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1 习 题 解 答 1. 某工厂生产A、B、C三种产品,用一种每天购入数量最多为300单位的原料在车间1、2连续加工。车间1、2每天可用工时分别为320、200。放置产品的成品仓库面积也有限制,如只生产产品A,可放置400单位,而每单位B的放置面积2倍于A。每单位C的放置面积为A的1/3。 每单位A在车间1要加工1小时,在车间2要加工1/2小时,需1单位原料,利润为1元。 每单位B在车间1要加工2小时,在车间2要加工1/3小时,需1/4单位原料,利润为2元。 每单位C在车间1要加工1/4小时,在车间2要加工1/4小时,需1/8单位原料,利润为1.5元。 问如何安排生产使利润最大?要求建立此问题的线性规划模型。

解:设xi 分别为第i种产品的产量,( i = A、B、C); z 为利润。 用建模表法。此问题的建模表如下: Max :z 变量 x1 x2 x3 各约束事项约束总量 边际利润 1 2 1.5 原料 1 1/4 1/8 300 车间1工时 1 2 1/4 320 车间2工时 1/2 1/3 1/4 200 仓库面积 1 2 1/3 400 非负约束 0 0 0 则此问题的线性规划模型为: Max z = x1 +2x2 +1.5 x3 St. x1 +(1/4)x2 +(1/8) x3  300 x1 + 2x2 +(1/4) x3  320 (1/2)x1 +(1/3)x2 +(1/4) x3  200 x1 + 2x2 +(1/3) x3  400 x1 ,x2 , x3 0

2. 某汽车运输公司有资金50万元可用于扩大车队,有4种车可供选择,每辆车的成本及每季收入如下表所示:

车辆种类 成本(元/辆) 收入(元) 卡车 9000 12000 四轮有盖拖车 8000 29500 串联式拖车 6000 16000 四轮无盖拖车 5000 12000

可驾驶新卡车的司机只有30人。该公司新增的维修能力如只修卡车,可修50辆,1辆卡车的维修时间3倍于四轮有盖拖车或串联式拖车,4倍于无盖拖车。有要求卡车辆数与拖 2

车组数之比最少为4:3。问该公司怎样使用资金使每季度收入最大?要求建立此问题的线性规划模型。

解:设xi 分别为购买第i种种类车的数量,( i = 1,2,3,4); z 为收入。 用建模表法。此问题的建模表如下: Max :z 变量 x1 x2 x3 x4 约束总量 边际收入 12000 29500 16000 12000 资金 9000 8000 6000 5000 500000 卡车司机 1 30 维修能力 1 1/3 1/3 1/4 50 非负约束 0 0 0 0 比例约束 x1 /(x2 +x3 +x4) 4/3

则此问题的线性规划模型为: Max z = 12000x1 +29500x2 +16000 x3 +12000 x4 St. 9000x1 +8000x2 +6000 x3 +5000 x4  500000 x1  30 x1 +(1/3)x2 +(1/3) x3 +(1/4)x4  50 3x1 4x2 4x3 4x4  0 x1 ,x2 ,,x3 ,x4 0

3. 某糖果商店用3种原料糖混合成3种成品糖出售。3种原料糖A、B、C的单价分别是0.8、0.6、0.5元,3种成品糖D、E、F的单价分别是1、1.2、1.5元。各种成品糖的成分要求如下: D:无要求; E:每种原料糖不得少于10%; F:至少有20%的A,不多于20%的B。 该商店每天至多能加工A、B、C的能力分别为1000,1200和900单位。由于市场原因,D的产量不得超过总量的20%,E的产量不得小于总量的25%。要求建立取得最大利润的线性规划模型。

解:设DA 为D中A的含量,DB 为D中B的含量,依次类推; z 为利润。 规格要求: EA 0.1 (EA + EB + EC ) EB 0.1 (EA + EB + EC ) EC 0.1 (EA + EB + EC ) FA 0.2 (FA + FB + FC ) FB 0.2 (FA + FB + FC ) 加工能力: DA +EA +FA 1000 DB +EB +FB 1200 DC +EC +FC  900 3

需求: (DA +DB +DC )  0.2 (DA +DB +DC + EA +EB +EC + FA +FB +FC ) (EA +EB +EC )  0.25 (DA +DB +DC + EA +EB +EC + FA +FB +FC ) 目标函数:Max z = (DA +DB +DC ) + 1.2 (EA +EB +EC ) + 1.5 (FA +FB +FC ) 0.8 (DA +EA +FA ) 0.6 (DB +EB +FB ) 0.5 (DC +EC +FC )

于是,线性规划模型为: Max z = (DA +DB +DC ) + 1.2 (EA +EB +EC ) + 1.5 (FA +FB +FC ) 0.8 (DA +EA +FA ) 0.6 (DB +EB +FB ) 0.5 (DC +EC +FC ) st. EA 0.1 (EA + EB + EC ) EB 0.1 (EA + EB + EC ) EC 0.1 (EA + EB + EC ) FA 0.2 (FA + FB + FC ) FB 0.2 (FA + FB + FC ) DA +EA +FA 1000 DB +EB +FB 1200 DC +EC +FC  900 (DA +DB +DC )  0.2 (DA +DB +DC + EA +EB +EC + FA +FB +FC ) (EA +EB +EC )  0.25 (DA +DB +DC + EA +EB +EC + FA +FB +FC ) DA , DB , DC , EA , EB , EC , FA , FB , FC 0

4. 某公司有一能存储600单位某种商品的仓库,每月出售的商品数量不得大于库存数。每月购入商品(月末到货)受仓库容量限制。预计以后4个月商品单位成本及售价如下表所示: 月份 1 2 3 4 成本(元) 40 38 40 42 售价(元) 45 42 39 44 已知1月初有200单位存货。要求建立线性规划模型,使4个月所获利润最大。

解:设:xi —第i 个月末的购入数;yi —第 i 个月的出售数;zi —第 i 个月初的库存数。 Z —利润。则 目标函数: Max z = 45y1 + 42y2 +39y3 + 44y4 40x1 38x2 40x3 42x4 购入量限制: zi yi + xi  600 (i = 1, 2, 3, 4) 出售量限制: yi  zi (i = 1, 2, 3, 4) z1 = 200 购入、出售、库存之间的关系:zi+1 = zi + xi  yi (i = 1, 2, 3, 4) 于是,此问题的模型为 Max z = 45y1 + 42y2 +39y3 + 44y4 40x1 38x2 40x3 42x4 St. zi yi + xi  600 (i = 1, 2, 3, 4) yi  zi (i = 1, 2, 3, 4) z1 = 200 zi+1 = zi + xi  yi (i = 1, 2, 3, 4) xi , yi , zi  0 4

5. 某企业在今后4个月内出售某种新产品的合同销售量及各月的生产能力、生产成本及商品存储费如下表所示:

月份 合同销售量 生产能力 生产成本 商品存储费 1 60 90 70 2 2 70 60 72 1 3 90 80 70 1 4 70 100 65 3 商品在生产当月出售,不产生存储费,如转到下月,则要支出存储费。 产品单价售价在4个月内不变,销售合同必须遵守。 要求建立线性规划模型使4个月的利润最大。

解:设xi —第i 个月的生产量; zi —第 i 个月初的库存量。 Z —成本。则 目标函数:Min z = 70x1 + 72x2 +70x3 + 65x4 +2z1 +z2 +z3 +3z4 生产量约束: x1  90 x2  60 x3  80 x4  100 合同约束: x1 + z1  60 x2 + z2  70 x3 + z3  90 x4 + z4 70 生产、库存之间的关系:z1 = 0 x1 + z1 60 = z2 x2 + z2 70 = z3 x3 + z3 90 = z4 x4 + z4 70 = z5 于是,此问题的模型为 Min z = 70x1 + 72x2 +70x3 + 65x4 +2z1 +z2 +z3 +3z4 St. x1  90 x2  60 x3  80 x4  100 x1 + z1  60 x2 + z2  70 x3 + z3  90 x4 + z4 70 z1 = 0 x1 + z1 60 = z2 x2 + z2 70 = z3 x3 + z3 90 = z4 x4 + z4 70 = z5 xi , zi 0 (i = 1, 2, 3, 4)