立体几何中的求角问题

立体几何二面角的求法立体几何是数学的一个重要分支，研究的是空间中的图形和其性质。

其中，二面角是立体几何中的一个重要概念，它是由两个平面所围成的角。

本文将介绍二面角的定义、性质以及求法。

一、二面角的定义二面角是由两个平面所围成的角，其中一个平面称为顶面，另一个平面称为底面，二面角的两个边分别位于顶面和底面上。

二面角常用字母α表示。

二、二面角的性质1. 二面角的大小是以顶点为中心，两个边所围成的平面角的大小，即α=∠POQ。

2. 二面角的大小是由顶面和底面的位置关系决定的，与边的长度无关。

3. 二面角的度量范围是0到180度。

4. 如果两个平面平行，则它们所围成的二面角为0度。

5. 如果两个平面相互垂直，则它们所围成的二面角为90度。

6. 如果两个平面相交于一条直线，则它们所围成的二面角为180度。

三、二面角的求法1. 通过向量法求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值可以通过两个法向量的点乘公式求解：cosα=n1·n2/(|n1||n2|)，其中·表示点乘，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模。

2. 通过平面法向量求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值等于两个法向量的模的乘积与它们的点乘的商：cosα=(|n1|·|n2|)/(n1·n2)。

3. 通过平面方程求解二面角：设顶面的平面方程为Ax+By+Cz+D1=0，底面的平面方程为Ax+By+Cz+D2=0，二面角的余弦值等于两个平面方程的D1、D2的差值与它们的模的乘积的商：cosα=(D1-D2)/(√(A^2+B^2+C^2)·√(A^2+B^2+C^2))。

四、二面角的应用1. 二面角常用于计算空间中的体积和表面积。

2. 在物理学中，二面角常用于描述力的方向和大小。

3. 在几何光学中，二面角常用于计算光的反射和折射。

4. 在工程中，二面角常用于计算材料的强度和稳定性。

第四讲 立体几何中的三大角-------一作、二证、三计算一、 以空间四边形为背景1、 空间四边形ABCD ，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点，EF=3，AD 、BC 所成的角为2、空间四边形P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥； 求二面角B AP C --的大小的正弦值 ．3、若R t ⊿ABC 所在平面α外一点P ，到直角顶点B 的距离为22，到两直角边的距离都是17，求P 到平面α的距离 .4、P —ABC 为正四面体，D 为PC 中点， BD 与AP 所成角的大小 ；二面角A-PB-C 的大小 BD 与底面ABC 所成角的大小二、 以正（长）方体为背景1、正方体AC 1中, BC 1与平面ACC 1A 1所成的角 A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角 正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合2、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值.3、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为4、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1B 1的中点，N 是BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值5、长方体AC 1中，AB=2，BC=CC 1=1， CD 与面ABC 1D 1所成的角 A 1C 与平面ABC 1D 1所成的角 A 1C 与平面BC 1D 所成的角6、棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1， E 是C 1D 1的中点，F 是面AA 1D 1D 的中点， EF 与AC 所成的角 EF 与面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小 二面角B 1-AC-B 的大小三、 无背景1、直线a 是平面的斜线，b ⊂α，当a 与b 成600的角，且b 与a 在α内的射影成450角时，a 与α所成的角2、D 为二面角α-AB -β的棱AB 上的一点，DP ⊂α，且与AB 成45︒角， DP 与β所成角为30︒，则二面角α-AB -β的度数是3、60的二面角l αβ--内有一点P ，点P 到面α的距离为2，点P 到面β的距离为11，则点P 到棱l 的距离为4、二面角l αβ--的面α内有一条直线AB ,它与l 的夹角为4π，与平面β的夹角为6π，则二面角l αβ--的大小四、 综合1、底面是矩形的四棱锥P-ABCD ，PA ⊥平面ABCD ， PA=AB=1，BC=2，PC 与平面PAD 所成角的大小 E 是PD 的中点， AE 与PC 所成角的大小 二面角P-BC-A 的大小2、有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值是3、山坡与水平面成30︒角，坡面上有一条与坡角水平线成30︒角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为。

专题5：理科高考中的线面角问题（解析版）求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a u ϕθ⋅== 1．如图,在三棱锥A BCD -中,ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,点P 是AC 的中点,连接,BP DP ．（1）证明:平面ACD ⊥平面BDP ;（2）若6BD =,且二面角A BD C --为120︒,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）22 【分析】（1）由ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,得AD CD =．再证明PD AC ⊥,PB AC ⊥,从而和证明AC ⊥平面PBD ,故平面ACD ⊥平面BDP 得证． （2）作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．由Rt Rt ABD CBD ⊆,证得,AE BD ⊥,AE CE =结合二面角A BD C --为120︒,可得2AB =,23AE =,6ED =.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,,03D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3,0,13A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,向量36,,133AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,即平面BCD 的一个法向量(0,0,1)m =,运用公式cos ,m ADm AD m AD ⋅〈〉=和sin cos ,m AD θ=〈〉,即可得出直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【详解】解:（1）证明:因为ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,所以Rt Rt ABD CBD ≅,可得AD CD =．因为点P 是AC 的中点,则PD AC ⊥,PB AC ⊥,因为PD PB P =,PD ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以AC ⊥平面PBD ,因为AC ⊂平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDP ．（2）如图,作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．因为Rt Rt ABD CBD ⊆,所以,AE BD ⊥,AE CE =AEC ∠为二面角A-BD-C 的平面角．由已知二面角A BD C --为120︒,知120AEC ∠=︒．在等腰三角形AEC 中,由余弦定理可得3AC =．因为ABC 是等边三角形,则AC AB =,所以3AB =．在Rt △ABD 中,有1122AE BD AB AD ⋅=⋅,得3BD =, 因为6BD =所以2AD =． 又222BD AB AD =+,所以2AB =． 则23AE =,6ED =． 以E 为坐标原点,以向量,EC ED 的方向分别为x 轴,y 轴的正方向,以过点E 垂直于平面BCD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -, 则6D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,向量361AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m =,设直线AD 与平面BCD 所成的角为θ,则2cos ,221m ADm AD m AD ⋅〈〉===-⨯,2sin |cos ,|2m AD θ=〈〉= 所以直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为22． 【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.2．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求AM 与平面A 1MD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）105 【分析】要证线面平行，先证线线平行建系，利用法向量求解。

第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【学习目标】1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。

2.细心体会求空间角的转化和数形结合思想。

3.掌握各种距离和距离的求解方法.【基础知识】知识点1.求点线、点面、线面距离的方法(1)若P 是平面α外一点，a 是平面α内的一条直线，过P 作平面α的垂线PO ，O 为垂足，过O 作OA ⊥a ，连接P A ，则以P A ⊥a ．则线段P A 的长即为P 点到直线a 的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2.异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线.(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若090θ︒<≤︒，则θ即为所求；若90180θ︒<<︒，则180θ︒-即为所求.知识点3.直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.知识点4.作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A 向另一个平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连接AO ，则AOB ∠为二面角的平面角或其补角.如图③，AOB ∠为二面角l αβ--的平面角.知识点5.求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解.【考点剖析】考点一：异面直线所成的角例1．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若2==AC BD ，且AC 与BD 所成的角为60°，则EG 的长为（）A ．1或2B ．2或3C ．1或3D ．12或32考点二：线面角例2．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，底面ABC 是正三角形，AA '⊥底面ABC ，且1AB =，2AA '=，则直线BC '与平面ABB A ''所成角的正弦值为______．考点三：二面角例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==．(1)求证：PC BD ⊥；(2)求二面角P CD A --的正弦值．考点四：距离问题例4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,,22AB BC AA AC AB BC ⊥===，E ，F 分别是11,AC AB 的中点．(1)证明：AE ∥平面11B C F ．(2)求点C 到平面11B C F 的距离．考点五：体积问题例5．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点F 为线段PC 上的点，过A ，D ，F 三点的平面与PB 交于点E ．(1)证明：//EF 平面ABCD ；(2)若E 为PB 中点，且2AB PA ==，求四棱锥P AEFD -的体积．【真题演练】1．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π62．如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角3．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A 235D 7 5．已知正方体1111ABCD ABCD -中，E 、F 分别为11、BB CC 的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________.6．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =． （1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．7．如图，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． （1）证明：C//B 平面D P A ；（2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．8．如图，在圆锥PO 中，已知2PO O 的直径2AB =，点C 在AB 上，且30CAB ∠=，D 为AC 的中点．（I ）证明：AC ⊥平面POD ；（II ）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值．9．如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O ．（Ⅰ）证明PA ⊥BF ；（Ⅰ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小的余弦值．10．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA PD =.(1)判断M 点在PB 的位置并说明理由；(2)记直线DM 与平面P AC 的交点为K ，求DK KM的值；(3)若异面直线CM 与AP M CD A --的平面角的正切值. 11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1，12AB AA ==，H ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点.(1)判断直线HF 与平面11A BCD 的位置关系，并证明你的结论；(2)求直线HF 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)在线段HF 上是否存在一点Q ，使得点Q 到平面11A BCD ，若存在，求出HQ HF的值；若不存在，说明理由. 【过关检测】1．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，点E 、F 分别是棱AB 、1AA 的中点，E 、F 、1C ∈平面α，直线11A D 平面P α=，则直线BP 与直线1CD 所成角的余弦值为（）A C 2．在正方体1111ABCD ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，11A B 的中点，则异面直线EF 与1CD 夹角的余弦值为（）A D3．如图所示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=，且2PA PB AB ===，=PC 则PC 与平面P AB 所成角的余弦值等于（）A B 4．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若2==AC BD ，且AC 与BD 所成的角为60°，则EG 的长为（）A．1．1．125．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形1111D C B A 的中心，则下列结论错误的是（） A ．BO AC ⊥B ．BO ∥平面1ACDC ．点B 到平面1ACD D ．直线BO 与直线1AD 的夹角为3π 6．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列结论中正确的是（） A ．1D D AF ⊥B ．二面角F AEC --的正切值为2C ．异面直线1A G 与EFD ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍7．如图，AB 是半球的直径，O 为球心，4,,AB M N =依次是半圆AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且PN MB ⊥，(1)证明：平面PBM ⊥平面PON ；(2)若点P 在底面圆内的射影恰在BM 上，求二面角--A PB N 的余弦值．8．已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，此时AD CD ⊥，点P 为线段AD 的中点.(1)求证：BP ⊥平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角P BM D --的平面角的余弦值.9．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .(1)求证：AC ⊥平面PBD ；(2)当1PD =，BD =PB 与AD 所成角的余弦值；10．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD ．(1)求证：AC ⊥平面PBD ；(2)已知1PD =，（Ⅰ）当BD PB 与AD 所成角的余弦值；（Ⅰ）当直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒时，求四棱锥P ABCD -的体积．11．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.(1)求异面直线11B C 与1A C 所成角正切值的大小；(2)求点1B 与平面1A BC 的距离.第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【学习目标】1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。