【数学】河北省武邑中学2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 含答案

2018届河北省武邑中学高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．复数的虚部为（）A. -4B.C.D. 3【答案】A【解析】分析：根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数z的值，即可得到复数z 的虚部．详解：z=（2﹣i）2=22﹣4i+i2=3﹣4i，故z的虚部是﹣4，故选：A．点睛：本题考查了复数的乘方运算及虚部概念，属于基础题.2．若，则（）A. B. C. 1 D. -1【答案】A【解析】分析：直接利用复数的代数形式四则运算法则化简求解即可．详解：z=2+i，z•=（2+i）（2﹣i）=5，则=．故选：A．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由图可知这是一个半圆柱和一个三棱锥组成的几何体，所以侧视图为三角形，故选D.【考点】三视图．4．已知平面，直线，且有，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确命题个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行判断即可.详解：有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α∥β，∴l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，正确；②若l∥m，m⊂β，则α⊥β，正确；③若α⊥β，则l∥m或异面直线，不正确；④若l⊥m，则α∥β或相交，因此不正确．其中，正确命题个数为2．故选：B．点睛：本题考查了空间位置关系及其判定，考查了空间想象力，考查了逻辑推理能力，属于中档题．5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由三视图判断几何体为三棱锥，求出三棱锥的高与底面面积，代入棱锥的体积公式计算．详解：由三视图判断几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形底边长和高都为2．∴棱锥的体积V=××2×2×2=（cm）．故选：B．点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？（注3π≈）（ ） A. 125.77 B. 864 C. 123.23 D. 369.69 【答案】C【解析】由题意知，大球半径6R =，空心金球的半径60.3 5.7r =-=，则其体积()334π6 5.7123.233V =-≈（立方寸）．因1立方寸金重1斤，则金球重123.23斤， 故选C ．7．执行下面的程序框图，如果输入1a =， 1b =，则输出的S =（ ）A. 7B. 20C. 22D. 54 【答案】B【解析】初始值a=1,b=1,s=0,k=0 s=2,a=2,b=3,k=2, s=7,a=5,b=8,k=4 s=20,a=13,b=21,k=6 输出s=20,选B.8．是圆上两个动点，，，为线段的中点，则值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用基底表示所求向量，利用向量的数量积化简求解即可．详解：由，，所以•=（）=，又△OAB 为等边三角形，所以=1×1×cos60°=．•==.故选：B ．点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 9．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假； 若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．10．椭圆C ： 22143x y +=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点P 在C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A. 33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】 由椭圆22143x y +=，可知其左右顶点为()()122,0,2,0A A -, 设()00,P x y ，则2200143x y +=，可得2020344y x =--， 因为210000,22PA PA y y k k x x ==-+，所以212000200032244PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅==--+-， 因为221PA k -≤≤-，所以13214PA k -≤-≤-，解得13384PA k ≤≤，故选A.11．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以函数在上单调递减，在单调递增，故，故为方程的根，故，故解得，所以在上有解，即在上有解，令，可求得，所以，解得，故选A.点睛：解题的关键是得到后，得到，然后将问题转化成方程在上有解的问题处理.在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形.12．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f（x）是定义在R上的“局部奇函数”，只需方程（2x+2﹣x）2﹣m（2x+2﹣x）﹣8=0有解．可设2x+2﹣x=t（t≥2），从而得出需方程t2﹣mt﹣8=0在t≥2时有解，从而设g（x）=t2﹣mt﹣8，得出其对称轴为，从而可讨论m的值，求出每种情况下m的范围，再求并集即可．详解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可；即4﹣x﹣m•2﹣x﹣3=﹣（4x﹣m•2x﹣3）；∴4x+4﹣x﹣m（2x+2﹣x）﹣6=0；即（2x+2﹣x）2﹣m（2x+2﹣x）﹣8=0有解即可；设2x+2﹣x=t（t≥2），则方程等价为t2﹣mt﹣8=0在t≥2时有解；设g（t）=t2﹣mt﹣8，对称轴为；①若m≥4，则△=m2+32＞0，满足方程有解；②若m＜4，要使t2﹣mt﹣8=0在t≥2时有解，则需：；解得﹣2≤m＜4；综上得实数m的取值范围为[﹣2，+∞）．故选：B．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题 13．已知向量，，若与垂直，则的值为__________．【答案】2【解析】分析：根据题意，由向量坐标计算公式可得2﹣的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得（2﹣）•=﹣3+x 2=0，解可得x 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．详解：根据题意，向量=（1，x ），=（﹣1，x ）， 则2﹣=（3，x ），若2﹣与垂直，则（2﹣）•=﹣3+x 2=0， 解可得：x=±，则||==2，故答案为：2．点睛：本题考查向量数量积的坐标计算，关键是求出x 的值．14．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()45f =，若()215f x +<，则x 的取值范围是__________． 【答案】53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 根据题意()f x 为偶函数，则()()2121f x f x +=+，又由()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()45f =， 则()215f x +<，即()()214f x f +>，所以214x +>，解得52x <-或32x >，即x 的取值范围是53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 15．设抛物线28y x =的焦点为,F M 是抛物线上一点， FM 的延长线与y 轴相交于点N ，若2NM MF =，则FN =__________． 【答案】10【解析】抛物线28y x =的焦点为()20F ，又2NM MF = 则M 为NF 的三等分点，故M 横坐标为43，代入求得43M ⎛ ⎝⎭则(N 0故10FN ==点睛：本题考查了直线与抛物线之间的位置关系，结合向量的综合运用题目，依据条件中2NM MF =，运用线性关系可得三点的位置关系，代入坐标计算，从而可以求出各点坐标，继而解得结果 16．已知数列的前项和为，且，，则的值为__________．【答案】384【解析】分析：直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出结果． 详解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，①，则：当n ≥2时，=②，①﹣②：=， 所以：=2，即：（常数），所以：数列{a n }是以a 2=3为首项，2为公比的等比数列． 则：，当n=1时，首项不符合．故：，则：，故答案为：384点睛：本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.三、解答题 17．在中，分别是角的对边，向量，向量，且.（1）求的大小；（2）若，求的最小值.【答案】(1);(2)1.【解析】分析：（1）由，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简后，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，根据A与B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的值；（2）由余弦定理结合均值不等式知，又，从而得到最小值.详解：（1），由正弦定理得，∴，∴.∵，∴，∴（2）由余弦定理知.∴.∴的最小值为1，当且仅当时取“=”.点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，等级系数为5的2件日用品记为，现从，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）通过频率分布表得推出．利用等级系数为的恰有件，等级系数为的恰有件，分别求出，然后求出．（2）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从，，这件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．试题解析：（1）由频率分布表得，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以，等级系数为5的恰有2件，所以，从而，所以．（2）从日用品，，中任取两件，所有可能结果，有10种，设事件A表示“从日用品，中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为，共4个，故所求的概率．【考点】1．频率分布表；2．古典概型．19．19．如图，在四棱锥中平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点，求（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若平面，求三棱锥的体积.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）由菱形的性质可得，由平面，可得由线面垂直的判定定理能证明平面，从而可得平面平面；（2）取中点，连结，先证明平面由.试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴.∵四边形是菱形，∴，又∵，平面.而平面，∴平面平面.（Ⅱ）解：∵平面，平面平面，∴，∵是中点，∴是中点.取中点，连结，∵四边形是菱形，，∴，又，，∴平面，.∴.20．已知椭圆经过点，且两个焦点的坐标依次为和.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，若，证明：直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）根据题意，由椭圆的定义分析可得2a=4，即可得a的值，又，可得b的值，从而得到椭圆的方程；（2）设直线EF的方程为，，，直线EF的方程与椭圆方程联立，可得，由已知，，分析可得，由点到直线的距离公式可得，解可得m的值，进而可得圆的标准方程．详解：（1）由椭圆定义得，即，又，所以，得椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，，，直线的方程与椭圆方程联立，消去得，当判别式时，得，由已知，即，因为点在直线上，所以，整理得，即，化简得原点到直线的距离，所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21．函数.（1）求的单调区间；（2）若，求证：.【答案】（Ⅰ）a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)证明见解析．【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是1,{ x y αα==（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标sin cos 0m θρθ-+=.（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l 的直角坐标方程为)y x m =-；（2）1m =0m =或2m =. 【解析】试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=.直线l 的直角坐标方程为)x m y x m -+⇒=-.（2）由题可知12PA PB t t =,所以联立,{12x m y t =+=和()2212x y -+=得2221122m t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=，代入韦达定理即得答案解析： （1）()221,{12x x y y αα=⇒-+==，故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=.直线l()3x m y x m -+⇒=-. （2）直线l的参数方程可以写为,{12x m y t ==（t 为参数）.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=可以得到22211222m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=，所以()212121PA PB t t m ==--= 2211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，解得1m =0m =或2m =. 23．选修4-5：不等式选讲 已知，且.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）证明：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）运用乘1法和基本不等式可得+的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围； （2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．详解：（1）设由，得.故 .所以.当时，，得；当时，，解得，故；当时，，解得，故；综上，.（2），，.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

河北省武邑中学高三数学下学期第一次模拟考试试题文（含解析）数学（文史）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，选D.2.设（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可．详解：∵复数．．故选A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：第一次循环：,第二次循环：，第三次循环：,第四次循环：,第五次循环：,第六次循环：,第七次循环：,第八次循环：,此时，结束循环，输出，选A.考点：循环结构流程图4.已知直线、与平面、，下列命题正确的是（）A. ，且，则B. ，且，则C. ，且，则D. ，且，则【答案】B【解析】【分析】根据线面平行与垂直关系逐一判断选择.【详解】A.，且，则位置关系不定；B.若，则的法向量相互垂直，而，，则的方向向量分别为的一个法向量，所以；C.当时，且，，，才可推出；D.，且，则位置关系不定；综上选B.【点睛】本题考查线面平行与垂直关系判断，考查基本分析推证能力，属中档题.5.已知等差数列的前项为，且，，则( )A. 90B. 100C. 110D. 120 【答案】A【解析】分析：是等比数列，因此把两已知等式相除可化简.详解：设公差为，，∴，，，，∴，故选A.点睛：等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如是等差数列，则是等比数列，如是等比数列且均为正，则是等差数列.6.设函数，则下列结论错误的是（）A. 的一个周期为B. 图形关于直线对称C. 的一个零点为D. 在区间上单调递减【答案】D逐一考查所给的选项：函数的最小正周期为，则函数的周期为：，取可得函数的一个周期为；函数图象的对称轴满足：，则：，令可得函数的一条对称轴为；函数的零点满足：，则：，令可得函数的一个零点为；若，则，则函数在上不具有单调性；本题选择D选项.7.若，，则的值构成的集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由知，，即，当时，，所以，从而，当时，，所以，因此选C.8.中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )A. 24里B. 18里C. 12里D. 6里【答案】B根据题意,设此人每天所走的路程为,其首项为,即此人第一天走的路程为,又从第二天起每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项, 为公比的等比数列,又,解得,则,故选B.9.如图所示，在斜三棱柱中，，，则点在底面上的射影必在( )A. 直线上B. 直线上C. 直线上D.内部【答案】A【解析】∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，AC平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选项为：C10.设，满足约束条件，若目标函数（）的最大值为，则的图象向右平移后的表达式为（）A. B. C. D.【答案】C试题分析：可行域为三角形ABC 及其内部，其中，因此目标函数（）过时取最大值，即，从而，向右平移后的表达式为，选C.考点：线性规划求最值，三角函数图像变换【名师点睛】1.对y＝A sin(ωx＋φ)进行图象变换时应注意以下两点：(1)平移变换时，x变为x±a(a＞0)，变换后的函数解析式为y＝A sin[ω(x±a)＋φ]；(2)伸缩变换时，x变为(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为y＝A sin(x＋φ)．2.两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．11.直线与圆心为，半径为的圆相交于，两点，另一直线与圆交于，两点，则四边形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出A，B的坐标，可知动直线过AB 的中点，则当CD为圆的直径时四边形ACBD 面积最大，代入四边形ACBD面积公式求解即可．【详解】解：以为圆心，半径为的圆的方程为，联立，解得，，中点为而直线：恒过定点，要使四边形面积最大,只需直线过圆心即可,即CD为直径,此时AB垂直CD,,四边形ACBD的面积最大值为．故选：A．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.函数是定义在上的单调函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性、单调性得有4个根，可转为有2个不等正根，利用二次函数图像的性质即可得a的范围.【详解】解：函数恰有4个零点，令，由函数为奇函数可得，由函数是定义在R上的单调函数得，则有4个根，只需有2个不等正根，即，解得：，即a取值范围是，故选：D．【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查二次函数图像性质的应用，属中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）。

考纲要求:1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．基础知识回顾:1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2定义当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＜f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．2．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3、奇、偶函数的性质（1）普通性质①奇偶函数的定义域关于原点对称；②奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称；③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.④若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则；⑤若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．（2）在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。

考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。

4．函数的周期性（1）周期函数的定义：若为非零实数，对于定义域内的任意，总有恒成立，则叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。

河北武邑中学2018届高三下学期第五次模拟考试数学试题（理)第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填涂在答題卡上.1.已知全集，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式12≤8x﹣x2，可得全集U，由补集的定义可得B，进而由并集的定义计算可得答案．【详解】根据题意，12≤8x﹣x2，则有x2﹣8x+12≤0，解可得2≤x≤6，则全集U={x∈Z|12≤8x﹣x2}={2，3，4，5，6}，∁U B={5，6}，则B={2，3，4}，则A∪B={2，3，4，5}；故选：D．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.欧拉公式(为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的模为( ) A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】直接由题意可得=cos+isin，再由复数模的计算公式得答案．【详解】由题意，=cos+isin，∴表示的复数的模为．故选：C．【点睛】本题以欧拉公式为背景，考查利用新定义解决问题的能力，考查了复数模的求法，属于基础题．3.执行如图所示的程序框图，输出的值为-4时，则输入的的值为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【详解】根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．【点睛】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．4.AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的AQI指数值的中位数是90D. 从4日到9日,空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C.5.非零向量满足：，，则与夹角的大小为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设=，=，则﹣=﹣=，结合题意分析可得△OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．【详解】根据题意，设=，=，则﹣=﹣=，若||=||，，即||=||，且⊥，则△OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°=135°，故选：A．【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法，从图形判断角的大小.6.2018年武邑中学髙三第四次模拟考试结束后，对全校的数学成绩进行统计，发现数学成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合.据此统计：在全校随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成绩超过95分的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，数学成绩超过95分的概率是，利用相互独立事件的概率公式，即可得出结论．【详解】由题意，数学成绩超过95分的概率是，∴在全校随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的数学成绩超过95分的概率是=，故选：D．【点睛】本题考查正态分布，考查相互独立事件的概率公式，考查学生解决实际问题的能力，属于基础题．7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知其立体图形C-DEFG：可得面积小于的有8.已知为等差数列，为其前项和，若，则（）A. 49B. 91C. 98D. 182【答案】B【解析】∵，∴，即，∴，故选B．9.球与棱长为2的正方体的各个面都相切，点为棱的中点，则平面截球所得截面的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设圆心到截面距离为，截面半径为，连结，由，即,∴，又，∴，所以截面的面积为.故选D. 【方法点晴】本题主要考球的性质、棱锥的体积公式及等积变换的应用，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.10.函数在内的值域为，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】函数，，，则，解得，选D. 11.已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得点A的坐标，结合离心率和三角形的面积得到关于a,b的方程组，求解方程组即可求得a,b的值，进一步可得双曲线的方程.详解：由题意点A所在的渐近线为bx-ay=0，设该渐近线的倾斜角为，则，因为∠AOF=∠OAF，所以直线AF的倾斜角为，，联立方程组，解得，即，所以.因为曲线的离心率，，所以.结合，得a=3，b=.所以双曲线的方程为.本题选择C选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.12.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则m的最大值是A. B. C. 2e D. e【答案】D【解析】分析：将原问结合函数的单调性转化为对任意的恒成立，结合导函数的性质求解实数的最大值即可.详解：不等式.设，则,于是f(x)在上是增函数.因为，，所以，即对任意的恒成立，因此只需.设，，所以在上为增函数，所以，所以，即m的最大值是e.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应的位置.13.若函数的值域为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】f（x）=log4x，在x＞2的值域（，+∞），要使值域为R，x+a最大值必须大于等于，由一次函数图象及性质即可得到答案．【详解】∵f（x）=log4x，在x＞2的值域（，+∞），要使值域为R，x+a最大值必须大于等于，即满足：，解得：﹣≤a．故答案为：．【点睛】本题考查了分段函数的值域问题，求值域要抓住定义域为出发点，要使值域为R，其中一个函数值域为（，+∞），那么（﹣∞，]必须是另一个函数值域的真子集．即可得到答案．属于中档题．14.已知向量，，且变量满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】，作出题中可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，当直线过点时，为最大值．15.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，射线，分别交抛物线于异于点的点，，若，，三点共线，则__________．【答案】2【解析】分析：求出所在的直线方程，与抛物线的方程联立，分别求出的坐标，再由，即可求解的值.详解：由题意，则直线的方程为，联立方程组，解得，直线的方程为，联立方程组，解得，又由三点共线，所以，即，解得.点睛：本题考查了抛物线的几何性质及直线和抛物线的位置关系，解答此类问题通常需要熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，同时涉及中点弦问题往往利用点差法.16.设是函数的导数，若是的导数，若方程方有实数解，则称.点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则__________．【答案】4034【解析】【分析】由题意对已知函数求两次导数可得f′′（x）=2x﹣4，由题意可得函数的图象关于点（2，2）对称，即f（x）+f（4﹣x）=2，由数列{a n}的通项公式分析可得{a n}为等差数列，且a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4，而=f （a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017），结合f（x）+f（4﹣x）=2，计算可得答案．【详解】根据题意，三次函数，则=x2﹣4x+，则=2x﹣4，若=2x﹣4=0，则有x=2，又由，则f（2）=2，即（2，2）是三次函数的对称中心，则有f（x）+f（4﹣x）=4，数列{a n}的通项公式为a n=n﹣1007，为等差数列，则有a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4则=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017）=f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+…+f（a1008）+f（a1010）+f（a1009）=4×1008+2=4034；故答案为：4034．【点睛】本题考查了三次函数的中心对称性，考查了数列求和，解题关键是利用对称性成对求和即可,属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图, 在△中, 点在边上, .（Ⅰ）求；（Ⅱ）若△的面积是, 求.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）根据余弦定理，求得，则△是等边三角形.，故（II）由题意可得，又由，可得以，再结合余弦定理可得，最后由正弦定理可得，即可得到的值试题解析：(Ⅰ)在△中, 因为,由余弦定理得,所以,整理得,解得.所以.所以△是等边三角形.所以(Ⅱ) 法1: 由于是△的外角, 所以.因为△的面积是, 所以.所以.在△中,,所以.在△中, 由正弦定理得,所以.法2: 作, 垂足为,因为△是边长为的等边三角形,所以.因为△的面积是, 所以.所以.所以.在Rt△中, ,所以, .所以.18.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：(I)写出频率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较的大小（只要求写出答案）；(Ⅱ)佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标大于20，且另—个桶的质量指标不大于20的概率；(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55， 38.45)的桶数，求的数学期望.注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得：②若，则，.【答案】(1);(2)0.42;(3)6.826.【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的矩形面积和为1可得再由分布的离散程度即可比较方差大小；（Ⅱ）设事件A，事件B，事件C，求出P（A），P（B），P（C）即可；（Ⅲ）求出从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，得到X～B（10，0.6826），求出EX即可．【详解】(Ⅰ) ；(Ⅱ)设事件：在甲公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，事件：在乙公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，事件：在甲、乙公司产品中随机抽各取1颗，恰有一颗糖果的质量指标大于20，且另一个不大于20，则，，；（Ⅲ）计算得: ，由条件得从而，从乙公司产品中随机抽取10颗，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，依题意得，.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点．.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）证明线线垂直则需证明线面垂直，根据题意易得，然后根据等边三角形的性质可得，又，因此得平面，从而得证（2）先找到EH什么时候最短，显然当线段长的最小时，，在中，，，，∴，由中，，，∴.然后建立空间直角坐标系，写出两个面法向量再根据向量的夹角公式即可得余弦值解析：（1）证明：∵四边形为菱形，，∴为正三角形.又为的中点，∴.又，因此.∵平面，平面，∴.而平面，平面且，∴平面.又平面，∴.（2）如图，为上任意一点，连接，.当线段长的最小时，，由（1）知，∴平面，平面，故.在中，，，，∴，由中，，，∴.由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又，分别是，的中点，可得，，，，，，，所以，.设平面的一法向量为，则因此，取，则，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量.又，所以.易得二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.20.在平面直角坐标系中，是轴上的动点，且，过点分别作斜率为，的两条直线交于点，设点的轨迹为曲线.(I)求曲线的方程；(Ⅱ)过点的两条直线分别交曲线于点和，且，求证直线的斜率为定值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（Ⅰ）求出M，N的坐标，利用|OM|2+|ON|2=8求曲线E的方程；（Ⅱ）利用点差法，求出CD的斜率，即可证明结论．【详解】(1)设，直线，令，得直线，令，得..曲线的方程是；(Ⅱ)，设，，，则，即，①，同理，②将，代入椭圆方程得，化简得③把①②代入的，得将，代入椭圆方程，同理得代入上式得.即，直线的斜率为定值.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.设函数.(I)讨论的单调性；(Ⅱ)当时，讨论的零点个数.【答案】(1)见解析;(2)当时，共有3个零点.【解析】【分析】（I）求出导函数 f'（x）=2（x﹣1）（1nx+a）（x＞0）．通过①当a=0时，②当a＞0时，③当a＜0时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性．（Ⅱ）当a＜﹣2时，由（I）知f（x）在（0，1）上递增，（1，e﹣a）上递减，（e﹣a，+∞）上递增，当x∈（0，1）时存在x0，使f（x0）＜0．推出函数f（x）在（0，1）上的单调性，可知f（x）在（0，1）上有唯一的一个零点．说明在x∈（e﹣a，+∞）上，存在x1，使f（x1）＞0，然后推出f（x）当a＜﹣2时，共有3个零点．【详解】(I) .①当时，，当时，，当时，，当时，.在递增②当时，令，得，此时.易知在递增，递减，递增③当时，.易知在递增，递减，递增(Ⅱ)当时，由(I)知在上递增，上递减，上递增，且，将代入，得，下面证明当时存在，使.首先，由不等式，，.考虑到，.再令，可解出一个根为，，，就取.则有.由零点存在定理及函数在上的单调性，可知在上有唯一的一个零点.由，及的单调性，可知在上有唯一零点.下面证明在上，存在，使，就取，则，，由不等式，则，即.根据零点存在定理及函数单调性知在有一个零点.综上可知，当时，共有3个零点.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（Ⅰ）讨论直线与圆的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹与圆相交所得弦长.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）点的轨迹与圆相交所得弦长是.【解析】试题分析：(Ⅰ)根据直线参数方程的几何意义可知直线式过定点，将极坐标方程化为直角坐标，可知圆心为，半径为，动态讨论倾斜角可得结果；(Ⅱ)直线与圆的极坐标方程联立，求出极径，即可得结果.试题解析：(Ⅰ)直线式过定点，倾斜角在内的一条直线，圆的方程为，∴当时，直线与圆有1个公共点；当时，直线与圆有2个公共点(Ⅱ)依题意，点在以为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为. 联立得.∴点的轨迹与圆相交所得弦长是.23.选修4-5:不等式选讲已知 .(I)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若函数的值域为，且，求的取值范国 .【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】(I)将a=1代入f（x），通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可；(Ⅱ)通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【详解】(I)当时，不等式即为.当时，不等式可化为，；当时，不等式可化为，；当时，不等式可化为，.综上所述:原不等式的解集为或，(Ⅱ) ，.函数的值域，，，解得或，的取值范围是.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。