3.1 二维随机变量的联合分布_3.2二维离散型随机变量_3.3 二维连续型随机变量(最新版)2学时

3）对于任意固定的 y, F (, y ) 0; 对于任意固定的 x , F ( x,) 0;
F (,) 0;
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F (,) 1.
（接下页）
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4) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即
(4) 求
P{X Y }
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解
(1)

0



f ( x, y )dxdy dx e 3 y dy
0
0

0
ke
(2 x 3 y )
dxdy
k e
2 x
1 2 x 1 3 y 1 k[ e ]0 [ e ]0 k 1 2 3 6
10
2
0
f ( x, y) 0 ;




f ( x, y)dxdy F (, ) 1 ;
30
若f ( x, y )在点( x, y )连续，则有 F ( x, y ) f ( x, y ). xy
2
40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在
G 内 的概率为： P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy.
D
x
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D
y
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例2（课本例3.3.1）
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
ke f ( x, y) 0
(1) 确定常数 k； (2)
(2 x 3 y )
x 0, y 0
其它
( X , Y ) 的分布函数；
(3) 求 P{0 X 4,0 Y 1}
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(2)二维正态分布N (1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
f ( x, y )
1 2 1 2 1
2
e
( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 2 2 2 2 2(1 ) 1 2 1 2 1
F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.
说
明
上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的 性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四 条性质； 反之，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这 四条性质，那么，它一定是某一个二维随机变量的 分布函数（证明略）．
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新课引入
前面我们讨论的是一个随机变量的情况，但在许 多实际问题中，随机实验的结果往往需要用两个或两 个以上的随机变量来描述。 例如： （1）在打靶试验中，着弹点的位置由它的横坐标X 及纵坐标Y来确定，其中X与Y是两个随机变量。 （2）分子运动的速度V,这时V由三个分量组成： V=(X,Y,Z).其中的三个分量X,Y,Z就是三个随机变量。
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3.3.2 常见的连续型随机变量
1. 二维均匀分布 设G 是平面上有界区域，其面积为 A。若二维随机 变量( X ,Y ) 具有概率密度
1 , ( x, y) G f ( x, y) A 其他 0, 则称 ( X ,Y ) 在G 上服从均匀分布。
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二元分布函数的几何意义
二元分布函数的几何 意义是：F x， y 表示平面上的随机 点 X， Y 落在以
x， y 为右上顶
点的无穷矩形中的 概率．
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பைடு நூலகம்
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联合分布函数表示矩形域概率
P（x1 X x2，y1 Y y2）
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第三章
第二节 二维离散型随机变量
二维离散型随机变量定义 若二维 R. V. （X，Y）的所有可能的取值是 有限对或可列个实数对，则称（X，Y）是二维离
散型随机变量。
研究问题 ① （X，Y）可能取哪些值？ ② 它取这些值的概率分别为多少？
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（1） 本次课小结 了解二维随机变量的概念； 掌握二维离散型随机变量的分布律及其性质
掌握二维连续型随机变量的联合密度函数、分 布函数及其性质
了解两种常见的二维连续型随机变量 （2） 课外练习 自学课本P83 例3.3.2 自行练习：习题3（ P80 第1~10题）
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F ( x, y)
y


x
f (u, v)dudv,
则称 ( X, Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y
的联合概率密度。
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按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：（课本P57）
y y2 2 2 y y1 1 1
F(x2,y2) F(x2,y1) F(x1,y2)
x x1 1 1 x x2 2 2
F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2）
= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
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0
x
f ( x, y)dxdy
y (2 x 3 y ) 3 y 2 y 6 e dx dy 3 e [1 e ]dy 0 0 0 3 y 5 y 3 2 3e dy 3e dy 1 0 0 5 5
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第三章
第一节 二维随机变量的联合分布
（Multi-dimensional Random Variables and Distribution）
定义 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 Ω={ω}，设 X=X(ω) 和 Y=Y(ω) 是定义在 Ω上的随 机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维 随机向量，或二维随机变量。
以Y表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝
对值，求（X，Y）的分布列。
解
( X , Y ) 的可能取值为(0, 3), (1, 1), (2, 1),（3,3）.
P(X=0,Y=3)=1/8 X Y 0 1 2 3
14
P(X=1,Y=1)=3/8
P(X=2,Y=1)=3/8 P(X=3,Y=3)=1/8
定义3.2.1（二维离散型随机变量的联合分布律）
设 X， Y 二维离散型随机变量， X 的取值为
x1， x2， ， xi ，
Y 的取值为 y1， y2， ， y j ，
则称
Pij P X xi ， Y y j

i，j 1， 2，
为二维离散型随机变量 X， Y 的（联合）分布律．
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(3)
P{0 X 4, 0 Y 1}
y
x 0, y 0 y x

(4)
1 0

4 0
6e (2 x 3 y ) dxdy
(1 e8 )(1 e3 ) 0.95
P{ X Y } f ( x, y)dxdy
D x y
性质 1 ：
对任意的i， j ， i，j 1 ， 2，
有 pij P X xi ， Y y j 0
性质 2 ：
p
i，j
ij
1
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例1（补充题） （自学课本P55 例3.2.1~3.2.2）
掷三次均匀的硬币，以X表示出现正面的次数，
(2)当 0 x 1,0 y 2 时，有
F ( x, y) du

x
y

1 xy(6 x y ); 6
f (u, v)dv du
其中，1、2为实数，1>0、2>0、| |<1，则称(X, Y)
服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为
( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , , , )
2 1 2 2
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本次课小结与作业布置
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X， Y 的联合分布律也可以由下表表示
Y X x1
x2
y1 p11
p21
y2 p12
p22
… … …
yj
p1 j
… … … …
p2 j


xi

pi1

pi 2
…
pij




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二维离散型随机变量联合分布律的性质