【最新】华师大版八年级数学上册《12.3.1两数和乘以这两数的差》学案

强化训练
[课本第32页练习3] 用一定长度的篱笆围成一个长方形区域，小明认为围成一个长方形区域，小明认为围成一个正方形区域事使面积最大，而小亮认为不一定，你认为如何？说说你的道理．
【拓展提升】
例4 计算：
(1)( y＋ x)( x－ y)；
(2)(－ x－0.7a2b)( x－0.7a2b)；
(3)(2a－3b)(2a＋3b)(4a2＋9b2)(16a4＋81b4)．
例5 运用乘法公式计算：7 ×8
【思路点拨】因为7 可改写为8－ ，8 可改写成8＋ ，这样可用平方差公式计算．
解：7 ×8 ＝(8－ )(8＋ )＝82－( )2＝64－ ＝63 .
【教师活动】边讲例边引导学生学会应用平方差公式．
例6 (1)计算：
(2)计算： …
【教师活动】教师引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示．
通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．
教学
重点
方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．
教学
难点
平方差公式的应用．
授课
类型
新授课
课时
第一课时
教具
(多媒体)
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回故
在前面我们学习了多项式乘以多项式．大家回顾一下它的计算方法并完成下面的练习：
【教师活动】组织学生进行课堂演练，并适时归纳．
计算：(1)(2x＋ )(2x－ )；(2)(－x＋2)(－x－2)；
(3)(－2x＋y)(2x＋y)；(4)(y－x)(－x－y)．
通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b.

当x=-2，y=3. 原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50
1.计算：
（1）(2x+
1 2
)(2x-
1)
2
解 (2x+ 1 )(2x- 1 )
2
2
= 4x2- 1
4
（2）(-x+2)(-x-2) 解 (-x+2)(-x-2)
=-(-x+2)(x+2) =-(4-x2) =x2-4
（3）(-2x+y)(2x+y) 解 (-2x+y)(2x+y)
写成两数和乘以 这两数差的形式， 可使计算简便.
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规
划后，南北向增加2米，东西向减少2米.改造后得到一块 长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
a
(a+2)(a-2) =a2-4
2
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
补充例题
计算： (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).
-(2x+y) （4）(-2x-y)(2x-y)
=-(2x+y)(2x-y) =-(4x2-y2) =-4x2+y2
(-y-2x) 或 （4）(-2x-y)(2x-y)
=(-y-2x)(-y+2x) =(-y) 2-(2x)2 =y2 -4x2
例2 计算：1998×2002.
1998×2002 =(2000-2)×(2000+2) =20002-22 =4000000-4 =3999996
【解析】 (2x3-3a)(-2x3-3a)=-(2x3+3a)(2x3-3a)=-4x6+9a2.故选B.

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12。

3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差课前知识管理1、两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差：（a+b)（a-b)=a 2—b 2所以，我们把这个公式叫作平方差公式。

平方差公式可以形象记忆为：(□+△)(□—△)=□2—△2.几何背景：如图,阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a 2－b 2.若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S Ⅰ+S Ⅲ＝S Ⅰ+S Ⅳ＝（a+b)（a －b ），从而验证了平方差公式(a+b ）（a －b)＝a 2－b 2.2、平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差。

或者说两个二项式必须有一项完全相同,另一项只有符号不同。

（2）公式中的a 与b 可以是数，也可以换成一个代数式.名师导学互动典例精析：知识点1:直接应用平方差公式例1、计算：)421)(214(22x x +-． 【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项24x ，另外一项－21与21互为相反数，符合平方差公式的结构特点,因此,可直接套用平方差公式．【解】)421)(214(22x x +-=4116)21()4(4222-=-x x ． 【方法归纳】将两个括号内的相同项24x 看作□，符号相反的项－21与21看作△,就可以直接运用平方差公式。

§12.3.1两数和乘以这两数的差【教学目标】知识与技能：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维；引导学生发现乘法公式与整式的乘法之间的关系，会推导并掌握两数和乘以它们的差公式，向学生渗透数学中相互转化的思想；通过乘法公式的几何背景图，让学生通过用式子表示图形面积的运算加深对公式的理解，了解两数和乘以它们的差公式的几何背景，体会数形结合的数学思想方法。

过程与方法：经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式乘法的辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能运用公式进行简单的计算。

情感与态度：形成自主探究、合作交流的意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感和符号感。

【教学重点】对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。

【教学难点】理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。

【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、情境屋，请君入内问题：王军同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王军就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。

售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”王军同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。

”你知道王军同学用的是一个什么样的公式吗?（设计意图：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。

让学生明白看似单调、僵死的数学它就来源于身边的生活，从而拉近数学教学与生活的距离，诱导学生养成学数学、用数学的好习惯。

）二、探究园，任你驰骋1.自学指导自学教材30页至32页。

和你的小组合作探讨完成下列内容。

（时间8分钟）1、通过30页的做一做，你能得出平方差公式吗？能否用语言叙述？等式左边的两个多项式有什么特点？等式右边的多项式有什么规律？公式中的a,b可以表示什么？2、通过31页的试一试，你和同学们能懂其意并写出吗？3、例1中的计算题能用多项式乘以多项式的法则计算吗？你用了这个法则了吗？为什么？4 、你和你的同伴会做例2和例3吗？S:学生根据教师交给的问题，分组讨论，尝试探究，并由小组长做好记录。