2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十八复数的乘、除运算新人教A版必修2

所以它所对应的点位于第四象限.
答案:D
【做一做1-2】 (4-2i)2=
.
解析:(4-2i)2=16-16i+(-4)=12-16i.
答案:12-16i
A.第一象限
第四页，编辑于星期日：点 十八分。
-4-
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知识梳理
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重难聚焦
典例透析
2.共轭复数的概念
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1
2-i
2-i
解析:z= 2+i = (2+i)(2-i) = 22 -i2 =
故复数z 对应的点为
2
5
1
2-i
5
1
2+i
重难聚焦
对应的点位于 (
2
典例透析
)
1
= 5 − 5 I,
,- 5 , 它位于第四象限,故选 D.
答案:D
3-2i
【做一做 3-2】 计算: 8+6i .
互为共轭复数.通常记复数z的共轭复数
的两个共轭复
为, 虚部不等于0
数也叫做共轭虚数.
【做一做2】 若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,其中x,y∈R,则
x=
,y=
.
解析:x-2+yi = 3-i = 3x+i,则
答案:-1
-2 = 3,
= -1,
解得
= 1,
= 1.
1
第五页，编辑于星期日：点 十八分。
=
-8+6i+4i+3
25
=
-5+10i

跟踪训练
1＋z 设复数 z 满足 ＝i，则|z|等于
1－z
A.1 B. 2
C. 3
D.2
1＋z A 解析 由 ＝i 得 1＋z＝i(1－z)，
1－z
－1＋i －1＋i1－i －1－i2
即 z＝
＝
＝
1＋i 1＋i1－i
2
＝i，|z|＝1.
三、在复数范围内解方程
例3 在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
反思感悟
(1)两个复数代数情势的乘法运算的一般步骤 ①第一按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i.
跟踪训练
(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于
知识点二 复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i.
复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母 为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的共轭复数 .
A.2i－13
B.13＋2i
C.13－2i
D.－13－2i
D解析 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a
的取值范围是
A.(－∞，1)
B.(－∞，－1)

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课时素养检测十八复数的乘、除运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|= ( )A.0B.1C. D.2【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.2.(2019·全国卷Ⅱ)设z=i(2+i),则= ( )A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,则=-1-2i.3.(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.复数z=====+i,所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.4.已知i为虚数单位,z=i2 019+i2 020的共轭复数为( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【解析】选A.因为z=i2 019+i2 020=i4×504+3+i4×505=i3+1=1-i,所以z的共轭复数为1+i.5.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·是实数,则实数t等于( ) A. B.C.-D.-【解析】选 A.因为z2=t+i,所以=t-i.z1·=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i,又因为z1·∈R,所以4t-3=0,所以t=.6.(多选题)对于非零复数a,b,以下四个命题一定为真的有( )A.a+≠0B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.若|a|=|b|,则a=±bD.若a2=ab,则a=b【解析】选BD.对于A,取a=-i,则a+=0,A不正确;对于B,对于任意复数a,b,一定有(a+b)2=a2+2ab+b2, B正确;对于C,取a=1,b=i,|a|=|b|,但a≠±b,C错误;对于D,由a2=ab及a≠0,得a=b,D正确.所以正确的命题是BD.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(1+i)2-=________.【解析】(1+i)2-=2i-=-+i.答案:-+i8.(2018·江苏高考)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z 的实部为________.【解析】设z=a+bi,则i·(a+bi)=ai+bi2=ai-b=1+2i,故a=2,b=-1,故z=2-i,实部为2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R.若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.【解析】z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i, z2====+i.由于z1和z2互为共轭复数,所以有解得10.若f(z)=2z+-3i,f(+i)=6-3i,求f(-z).【解析】因为f(z)=2z+-3i,所以f(+i)=2(+i)+()-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.又因为f(+i)=6-3i,所以2+z-2i=6-3i.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,即3a-bi=6-i.由复数相等的定义,得解得所以z=2+i,故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选 B.+(1+i)2=+i+(-2+2i)=-+i,对应点在第二象限.2.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是( )A.若|z1-z2|=0,则=B.若z1=,则=z2C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·D.若|z1|=|z2|,则=【解析】选 D.A项,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒=,真命题;B项,z1=⇒=z2,真命题;C项,|z1|=|z2|⇒|z1|2=|z2|2⇒z1·=z2·,真命题;D项,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即≠,假命题.3.(多选题)下列叙述正确的是( )A.方程3x2-2x+1=0的两个根互为共轭虚数B.设i是虚数单位,则复数i3-=iC.a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充要条件D.a=6是复数为纯虚数的充要条件【解析】选ABD.方程3x2-2x+1=0的Δ<0,两个根为共轭虚数,选项A正确.i3-=-i-=-i-=-i+2i=i,选项B正确.因为复数(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i为实数的充要条件是a=±1,所以a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充分不必要条件,选项C不正确.因为=,所以当a=6时,复数为纯虚数,反之成立,选项D正确.4.已知集合M=,i是虚数单位,Z为整数集,则集合Z∩M中的元素个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.由已知得M={-1,-i,0,2},Z为整数集,所以Z∩M={-1,0,2},即集合Z∩M中有3个元素.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知i为虚数单位,则=________.【解析】===-1.答案:-16.已知i是虚数单位,z=,则|z|=________.【解析】因为==i,所以z==·=i1 009·=i4×252+1·=i·=-+i,|z|=1.答案:17.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________. 【解析】由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以解得所以λ+μ=1.答案:18.设x,y为实数,且+=,则x+y=________.【解析】+=可化为+=,即+i=+i,由复数相等的充要条件知所以所以x+y=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知复数z满足|z|=5,且(3+4i)z是纯虚数,求z.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),因为|z|=5,所以x2+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,所以解得或,所以z=4+3i或z=-4-3i.10.设z为虚数,求证:z+为实数的充要条件是|z|=1.【证明】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),于是z+=a+bi+=a+bi+=+i,所以b≠0,(z+)∈R⇔b-=0⇔a2+b2=1⇔|z|=1.11.若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题指南】假设存在虚数满足题意,设虚数的代数形式,代入运算,看解方程组是否有解.【解析】假设存在虚数z满足题意,设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),z+= a+bi+=a+bi+=+i.因为z+是实数,所以b-=0.又因为b≠0,所以a2+b2=5.①又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,所以a+3+b=0.②由①②得解得或故存在虚数z,z=-1-2i或z=-2-i.关闭Word文档返回原板块。

高中数学 必修第二册 RJ·A
5.计算：(1)1－2i16＋(1＋2i)2＝－__2_＋__4_i__； 解析 原式＝1－i28＋(－3＋4i) 2 ＝－2i8－3＋4i＝(－i)8－3＋4i＝－2＋4i. 2
(2)1i ＋i13＋i15＋i17＝____0__.
解析 ∵1i ＝－i，i13＝i，i15＝－i，i17＝i， ∴原式＝－i＋i－i＋i＝0.
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反思感悟
(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i.
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(2)试判断1－i是不是方程的根.
解 由(1)知方程为x2－2x＋2＝0， 把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边， 即方程式成立. ∴1－i是方程的根.
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随堂小测
1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则
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典例剖析
一、复数代数形式的乘法运算
例1 计算下列各题. (1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；
解 (1－i)(1＋i)＋(2＋i)2 ＝1－i2＋4＋4i＋i2 ＝5＋4i.
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(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i.