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完整版一元二次方程归纳总结

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( )2x i X2•元二次方程归纳总结注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：③代公式：X,,2 —一b一4ac(要注意符号) 3、一元二次方程的根与系数的关系2法1 :一元二次方程ax bX c 0 (aX i b 后4ac----------- ,X22a所以：X i X22ab 4ac2a b 4ac b2ab 4b4ac b J b2 4ac ( b)22a (2a)2 2a 4ac 4a221、一元二次方程的一般式：ax bX c0 (a 0)，a为二次项系数，b为一次项系数, c为常数项。

2、一元二次方程的解法(1)直接开平方法2①Xa(a 0) 解为：X②(X a)2b(b 0) 解为：X a③(ax b)2c(c 0) 解为：ax b④(ax b)2(cx 2d) (a c) 解为: ax b(cxd)(3)公式法: 一元二次方程2ax2 bX c 0 (a 0)，用配方法将其变形为: (X2a)2b2 4ac4a2①当4ac②当b24ac③当b24ac 0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根:0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根:0时，右端是负数.因此，方程没有实根。

X l,2v b4ac2a2a①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式:2ax bx c 0 ( a 0)，并确定出a、b、②求出2b 4ac，并判断方程解的情况。

2a0)的两个根为:(也可以使用因式分解法)(2)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法24、应用题定理：如果一元二次方程 axbx c 0 (a 0)定的两个根为X 1, X 2，那么:法2:如果一元二次方程 2 ax X i bx 2ax bx c 0 a(x X i )(X X 2 X 2 法3: 如果一元二次方程 ax 2 bcX 2 -, X 1X 2 -a a c 0 (a 0)定的两个根为X i ,X 2；那么 X 2) 0 两边同时除于a ，展开后可得: (X i X 2)X X i gX 2 0 X 1 X 2bc -；X 1 ?X 2a bX 0(a 0)定的两个根为 X 1,X 2 ;那么 ax-,2bx 1 c ax 22bx 2 c 0L 常用变形: 2X 1 2 X 2 (X 1 0L |X 1 X 2 | ②得：X , x 2 (余下略) X 2)2 2X I X 2， X2(X1X 2)2 (X 1 X 2)2 4X 1X 2，X i X 2 XX 2A /C X X 2p 4X 1X 2，2X 1X 2X 12X 2 x 1 x 2(x 1X 2)，X 2 X 1 X 1X 2 2 2/ \2X 1 X 2 (X 1 X 2)4X 1X 2 练习: 【练习 11 2(1) X 1 【练习21X 1X 2 X 1X 2 若X 1, X 2是方程X 2 2X 2；1⑵—X 1 已知关于X 的方程x2x X 22(k20071)X 0的两个根，试求下列各式的值: (X 1 5)(X 25)；⑷|X 1^k 21 0，根据下列条件，分别求出 k 的值.4(1)方程两实根的积为5 ；(2)方程的两实根X 1, X 2满足| X 1|X 2.2【练习31已知X 1, X 2是一元二次方程4kx 4kx k0的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使(2为 x 2)(x-i 2X 2 )成立？若存在，求出 k 的值；若不存在,请您说明理由.(2)求使 生 生 2的值为整数的实数 k 的整数值.X 2 X 1(1)平均增长率的问题：a(1 x)nb 其中：a 为基数,X 为增长率，n 表示连续增长的次数,b 表示增长后的数量。

(2)面积问题：注意平移思想的使用23 4x y4 0 ，则 4x+y 的值为⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次针对练习：下列方程无解的是(※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“- 22 ax a例2、若4x y5、换元法 2 2 2例: (x x) 5(x x) 6解：令y 2x 则原方程可化为：y 5y 6 0 解得：y 12y 2①当x 22时，求得: X i1,X 2 2②当x 23时，求得:X 3,4 1y (原方程共有4个解)练习:2x 2类型一、直接开方法:x 2J m※※对于 xax m 2 bx等形式均适用直接开方法例1、解方程:1 2x 20；2 25 16x 2=0；9 0;例2、解关于x 的方程: ax 2例3、若9 x2116 x的值为A. x23 2x 21B.C. 2xD. x29类型二、因式分解法:xx 1 x x 2X i ,或 x X 20 ”,, ------------ 2※方程形式：女如ax mbx例1、 2x x5x3的根为(X 152,x2b表示增长后的数量。

(2)面积问题：注意平移思想的使用例3、方程x2 6 0的解为(23 4x y4 0 ，则 4x+y 的值为X 12 2例 5、已知 2x 3xy 2y 0___________________ I 2类型三、配方法 ax bx c 0 a 0※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。

例1、选择适当方法解下列方程:bx c 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2bx c =0,求出两根，再写成ax 2 bx c = a(x x 1)(x x 2).②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去2X 1 3 X 21例1、已知 X 3x 2 0，求代数式 ------------------------- 的值。

A. X 1 3，X 22 B. X 1 3,X22 C. X 13,X2D. X i2，x 2例4、解方程：X 22J 31X2Q3 4 02ab 24ac4a 2o例1、试用配方法说明X 2x 3的值恒大于0。

例2、已知X 、y 为实数，求代数式X 22x 4y 7的最小值2例3、已知X y 2 4x 6y 13 0, X 、y 为实数，求x y 的值。

例4、分解因式:4x 212x 3I ⑴条件：］0,且 b 2 4ac I ⑵公式：］b v b 2 4ac2a0,且b 4ac⑴ 31 X26. 8. ⑶X24X 12⑷ 3X 4X 1⑸ 3 X 1 3x2x说明：解一元二次方程时, 法；一般不选择配方法。

首选方法是因式分解法和直接开方法、 其次选用求根公式说明：①对于二次三项式 ax ⑴求代数式的值; ⑵解二元二次方程组。

1 0的-根，求a3 2a 22 5a 1的值。

a 2 1例4、用两种不同的方法解方程组2x y 6,2 2x 5xy 6y 0.根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它1、 五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?2、 北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少 1，第三年比第二31年减少一，该产品第一年收入资金约400万兀，公司计划二年内不仅要将投入的总资2金全部收回，还要盈利 1，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结3果精确到0.1，J 133.61）3、 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出 500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1 ）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过 10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？2例3、已知a 是一元二次方程 x 3x(1)例1、若关于x 的方程x 22J kx 1 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是例2、关于x 的方程mx 2 2mx m 0有实数根，则m 的取值范围是（）A. mB. mC. m 1D.2例3、已知关于x 的方程x2k 0（1）求证：无论k 取何值时， ⑵若等腰 ABC 的一边长为方程总有实数根; 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长。

2例4、已知二次三项式9x(m 6)x m 2是一个完全平方式，试求 m 的值.例5、m 为何值时，方程组x 2 2y 2 mx6,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?3.问题; ⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题4、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（ 2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

（3 ）两个正方形的面积之和最小为多少?才能用韦达定理。

⑶应用：整体代入求值。

典型例题：I角形的斜边是（例2、解方程组:（1 ）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由。

例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为常数项，而得到解为 8和2，小红因看错了一次项系数，原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？一元二次方程的应用题1、学校举行拔河友谊赛，采用单循环赛形式（即每两个队要比赛一场），计算下来共要比赛赛？2、为了美化环境，某市加大对绿化的投资. 2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（220(1 x) 20(1 x)2253、2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。

受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是⑴前提：对于ax bx c 0而言，当满足①a 0、②0时,I⑵主要内容：x1X2 b -,X1X2 a例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三A』 B.3 C.6x (1)xy y2410, y2 10,y 2.2 2例3、已知关于x的方程k x2k 1 x 1 0有两个不相等的实数根x1, x2，1 ）时，小明因看错而得到解为2例5、已知a b，a2a 1 0，b2 2b 1例6、已知是方程2x x 1 0的两个根，那么10场，问共有多少个队报名参2A、20x 25B、20(1 X) 25 C、20(1 x)2252A 200(1 a%) 1482B 200(1 a%) 148 C200(1 2a%) 148&如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长.9、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出 8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出 4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？一元二次方程解法复习练习题（1）直接开方和配方法；（2）求根公式法法；1、(x 2)225 2.、2x2 4x 5 023、(x 2)210(x 2) 25 024、2x 7x 3 05、x22(血1)x 3 2 应6、(x-1)+2x(x-1)=0D 200(1 a2%) 1484、某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元.从2006年到2008年,如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（ 2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元?5、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？鸡场共有169只小鸡遭感染6、在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80 %，求所截去小正方形的边长。

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(完整版)一元二次方程归纳总结

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一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

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一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

一元二次方程知识归纳

一元二次方程知识归纳

一元二次方程知识归纳一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在数学的学习和实际生活中都有着广泛的应用。

下面咱们就来好好归纳一下这部分知识。

首先，咱们得明白啥是一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a$、＄b$、＄c$是常数，＄a ≠ 0$）。

这里的“一元”指的是方程中只有一个未知数，“二次”指的是未知数的最高次数是 2 。

那怎么判断一个方程是不是一元二次方程呢？就看它能不能化成上述的一般形式，并且要注意$a$不能等于 0 。

比如方程$x^2 5x ＋ 6 ＝0$就是一元二次方程，而$x ＋ 2 ＝ 0$就不是，因为它未知数的最高次数是 1 ，是一元一次方程。

接下来，咱们说说一元二次方程的解法。

常见的解法有三种：直接开平方法、配方法、公式法。

直接开平方法适用于形如$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n ≥ 0$）的方程。

比如说方程$（x 3)＾2 ＝ 4$，咱们就可以直接开平方，得到$x 3 ＝±2$，进而解得$x ＝ 5$或$x ＝ 1$。

配方法是个很重要的方法。

对于方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$，咱们通过在方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程左边配成完全平方式。

举个例子，解方程$x^2 ＋ 6x 7 ＝ 0$，先把常数项移到右边得到$x^2 ＋ 6x ＝ 7$，然后在方程两边加上 9（6 的一半的平方），得到$x^2 ＋ 6x ＋ 9 ＝ 7 ＋ 9$，即$（x ＋ 3)＾2 ＝ 16$，再开平方就能求出解。

公式法是通用的方法。

一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$）的求根公式是$x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。

使用公式法时，要先计算判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$，如果$＼Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根；如果$＼Delta ＝ 0$，方程有两个相等的实数根；如果$＼Delta ＜ 0$，方程没有实数根。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结一、 一元二次方程的定义1. 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 二、 一元二次方程的解1. 方程解的含义解题方法：将方程的根带入方程求出参数.三、 解一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）1. 直接开平方法：适用于)0()()0(22≥=+≥=b b a x a a x 或形式的方程. 2. 配方法：2222244)2(0)0(0a ac b a b x b c x a b x a c bx ax -=+⇒=++⇒≠=++. 注意：用配方法解方程时必须注意在方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.3. 公式法：a ac b b x ac b c bx ax 24040222-±-=≥-=++时当. 4. 因式分解法：将一元二次方程化简成一般式后，把等号左边的多项式进行因式分解，再根据“如果，0=ab ，那么00==b a 或”进行求解.注意：利用因式分解法解方程时,将方程的一边分解因式而方程的另一边必须化为零;四、 判别式与一元二次方程解的个数的关系1. 一元二次方程解与判别式的关系：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的情况可由根的判别式△=ac b 42-的值来决定,它的值与一元二次方程的根的关系是:①042>-ac b ⇔方程有两个不等的实数根.②042=-ac b ⇔方程有两个相等的实数根.③042<-ac b ⇔方程没有实数根.五、 一元二次方程的应用题（增长率、面积、握手、传染）1. 增长率问题：设a 为原量，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则nx a b )1(+=.2. 面积问题：先通过平移变换，再根据面积公式列出方程.3. 握手问题：n 个人见面，任意两人都要握手一次，一共握手2)1(-n n 次. 4. 传染问题：一人感染，一人传染x 人，第一轮：1＋x ；第二轮：1＋x ＋x （1＋x ）.六、 根与系数的关系1. 根与系数的关系：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别是21,x x 则a cx x a b x x ==+2121-，.注意：使用根与系数的关系时需要先检验△。