A)两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A2A k115设方阵A满足A2A2E O证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1证明由A2A2E O得A2A2E即A(A E)2E或由定理2推论知A可逆且由A2A2E O得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推论知(A2E)可逆且证明由A2A2E O得A2A2E两端同时取行列式得 |A2A|2即 |A||A E|2故 |A|0所以A可逆而A2E A2 |A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2E O A(A E)2EA1A(A E)2A1E又由A2A2E O(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E) 4 E所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A 2 E)116设A为3阶矩阵求|(2A)15A*|解因为所以|2A1|(2)3|A1|8|A|1821617设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A1)*证明由得A*|A|A1所以当A可逆时有|A*||A|n|A1||A|n10从而A*也可逆因为A*|A|A1所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明(1)若|A|0则|A*|0(2)|A*||A|n1证明(1)用反证法证明假设|A*|0则有A*(A*)1E由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0(2)由于则AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0则|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立因此|A*||A|n119设AB A2B求B解由AB A2E可得(A2E)B A故20设且AB E A2B求B解由AB E A2B得(A E)B A2E即 (A E)B(A E)(A E)因为所以(A E)可逆从而21设A diag(12 1)A*BA2BA8E求B 解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(E A)14[diag(21 2)]12diag(12 1)22已知矩阵A的伴随阵且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得AB B3AB3(A E)1A3[A(E A1)]1A23设P1AP其中求A11解由P1AP得A P P1所以A11 A=P11P1.|P|3而故24设AP P其中求(A)A8(5E6A A2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(11 25)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P125设矩阵A、B及A B都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵证明因为A1(A B)B1B1A1A1B1而A1(A B)B1是三个可逆矩阵的乘积所以A1(A B)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(A B)B1]1B(A B)1A26计算解设则而所以即27取验证解而故28设求|A8|及A4解令则故29设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆求 (1)解设则由此得所以(2)解设则由此得所以30求下列矩阵的逆阵(1)解设则于是(2)解设则第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵(1)解(下一步r2(2)r1r3(3)r1 ) ~(下一步r2(1)r3(2) ) ~(下一步r3r2 )~(下一步r33 )~(下一步r23r3 )~(下一步r1(2)r2r1r3 )~(2)解(下一步r22(3)r1r3(2)r1 )~(下一步r3r2r13r2 )~(下一步r12 )~(3)解(下一步r23r1r32r1r43r1 )~(下一步r2(4)r3(3)r4(5) )~(下一步r13r2r3r2r4r2 )~(4)解(下一步r12r2r33r2r42r2 ) ~(下一步r22r1r38r1r47r1 ) ~(下一步r1r2r2(1)r4r3 )~(下一步r2r3 )~2设求A解是初等矩阵E(1 2)其逆矩阵就是其本身是初等矩阵E(1 2(1))其逆矩阵是E(1 2(1))3试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵(1)解~~~~故逆矩阵为 (2)解~~~~~故逆矩阵为4 (1)设求X使AX B 解因为所以(2)设求X使XA B 解考虑A T X T B T因为所以从而5设AX2X A求X解原方程化为(A2E)X A因为所以6在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式有没有等于0的r阶子式解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r1阶子式也可能存在等于0的r阶子式例如R(A)3是等于0的2阶子式是等于0的3阶子式7从矩阵A中划去一行得到矩阵B问A B的秩的关系怎样解R(A)R(B)这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(1 0 1 0 0) (11 0 0 0)解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式(1);解(下一步r1r2 )~(下一步r23r1r3r1 )~(下一步r3r2 )~矩阵的是一个最高阶非零子式(2)解(下一步r1r2r22r1r37r1 ) ~(下一步r33r2 )~矩阵的秩是2是一个最高阶非零子式(3)解(下一步r12r4r22r4r33r4 )~(下一步r23r1r32r1 )~(下一步r216r4r316r2 )~~矩阵的秩为3是一个最高阶非零子式10设A、B都是m n矩阵证明A~B的充分必要条件是R(A)R(B)证明根据定理3必要性是成立的充分性设R(A)R(B)则A与B的标准形是相同的设A 与B的标准形为D则有A~D D~B由等价关系的传递性有A~B11设问k为何值可使(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3解(1)当k1时R(A)1(2)当k2且k1时R(A)2(3)当k1且k2时R(A)312求解下列齐次线性方程组:(1)解对系数矩阵A进行初等行变换有A~于是。
线性代数课后习题答案全习题详解在学习线性代数的过程中，课后习题是巩固知识、检验理解程度的重要环节。
然而，对于许多同学来说，完成这些习题并得到正确答案并非易事。
为了帮助大家更好地掌握线性代数，本文将对课后习题进行全面且详细的解答。
线性代数作为一门数学学科，其主要研究对象包括向量、矩阵、线性方程组等。
这些概念相互关联，构成了一个复杂而又有序的知识体系。
通过课后习题的练习，我们能够更深入地理解这些概念，提高运用线性代数方法解决实际问题的能力。
首先，来看一道关于矩阵运算的习题。
假设我们有两个矩阵 A 和 B，A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，求它们的和 A ＋ B。
解题步骤如下：矩阵的加法是对应元素相加，所以 A ＋ B ＝ 1 ＋ 5 2 ＋ 6; 3 ＋ 7 4 ＋ 8 ＝ 6 8; 10 12接下来，考虑一道关于向量线性相关性的问题。
已知向量组 a1 ＝ 1 2 3，a2 ＝ 2 4 6，a3 ＝ 3 6 9，判断它们是否线性相关。
要判断向量组的线性相关性，我们可以通过构建线性方程组来求解。
设存在一组实数 k1，k2，k3，使得 k1a1 ＋ k2a2 ＋ k3a3 ＝ 0。
将向量代入可得：k11 2 3 ＋ k22 4 6 ＋ k33 6 9 ＝ 0 0 0即：1k1 ＋ 2k2 ＋ 3k3 2k1 ＋ 4k2 ＋ 6k3 3k1 ＋ 6k2 ＋ 9k3 ＝ 0 0 0可以得到方程组：k1 ＋ 2k2 ＋ 3k3 ＝ 02k1 ＋ 4k2 ＋ 6k3 ＝ 03k1 ＋ 6k2 ＋ 9k3 ＝ 0通过观察可以发现，第二个方程是第一个方程的两倍，第三个方程是第一个方程的三倍。
这意味着方程之间存在线性关系，存在无穷多组解，所以向量组 a1，a2，a3 线性相关。
再看一道求解线性方程组的习题。
方程组为：x ＋ 2y z ＝ 12x y ＋ 3z ＝ 23x ＋ y ＋ 2z ＝ 3我们可以使用高斯消元法来求解。
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
