人教版高中数学必修三：数学思想方法专题3

1本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情 况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.
2题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很 少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多” “至少”及否定性命题情形的问题中.
练习：由命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题，得 m
四、转化与化归思想——求解数学问题最普遍的方法
转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关 数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化， 进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通 过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转 化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化 为已解决的问题.
＝－a－1； ②当 1<a2<e，即 2<a<2e 时，g(x)在1，a2上为减函数，
在a2，e上为增函数， h(a)＝ga2＝alna2－14a2－a；
③当a2≥e，即 a≥2e 时，g(x)在[1，e]上为减函数， h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
－a－1，a≤2， 综上，h(a)＝alna2－14a2－a，2<a<2e，
转化与化归思想在解题中的应用
在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复
1
杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的 作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角
度的转化、函数的转化等.
2
在函数，不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方程、 不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式等.
则①g′(x)≥0 在(1,3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(1,3)上恒成立．(正反转化)
由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x，当 x∈(1,3)时恒成立， ∴由m②＋得4≥3x2x2－＋3(mx ＋恒4成)x立－，2≤则0，m＋即4m≥＋－4≤1，2x－即3mx，≥－5；

高中数学思想方法引言高中数学是学生学习的一门基础学科，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要工具。

高中数学的学习过程不仅仅是对知识点的灌输，更重要的是培养学生的数学思想和方法。

在高中数学的学习过程中，学生需要掌握一些数学思想方法，这些方法能够帮助学生提高解题的效率和准确性，培养逻辑思维能力，提升数学素养。

本文将介绍一些常用的高中数学思想方法，包括归纳法、假设法、逆向思维、模型构建等。

归纳法归纳法是一种从已知事实出发，寻找规律、推导结论的思维方法。

在高中数学中，归纳法常用于解决数列、函数等问题。

具体步骤如下：1.观察已知的一组数据或事实，寻找其中的共同点和规律；2.根据已知的规律，推断未知数据的特点；3.使用已经找到的规律验证推断的正确性；4.根据已经验证的规律，进一步推导结论。

归纳法的优点在于能够从已知事实中总结经验，发现隐藏的规律，通过简单的推理，得出复杂的结论。

假设法假设法是一种先假设一个条件，然后根据这个条件推导结论的思维方法。

在高中数学中，假设法常用于解决反证法或者证明问题。

具体步骤如下：1.假设一个条件或者结论，然后根据这个假设进行推导；2.判断这个假设的逻辑是否成立，即推导的过程是否正确；3.如果假设的条件导致结论成立，则说明原命题或问题得证；4.如果假设的条件导致结论不成立，则说明原命题或问题不成立，可能需要调整假设。

假设法的优点在于能够从已知条件出发，通过推导与验证，找出问题的根本原因或结论的成因。

逆向思维逆向思维是一种从结果出发，逆向寻找问题解决方法的思维方法。

在高中数学中，逆向思维常用于解决逆向推理、逆向思考等问题。

具体步骤如下：1.确定问题的结果或结论；2.逆向思考，分析导致这个结果或结论的条件；3.根据逆向思考的结果，寻找解决问题的方法。

逆向思维的优点在于能够从目标出发，找出问题的根本原因或解决方法，帮助学生加深对问题的理解和把握。

模型构建模型构建是一种将实际问题抽象成数学模型，然后利用数学方法进行求解的思维方法。

高中数学中常用的数学思想方法专题一、函数与方程的思想一、专题概览函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过建立函数关系式、确定函数的定义域或值域，结合函数的知识解决具体问题的一种思想。

这种思想方法的实质是揭示问题数量关系的本质特征，突出对问题中变量动态的研究，从变量联系、发展和运动角度指导解题思路。

方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系，从而建立方程（组）将问题解决的一种思想方法。

方程与函数有着必然联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x 轴交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作是二元方程f(x)-y=0。

确定变化过程的某个或某些量，往往要建立某个或某些量的方程，通过解方程（组）来求得这些量。

函数与方程之间可以相互转化，在等式的意义下，方程是函数关系式中的动中求静，函数则是方程的静中求动。

函数与方程思想是每年高考的必考内容，它涉及三大题型，难度有高、中、低三个档次。

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，化难为易，化繁为简。

二、例题选粹1、 (08全国Ⅱ卷)设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A 、B 、C 、(25)，D 、(2 2、若关于x 的方程01222=+++a a x x 有实数根，则实数a 的取值范围是 。

3、（08江苏）满足条件的三角形ABC 的面积的最大值是 ．4、（08天津）设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有],[2a a y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，a 的取值的集合为 。

5、若实数x 、y 、z 满足4,5,3322223=+=+=+x z z y y x ，则zx yz xy ++的最小值是（ ）A 、632++B 、632-+C 、632--D 、632+-6、已知三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=m(m 为正实数)，求b 的值的集合。

在算法问题中渗透的数学思想方法山东枣庄市第二中学 （277400） 王彦秋算法是高中数学新增的内容，是学生在高中阶段必修的知识. 也是近年来课改区高考必考的热点内容.在这部分内容中渗透着许多数学思想方法,如果我们能够在实际操作中经常有效地利用这些思想方法, 学生对数学知识的领会将上升到新的水平,数学解题能力将得以提高.1. 分类讨论思想例1.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=,2,5,2,2)(2x x x x x x f 写出求f[f(x)]的程序，并画出程序框图.分析：此题是求分段函数的函数值，先判断x 的范围，选择计算f(x)的公式，再判断f(x)的范围，选择计算f[f(x)]的公式.解：算法的程序框图如图所示．点拔：分类讨论思想是数学中重要的思想方法，分类时要做到不重不漏．分类讨论思想在算法中体现在循坏结构、条件结构等知识点．2. 转化与化归思想例2.用分期付款的方式购买价格为1 150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元再加欠款的利息，若一个月后付第一月的款，月利率为1％，那么购冰箱钱全部付清后，实际共付款额多少元？画出程序框图，写出程序．分析：购买时付款150元．余款1 000元分20次分期付款，每次的付款数为：a 1=50+(1150-150)×1%=60(元)；a 2=50+(1150-150-50）x1％=59.5（元）；……a n =50+ [1150-150-(n-1)x50]×1%=60-21(n-1)(n=1,2,…,20). ∴a 20=60-21×19=50.5 总和S=60+59.5+…+50.5.解：程序框图如图所示．程序如下：点拨：体题通过转化与化归的数学思想方法，将实际问题转化为数学问题中的分期付款问题,再转化为算法分析来加以解决．3. 递推思想例3.质点以加速度a 从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ，在时刻2t ，加速度变为3a ，……，在nt 时刻，加速度变为(n+1)a ，求nt 时刻质点的速度．（注：加速度仅在时刻kt(k=1,2,……,n ，……)末作跳跃性变化，而不是整个过程中的连续变化)分析：根据递推法的思想，先从特殊到一般找到规律，然后求解．质点在某时刻t 末的速度为V1t=at；2t末的速度为V2t = V1t +2at；3t末的速度为V3t=V2t+3at；……nt末的速度为V nt=V(n-1)t+nat.解：程序框图如图所示．程序如下：点拨：本题是将物理知识的问题与算法知识相结合的综合题，要仔细体会．。