线性代数课后题详解
第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
相信自己加油
（1）
3811411
02
---； （2）b a c a c b c
b a
（3）
2
2
2
111
c b a c b a ； （4）
y
x
y x x y x y y x y x +++.
解 注意看过程解答（1）=---3
81141
1
2811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯
)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4-
（2）
=b
a c
a c
b c
b a cc
c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=
（3）
=2
2
2
1
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=
（4）
y
x
y
x x y x y y x y x
+++
yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n
2 4 … )2(n ；
（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.
解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2
（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3
（5）逆序数为2
)
1(-n n ：
3 2 1个 5 2，5
4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …
)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n
)1(-n 个
（6）逆序数为)1(-n n
3 2 1个 5 2，5
4 2个 ……………… …
)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n
)1(-n 个
4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …
)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个
3.写出四阶行列式中含有因子
2311a a 的项.
解 由定义知，四阶行列式的一般项为
43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p
已固定，
4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为
10100=+++或22000=+++
∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.
4.计算下列各行列式：
多练习方能成大财
（1）⎥⎥
⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢711
00251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦
⎥
⎢⎢⎢
⎢⎣⎢-26
0523********
12； （3）⎥⎥⎥⎦
⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf
de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥
⎥⎥⎦
⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢---d c b
a
100
11
0011001 解
(1)
7110025102021421434327c c c c --0
1001423102
02110214---
=34)1(14
3102211014+-⨯---
=
14
3
10
2211014
--3
2
1132c c c c ++14
17
1720
1099-=0
(2)
26
5232112131412-24c c -2
6050321221
304
12-
24r r -0412
03212213
0412
- 14r r -0
000
032122130412-=0
(3)
ef
cf
bf
de cd bd ae ac ab
---=e
c
b
e c b e c b
adf ---
=1
1
1
111111
---adfbce
=abcdef 4
(4)
d
c b a 100110011001---21ar r +
d c
b a ab 1001
10011
010
---+
=1
2)
1)(1(+--d
c
a a
b 10
1
101--+
2
3dc c +0
10111-+-+cd c ad a ab
=
2
3)
1)(1(+--cd
ad
ab +-+111=1++++ad cd ab abcd
5.证明:
(1)111
2222b b a a b ab a +=3)(b a -;
(2)
bz
ay by ax bx
az by ax bx
az bz ay bx
az bz ay by ax +++++++++=y
x
z x z y
z y x
b a )(33+;
