应急中心选址问题数学建模
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数学建模之应急设施的位置
数学建模之应急设施的位置应急设施的位置选择是一个重要的决策问题，它直接关系到应急管理的有效性和应对突发事件的能力。
在数学建模中，我们可以运用空间分析、最优化等方法来研究应急设施的位置选择问题。
本文主要探讨数学建模在应急设施位置选择中的应用，包括数学模型的建立、求解方法的选择以及结果的分析。
首先，建立一个数学模型是研究应急设施位置选择问题的基础。
在建模过程中，我们需要考虑以下几个方面的因素：需求点的分布、设施的容量限制、应急响应时间等。
以城市的应急设施的位置选择为例，我们可以将该城市划分为若干个网格，每个网格代表一个潜在的设施位置。
假设有n个需求点需要被覆盖，我们可以使用二进制变量xi表示第i个网格是否选择建立应急设施，其中i=1,2,…,m，m表示网格的总数。
另外，我们需要引入距离变量dij表示第i个网格与第j个需求点之间的距离，以及容量限制变量ci表示第i个网格的容量限制。
最后，对结果进行分析是问题求解的最后一步。
通过对结果进行分析，我们可以评估不同位置方案的优劣，并对进一步决策提供依据。
例如，我们可以计算每个需求点到最近的应急设施的距离，从而评估覆盖范围的有效性。
另外，我们还可以根据建设和维护成本、应急响应时间等指标来评估不同网格的选择。
通过综合考虑各种因素，我们可以得出一个最优的设施位置方案。
总之，数学建模在应急设施位置选择中起到了重要的作用。
通过建立数学模型、选择合适的求解方法以及对结果进行分析，我们可以为应急管理提供科学、高效的决策支持，提高城市的应急响应能力。
求解应急设施的位置问题
求解应急设施的位置问题一．问题的提出美国的里奥兰翘（Rio Rancho）镇迄今还没有自己的应急设施，1986年该镇得到了建立两个应急设施的拨款，每个设施都把救护站、消防队和警察局合在一起，如图指出了1985年每个长方形街区发生应急事件的次数，在北边的L形区域是一障碍，而在南边长方形区域内有一个浅水塘的公园。
应急车辆驶过一条南北方向的街道平均要花15s，而通过一条东西方向的街道平均花20s。
你的任务是确定这两个应急设施的位置，使得总响应时间最少。
（I）假定应急需求集中在每个街区的中心，而应急设施位于街角处。
（II）假定应急需求是沿包围每个街区的街道上均匀分布，而应急设施可以位于街道任何地方。
二．模型的分析和假设1)两个障碍区域中均不需要应急服务；2)每年的应急事件数目比较小，可以认为在同一街区不会同时发生两个事件；3)忽略车辆转弯和过十字路口的时间，仅考虑沿街道行驶的时间；4)两个设施的功能相同，当应急事件发生时，指挥中心总是从离事件发生地最近的应急设施派出应急车辆；5)1985年的各街区的应急事件数是真实的，未来的需求分布不会与现在的需求相差太远；6)当连接两点的不同路径所用时间相同时，路径可以任选其一。
三．模型的建立和求解符号说明：（X1，Y1）应急设施的一个位置（X2，Y2）应急设施的第二个位置（X，Y）发生应急事件的位置W(X，Y)在（X,Y）发生应急事件的次数T1，T2两个应急设施到达应急事件地点所花费的时间TM最小响应时间TOT到任意街区最邻近的街角所需时间T为总响应时间t为平均响应时间模型Ⅰ：除了上面假设以外，假设在没有障碍的街区应急事件均发生在街区中心，而应急设施的位置设在某街区的街角上。
应急车辆做出响应的时间最短是指到达事件放生地的时间；这样可能的两个应急点数只有有限个，因此，只需检验每一对位置点对所有街区发生事件做出的响应时间，选择平均每一次事件响应时间最小的那两个点建立坐标系，左下角（西南角）为原点（0，0），东西为x轴，南北为y轴。
应急中心的选址问题数学建模
救护中心建立问题的研究摘要本文对某小镇建立两个救护中心，使应对突发事件总的响应时间最少的问题进行了分析，并建立了数学模型进行了求解。
在假设(I)的前提下，即需要救护的事件集中在每个街区的中心。
考虑到街区数目不是很多，本文采用穷举法进行了最优解的搜索。
即先任意选取两点作为救护中心的位置，然后计算其他街区到这两个救护中心的总响应时间，总响应时间最少的旧最优的方案。
同时为了考虑障碍区域和水塘，本文首先对那些设置救护中心需要穿越障碍区域和水塘的点进行了剔除，然后在利用计算机一一穷举。
在假设(Ⅱ)的前提下，需要救护的事件均匀分布在街道上，在计算总响应时间时，本文把整个街道的事件发生频率集中在街道的中心位置处进行计算。
同时本文证明了当救护中心仍设立在街角处时所需的总响应时间是最少的，这样仍可以按照假设(I)中的穷举方法求出救护中心设立的最优位置。
关键词：穷举法；剔除；街道中心；街角一.问题的重述某小镇开始计划建立两个救护中心，把救护站、消防队和派出所结合在一起。
图1指出每个长方形街区所发生的需要救护事件的次数，北边的L形区域是障碍，而南边的长方形区域是浅水池，救护车辆驶过一条南北向的街道平均花15秒，而救护车辆驶过一条东西向的街道平均花20秒，请确定这两个救护中心的位置，使得总响应时间最少。
(1)假定需要救护的事件集中在每个街区的中心，救护中心位于街角处。
(2)假定需要救护的事件沿包围每个街区的街道上均匀分布，救护中心可位于街道的任何地方。
图1 小镇的街区分布图二．问题分析对于假设(I)的情况，要建立救助站的位置，使总的响应时间最短。
在考虑障碍区域的情况下，可以首先把那些建立救护站需要穿过障碍区域的点剔除掉，然后可以考虑穷举法利用计算机求出最佳的建立救护中心的位置。
对于假设(Ⅱ)的情况，由于突发事件是均匀分布在每条街道上的，可以利用每条街道的中心点位置来作为这整条街道突发事件的频率集中点。
同时可以证明：在街角处设置救护中心是所需总响应时间最短的。
应急设施的优化选址问题(数学建模)
第17讲应急设施的优化选址问题问题（AMCM-86B题）里奥兰翘镇迄今还没有自己的应急设施。
1986年该镇得到了建立两个应急设施的拨款，每个设施都把救护站、消防队和警察所合在一起。
图17-1指出了1985年每个长方形街区发生应急事件的次数。
在北边的L形状的区域是一个障碍，而在南边的长方形区域是一个有浅水池塘的公园。
应急车辆驶过一条南北向的街道平均要花15秒，而通过一条东西向的街道平均花20秒。
你的任务是确定这两个应急设施的位置，使得总响应时间最少。
图17-1 1985年里奥兰翘每个长方街区应急事件的数目（I）假定需求集中在每个街区的中心，而应急设施位于街角处。
（II）假定需求是沿包围每个街区的街道上平均分布的，而应急设施可位于街道的任何地方。
§1 若干假设1、图17-1所标出的1985年每个长方形街区应急事件的次数具有典型代表性，能够反映该街区应急事件出现的概率的大小。
2、应急车辆的响应时间只考虑在街道上行驶时间，其他因纱（如转弯时间等）可以忽略不计。
3、两个应急设施的功能完全相同。
在应急事件出现时，只要从离事件发生地点最近的应急设施派出应急车辆即可。
4、执行任何一次应急任务的车辆都从某一个应急设施出发，完成任务后回到原设施。
不出现从一个应急事件点直接到另一事件点的情况。
（这是因为，每一个地点发生事件的概率都很小，两个地点同时发生事故的概率就更是小得可以忽略不计）。
§2 假定（I ）下的模在假定（I ）下，应急需求集中在每个街区中心。
我们可以进一步假定应急车辆只要到达该街区四个街角中最近的一个，就认为到达了该街区，可以开始工作了。
按假定（I ），每个应急设施选在街角处，可能的位置只有6×11=66个。
两个应急设施的位置的可能的组合至多只有66×65/2=2145个。
这个数目对计算机来说并不大，可用计算机进行穷举，对每种组合一一算出所对应的总响应时间，依次比较得出最小的响应时间及对应的选址方案。
突发事件应急设施选址问题的模型及优化算法
突发事件应急设施选址问题的模型及优化算法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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应急物流配送中心选址问题模型研究,国民经济范文.doc
应急物流配送中心选址问题模型研究,国民经济-摘要：文章提出一种应急物流配送中心选址问题的混合整数规划模型，利用Matlab软件，结合算例，求解出应急物流配送中心选址最佳方案。
关键词：应急物流；配送中心；选址模型近年来各种自然灾害频发，2004年的印度洋海啸、2008年的四川汶川地震、2010年青海省玉树地震和刚刚过去的四川雅安地震都给人类社会带来了灾难性的损失和伤亡。
灾难的发生导致应急物资大量的需求，而将大量救援物资运送到受灾点的过程中，常常造成混乱。
然而，当前人们的研究主要集中在系统构建、政府角色、机制完善和应急预案等方面，在救灾过程中，大多数将行政中心作为应急物流配送中心展开救援，而对于建立应急配送中心的研究较少；并且应急配送选址对于应急管理至关重要，因为合理的选址不仅能降低成本，而且还能够保证提供应急物资的时效性，从而能降低灾害造成的损失。
鉴于此，本文提出一种混合整数规划模型确定应急物流配送中心选址最佳方案并求解。
1 应急物流配送中心选址模型应急物流配送中心选址问题是在受灾点附近地区所有储存物资的备选点地址集合中选出一定数目的地址点建立配送中心，这样就建立了一系列的应急配送区域，实现对各个受灾点的配送，从而实现整个应急物流配送系统总物流费用最小。
1.1 假设条件便于建立数学模型，作如下假设：（1）满足应急时间的要求，即不考虑时间对应急配送系统的影响；（2）应急物资到配送中心、配送中心到受灾点的单位运输价格均已知；（3）应急物资总数为已知；（4）配送中心的存储容量及个数有限制；（5）各个受灾点的需求量为已知；（6）配送中心的费用固定为已知，单位管理费用为常数。
那么，在以上假设条件下，应急配送中心选址主要考虑的费用为应急物资到配送中心的运输费用、配送中心到受灾点的运输费用、应急物资在配送中心的管理费用和配送中心的固定费用。
1.2 建模4 结束语配送中心是连接供应商与客户的中间桥梁，其选址方式决定着物流的配送距离和配送模式，进而影响着物流系统的运作效率。
应急中心选址问题数学建模
1.3 本文具体需要解决的问题
(1)为了方便社区居民缴纳煤气费，煤气公司现拟建三个煤气缴费站，问煤气 缴费站怎样选址才能使得居民与最近煤气站之间的平均距离最小。
(2) 市公安局拟在该城区建立若干个派出所，请为派出所分配管辖范围，使 其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在 3 分钟内有警察（警车的时速为 50km/h）到达事发地，问设置多少个派出所比较合理，位置选在哪？
针对问题 3：建立了双目标最优化模型。首先将问题三转化为三个售货员的 最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最 短路径 Floyd 算法，并用 MATLAB 和 LINGO 软件编程计算，得到最优树图，然 后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理， 得到三组巡视路程分别为 11.8 km 、11 km 和 12.5 km ，三组巡视的总路程达到 35.3 km ，路程均衡度为 12%,具体巡视路线安排见表 9-1 和图 9.2 。
(3) 社区 W 是市政府所在地，市领导从 W 出发巡视，分三组巡视所有社区， 为了尽快完成巡视，合理的安排巡视路线
2 模型假设
(1) 不考虑各社区的实际尺度，简化为点处理 ； (2) 每个社区的居民都去缴费站缴费； (3) 只在社区拟建三个煤气缴费站； (4) 每个社区的居民只能到离该社区最近的煤气缴费站缴费； (5) 若与某些社区最近的缴费站有若干个，即其可能与若干个缴费点的距离相同
选址，来解决居民各社区生活中存在三个的 问题：合理的建立3个煤气缴费站的问题；如何建立合理的派出所；市领导人巡 视路线最佳安排方案的问题。通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目 标，理出它们之间的联系.在用图论模型描述研究对象时，为了突出与求解目标 息息相关的要素，降低思考的复杂度。对客观事物进行抽象、化简，并用图来描 述事物特征及内在联系的过程.建立图论模型是为了简化问题，突出要点，以便 更深入地研究问题
应急物资储备库选址优化模型
应急物资储备库选址优化模型汇报人：日期:•引言•应急物资储备库选址问题概述•建立优化模型•模型应用与案例分析•模型优化与改进建议目•结论与展望录引言01 CATALOGUE随着全球自然灾害和突发事件的频繁发生，应急物资储备库的选址问题越来越受到关注。
优化选址能够提高应急物资的供应效率和响应速度，对于减轻灾害损失和保障社会稳定具有重要意义。
研究背景与意义建立一个应急物资储备库选址优化模型，以实现选址问题的科学决策。
研究目的综合运用数学建模、GIS分析和优化算法等方法，构建一个适用于实际情况的选址优化模型。
研究方法研究目的和方法应急物资储备库选址问题概述02CATALOGUE定义应急物资储备库选址问题是指在应对突发事件时，对应急物资储备库的选址和布局进行优化，以最大限度地满足救援需求，提高救援效率，并降低成本。
特点应急物资储备库选址问题具有紧迫性、不确定性、复杂性、多目标性等特点。
在选址过程中需要充分考虑各种因素，如地理位置、交通状况、资源供应、气候条件等。
选址问题的定义和特点选址问题的重要性和现实意义重要性应急物资储备库的选址问题直接关系到应急救援的效率和效果，对于保障人民生命财产安全具有重要意义。
一个合理的选址方案可以提高救援速度，减少灾害损失，并为灾后重建提供有力支持。
现实意义在现实生活中，突发事件具有不可预测性和随机性，但通过建立科学合理的选址模型，可以对应急物资储备库的选址问题进行优化，从而在应对突发事件时能够更好地保障人民生命财产安全。
选址问题的研究现状和发展趋势研究现状目前，国内外学者对应急物资储备库选址问题的研究主要集中在建立数学模型、应用优化算法、引入GIS技术等方面。
这些研究为解决实际问题提供了有力的理论支持和实践指导。
发展趋势未来，应急物资储备库选址问题的研究将更加注重多学科交叉、智能化、精细化等方面的发展。
随着大数据、人工智能等技术的不断应用，对应急物资储备库选址问题的研究将更加深入，从而为提高应急救援效率和效果提供更加科学和有效的支持。
建模案例课件-应急设施的选址问题PPT课件
模型2 设应急服务的需求沿各街区的街道均匀分布， 且应急设施建立在镇内街道的任何点， 下面证明两个结果，并把问题简化为离散的情况。
定理1 若一个应急设施不位于街道的交叉点，则可 以通过将该设施移至一个适当的交叉点而减少响应 时间。 定理2 设仅有一个应急设施，紧急需求沿街道均匀分 布，且应急车辆总是沿着一个固定街口进入这段街道 的，则总的响应时间与紧急需求集中在街道中点的响 应时间相同。 在定理1，2的基础上，可以把应急需求均匀分布 在街段上的连续分布问题等价地转化为应急需求集中 在街段中点的离散问题。
一、假设
1.两个障碍中均不需要应急服务；
2.各年的应急事件的数目比较小，不会同时发生两 个事件；
3.忽略车辆拐弯和过十字街口的时间，仅考虑沿街道 运行的时间； 4.当连接两点的不同路径所用的时间相同时，路径可 任选其一；
5.未来的需求分布不会与现在的需求相差太远； 6.两个应急设施在处理紧急事件时，能力和效率相同， 可任选一个；
修正算法的基本思想是先沿l从两个方向运行取最快的路径再减去原来的相应部分以避免重复修正算法分别考虑一个点位于小l边的竖直部分或水平部分而另一个点位于1011模型1设应急服务的需求位于各街区的中心且应急设施必须位于街道的交叉点因该镇有66个交叉点这意味着两个应急设施有66654110种可能的位置
应急设施的选址问题
P ( x ,y ) 2 2 2
c a b 这时东西走向的运行时间没有改变，南北向的修 正时间就是分别从南边或北边绕过障碍的时间减去原 来南北向运行时间后取较小的一个。
a
小L边
b
c
d
e
修正算法的基本思想是，先沿L从两个方向运行， 取最快的路径，再减去原来的相应部分以避免重复， 修正算法分别考虑一个点位于小L边的竖直部分或水 平部分，而另一个点位于a,b,c,d,e五个区域的情况。
Python小白的数学建模课-07.选址问题
Python小白的数学建模课-07.选址问题1. 选址问题选址问题是指在某个区域内选择设施的位置使所需的目标达到最优。
选址问题也是一种互斥的计划问题。
例如投资场所的选址：企业要在 m 个候选位置选择若干个建厂，已知建厂费用、运输费及 n 个地区的产品需求量，应如何进行选址。
选址问题是运筹学中经典的问题之一，选址问题在生产生活、物流、甚至军事中都有着非常广泛的应用，如工厂、仓库、急救中心、消防站、垃圾处理中心、物流中心、导弹仓库的选址等。
更重要的，选址问题也是数模竞赛的热点问题。
选址是重要的长期决策，选址的好坏直接影响到服务方式、服务质量、服务效率、服务成本等，从而影响到利润和市场竞争力，选址问题的研究有着重大的经济、社会和军事意义。
选址问题有四个基本要素：设施、区域、距离和优化目标。
1.1 设施选址问题加粗样式中所说的设施，在具体题目中可以是工厂、仓库、服务站等形式。
1.2 区域选址问题中所说的区域，在具体题目中可以是工厂、车间的内部布局，也可以是给定的某个地区、甚至空间范围。
按照规划区域的特征，可以分为连续选址问题和离散选址问题。
连续选址问题，设施可以布局在区域内的任意位置，就要求出最优选址的坐标；离散选址问题，只能从若干候选位置中进行选择，运筹学中的选址问题通常是这类离散选址问题。
1.3 距离选址问题中所说的距离，是指设施到服务对象之间的距离，在具体题目中也可以是某个选址位置的服务时间、成本、覆盖范围。
如果用图论方法求解，通常就是连接顶点的边的权值。
当问题所关注的是设施到服务对象之间的距离时，如果问题给出的不是顶点之间的距离，而是设施的位置坐标，要注意不是只有欧式距离，对于不同问题也可能是球面距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离。
1.4 优化目标选址问题要求选择最好的选址位置，但选址位置只是决策变量，选择的最终目的通常是实现加权距离最短、费用最小、利润最大、时间最短，这才是优化问题的目标函数。
按照目标函数的特点，可以分为：中位问题，要求总成本最小；中心问题，服务于每个客户的最大成本最小；反中心问题：服务于每个客户的最小成本最大。
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6 求最短路径
问题一、二、三均需要计算出两社区间距离矩阵 D ，记录对应的最短路径，
以便分区时作为参考条件。最短路径算法主要由改善的 floyd-warshall 算法实现，
最后获得由任意两城市间距离矩阵 D 和对应的最短路径。算法具体原理如下：
1）利用社区间道路信息，构造邻接矩阵 L 。
若城市 i 和 j 间无直接连通的道路，则令 (i, j) 元素 aij 为正无穷大；否则
同时根据个社区人口居住情况可以得出如下人口统计图：
各社区人口统计图 30
25
20
人口/千人
15
10
5
0 A BCD E F G H I J K L MN PQ RS T UVWX Y 社区
图 5.1
根据表 5.1 和图 5.1 可以看出 W，Q 两个社区人口量最多，且从该社区出发 的道路数比较多，很可能是煤气缴费站的设置点，同时也是派出所设置点；K 社 区人口量也比较多，且连接各道路距离比较大，因此，K 点可能是派出所设置点。 这些是从图形和图标表面直观得出的，需要建模去验证。
M
4
N(6)，L(9)，H(15)，K(12)
N
2
M(6)，J(6)
P
3
H(19)，I(19)，K(23)
Q
3
R(7)，D(9)，V(10)
R
2
S(12)，Q(7)
S
3
A(20)，D(8)，R(12)
T
3
C(10)，E(6)，V(7)
U
4
E(9)，F(14)，J(8)，V(15)
V
3
Q(10)，T(7)，U(15)
D 、R 的 i, j 元素分别表示为 Dij 、Rij i 1,2, ,24; j 1,2, ,24 ， 对于
所有的城市 i 、j 和 k ，如果 Dij Dik Dkj ，则令 Dij Dik Dkj ，Rij k（表 示从城市 i 到 j 要经过城市 k ，若 Rij 0 ，表示两城市可直达）。经过 matlab 和 lingo 软件编程计算的出矩阵 D 和 R ，见附录 2
其流程图如下：
开始
构
两社区
间距离
造
矩阵 D
邻
接
矩
社区间最
L
短路径矩 阵R
阵
图 6.1 改善的 floyd-warshall 算法流程图
结束
7 问题 1 的解答
7.1 模型的建立
该模型首先采用改善的 Floyd-Warshall 算法计算出城市间最短路径矩阵；然 后，用 0-1 规划的穷举法获得模型目标函数的最优解。
1) 目标函数的确立： 为使得居民与最近煤气站之间的平均距离最小，只要各社区居民在满足区域 要求的条件下，在各个社区的每个居民都去煤气缴费站的情况下，居民的平均路 径最短，因此只要求出所有居民到离社区附近的缴费站的总路程最小，然后除以 个社区居民所有人数。故目标函数为：
24 24
Rj Dijij
4.3 问题 3 的分析
要求分三组（路）巡视，得到总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线，可 转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题。先用 MATLAB 软件编程计算得到加 权网络图的最小生成树，按每块近似有相等总路程的标准将最小生成树分成三
块，每一块都转化为一个最佳旅行售货员问题。即在给定的加权网络图中寻找从
关键词 Floyd-Warshall 算法 穷举法 最小生成树 最短路径
1 问题重述
1.1 问题背景
这是一个最优选址问题，是一种重要的长期决策，它的好坏直接影响到服务
方法，服务质量，服务效率，服务成本，所以选址问题的研究有着重大的经济社
会和军事意义。
1.2 问题的提出
实际问题：某城市共有 24 个社区 A，B，C、、、、、、Y，任何两个社区之间都 是相通的，只是有的社区是有道路直接相连，有的是通过其他社区联系在一起，
且最邻近，为保证各缴费点工作负担波动不大，该社区的居民只能到最邻近 的其中一个纳税点缴税； (6) 假设路况相同，警车到达个社区途中按照规定的速度匀速行使；
3 符号说明
符号
Rj Dij ij Pi 0 G(V , E)
表 3-1
符号意义 第 j 个社区的居民人口数
社区间可行的最短路径长度
社区 j 是否到社区 i 缴费
1.3 本文具体需要解决的问题
(1)为了方便社区居民缴纳煤气费，煤气公司现拟建三个煤气缴费站，问煤气 缴费站怎样选址才能使得居民与最近煤气站之间的平均距离最小。
(2) 市公安局拟在该城区建立若干个派出所，请为派出所分配管辖范围，使 其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在 3 分钟内有警察（警车的时速为 50km/h）到达事发地，问设置多少个派出所比较合理，位置选在哪？
是否在社区 i 设置缴费站
均衡度
赋权连通图
Lk
子图 Gk 中的最佳回路
w(ei )
边 ei 的边权
w(vi )
点 vi 的点权
lk
Lk 的各边权之和
ck
Lk 的各点权之和
i 1, 2, 3...24 ； j 1, 2,...24 ； k 1, 2, 3；
A, B, C,...X ,Y V1,V2 ,V3...V23 ,V24
不同，得出如下道路信息表：
表 5-1 道路信息表
社区编号 从该社区出发的道路数 与该社区直接相连的社区编号及道路长度(百米)
A
3
C(24)，S(20)，X(16)
B
3
I(28)，W(22)，X(18)
C
5
A(24)，D(11)，E(9)，T(10)，W(15)
D
3
C(11)，Q(9)，S(8)
E
4
C(9)，F(8)，T(6)，U(9)
Hale Waihona Puke 各社区的的道路连接如图 1.1
Q 10 V
15
U
9 7
7
T
9
8 J 6N
8
D
6
14 L
6
R
10 11
E
9 M
8
9
8 10 10
12
C
F 11
12
S
15
11 11
Y 15
20
24 X
8
W 15 G
8
K
11
25 H
16 18 22
10
A
B
28
I
23 19 19
P
图 1.1 （注：横线上的数据表示相邻社区之间的距离，单位：百米）
4 问题分析
4.1 问题 1 的分析
此题主要考虑居民平均最短距离，解决的是多源选址问题，找到三个煤气缴 费站最佳选址。当考虑到社区人口数量和和各社区之间的距离时，人口量是影响 平均最短距离的首要因素，尽可能把煤气缴费站建在人口密集的区域。
本问题的目标是从 24 个社区组成区域内中，选出一定 3 个社区设置煤气缴 费站, 建立缴费点网络，实现居民与最近的缴费点之间平均距离最小。
min
i1
j 1 24
Rj
j 1
2)约束条件的确立 (1)若ij 0 表示社区 j 不到社区 i 缴费，ij 1表示社区 j 到社区 i 缴费，
根据模型假设（4）可知，每个社区的居民只能到附近最近的一个缴费站缴费，
24
因此可有约束条件：
i1
ij
1，j=1,2,…24。
(2)若 Pi 0 表示不在社区 i 设置煤气缴费站，Pi 1表示在社区 i 设置煤气缴
此问题是突发事件应急救援设施选址决策模型， 首先要求派出所分配管辖 范围覆盖所有的区域, 在考虑具体目标时,一是从快速反应或者公平性考虑, 要 求派出所至需求点的最大距离最小化; 二是从应急救援设施的使用效率出发, 要 求派出所至需求区的总加权距离为最小。最后, 在建立应派出所时还要考虑相关 的成本资金问题，最少的派出所能在满足所有要求的情况下覆盖所有区域。
对于每个社区缴费点的建立与否只有两种可能，所以可以通过计算社区间的 最短路径，然后充分利用社区的居民以及道路信息，采用合适的方法搜索缴费点； 再确定各缴费点管辖的区域，直到求得最优解。本问题重点要解决如何选择缴费 点和如何划分缴费区域，即建立合理的最优缴费点搜索和区域划分模型。
4.2 问题 2 的分析
给定点 W 出发，行遍所有顶点至少一次，使得总权（路程）最小.解决此类问题
的一般方法是不现实的，本题可使用近似算法来求得近似最优解.
再确定总路程最短且满足各组尽可能均衡的路线的目标函数，最后对目标函
数适当改进，得到最终的双目标最优化模型。
5 数据的分析
根据图 1.1 和表 1-1 可以看出 24 个社区人口密度不同，各社区之间的距离也
针对问题 2：为避免资源的浪费，且满足条件，建立了以最少分组数为目标 函数的单目标最优化模型，用问题一中最短路径的 Floyd 算法，运用 LINGO 软 件编程计算,得到个社区之间的最短距离，再经过计算可得到本问的派出所管辖 范围是 2.5 千米。最后采用就近归组的搜索方法，逐步优化，最终得到最少需要 设置 3 个派出所，其所在位置有三种方案，分别是：（1）K 区，W 区，D 区； （2）K 区，W 区，R 区；（3）K 区，W 区，Q 区。最后根据效率和公平性和 工作负荷考虑考虑，其第三种方案为最佳方案，故选择 K 区，W 区，Q 区，其 各自管辖区域路线图如图 8-1。
针对问题 3：建立了双目标最优化模型。首先将问题三转化为三个售货员的 最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最 短路径 Floyd 算法，并用 MATLAB 和 LINGO 软件编程计算，得到最优树图，然 后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理， 得到三组巡视路程分别为 11.8 km 、11 km 和 12.5 km ，三组巡视的总路程达到 35.3 km ，路程均衡度为 12%,具体巡视路线安排见表 9-1 和图 9.2 。
问题一、二、三均需要计算出两社区间距离矩阵 D ，记录对应的最短路径，
以便分区时作为参考条件。最短路径算法主要由改善的 floyd-warshall 算法实现，
最后获得由任意两城市间距离矩阵 D 和对应的最短路径。算法具体原理如下：
1）利用社区间道路信息，构造邻接矩阵 L 。
若城市 i 和 j 间无直接连通的道路，则令 (i, j) 元素 aij 为正无穷大；否则
同时根据个社区人口居住情况可以得出如下人口统计图：
各社区人口统计图 30
25
20
人口/千人
15
10
5
0 A BCD E F G H I J K L MN PQ RS T UVWX Y 社区
图 5.1
根据表 5.1 和图 5.1 可以看出 W，Q 两个社区人口量最多，且从该社区出发 的道路数比较多，很可能是煤气缴费站的设置点，同时也是派出所设置点；K 社 区人口量也比较多，且连接各道路距离比较大，因此，K 点可能是派出所设置点。 这些是从图形和图标表面直观得出的，需要建模去验证。
M
4
N(6)，L(9)，H(15)，K(12)
N
2
M(6)，J(6)
P
3
H(19)，I(19)，K(23)
Q
3
R(7)，D(9)，V(10)
R
2
S(12)，Q(7)
S
3
A(20)，D(8)，R(12)
T
3
C(10)，E(6)，V(7)
U
4
E(9)，F(14)，J(8)，V(15)
V
3
Q(10)，T(7)，U(15)
D 、R 的 i, j 元素分别表示为 Dij 、Rij i 1,2, ,24; j 1,2, ,24 ， 对于
所有的城市 i 、j 和 k ，如果 Dij Dik Dkj ，则令 Dij Dik Dkj ，Rij k（表 示从城市 i 到 j 要经过城市 k ，若 Rij 0 ，表示两城市可直达）。经过 matlab 和 lingo 软件编程计算的出矩阵 D 和 R ，见附录 2
其流程图如下：
开始
构
两社区
间距离
造
矩阵 D
邻
接
矩
社区间最
L
短路径矩 阵R
阵
图 6.1 改善的 floyd-warshall 算法流程图
结束
7 问题 1 的解答
7.1 模型的建立
该模型首先采用改善的 Floyd-Warshall 算法计算出城市间最短路径矩阵；然 后，用 0-1 规划的穷举法获得模型目标函数的最优解。
1) 目标函数的确立： 为使得居民与最近煤气站之间的平均距离最小，只要各社区居民在满足区域 要求的条件下，在各个社区的每个居民都去煤气缴费站的情况下，居民的平均路 径最短，因此只要求出所有居民到离社区附近的缴费站的总路程最小，然后除以 个社区居民所有人数。故目标函数为：
24 24
Rj Dijij
4.3 问题 3 的分析
要求分三组（路）巡视，得到总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线，可 转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题。先用 MATLAB 软件编程计算得到加 权网络图的最小生成树，按每块近似有相等总路程的标准将最小生成树分成三
块，每一块都转化为一个最佳旅行售货员问题。即在给定的加权网络图中寻找从
关键词 Floyd-Warshall 算法 穷举法 最小生成树 最短路径
1 问题重述
1.1 问题背景
这是一个最优选址问题，是一种重要的长期决策，它的好坏直接影响到服务
方法，服务质量，服务效率，服务成本，所以选址问题的研究有着重大的经济社
会和军事意义。
1.2 问题的提出
实际问题：某城市共有 24 个社区 A，B，C、、、、、、Y，任何两个社区之间都 是相通的，只是有的社区是有道路直接相连，有的是通过其他社区联系在一起，
且最邻近，为保证各缴费点工作负担波动不大，该社区的居民只能到最邻近 的其中一个纳税点缴税； (6) 假设路况相同，警车到达个社区途中按照规定的速度匀速行使；
3 符号说明
符号
Rj Dij ij Pi 0 G(V , E)
表 3-1
符号意义 第 j 个社区的居民人口数
社区间可行的最短路径长度
社区 j 是否到社区 i 缴费
1.3 本文具体需要解决的问题
(1)为了方便社区居民缴纳煤气费，煤气公司现拟建三个煤气缴费站，问煤气 缴费站怎样选址才能使得居民与最近煤气站之间的平均距离最小。
(2) 市公安局拟在该城区建立若干个派出所，请为派出所分配管辖范围，使 其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在 3 分钟内有警察（警车的时速为 50km/h）到达事发地，问设置多少个派出所比较合理，位置选在哪？
是否在社区 i 设置缴费站
均衡度
赋权连通图
Lk
子图 Gk 中的最佳回路
w(ei )
边 ei 的边权
w(vi )
点 vi 的点权
lk
Lk 的各边权之和
ck
Lk 的各点权之和
i 1, 2, 3...24 ； j 1, 2,...24 ； k 1, 2, 3；
A, B, C,...X ,Y V1,V2 ,V3...V23 ,V24
不同，得出如下道路信息表：
表 5-1 道路信息表
社区编号 从该社区出发的道路数 与该社区直接相连的社区编号及道路长度(百米)
A
3
C(24)，S(20)，X(16)
B
3
I(28)，W(22)，X(18)
C
5
A(24)，D(11)，E(9)，T(10)，W(15)
D
3
C(11)，Q(9)，S(8)
E
4
C(9)，F(8)，T(6)，U(9)
Hale Waihona Puke 各社区的的道路连接如图 1.1
Q 10 V
15
U
9 7
7
T
9
8 J 6N
8
D
6
14 L
6
R
10 11
E
9 M
8
9
8 10 10
12
C
F 11
12
S
15
11 11
Y 15
20
24 X
8
W 15 G
8
K
11
25 H
16 18 22
10
A
B
28
I
23 19 19
P
图 1.1 （注：横线上的数据表示相邻社区之间的距离，单位：百米）
4 问题分析
4.1 问题 1 的分析
此题主要考虑居民平均最短距离，解决的是多源选址问题，找到三个煤气缴 费站最佳选址。当考虑到社区人口数量和和各社区之间的距离时，人口量是影响 平均最短距离的首要因素，尽可能把煤气缴费站建在人口密集的区域。
本问题的目标是从 24 个社区组成区域内中，选出一定 3 个社区设置煤气缴 费站, 建立缴费点网络，实现居民与最近的缴费点之间平均距离最小。
min
i1
j 1 24
Rj
j 1
2)约束条件的确立 (1)若ij 0 表示社区 j 不到社区 i 缴费，ij 1表示社区 j 到社区 i 缴费，
根据模型假设（4）可知，每个社区的居民只能到附近最近的一个缴费站缴费，
24
因此可有约束条件：
i1
ij
1，j=1,2,…24。
(2)若 Pi 0 表示不在社区 i 设置煤气缴费站，Pi 1表示在社区 i 设置煤气缴
此问题是突发事件应急救援设施选址决策模型， 首先要求派出所分配管辖 范围覆盖所有的区域, 在考虑具体目标时,一是从快速反应或者公平性考虑, 要 求派出所至需求点的最大距离最小化; 二是从应急救援设施的使用效率出发, 要 求派出所至需求区的总加权距离为最小。最后, 在建立应派出所时还要考虑相关 的成本资金问题，最少的派出所能在满足所有要求的情况下覆盖所有区域。
对于每个社区缴费点的建立与否只有两种可能，所以可以通过计算社区间的 最短路径，然后充分利用社区的居民以及道路信息，采用合适的方法搜索缴费点； 再确定各缴费点管辖的区域，直到求得最优解。本问题重点要解决如何选择缴费 点和如何划分缴费区域，即建立合理的最优缴费点搜索和区域划分模型。
4.2 问题 2 的分析
给定点 W 出发，行遍所有顶点至少一次，使得总权（路程）最小.解决此类问题
的一般方法是不现实的，本题可使用近似算法来求得近似最优解.
再确定总路程最短且满足各组尽可能均衡的路线的目标函数，最后对目标函
数适当改进，得到最终的双目标最优化模型。
5 数据的分析
根据图 1.1 和表 1-1 可以看出 24 个社区人口密度不同，各社区之间的距离也
针对问题 2：为避免资源的浪费，且满足条件，建立了以最少分组数为目标 函数的单目标最优化模型，用问题一中最短路径的 Floyd 算法，运用 LINGO 软 件编程计算,得到个社区之间的最短距离，再经过计算可得到本问的派出所管辖 范围是 2.5 千米。最后采用就近归组的搜索方法，逐步优化，最终得到最少需要 设置 3 个派出所，其所在位置有三种方案，分别是：（1）K 区，W 区，D 区； （2）K 区，W 区，R 区；（3）K 区，W 区，Q 区。最后根据效率和公平性和 工作负荷考虑考虑，其第三种方案为最佳方案，故选择 K 区，W 区，Q 区，其 各自管辖区域路线图如图 8-1。
针对问题 3：建立了双目标最优化模型。首先将问题三转化为三个售货员的 最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最 短路径 Floyd 算法，并用 MATLAB 和 LINGO 软件编程计算，得到最优树图，然 后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理， 得到三组巡视路程分别为 11.8 km 、11 km 和 12.5 km ，三组巡视的总路程达到 35.3 km ，路程均衡度为 12%,具体巡视路线安排见表 9-1 和图 9.2 。