2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3-3垂径定理2练习新版浙教版

质疑2.条件改为：①过圆心，③平分弦.
结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦 所对的优弧. 这个命题正确吗？
垂径定理的推论
① 直径过圆心 ③ 平分弦 （不是直径）
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦（不是直径），
B C求D证平：分CADB⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
② 垂直于弦 ③ 平分弦
C
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
B
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧．
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧
C
③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒C＝B⌒C 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒D＝B⌒D
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧

3.3 垂径定理(第1课时)1．圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是圆的对称轴． 2．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分____________．用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心距，构造直角三角形求解．A 组 基础训练1．如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论错误的是( ) A ．CE ＝ED B.BC ︵＝BD ︵C ．∠BAC ＝∠BAD D ．AC>AD第1题图1．如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 是弦AB 上一点，若OP 的长是整数，则满足条件的点P 有( )第2题图A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( ) A ．2cm B.3cm C ．23cm D ．25cm第3题图4.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为( )第4题图A．4m B．5m C．6m D．8m5.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则弦AB的弦心距是________．第5题图6．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离为________．7．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝10，AB＝16，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为________．第7题图8．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是________．第8题图9．如图，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如图MN＝3，求BC的长．第9题图10．如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，OA＝6，OB＝8，以点O为圆心，OA为半径作圆交AB 于点C，求BC的长．第10题图B组自主提高11.如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )第11题图A．正方形B．矩形C．菱形D．非菱形的平行四边形12．已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，则AB2＋CD2＝________．第12题图13．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：第13题图(1)CD的弦心距OF的长；(2)弦CD的长．C组综合运用14．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE.(1)求证：AP＝AO；(2)若弦AB＝12，求OP的长．第14题图参考答案3．3 垂径定理(第1课时)【课堂笔记】 2．弦所对的弧 【课时训练】 1－4.DDCD 5. 56. 14cm 或2cm7. 268. 69. ∵OM⊥AB，ON ⊥AC ，∴M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN 綊12BC ，∴BC ＝6.10. 作OE⊥AB 于点E ，由勾股定理得AB ＝AO 2＋BO 2＝10，又∵S △AOB ＝12AO ·BO ＝12AB ·OE ，得OE ＝4.8，∵OE ⊥AB ，∴AE ＝EC ＝12AC ，由勾股定理得AE ＝AO 2－OE 2＝3.6，∴AC ＝2AE ＝7.2，∴BC＝AB －AC ＝10－7.2＝2.8.11. C 12. 28第13题图13．(1)∵BO＝12(AE ＋BE)＝12(1＋5)＝3，∴OE ＝3－1＝2，在Rt △EFO 中，∵∠OEF ＝30°，∴OF ＝1，即点O 到CD 的距离为1cm ； (2)连结OD ，如图，在Rt △DFO 中，OD ＝3，∴DF ＝OD 2－OF2＝32－12＝22，∵OF ⊥CD ，∴CD ＝2DF ＝42，∴CD 的长为42cm .第14题图14．(1)证明：∵PG 平分∠EPF，∴∠DPO ＝∠BPO.∵OA∥PE，∴∠DPO ＝∠POA，∴∠BPO ＝∠PO A ，∴AP ＝AO. (2)如图，过点O 作OH⊥AB 于点H ，则AH ＝HB.∵AB＝12，∴AH ＝6.由(1)可知PA ＝OA＝10，∴PH ＝PA ＋AH ＝16.在Rt △OAH 中，OH ＝OA 2－AH 2＝102－62＝8，∴OP ＝PH 2＋OH 2＝8 5.。

知识提要1．圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是圆的对称轴．2．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．注：用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心距，构造直角三角形求解．3．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．4．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．(见了弧的中点常连结圆心，如第13题)5．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．例1：[2017·眉山]如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝8 cm ，DC ＝2 cm ，则OC ＝__5__cm.【解析】 如答图，连结OA ，∵OC ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝4 cm ，设⊙O 的半径为R ， 由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，∴R 2＝42＋(R －2)2，解得R ＝5，∴OC ＝5 cm.例2：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，AD ，△ACD 是边长为23的等边三角形，则⊙O 的半径为__2__．【解析】 如答图，连结OC ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD ， ∵AC ＝CD ＝23，∴CE ＝3，∴AE ＝AC 2－CE 2＝（23）2－（3）2＝3.例题分析垂径定理设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，∴OE ＝AE －AO ＝3－r ，在Rt △OCE 中，由勾股定理得OE 2＋CE 2＝OC 2，∴(3－r )2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2， ∴⊙O 的半径为2.例3：如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解：如答图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连结OB .∵AB ＝8 cm ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝12×8＝4(cm)． ∵⊙O 的直径为10 cm ，∴OB ＝12×10＝5(cm)，∴OE ＝OB 2－BE 2＝52－42＝3(cm)． ∵垂线段最短，半径最长，∴3 cm≤OP ≤5 cm.一、选择题1．下列命题正确的是( C )①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦的直线必过圆心；④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③2. 如图，已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长23cm ，则这条弦的中点C 到弦所对劣弧的中点D 的距离为( A)A ．1cmB ．2cm C.2cm D.3cm3. 如图，⊙O 的半径是3，P 是弦AB 的延长线上一点，连结OP .若OP ＝4，∠APO ＝30°，则弦AB 的长为( A)A ．25 B.5 C ．213 D.134. 如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论错误的是( D)A ．CE ＝ED B.BC ︵＝BD ︵ C ．∠BAC ＝∠BAD D ．OE ＝BE5. 如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为(C)A ．2cm B.3cm C ．23cm D ．25cm同步练习6. [18 ·张家界]如图AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm 则AE ＝(A)A ．8 cmB ．5 cmC ．3 cmD ．2 cm【解析】A ∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝12CD ＝4 cm ，又∵OC ＝5 cm ， ∴在Rt △COE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝52－42＝3 cm ，∴AE ＝OA ＋OE ＝5＋3＝8 cm.7. [2018·衢州]如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连结BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长度是( D )A ．3 cm B. 6 cm C ．2.5 cm D. 5 cm【解析】D 如答图，连结AB ，∵AC ⊥BD ，∴BE ＝ED ＝8÷2＝4，∵AE ＝2，根据勾股定理可得AB ＝25，又∵OF ⊥BC ，根据垂径定理可知BF ＝CF ，故可得知OF 为△ABC 的中位线，∴OF ＝12AB ＝ 5. 8. (甘南州中考)⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰直角三角形ABC 内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( C )A.10 B ．23 C.13 D ．3 2【解】C 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由题意，可知AD 必过点O ，连结OB ，如解图． ∵△BAC 是等腰直角三角形，AD ⊥BC ，∴AD ＝BD ＝CD ＝3，∴OD ＝AD －OA ＝2. 在Rt △OBD 中，根据勾股定理，得OB ＝BD 2＋OD 2＝13.9. 已知⊙O 的半径OA ＝1，弦AB ，AC 的长分别是2，3，则∠BAC 的度数为( D )A ．15°B ．60°C ．75°D ．15°或75°【解】D 如解图①，过圆心O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥AC 于点N ，连结OA .∵AM ＝12AB＝22，OA ＝1，∴OM ＝22.∴AM ＝MO ，∴∠BAO ＝45°.同理，∠CAO ＝30°.∴∠BAC ＝15°. 如解图②.同理可知∠BAC ＝75°.综上所述，∠BAC 的度数是15°或75°.10．如图，在半径为5的⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB ＝CD ＝8，则OP 的长为( C )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2【解析】C 如答图，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ，连结OB ，OD . 由垂径定理、勾股定理，得OM ＝ON ＝52－42＝3.∵弦AB ，CD 互相垂直，∴∠DPB ＝90°.∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMP ＝∠ONP ＝90°， ∴四边形MONP 是矩形，∵OM ＝ON ，∴四边形MONP 是正方形，∴OP ＝2OM ＝3 2.二、填空题1. 已知在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD 于点E ，AB 被CD 分成长度分别为5 cm 和13 cm 的两段，则圆心O 到CD 的距离为4cm.2. 如图，M 是CD 的中点，EM 过圆心O .若CD ＝4，EM ＝8，则CED ︵所在圆的半径为174．3. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为(6，0)，⊙P 的半径为13，则点P 的坐标为__(3，2)__．【解析】 如答图，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连结OP .∵A (6，0)，PD ⊥OA ，∴OD ＝12OA ＝3.∵OP ＝13，OD ＝3，∴PD ＝OP 2－OD 2＝ （13）2－32＝2，∴点P 的坐标为(3，2)．4. 如图所示，某游乐场的摩天轮⊙P 的最高处A 到地面l 的距离是23m ，最低处B 到地面l 的距离是3m ，从B 处乘摩天轮绕一周需3分钟，小明从B 处乘摩天轮一周的过程中，当他到地面l 的距离恰好是18m 的时候应为第__1或2________分钟．5. 已知半径为2的⊙O 有两条互相垂直的弦AB 和CD ，其交点E 到圆心O 的距离为1，则AB 2＋CD 2＝__28 ______．6. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD ＝16 cm ，则球的半径为10cm.【解】 设圆心为O ，过点O 作OH ⊥EF 于点H ，延长HO 交BC 于点I ，连结OE ，设⊙O的半径为r (cm)．易知HI ＝CD ＝16，∴OH ＝16－r .易知EH ＝12EF ＝8，OE ＝r ， ∴由勾股定理，得r 2＝82＋(16－r )2，解得r ＝10(cm)．三、解答题1. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于E ，已知AE ＝1cm ，BE ＝5cm ，∠DEB ＝30°，求：(1)CD 的弦心距OF 的长；(2)弦CD 的长．解：(1)∵BO ＝12(AE ＋BE)＝12(1＋5)＝3，∴OE ＝3－1＝2，在Rt △EFO 中，∵∠OEF ＝30°，∴OF ＝1，即CD 的弦心距OF 为1cm ；(2)连结OD ，如图，在Rt △DFO 中，OD ＝3，∴DF ＝OD 2－OF 2＝32－12＝22，∵OF ⊥CD ，∴CD ＝2DF ＝42，∴CD 的长为42cm .2. 已知：如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，点D 、E 分别为AB ︵、AC ︵的中点，连结DE ，分别交AB 、AC 于点F 、G ，求证：AF ＝AG .解：连OD 、OE ，交AB 、AC 于M 、N ，∵OD ＝OE ＝r ，∴∠ODE ＝∠OED ，而D ，E 分别为弧AB ，弧AC 的中点，∴OD 、OE 分别垂直于AB 、AC ，则有∠DFB ＝∠EGC ，∴∠AFG ＝∠AGF ，∴AF ＝AG .3. 如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上的一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于点A ，B 和点C ，D ，连结OA ，此时有OA ∥PE.(1)求证：AP ＝AO ；(2)若弦AB ＝12，求OP 的长．解：(1)证明：∵PG 平分∠EPF ，∴∠DPO ＝∠BPO.∵OA ∥PE ，∴∠DPO ＝∠POA ，∴∠BPO＝∠POA ，∴AP ＝AO.(2)如图，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝HB.∵AB ＝12，∴AH ＝6.由(1)可知PA ＝OA ＝10，∴PH ＝PA ＋AH ＝16.在Rt △OAH 中，OH ＝OA 2－AH 2＝102－62＝8，∴OP ＝PH 2＋OH 2＝8 5.4. 如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于点E ，已知AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长．【解】 过点O 作OF ⊥CD 于点F ，连结OC .∵AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∴AB ＝8cm ，∴OA ＝12AB ＝4 cm ，∴OE ＝AE －OA ＝2 cm. 在Rt △OEF 中，∵∠CEA ＝30°，∴OF ＝12OE ＝1 cm. 在Rt △CFO 中，∵OF ＝1 cm ，OC ＝OA ＝4 cm ，∴CF ＝OC 2－OF 2＝15 cm.∵OF ⊥CD ，∴DF ＝CF ，∴CD ＝2CF ＝215 cm.5. 如图，隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为12m ，宽AB 为3m ，隧道的顶端E(圆弧AED 的中点)高出道路(BC)7m.(1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5m ，宽2.3m ，问这辆货运卡车能否通过该隧道．解：(1)设圆心为点O ，半径为R m ，连结OE 交AD 于F 点，连结OD ，由垂径定理，得OF 垂直平分AD ，DF ＝6，OF ＝R －(7－3)＝R －4，由勾股定理，得DF 2＋OF 2＝OD 2，即：62＋(R －4)2＝R 2，解得R ＝6.5，即圆弧AED 所在圆的半径为6.5m ；(2)能通过，但要小心．车宽GH ＝2.3，圆的半径OH ＝6.5，由勾股定理，得OG ＝ 6.52－2.32≈6.08，G 点与BC 的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5；能通过．。

3.5 圆周角
解：让乙射门好．理由：如图，连结CN. ∵∠MCN是△CAN的一个外角， ∴∠MCN＞∠A. 又∵∠MCN＝∠B， ∴∠B＞∠A，∴让乙射门好．
3.5 圆周角
勤反思
小结
圆周角定理的推论2
在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角相等；相等 的圆周角所对的弧也相等
弧
圆心角
圆周角
3.5 圆周角
图3－5－6
3.5 圆周角
2．如图3－5－7，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直 径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝____4_0 ___°。
[解析] 如图，连结CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°. ∵∠D＝∠ABC＝50°， 圆周角
第3章 圆的基本性质
3.5 圆周角
第3章 圆的基本性质
第2课时 圆周角定理的推论2
学知识 筑方法 勤反思
3.5 圆周角
学知识
知识点 圆周角定理的推论2
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的__圆__周__角__相等；相等的圆 周角所对的____弧____也相等．
3.5 圆周角
1．如图3－5－6，已知AB，CD是⊙O的两条直径， ∠ABC＝30°，则∠ADC的度数为( D ) A．90° B．60° C．45° D．30°
反思
对于推论2，把“在同圆或等圆中”这一条件去掉后，“同弧 或等弧所对的圆周角相等”成立吗？“相等的圆周角所对的弧 也相等”成立吗？
【答案】 前者成立，后者不成立．
3.5 圆周角
【归纳总结】圆周角定理的推论2的转化思想 (1)利用同弧所对的圆周角相等进行角与角之间的转化； (2)根据同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等将圆周角相等 转化为弧相等或弦相等．