高中数学文科之【提高】函数的最值与值域(文)知识梳理

函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最大值。

（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最小值。

2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。

求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。

【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。

二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。

（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。

（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。

【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。

2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。

求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。

三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。

四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。

五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。

六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。

函数的值域与最值【考纲说明】1．理解值域和最值的区别与联系，掌握求函数值域和最值的基本方法； 2．通过函数最值求参数的范围，同时解决恒成立问题；【知识梳理】2.函数的值域1、函数值域的概念在函数y=f （x ）中，与自变量x 的值对应的y 值叫做函数值。

函数值的集合叫做函数的值域。

2、确定函数值域的原则（1）当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数y=f （x ）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； （3）当函数y=f （x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定； （4）当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定； 3、常见函数的值域（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；（2）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），当a>0时值域为]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 （3）反比例函数y=xk（x ≠0）的值域为{}R y y y ∈≠且,0| （4）指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为),0(+∞。

（5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；（6）正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =的值域都是]1,1[-。

（7）正切函数),2(tan Z k k x x y ∈≠=∏+∏其中,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

3.函数的最值1、函数的最值一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =一、①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

高一函数求最值总结知识点函数是数学中的一种重要概念，而求解函数的最值问题则是高一数学中的一项重要内容。

下面将对高一函数求最值的相关知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用。

一、函数的最值在学习函数的最值问题之前，我们先来复习一下函数的最值概念。

对于函数f(x)，若存在x1和x2，使得对于任意的x∈定义域D，有f(x)≤f(x1)或f(x)≥f(x2)，则f(x1)称为函数f(x)在D上的最大值，f(x2)称为函数f(x)在D上的最小值。

二、求函数最值的方法1. 寻找顶点法：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0，可以使用顶点公式求解顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))。

当a>0时，该函数在顶点处取得最小值；当a<0时，该函数在顶点处取得最大值。

2. 寻找边界法：对于一些简单的函数，可以通过直接寻找定义域的边界值，然后逐个计算函数值并比较，来确定最值。

这种方法在定义域较为简单且函数形式较简洁时，常常使用。

3. 导数法：对于可导的函数，可以使用导数的性质来求解最值。

求解思路是先求得函数的导函数f'(x)，然后找到其导数为零的点，进而确定这些点是否为最值点。

这种方法常用于解决函数无解析式表达，或者函数形式较复杂的最值问题。

三、实例分析下面通过几个实例来进一步理解和掌握高一函数求最值的方法。

例一：求函数f(x)=2x²-4x+3在定义域[-1,3]上的最小值。

解：首先，我们可以通过顶点法来求解。

根据顶点公式，顶点坐标为(-(-4)/(2*2), f(-(-4)/(2*2)))=(1,1)。

所以函数f(x)=2x²-4x+3在[-1,3]上的最小值为1。

例二：求函数f(x)=3(x-2)²在定义域(-∞,+∞)上的最小值。

解：利用顶点法，顶点坐标为(2,0)。

根据二次函数开口向上的特点，该函数在顶点处取得最小值0。

例三：求函数f(x)=e^x在定义域(-∞,0]上的最大值。

函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】1【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。

要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()xx x f x e me e -=-+-x me -的最值．【解析】22()()xx x x f x ee m e e --=+-+2()()2xx xxe e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数y =解：平方再开方，得[3,1]y x =∈-[2,y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； ① x ∈[5，10]； ②x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； ①x ∈[-1，1]； ②x ∈[-2，2]. 【解析】(1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===+++2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图①f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； ②1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图①y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； ②[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===----- 1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--.例3.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3答案：B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t=+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18答案：A【解析】∵2(2)2224f =+-=，∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=. 类型三、含参类函数的最值与值域问题例4（2015 沈阳四模）函数()32231,0,0ax x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[]2,2-上的最大值为2，则a 的范围是（）A. 1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 10,ln 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. (],0-∞ D. 1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】先画出分段函数()f x 的图像如图:显然当[]2,0x ∈-时，函数()f x 的最大值为2；欲使得函数()32231,0,0ax x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[]2,2-上的最大值为2，则当2x =时，2ae 的值必须小于等于2，即22ae ≤解得：1ln 22a ≤.故选D .【变式】（2014 甘肃一模）若不等式2229t t a t t+≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. 1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 14,613⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.1,6⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】函数22212t y t t t+==+，在(]0,2t ∈上为减函数 ∴当2t =时，22t t+的最小值为1;又2196t t ≤=+，当且仅当3t =时等号成立 所以函数29ty t =+在区间(]0,2上为增函数 可得2t =时，29t t +的最大值为213.因为不等式2229t t a t t+≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立 所以22max min 29t t a t t +⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即2113a ≤≤可得a 的取值范围是2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。