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概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
离散型随机变量是指其可能取值为有限个或可数个的随机变量。
与连续型随机变量相对应，它们只在取值点上有概率密度值，而在两个取值点之间的任何值都没有概率密度。
下面是离散型随机变量的几个知识点：
概率质量函数：概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）是一个给定的离散型随机变量在各个可能取到的值时，对应的概率值所构成的函数。
通常用P(X=k)表示随机变量X取到k的概率。
分布律：分布律描述了随机变量的取值和对应概率，即每个可能取到的值与其概率之间的关系。
对于离散型随机变量而言，分布律就是其概率质量函数。
期望：期望是随机变量取值的平均值。
对于离散型随机变量，期望定义为所有可能取值的加权平均值，其中权值为每个取值对应的概率值。
可以用E(X)表示随机变量X的期望。
方差：方差是随机变量取值偏离期望值的程度的度量。
对于离散型随机变量，方差定义为每个取值与期望之差的平方乘以相应概率的总和。
可以用Var(X)表示随机变量X的方差。
独立性：如果两个离散型随机变量的概率分布独立，则它们是相互独立的。
具体而言，就是两个随机变量的任意取值之间的联合概率等于它们各自的概率之积。
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.)()()|(B P AB P B A P =在事件B 发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量设有两个随机变量X , Y ，在给定Y 取某个或某些值的条件下，求X 的概率分布.这个分布就是条件分布.3.2 二维随机变量的条件概率下的重复.定义设(X ,Y )是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若P {Y =y j }>0，则称为在Y =y j 条件下随机变量X 的条件分布律.P{X = x i |Y = y j }=jj i p p •=，i =1,2, …{}{},i j jP X x Yy P Y y ===作为条件的那个随机变量,认为取值是给定的，在此条件下求另一随机变量的概率分布.离散型随机变量的条件分布条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：i =1,2, …{}0i j P X x Y y ==≥{}11i ji P X x Y y ∞====∑例某零售商根据以往的销售情况统计经验知，某种商品一天内线上、线下的销售数量的联合分布如下表，其中X、Y 分别表示线上、线下的销售数量售量如何分布？分析与解：不难理解当线上系统关闭时，那就相当于X=0 发生了。
问题变为求X=0 时，随机变量Y 的条件分布。
由上述定义中给出条件分布的计算0.051(00)0.36P Y X ====0.11(10)0.33P Y X ====0.151(20)0.32P Y X ====我们可以用表格表示如下：例.已知(X, Y )的联合分布律为Y X0103/103/1013/101/10求在X＝0及X＝1的条件下，Y的条件分布律;解:先写出关于X和Y的边缘分布律Y X01p.j 03/103/103/513/101/102/5p i.3/52/5在X ＝0的条件下，Y Y ／X=001p k 1/21/23110{0|0},325P Y X ====3110{1|0},325P Y X ====同理在X ＝1的条件下，Y 的条件分布律为Y ／X=101p k3/41/4连续型随机变量的条件分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于对任意x,y, P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布.()(,)()P X x y y Y y P X x y y Y y P y y Y y ≤−∆<≤≤−∆<≤=−∆<≤(,)(,)()()Y Y F x y F x y y F y F y y −−∆=−−∆[](,)(,)()()()()Y Y F x y y F x y y F y y F y y −∆−−∆=−∆−−∆ 设0y ∆>()0P Y y ==()P X x Y y ≤=但在中在条件Y = y 下X 的分布函数(,)Fx y y∂∂=(,))x f u y du y −∞=∫def.()P X x Y y =≤=[]0(,)(,)()lim()()()y Y Y F x y y F x y y F y y F y y ∆→+−∆−−∆−∆−−∆(,)()x Y f u y du f y −∞=∫定义设XX和YY的联合概率密度为ff(xx,yy)，(XX,YY)关于YY的边缘概率密度为ff YY(yy)，若对于固定的yy，ff YY yy>00，则称ff(xx,yy)ff YY(yy)为在YY=yy 的条件下XX的条件概率密度函数，记为ff XX|YY(xx|yy)=ff(xx,yy)ff YY(yy)称∫−∞xx ff XX|YY uu yy dduu=∫−∞xx ff(uu,yy)ff YY(yy)dduu为在YY=yy的条件下XX的条件分布函数，记为PP XX≤xx YY=yy=FF XX|YY xx yy=�−∞xx ff XX|YY uu yy dduu|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =类似地,可以定义()()(),y Y X X f x v F y x dv f x −∞=∫()(),xY f u y du f y −∞∫()X Y F x y =⇓()()()(),X Y X Y Y f x y df x y F x y d xf y ==例设(X ,Y )服从半径为r 的圆域上的均匀分布，概率密度为22221,(,)0,x y rf x y rπ +≤ = 其它)|(|x y f X Y求22||()(,)0,||X x rf x f x y dy rx r π∞−∞< == ≥ ∫解X 的边缘密度为当|x |<r 时,有)(),()|(|x f y x f x y f X X Y=2212rrππ=,=y ≤≤22||()(,)0,||X x rf x f x y dy rx r π∞−∞< == ≥∫)|(|x y f XY ,y −≤≤=即当|x |<r 时,有注：该条件分布是均匀分布()221122(,)~,;,;X Y N µσµσρ事实上()X Y f x y (,)()Y f x y f y=221122222222()()()()122x x y y e µµµµρσσρσσσ−−−−−−+ −=正态分布的条件分布仍为正态分布正态分布性质211222211()()2(1)x yeσµρµσσρ−−−−− =同理，)(x yfXY−−+)1(),(~2221122ρσµσσρµxN−−+)1(),(~2212211ρσµσσρµyN)(y xfYX例已知)(x y f X Y ≤≤−=其他,01,122y x x y≤≤−=其他,010),1(4)(2x x x x f X 求=<<≥+2132),5.0(),1(X Y P Y P Y X P解)()(),(x f x y f y x f X X Y =当f X (x ) > 0 时，即0 < x < 1 时，≤≤=其他,01,8y x xy 当f X (x ) = 0 时，f (x,y ) = 0故≤≤≤≤=其他,010,0,8),(y y x xy y x f)1(≥+Y X P )5.0(<Y P∫∫−=yy xydx dy 115.0865=∫∫=21008yxydx dy 161==<2132X Y P∫∞−=3221dyy f X Y ()∫−=322125.012dy y∫=322138dy y 277=(,)X Y 1,,01(,)0,y x x f x y <<<=其他()X f x |(|)Y X f y x 1(|0)2P X Y >>例：设随机变量的概率密度为试求：（1）（2）（3）解：（1）当00<xx<11时ff XX xx=�−∞+∞ff xx,yy ddyy=�−xx xx11ddyy=22xx 当xx≤0或xx≥11时，ff XX xx=00即ff XX xx=�22xx,00<xx<1100,eeee ee ee（2）当00<xx<11,yy<xx时，ff YY|XX yy xx=ff(xx,yy)ff XX(xx)=1122xx 即ff YY|XX yy|xx=�1122xx,yy<xx,00<xx<1133PP XX >1122YY >00=PP (XX >1122,YY >00)PP (YY >00)=∫1122+∞∫00+∞ff xx ,yy ddyyddxx ∫−∞+∞∫00+∞ffxx ,yy ddyyddxx=∫112211∫00xx11ddyyddxx ∫0011∫00xx11ddyyddxx 3344。
