中考数学专项训练： 线段垂直平分线、角平分线、中位线(含解析)

专题02线段的垂直平分线和角平分线重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，D 为BAC Ð的外角平分线上一点，过D 作DE AC ^于E ，DF AB ^交BA 的延长线于F ，且满足FDE BDC Ð=Ð，则下列结论：①CDE V ≌BDF V ；②CE AB AE =+；③BDC BAC Ð=Ð；④DAF CBD Ð=Ð．其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF ，再证明FDB EDC Ð=Ð，即可证明Rt △CDE 和Rt △BDF 全等；根据全等三角形对应边相等可得CE=BF ，利用“HL”证明Rt △ADE 和Rt △ADF 全等，可得AE=AF ，然后求出CE=AB+AE ；∠FDE 与∠BAC 都与∠FAE 互补，可得∠FDE=∠BAC ，于是可证BDC BAC Ð=Ð；利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB ，由Rt △CDE ≌Rt △BDF 可得∠ABD=∠DCE ，BD=DC ，故∠DBC=∠DCB ，于是可证明∠DAF=∠CBD ．【详解】解：∵AD 平分∠CAF ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴DE=DF ，DFB DEC Ð=Ð=90o∵FDE BDC Ð=Ð，∴FDB EDC Ð=Ð，在Rt △CDE 和Rt △BDF 中FDB CDE DFB DEC Ð=ÐìïÐ=Ðí，∴Rt △CDE ≌Rt △BDF ，故①正确；∴CE=BF ，在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，,AD AD DE DF =ìí=î∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ，∴AE=AF ，∴CE=AB+AF=AB+AE ，故②正确；∵DFA DEA Ð=Ð=90o ，∴∠EDF+∠FAE=180o ，∵∠BAC+∠FAE=180o ，∴∠FDE=∠BAC ，∵∠FDE=∠BDC ，∴∠BDC =∠BAC ，故③正确；∵∠FAE 是△ABC 的外角，∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB ，∵Rt △CDE ≌Rt △BDF ，∴∠ABD=∠DCE ，BD=DC ，∴∠DBC=∠DCB ，∴2∠DAF=∠DCE +∠DBC +∠ACB=∠DBC +∠DCB=2∠DBC ，∴∠DAF=∠CBD ，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④共4个．故选：D ．【点睛】要二次证明三角形全等．2．（2021·上海金山区·八年级期末）下列命题中，是假命题的是（）A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；B ．每个命题都有逆命题；C ．每个定理都有逆定理；D ．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【答案】C【分析】根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可．【详解】解：A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确；B 、每个命题都有逆命题，所以B 选项正确；C 、每个定理不一定有逆定理，所以C 选项错误；D 、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确．故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键．3．（2021·上海市康城学校八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．A ．若a b =，则a b=B ．同位角相等，两直线平行C ．对顶角相等D ．若0a >，0ba >，则0a b +>【答案】B【分析】分别写出各选项中命题的逆命题，然后判断其真假即可．【详解】解：A 、逆命题为：若∣a ∣=∣b ∣，则a=b ，是假命题；B 、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题；故选：B．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，会判断命题的真假，正确写出原命题的逆命题是解答的关键．4．（2021·上海八年级期末）下列命题中，是真命题的是（）A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等D．面积都相等的两个三角形一定全等【答案】C【分析】A、B、D均可举反例说明错误，C选项可构造图形证明．【详解】解：A.钝角三角形与钝角相邻的外角小于该角，原命题是假命题，故该选项不符合题意；B.如果该点在线段上，那么不能构成等腰三角形，原命题是假命题，故该选项不符合题意；C.当该中线为等腰三角形底边上的中线时，根据三线合一即可得出这两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，当三角形不是等腰三角形或中线不是等腰三角形底边上的中线时，如图所示，AD为△ABC的中线，BF⊥AD，CE⊥AD，∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵BF⊥AD，CE⊥AD，∴∠BFD=∠CED=90°，∵∠ADB=∠EDC，∴△BDF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，综上，三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，原命题是真命题，故该选项符合题意；D.如果是一个钝角三角形和锐角三角形，某边相等且该边上的高相等，但它们不全等，原命题是假命题，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查判断命题的真假，主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．说明一个命题是假命题只需要举一个反例，判断一个命题是真命题需要证明它．5．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）下列定理中，没有逆定理的是（）．A．两直线平行，同旁内角互补B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等【答案】D【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题．【详解】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．6．（2019·上海全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，ABCS V=15，DE=3，AB=6，则AC长是( )A．4B．5C．6D．7【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再利用S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．【详解】解：作DF⊥AC于F，如图：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴1163AC315 22´´+´´=，∴AC=4．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．7．（2020·上海闵行区·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足E ，那么下列结论中一定正确的是（ ）A ．DA=DEB ．AC=EC C ．AH ＝EHD ．CD ＝ED【答案】D【分析】根据题意可以分析出A 、B 、C 三个选项要成立同时成立，所以D 选项一定正确，可以通过证明()ACD AED AAS @V V ，验证D 选项正确．【详解】解：可以分析出A 、B 、C 选项任何一个成立，那么都可以得到CH 是AE 的垂直平分线，那么就可以推出其他两个选项也都成立，但这是不可能的，所以A 、B 、C 都不一定正确，D 选项一定正确，证明如下：∵//DE BC ，∴AED ABC Ð=Ð，∵CH AB ^，∴90ABC BCH Ð+Ð=°，∵90ACB Ð=°，∴90ACD BCH Ð+Ð=°，∴ABC ACD AED Ð=Ð=Ð，∵AD 平分BAC Ð，∴CAD EAD Ð=Ð，在ACD △和AED V 中，CAD EAD ACD AED AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()ACD AED AAS @V V ，∴CD ED =．本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．8．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等；B ．同旁内角互补，两直线平行；C ．对顶角相等；D ．如果0,0a b >>，那么0a b +>【答案】B【分析】先分别写出各命题的逆命题，再分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A.全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题，所以A 选项不符合题意；B.同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补是真命题，所以B 选项符合题意；C.“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，所以C 选项不符合题意；D. 如果0,0a b >>，那么0a b +>的逆命题为如果0a b +>，那么0,0a b >>是假命题，所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．9．（2019·上海七年级期末）如图，下面是利用尺规作∠AOB 的角平分线OC 的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．AAS如图，根据题意可得：OE=OD，EG=DG，OG=OG，进一步即可根据SSS判定△OEG≌△ODG，可得∠BOC=∠AOC，从而可得答案．【详解】解：如图，由作图可知：OE=OD，EG=DG，OG=OG，所以△OEG≌△ODG（SSS），所以∠BOC=∠AOC，即OC是∠AOB的平分线．所以用到的三角形全等的判定方法是SSS．故选：C．【点睛】本题考查了尺规作角平分线以及全等三角形的判定与性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握基础知识是解题的关键．10．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果三角形二条边的中垂线的交点在第三条边上，那么，这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】A【分析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答．【详解】如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上，连接CO，∵OD 是AC 的垂直平分线，∴OC=OA ，∠A=∠ACO ，同理OC=OB ，∠B=∠BCO ，∵∠A+∠ACO+∠B+∠BCO=180°，∴∠ACO +∠BCO=12´180°=90°，∴∠C 是直角．故选：A ．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．11．（2020·上海市云岭实验中学八年级月考）如图，已知ABC V ，求作一点P ，使P 点到CAB Ð的两边的距离相等，且PA PB =．下列确定P 点的方法正确的是（ ）A ．P 为CAB Ð，ABC Ð两角平分线的交点B ．P 为CAB Ð的平分线与AB 的垂直平分线的交点C ．P 为AC ，AB 两边上的高的交点D ．P 为AC ，AB 两边的垂直平分线的交点【答案】B【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．【详解】∵P 点到CAB Ð的两边的距离相等，∴P 在CAB Ð的平分线上．∵PA PB =，∴P 在AB 的垂直平分线上．即P 为CAB Ð的平分线与AB 的垂直平分线的交点．故选：B ．【点睛】线及线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．12．（2019·上海全国·八年级课时练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点.【答案】C【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选：C．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．13．（2020·上海虹口区·九年级二模）已知在ABC中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），那么交点O是△ABC的（）示意图作图步骤（1）分别以点B、C为圆心，大于12BC长为半径作圆弧，两弧分别交于点M、N，联结MN 交BC于点D；（2）分别以点A、C为圆心，大于12AC长为半径作圆弧，两弧分别交于点P、Q，联结PQ 交AC于点E；（3）联结AD、BE，相交于点OA ．外心B ．内切圆的圆心C ．重心D ．中心【答案】C【分析】根据尺规作图得到AD 、BE 是△ABC 的中线，根据重心的概念判断即可．【详解】解：由尺规作图可知，MN 、PQ 分别是线段BC 、AC 的垂直平分线，∴点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴AD 、BE 是△ABC 的中线，∴点O 是△ABC 的重心，故选：C ．【点睛】本题考查的是中线的尺规作图及三角形重心的概念:三角形的重心是三角形三条中线的交点，掌握三角形重心的概念是解题的关键．14．（【新东方】初中数学1234初二上）如图在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ^于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个．①EF BE CF =+；②90BGC A Ð=°+Ð；③点G 到ABC V 各边的距离相等；④设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；⑤AEF V 的周长等于+AB AC 的和．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】①根据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G 可得出∠EBG =∠CBG ，∠BCG =∠FCG ，再由EF ∥BC 可知∠CBG =∠EGB ，∠BCG =∠CGF ，故可得出BE =EG ，GF =CF ，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC +∠GCB =12（∠ABC +∠ACB ），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形角平分线的性质即可得出结论；④连接AG ，由三角形的面积公式即可得出结论；⑤根据BE=EG，GF=CF，进行等量代换可得结论．【详解】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A，故②错误；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G也在∠BAC的平分线上，∴点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；④连接AG，作GM⊥AB于M，如图所示：∵点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，∴GD=GM=m，∴S△AEF=12AE•GM+12AF•GD=12（AE+AF）•GD=12nm，故④错误．⑤∵BE=EG，GF=CF，∴AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，即△AEF的周长等于AB+AC的和，故⑤正确，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．15．（【新东方】初中数学1222初二上）如图，在ABC V 中，45,ABC AD BEÐ=°,分别为,BC AC 边上的高，,AD BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：①BF AC =；②FCD DAC Ð=Ð；③CF AB ^；④若2BF EC =，则FDC △周长等于AB 的长．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③④C ．①③D ．②③④【答案】B【分析】证明△BDF ≌△ADC ，可判断①；求出∠FCD =45°，∠DAC ＜45°，延长CF 交AB 于H ，证明∠AHC =∠ABC +∠FCD =90°，可判断③；根据①可以得到E 是AC 的中点，然后可以推出EF 是AC 的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．【详解】解：∵△ABC 中，AD ，BE 分别为B C 、AC 边上的高，∠ABC =45°，∴AD =BD ，∠DAC 和∠FBD 都是∠ACD 的余角，而∠ADB =∠ADC =90°，∴△BDF ≌△ADC （ASA ），∴BF =AC ，FD =CD ，故①正确，∵∠FDC =90°，∴∠DFC =∠FCD =45°，∵∠DAC =∠DBF ＜∠ABC=45°，∴∠FCD ≠∠DAC ，故②错误；延长CF 交AB 于H ，∵∠ABC =45°，∠FCD =45°，∴∠AHC =∠ABC +∠FCD =90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=12 AC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜二、解答题16．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在ABCV中，2ACB BÐ=Ð，BACÐ平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过H作直线l AO^于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．=；（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN CD（2）当M是线段BC的中点时，写出线段CE和线段CD之间的数量关系，并证明；（3）请直接写出BN、CE和CD之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）CD=2CE，证明见解析；（3）当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN．【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明DN=DC，再证明BN=DN即可；（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．【详解】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH ，∴AN=AC ，∴NH=CH ，∴AH 是线段NC 的中垂线，∴DN=DC ，∴∠DNH=∠DCH ，∴∠AND=∠ACB ，∵∠AND=∠B+∠BDN ，∠ACB=2∠B ，∴∠B=∠BDN ，∴BN=DN ，∴BN=DC ；（2）解：当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的数量关系为CD=2CE ，理由如下：过点C 作CN'⊥AO 交AB 于N'，过点C 作CG ∥AB 交直线l 于点G ，如图3所示：由（1）得：BN'=CD ，AN'=AC ，AN=AE ，∴∠ANE=∠AEN ，NN'=CE ，∵CG ∥AB ，∴∠ANE=∠CGE ，∠B=∠BCG ，∴∠CGE=∠AEN ，∴CG=CE ，∵M 是BC 中点，∴BM=CM ，在△BNM 和△CGM 中，B BCG BM CM NMB GMC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△BNM ≌△CGM （ASA ），∴BN=CG，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE-BN．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解17．（2020·上海同济大学附属实验中学）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＋∠BDC=180°．（1）求证：AD 为∠BDC 的平分线；（2）若∠DAE=12∠BAC ，且点E 在BD 上，直接写出BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系_______．【答案】（1）见解析；（2）DE= B E+DC.【分析】（1）过A 作AG ⊥BD 于G ，AF ⊥DC 于F ，先证明∠BAG=∠CAF ，然后证明△BAG ≌△CAF得到AG=AF ，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；（2）过A 作∠CAH=∠BAE ，证明△EAD ≌△HAD ，得到AE=AH ，再证明△EAB ≌△HAC 中，即可得出BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系.【详解】证明:（1）如图1，过A 作AG ⊥BD 于G ，AF ⊥DC 于F ，∵AG ⊥BD ，AF ⊥DC ，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC ，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC ，∴∠BAG=∠CAF ，在△BAG 和△CAF 中90AGB F BAG CAFAB AC ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=îo∴△BAG ≌△CAF （AAS ），∴AG=AF ，∴∠BDA=∠CDA ，（2）BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC ，理由如下：如图2，过A 作∠CAH=∠BAE 交DC 的延长线于H ，∵∠DAE=12∠BAC ，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD ，∵∠CAH=∠BAE ，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH ，在△EAD 和△HAD 中EAD HAD AD ADADE ADH Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△EAD ≌△HAD （ASA ），∴DE=DH ，AE=AH ，在△EAB 和△HAC 中AB AC BAE CAH AE AH =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAB ≌△HAC （SAS ），∴BE=CH ，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE ，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口．18．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小.【详解】（1）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质和距离之和最短问题，熟悉性质及距离之和最短问题的作法是关键．19．（2019·上海外国语大学附属大境初级中学八年级月考）如图，在△ABC中，如果BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线且他们相交于点P，设∠A=n°.（1）求∠BPC的度数（用含n的代数式表示），写出推理过程.（2）当∠BPC=125°时，∠A= .（3）当n=60°时，EB=7，BC=12，DC的长为.【答案】（1）∠BPC=90°+12n，推理过程见解析；（2）70°；（3）5.【分析】（1）根据角平分线的性质得∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，再根据三角形内角和定理求得∠A=-180°+2∠BPC，即可求证∠BPC=90°+12 n；（2）根据（1）可知∠BPC=90°+12n，把∠BPC=125°代入原式求出n即为∠A的度数；（3）当n=60°时，即可求出∠BPC=120°，作辅助线在CB上截取CG=CD，可证出△CPG≌△PCD（SAS），即可得出∠DPO=∠GPC，PD=PG，再可证出△BEP≌△BGP，即可得出BE=BG，即可求出DC．【详解】解：（1）∵DB 、CE 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线，∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB=2∠PCB.∵∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，∴∠A=180°-2(∠PBC+∠PCB)，∴∠A=180°-2(180°-∠BPC)，∴∠A=-180°+2∠BPC ，∴2∠BPC=180°+∠A ，∴∠BPC=90°+ 12∠A,∴∠BPC=90°+12n （2）由（1）知∠BPC=90°+12∠A ∴当∠BPC=125°时，∠A =2×（125°-90°）= 70°；（3）在CB 上截取CG=CD ，连接GP ，Q CE 平分BCA Ð∴∠GCP=∠PCD ，在△PCD 和△PCG 中，CD CG GCP PCD PC PC ìïÐÐíïî＝＝＝∴△PCD ≌△CGP （SAS ），∴∠GPC=∠CPD ，PG=PD ，由∠BPG+∠GPC=120°，又∵∠BPG+2∠GPC=180°，解得：∠BPG=∠GPC=∠FPC=60°在△BEP 和△BGP 中，EBP GBP BP BPBPE BPG ÐÐìï=íïÐÐî＝＝ ∴△BEP ≌△BGP （ASA ），∴BE=BG ，∴CG=BC-BG=BC-BE=12-7=5∴CD=CG=5．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形全等的判定与性质，难度较大．20．（2021·上海浦东新区·七年级期末）如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，DB ＝DC ．（1）求证：BE ＝CF ；（2）如果BD//AC ，∠DAF ＝15°，求证：AB ＝2DF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）证明DE DF =，90E DFC Ð=Ð=°；进而证明 Rt BDE Rt DFC D @D ，即可解决问题；（2）根据平行线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【详解】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，DE AB ^， DF AC ^，DE DF \=，90BED DFC Ð=Ð=°；在Rt BDE D 和Rt DFC D 中，BD CD DE DF =ìí=î，Rt BDE Rt DFC(HL)\D @D，BE CF \=；（2）AD Q 平分BAC Ð，15DAF Ð=°，30BAC \Ð=°，BAD DAF Ð=Ð，//BD AC Q ，30DBE BAC \Ð=Ð=°，DAF BDA Ð=Ð，BAD BDA \Ð=Ð，AB BD \=，在Rt BDE D 中，30DBE Ð=°，2BD DE \=，2AB DE \=，AD Q 平分BAC Ð，DE AB ^， DF AC ^，DE DF \=，2AB DF \=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键．21．（2021·上海金山区·八年级期末）已知：如图，ABC D 中，,,AB AC BD CE =分别是,AC AB 上的中线，,BD CE 相交于点O ，联结OA DE ,．求证：（1）OB OC =；（2）OA 垂直平分DE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可；（2）逆用线段垂直平分线的判定证明即可．【详解】（1）∵,,AB AC BD CE =分别是,AC AB 上的中线，∴BE=CD ，∠EBC=∠DCB ，∵BC=CB ，∴△EBC ≌△DCB ，∴∠ECB=∠DBC ，∴OB=OC ；（2）设AO 与DE 的交点为F ，∵△EBC ≌△DCB ，∴EC=DB ，∵OB=OC ；∴OD=OE ，∴点O 在线段DE 的垂直平分线上，∵AE=AD ，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，∴直线AO 是线段DE 的垂直平分线，∴OA 垂直平分DE ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．22．（2019·上海七年级单元测试）如图，直线AB 、CD 交于点O ，∠AOM =90°（1）如图1，若OC 平分∠AOM ，求∠AOD 的度数；（2）如图2，若∠BOC =4∠NOB ，且OM 平分∠NOC ，求∠MON 的度数【答案】（1）135°；（2）54°【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC =45°，然后根据邻补角的定义求解即可；（2）设∠NOB =x °，∠BOC =4x °，根据角平分线的定义表示出∠COM =∠MON =12∠CON ，再根据∠BOM 列出方程求解x ，然后求解即可．【详解】解（1）∵∠AOM =90°，OC 平分∠AOM ，∴∠AOC =12∠AOM =12×90°=45°，∵∠AOC +∠AOD =180°，∴∠AOD =180°-∠AOC =180°-45°=135°，即∠AOD 的度数为135°；（2）∵∠BOC =4∠NOB∴设∠NOB =x °，∠BOC =4x °，∴∠CON =∠COB -∠BON =4x °-x °=3x °，∵OM 平分∠CON ，∴∠COM =∠MON =12∠CON =32x °，∵∠BOM =32x +x =90°，∴x =36°，∴∠MON =32x °=32×36°=54°，即∠MON 的度数为54°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）难点在于根据∠BOM 列出方程．23．（2021·上海八年级期末）作图：已知ABC V 和线段r ，请在ABC V 内部作点P ，使得点P 到AC 和BC 的距离相等，并且点A 到点P 的距离等于定长r ．（不写作法，保留痕迹）【答案】图见解析．【分析】根据题意点P 到AC 和BC 的距离相等，可知点P 在ACB Ð的角平分线上，点A 到点P 的距离等于定长r ，可知点P 在以点A 为圆心，以定长r 为半径的圆上，由此作图即可．【详解】如图，先作ACB Ð的角平分线，再以点A 为圆心，以定长r 为半径作圆弧，圆弧与ACB Ð角平分线的交点即为点P ．【点睛】本题主要考查角平分线的画法，属于基础题，需要有一定的画图能力，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键．24．（2020·上海市松江区民办茸一中学八年级月考）已知：如图，在△EBC 中，作∠EBA =∠C ，AB 交EC 于点A ，作BD 平分∠ABC 交AC 于点B ，F 是BD 上一点，联结EF ，点G 是EF 上一点，且有GB =GD ．求证：EF ⊥BD ．【答案】证明见解析．【分析】先利用三角形外角的性质和角平分线的定义得出EBD EDB Ð=Ð，从而得出BE DE =，再根据GB =GD 可得E 、G 在BD 的垂直平分线上，从而可得结论．证明：∵BD 平分∠ABC ，∴ABD DBC Ð=Ð，∵EBA C Ð=Ð，∵,EBD ABD EDB D EB C BC A Ð+=ÐÐ=Ð+ÐÐ，∴EBD EDB Ð=Ð，∴BE DE =，∵GB =GD ，∴E 、G 在BD 的垂直平分线上，即EF ⊥BD ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，等角对等边．理解到线段两端距离相等的点到线段的垂直平分线上是解题关键．25．（2019·上海同济大学实验学校八年级月考）已知点P 是ABC V 的BAC Ð平分线上一点，连接PB ，PC ．（1）如图1，若AB AC =，证明：PB PC=（2）如图2，若PB PA =，45ABC Ð=°，2Ð=ÐPBC PAC ，证明：BP BC =（3）如图，若AB BC AC ==，点E 是AC 的中点，当PC PE +的最小时PE CP 值为______．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12【分析】（1）要求证PB PC =，根据全等三角形的判定证明≌BAP CAP △△即可；（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质可得出3ABC ABP Ð=Ð，可得：30CBP Ð=°，要证BP BC =，继续做辅助线求证三角形全等，即可求解；（3）根据AB BC AC ==可知ABC V 是等边三角形，由题意PC PE +的最小时，即BE 为直线时，根据正三角形重心的性质求解．（1）证明：∵AP 平分BAC Ð∴BAP CAP Ð=Ð∴在BAP △和CAP V 中AB AC BAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î∴≌BAP CAP △△（SAS ）∴PB PC=（2）令2Ð=PBC α，PAC a Ð=∵45ABC Ð=°∴452Ð=-ABP α°∵AP BP=∴452Ð=Ð=-ABP BAP α°∵AP 平分BAC Ð∴BAP PAC Ð=Ð即452-=αα°15a =°∴15Ð=Ð==ÐBAP PAC ABP °，30CBP Ð=°在75=Rt KPB △°作PK AC ^于G连BG∵有等腰ABP△∴PK ^平分AB∴AG BG =，Ð=ÐBAC APG∵30Ð==Ð+ÐBAC ABP GBP °∴15Ð=GBP °∴在Rt AKG △中，60Ð=AGK °Rt KGB △中，60Ð=KGB °∴60BGC Ð=°∴BG 平分ÐKGC作BQ AC ^延长线于Q ，∴=BK BQ∴在Rt CBQ V 中，30Ð==Ð+ÐGBC GBC CBQ°∵15Ð=GBC °∴15Ð=CBQ °在Rt QBC V 中75Ð=BCQ °∴在BKP △和QBC V 中KPB BCQ KBP CBQBK BQ Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴≌BKP QBC△△∴BP BC=成立得证．（3）∵AB BC AC ==，∴ABC V 是等边三角形，∵AP 是BAC Ð的平分线，∴延长AP 交BC 于点D ，则AD 是BC 垂直平分线，∴PB CP =，∴PC PE +最小即为PB PE +最小，∴BE 为一条线段时PB PE +最小，∵BE 、AD 是BAC V 的中线交于点P ，∴P 为BAC V 的重心，。

2018年全国中考数学真题分类 线段垂直平分线、角平分线、中位线（一）一、选择题1. （2018四川泸州，7题，3分） 如图2，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE+EO=4，则ABCD 的周长为（ ）A.20B. 16C. 12D.8第7题图 【答案】B 【解析】ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，所以O 为AC 的中点，又因为E 是AB 中点，所以EO是△ABC 的中位线，AE=21AB ，EO=21BC ，因为AE+EO=4，所以AB+BC=2(AE+EO)=8，ABCD 中AD=BC ，AB=CD ，所以周长为2(AB+BC)=16【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线2. （2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，30A ∠=，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若2BC =，则EF 的长度为（ ）A ．12B ．1C ．32D【答案】B【思路分析】1.由∠ACB =90°，∠A =30°，BC 的长度，可求得AB 的长度，2.利用直角三角形斜边D的中线等于斜边第一半，求得CD 的长度；3.利用中位线定理，即可求得EF 的长.【解题过程】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，，∴AB =4，CD =12AB ，∴CD =12×4=2，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF =12CD =12×2=1，故选B.【知识点】30°所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理3. （2018四川省达州市，8，3分） △ABC 的周长为19，点D 、E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ．若BC ＝7，则MN 的长为（ ） ． A ．32 B ．2 C ．52D ．3第8题图 【答案】C ，【解析】∵△ABC 的周长为19，BC ＝7， ∴AB ＋AC ＝12．∵∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∴BA ＝BE ，N 是AE 的中点． ∵∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，∴AC ＝DC ，M 是AD 的中点． ∴DE ＝AB ＋AC －BC ＝5． ∵MN 是△ADE 的中位线， ∴MN ＝12DE ＝52． 故选C.【知识点】三角形的中位线4. （2018浙江杭州， 10，3分）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，DE//BC ，与边AC 交于点E ，连接BE ，记△ADE ，△BCE 的面积分别为S 1，S 2,（ ）A. 若2AD>AB ，则3S 1>2S 2B. 若2AD>AB ，则3S 1<2S 2C. 若2AD<AB ，则3S 1>2S 2D. 若2AD<AB ，则3S 1<2S 2【答案】D【思路分析】首先考虑极点位置，当2AD=AB 即AD=BD 时S 1，S 2的关系，然后再考虑AD>BD 时S 1，S 2的变化情况。

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。

中考数学习题精选： 一、选择题 1．（2018北京市东城区初二期末）如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60︒，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ， 若BE=1，则AC 的长为BA ．2B C ．4D ． 解：C2.（2018北京市平谷区初二期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90︒，点D 为AB 边中点，DE ⊥AB ，并与AC 边交于点E. 如果∠A=15︒，BC=1，那么AC 等于（ ）. A. 2B. 31+C. 32+D.3答案：C3. （2018北京市顺义区八年级期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △AB C =10，DE =2，AB=4， 则AC 长是A.9B. 8C. 7D. 6答案：D4．（2018北京市西城区八年级期末）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．若△ABC 的周长为22，BE =4，则△ABD 的周长为（ ）． A ．14 B ．18C ．20D ．26答案：AEDCBA二、填空题5.（2018北京昌平区初二年级期末）在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于M ,N ,作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD . 如果BC =5，CD =2，那么AD = .答案：36.（2018北京市东城区初二期末）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠ABC ，BC =10cm ，BD ：DC =3:2，则点D 到AB 的距离为_____ cm ．解：4 7．（2018北京市东城区初二期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小俊的作法如下：MNBACD的垂直平分线.老师说：“小俊的作法正确．”请回答：小俊的作图依据是_________________________．解：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线8．（2018北京市丰台区初二期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：老师说：“小阳的作法正确．”请回答：小阳的作图依据是_________________________．答案：9．（2018北京市海淀区八年级期末）某地地震过后，小娜同学用下面的方法检测教室的房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，由此得出房梁是水平的（即挂铅锤的线绳与房梁垂直）．用到的数学原理是．答案：“等腰三角形三线合一”或“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上和两点确定一条直线”10．（2018北京市朝阳区一模）如图，∠AOB =10°，点P 在OB 上.以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点P 1（点P 1与点O 不重合），连接PP 1； 再以点P 1为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点P 2（点P 2与点P 不重合），连接P 1 P 2； 再以点P 2为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点P 3（点P 3与点P 1不重合），连接P 2 P 3； … …请按照上面的要求继续操作并探究： ∠P 3 P 2 P 4= º；按照上面的要求一直画下去，得到点P n ，若之后就不能再画出符合要求点P n+1了，则n = . 答案 40 ；8 三、解答题11.（2018北京海淀区第二学期练习）如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠． 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. ………………2分∵DC EF ∥， ∴CBF DCB∠=∠. ………………3分FE DCB A∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC平分ABF ∠. ………………5分 12．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边上一点，EF 垂直平分CD ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，连结DE ，求证：DE ∥AB ．证明：∵AB=AC ，∴∠B =∠C ． ................................................................................. 1 ∵EF 垂直平分CD ， ∴ED=EC ． ................................................................................... 2 ∴∠EDC =∠C ． ............................................................................. 3 ∴∠EDC =∠B ． ............................................................................. 4 ∴DF ∥AB ． . (5)13.（2018北京东城区二模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC于点D ，交AB 于点E . (1)求证：ADE ABC △≌△;(2)当8AC =，6BC =时，求DE 的长.证明：（1） ∵DE 垂直平分AB , ∴ 90AED ∠=︒. ∴AED C ∠=∠. ∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △∽△.--------------------------------------------------------------------2分(2) ABC Rt △中，8AC =，6BC =， ∴10AB =. ∵DE 平分AB ， ∴5AE =. ∵ADE ABC △∽△，∴DE AEBC AC =. ∴568DE = . ∴154DE = . ---------------------------------------------------------------------5分14．（2018北京市怀柔区初二期末）已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB=AC=13cm ，AD=12cm.求BC 的长.解：∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC. BD=CD. ………………… 2分∴∠ADB=90Ο. ∵AB=13 AD=12∴BD ………………… 3分=5………………… 4分∴BC=10cm. ………………… 5分15.（2018北京大兴区八年级第一学期期末）已知：如图，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是∠DAC 的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB,PC .通过观察，测量，猜想PB+PC 与AB+AC 之间的大小关系，并加以证明.BB16.（2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图：在△ABC 中，作AB 边的垂直平分线，交AB 于点E ，交BC 于点F ，连结AF（1）依题意画出图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）你的作图依据是 .（3）若AC=3，BC=5，则△ACF 的周长是解：（1）如图 …………2分（2）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 两点确定一条直线．……4分或 sss 、全等三角形性质、等腰三角形三线合一，两点确定一条直线答案不唯一.（3）8………………………… 5分B。