高一数学《直线、平面垂直的判定及其性质》试题(新人教必修2).

8.6.2 直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质一、选择题1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行【答案】B【解析】由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．故选B。

2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定【答案】D【解析】如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定【答案】C【解析】∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C。

4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A．内心B．重心C．外心D．垂心【答案】C【解析】如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴P A＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．5.（多选题）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直B．相交C．不相交D．不垂直【答案】AC【解析】取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选AC.6.（多选题）已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题,其中不正确的有()A.a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α；C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；D.a⊥α，β⊥α⇒a∥β.【答案】BD【解析】 A 正确；B中b⊂α有可能成立，故B不正确；C正确；D中a⊂β有可能成立，故D不正确.故选BD.二、填空题7．已知AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，如图所示，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝ .【答案】6【解析】因为AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以AF ∥DE ，又AF ＝DE ，所以AFED 是平行四边形，所以EF ＝AD ＝6.8．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，P A ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形．【答案】4【解析】∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，∵AC ⊥BC ，且P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC . 综上知： △ABC ，△P AC ，△P AB ，△PBC 都是直角三角形，共有4个．9.若直线AB ∥平面α，且点A 到平面α的距离为2，则点B 到平面α的距离为________.【答案】 210.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，6PD =，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段P A 、PC 交于点M ，N ，且//AC α，则PM PA =________；四边形EMBN 的面积为________. 【答案】23【解析】延伸平面α，交AC 所在的平面ABCD 于RS ，即平面α平面ABCD RS =，又B ∈平面α平面ABCD ， B RS ∴∈，即,,R S B 三点共线，又//AC α，由线面平行的性质定理可得//AC RS ， 则4ARB ABR π∠=∠=，即AR AB =，∴点A 为RD 的中点，又E 为PD 中点，则6,3,2PD RD DA DE PDA ADP π====∠=∠=，PAD RED ∴≅，MPE MRA ∴∠=∠，又,PME RMA PE RA ∠=∠=，PME RMA ∴≅，则ME MA =，过M 作MK PD ⊥交PD 于点K ，222PM MK MK ME MA PA AD DR RE PA∴==⋅=⋅=⋅， 则2PM MA =， 2233PM MA PA MA ∴==； 连接MN ，BD 由23PM PA =同理可得23PN PC =， //MN AC ∴，又PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，又,BD AC BD PD D ⊥=，AC ∴⊥面PBD ，又BE ⊂面PBD ，AC BE ∴⊥，MN BE ∴⊥，23MN PM AC PA ==， 2233MN AC ∴==⨯=又EB ===所以四边形EMBN 的面积为1122MN EB ⋅=⨯=.故答案为：23；三、解答题11.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. 求证：AE⊥BE.【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.12.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．【答案】见解析【解析】证明：(1）如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝CD，而AM∥CD且AM＝AB＝CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.(2）由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.。

考点32 直线、平面垂直的判定及其性质一、简答题1.(2017·北京高考文科·T18)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD.(2)求证:平面BDE⊥平面PAC.(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.【命题意图】本题主要考查空间几何体的位置关系与夹角运算,意在培养学生的空间想象能力及运算能力.【解析】(1)因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,且AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,由(1)知PA⊥平面ABC,因为PA⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC,因为平面PAC∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,BD⊥AC,所以BD⊥平面PAC,因为BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE,又DE=平面BDE∩平面PAC,因为PA⊂平面PAC,所以PA∥DE,因为D是AC中点,所以E为PC的中点,所以DE=1,所以S△BDC=12S△ABC=12×12×2×2=1,V E-BCD=13×1×DE=13×1×1=13.2.(2017·天津高考文科·T17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值.(2)求证:PD⊥平面PBC.(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【命题意图】本题考查异面直线所成角、线面垂直、线面角等基础知识.考查空间想象能力,运算求解能力和推理论证能力.【解析】(1)因为AD ∥BC,所以∠DAP 或其补角就是异面直线AP 与BC 所成的角, 因为AD ⊥平面PDC,所以AD ⊥PD,在Rt △PDA 中所以,cos ∠DAP=AD AP所以,异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为5. (2)因为AD ⊥平面PDC,所以AD ⊥PD,又因为AD ∥BC,PD ⊥BC,又PD ⊥PB,BC ∩PB=B,所以PD ⊥平面PBC.(3)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F,连接PF,则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因为PD ⊥平面PBC,故PF 为DF 在平面PBC 上的射影,所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角.由于AD ∥BC,DF ∥AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD ⊥DC,故BC ⊥DC,在Rt △DCF中,可得在Rt △DPF 中,sin ∠DFP=PD DF所以,直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为5. 3.(2017·山东高考文科·T18)由四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD,(1)证明:A 1O ∥平面B 1CD 1.(2)设M 是OD 的中点,证明:平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.【命题意图】本题考查空间中线、面平行与垂直的判定与性质,意在考查考生的空间想象能力,转化与化归能力.【证明】(1)取B 1D 1的中点O 1,连接CO 1,A 1O 1,由于ABCD-A 1B 1C 1D 1是四棱柱,所以A 1O 1∥OC,A 1O 1=OC,因此四边形A 1OCO 1为平行四边形,所以A 1O ∥O 1C,又O 1C ⊂平面B 1CD 1,A 1O ⊄平面B 1CD 1,所以A 1O ∥平面B 1CD 1.(2)因为AC ⊥BD,E,M 分别为AD 和OD 的中点,所以EM ⊥BD,又A 1E ⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,所以A 1E ⊥BD,因为B 1D 1∥BD,所以EM ⊥B 1D 1,A 1E ⊥B 1D 1,又A 1E,EM ⊂平面A 1EM,A 1E ∩EM=E,所以B 1D 1⊥平面A 1EM,又B 1D 1⊂平面B 1CD 1,所以平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.4.(2017·全国甲卷文·T18)(12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°. (1)证明:直线BC ∥平面PAD.(2)若△PCD 的面积为,求四棱锥P-ABCD 的体积.【命题意图】面面垂直的性质,线面平行的判定定理以及几何体的体积,意在考查学生的逻辑推理能力和运算能力.【解析】(1)在平面ABCD 内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC ∥AD,又BC ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD,故BC ∥平面PAD.(2)取AD 的中点M,连接PM,CM,由AB=BC=12AD 及BC ∥AD,∠ABC=90°,得四边形ABCM 为正方形,则CM ⊥AD,因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,所以PM ⊥AD,PM ⊥平面ABCD,因为CM ⊂平面ABCD,所以PM ⊥CM,设BC=x,则取CD 的中点N,连接PN,则PN ⊥CD,所以因为△PCD 的面积为2,所以12×x ×x=2,解得x=-2(舍去),x=2,于是所以四棱锥P-ABCD 的体积V=13×()2242⨯+×.。

第二章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( C )B．有2个C．有无数个D．不存在A．有1个[解析] 经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．2．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列表述：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是( B )C．3D．4B．2A．1[解析] ①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( C )D．15°B．30°C．45°A．60°[解析] 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．4．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( C )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[解析] 可画出对应图形，如图所示，则BC ∥DF ，又DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，∴BC ∥平面PDF ，故A 成立；由AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，BC ∥DF ，知DF ⊥AE ，DF ⊥PE ，∴DF ⊥平面PAE ，故B 成立；又DF ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PAE ，故D 成立．5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1上的点，则下列直线中一定与CE 垂直的是( B )A ．ACB ．BDC ．A 1D 1D ．A 1A[解析] 在正方体中，AA 1⊥平面ABCD ，∴AA 1⊥BD .又正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，且AA 1∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .∵E ∈A 1C 1，∴E ∈平面AA 1C 1C ，∴CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥CE . 二、填空题6．在三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，如右图所示，则在三棱锥P －.对__3__的四个面中，互相垂直的面有ABC[解析] ∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，∴PA ⊥平面PBC ，∵PA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAC ⊥平面PBC .同理可证：平面PAB ⊥平面PAC .7．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角D －__.90°__的大小为A －C B。

）
A. ≥ θ
B. ≤ θ C. 当 ＞ 90°时， ＞θ ; 当 D. 与 θ 的大小关系不确定
≤ 90°时， ≤ θ
Pa lC
B O
答案： A 解析：当 ≥ 90°时，由 θ ≤ 90°知 当 ＜ 90°时，若 a⊥ l ，则 =θ ;
≥θ.
若 a 和 l 不 垂直，设 a∩ l =B，过 a 上的点 P 作 PO⊥ β 于 O， 作 OC⊥ l 于 C，连结 PC， 则∠ PBO=θ ，∠ PCO= .
∵ sin θ = PO ， sin = PO .
PB
PC
在 Rt△ PBC中 ， PC＜PB，
∴ sin ＞ sin θ ，∴ ＞ θ .
综 上所述，选 A.
B. 若两条 平行线中的一条不垂直于某个平面，则另一条也不垂直于这个平面
C. 若 三条平行线中的一条垂直于某个平面，则这三条直线都垂直于这个平面
D. 若三条平行线中的一条不垂直于某个平面，则另两条中可以有一条和这个平面垂直
答案： D
4. 直线 l ⊥平面 α ，直线 m α ，则有（
）
A. l 和 m异面
直线、平面垂直的判定及其性质（基础训练）
1. 下列命题是真命题的是（
）
A. a⊥α b 是 α 内任一直线且 a⊥ b
B. 若 a⊥ α , 则 a 可与 α 内的某条直线 不垂直
C. 若 a⊥ α ，则 a 可与 α没有公共点
D. 若直线 a 和平面 α 内的某条直线 垂直，则 a 与 α 垂直
答案： A
）
A. l 和α 相互平行
B. l 和α 相互垂 直
C. l 在α 内
D. 不确定
答案： D