2019年中考数学总复习第三单元函数课时训练15二次函数的图象和性质二练习湘教版

式为 ____________．
图 K15－4 11．[2017 ·株洲 ] 如图 K15－ 4，二次函数 y ＝ ax2＋ bx＋ c 图象的对称轴在 y 轴的右侧，其图象与 x 轴交于点 A(－ 1， 0) ，点 C(x 2，0) ，且与 y 轴交于点 B(0 ，－ 2) ，小强得到以下结论：
① 0＜ a＜ 2；②－ 1＜b＜ 0；③ c＝－ 1；④当 |a| ＝|b| 时， x2＞ 5－ 1. 以上结论中，正确的结论序号是 ________．
三、解答题 12．已知抛物线 y ＝ (x － m)2－ (x －m)，其中 m是常数．
(1) 求证：不论 m为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点．
5 (2) 若该抛物线的对称轴为直线 x＝ .
2
①求该抛物线所对应的函数表达式；
②把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与
x 轴只有一个公共点．
k 轴下方 ) ，点 D是反比例函数 y＝x(k>0) 图象上一点．若以点 A、 B、 C、D 为顶点的四边形是菱形，求 k 的值．
图 K15－5
14．[2017 ·益阳 ] 如图 K15－6①，直线 y＝ x＋ 1 与抛物线 y ＝ 2x2 相交于 A， B两点，与 y 轴交于点 M， M， N关于 x
a 的取值范围，由此可得
出 C 选项不符合题意； D.利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出
D 选项符合题意．
4． A [ 解析 ] 由题意可知： Δ ＝ 4－ 4(m－1) ≥0，∴ m≤2，故选 A.
5． B [ 解析 ] ∵抛物线的开口向上，顶点的纵坐标为－ 3，
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－ b2 ∴ a＞ 0， 4a ＝－

课时训练(十四)二次函数的图象及其性质(二)(限时:40分钟)|夯实基础|1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点的个数是()A.3B.2C.1D.02.[2017·宿迁]将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是()A.y=(x+2)2+1B.y=(x+2)2-1C.y=(x-2)2+1D.y=(x-2)2-13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图K14-1所示,则下列结论中正确的是 ()图K14-1A.a>0B.当-1<x<3时,y>0C.c<0D.当x≥1时,y随x的增大而增大4.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是()A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2C.x≤-4或x≥2D.-4<x<25.[2018·襄阳]已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m≤5B.m≥2C.m<5D.m>26.[2017·苏州]若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x2=4B.x1=-2,x2=6C.x1=,x2=D.x1=-4,x2=07.[2018·烟台]如图K14-2,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).下列结论:①2a-b=0;②(a+c)2<b2;③当-1<x<3时,y<0;④当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y=(x-2)2-2.其中正确的是 ()图K14-2A.①③B.②③C.②④D.③④8.[2018·黄冈]当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或29.[2018·淮安]将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是.10.[2018·孝感]如图K14-3,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是.图K14-311.[2018·镇江]已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是.12.[2018·广安]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K14-4所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有(填序号).①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3;③2a+b=0;④当x>0时,y随x的增大而减小.图K14-413.[2018·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.|拓展提升|14.[2018·乐山]已知关于x的一元二次方程mx2+(1-5m)x-5=0(m≠0).(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;(2)若抛物线y=mx2+(1-5m)x-5与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且|x1-x2|=6,求m的值;(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P,Q不重合),求代数式4a2-n2+8n 的值.参考答案1.A[解析] 抛物线的解析式为y=-3x2-x+4,令x=0,解得y=4,∴抛物线与y轴的交点为(0,4).令y=0,得-3x2-x+4=0,即3x2+x-4=0,解得x1=-,x2=1.∴抛物线与x轴的交点分别为,(1,0).综上,抛物线与坐标轴的交点个数为3,故选A.2.C[解析] 根据函数图象平移的规律“左加右减,上加下减”得y=(x-2)2+1,故选C.3.B4.D[解析] ∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1, ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4,0),∵a<0,∴抛物线开口向下,则使函数值y>0成立的x的取值范围是-4<x<2.5.A[解析] ∵二次函数的图象与x轴有交点,∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×m-1≥0,解得m≤5.故选A.6.A[解析] 根据题意可得4a+1=0,a=-,则-(x-2)2+1=0,解一元二次方程得x1=0,x2=4.7.D[解析] ①∵A(-1,0),B(3,0),∴对称轴是直线x=-==1,∴2a+b=0,又∵a≠0,b≠0,∴①错误,可以排除A选项;②∵x=-1时,y=a-b+c=0,∴a+c=b,∴(a+c)2=b2,∴②错误,可以排除B,C选项;③当-1<x<3时,抛物线在x轴下方,y<0,∴③正确;④当a=1时,抛物线y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得抛物线y=(x-1-1)2-4+2=(x-2)2-2,∴④正确;故选D.8.D[解析] y=x2-2x+1=(x-1)2,该函数在实数范围内的最小值为0,但题中说当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,因此,当x=a或x=a+1时,函数值为1,令y=1,可得x1=0,x2=2,∴a+1=0或a=2,即a=-1或2,故选D.9.y=x2+210.x1=-2,x2=1[解析] ∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),∴的解为即方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.11.k<4[解析] ∵二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,∴二次函数y=x2-4x+k的图象与x轴有两个公共点.∴b2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0.解得k<4.12.②③[解析] ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口下,∴a<0.∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴,∴c>0.∵对称轴x=->0,∴b>0,∴abc<0.∴①错误.由二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标为3,对称轴为直线x=1,则另一个交点的横坐标为2×1-3=-1,∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3.∴②正确.∵对称轴为直线x=-=1,∴2a+b=0.∴③正确.∵二次函数图象的开口向下,对称轴为直线x=1,∴当0<x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小.∴④错误.故正确的有②③.13.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=1+.设直线l与y 轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=·OC·|x A|+·OC·|x B|=·OC·|x A-x B|=×1×2=.14.解:(1)证明:由题意得:Δ=(1-5m)2-4m×(-5)=(5m+1)2≥0, ∴无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根.(2)解方程mx2+(1-5m)x-5=0,得x1=-,x2=5.由|x1-x2|=6,得=6.解得m=1或m=-.(3)由(2)得,当m>0时,m=1.此时抛物线解析式为y=x2-4x-5,其对称轴为直线x=2.由题意知,P,Q关于直线x=2对称.∴=2,∴2a=4-n.∴4a2-n2+8n=(4-n)2-n2+8n=16.。

课时训练(十四)二次函数的图象和性质(一)(限时:45分钟)|夯实基础|1.y=(a-1)+x-3是二次函数时,a的值是()A.1B.-1C.±1D.02.[ 0 8·山西]用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为()A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2-253.[ 0 8·上海]下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是()A.开口向下B.对称轴是y轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的4.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象可能是()图K14-15.[ 0 8·潍坊]已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足 ≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或66.[ 0 8·莱芜]函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是()A.x<-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<27.[ 0 8·哈尔滨]抛物线y=2(x+2)2+4的顶点坐标为.8.[ 0 7·邵阳]若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则a的值可能是.(写一个即可)9.[ 0 7·广州]当x= 时,二次函数y=x2-2x+6有最小值.10.[ 0 7·兰州]若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q点的坐标为.11.经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线的表达式是.12.已知a,b,c是实数,点A(a+1,b),B(a+2,c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上,则b,c的大小关系是b c(用“>”或“<”填空).13.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:从上表可知,下列说法中正确的是(填写序号).①抛物线与x轴的一个交点为点(3,0);②函数y=ax2+bx+c的最大值为6;③抛物线的对称轴是直线x=;④在对称轴左侧,y随x的增大而增大.14.已知抛物线y=ax2经过点(1,3).(1)求a的值;(2)当x=3时,求y的值;(3)说出此二次函数的三条性质.15.如图K14-2,抛物线y=x2+bx+c经过A(-,0),B(0,-3)两点,此抛物线的对称轴为直线l,顶点为C,且l与直线AB 交于点D.(1)求此抛物线的表达式;(2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标;(3)求证:BC=CD.图K14-2|拓展提升|16.[ 0 8·陕西]对于抛物线y=ax2+(2a- )·x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限17.一次函数y=x的图象如图K14-3所示,它与二次函数y=ax2-4ax+c的图像交于A,B两点(其中点A在点B的左侧),与这个二次函数图象的对称轴交于点C.(1)求点C的坐标.(2)设二次函数图象的顶点为D.①若点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于3,求此二次函数的表达式;②若CD=AC,且△ACD的面积等于10,求此二次函数的表达式.图K14-3参考答案1.B2. B3.C [解析] ∵二次函数y=x 2-x 的二次项系数为1,∴图象开口向上,A 选项错误;∵对称轴x=- =,∴B 选项错误;∵原点(0,0)满足二次函数y=x 2-x ,∴C 选项正确;∵二次函数y=x 2-x 二次项系数为1,∴图象开口向上,在对称轴右侧部分是上升的,∴D 选项错误. 4.C5.B [解析] 二次函数y=-(x-h )2,当x=h 时,y 有最大值0,而当自变量x 的值满足 ≤x ≤5时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,故h<2或h>5.当h<2时,若 ≤x ≤5,则y 随x 的增大而减小,故当x=2时,y 有最大值,此时-(2-h )2=-1,解得h 1=1,h 2=3(舍去),此时h=1;当h>5时,若 ≤x ≤5,则y 随x 的增大而增大,故当x=5时,y 有最大值,此时-(5-h )2=-1,解得h 1=6,h 2=4(舍去),此时h=6.综上可知,h=1或6,故选B .6.A [解析] 由题意,得4a+4a+m=0,∴m=-8a ,∴y=ax 2+2ax-8a.令y=0,得ax 2+2ax-8a=0,∵a<0,∴x 2+2x-8=0,解得x=-4或x=2,∴x<-4或x>2.故答案为A . 7.(-2,4)8.-1(答案不唯一,只要a 小于零即可) [解析] 因为抛物线的开口向下,所以a 的值为负数. 9.1 5 [解析] ∵y=x 2-2x+6=(x-1)2+5,∴当x=1时,y 最小值=5.10.(-2,0) [解析] P ,Q 两点关于对称轴对称,则P ,Q 两点到对称轴x=1的距离相等,∴Q 点的坐标为(-2,0). 11.y=-8(x-4)(x+2) [解析] 设抛物线表达式为y=a (x-4)(x+2),把C (0,3)代入上式得3=a (0-4)(0+2),解得a=-8,故y=-8(x-4)(x+2).12.< [解析] 易知抛物线开口向上,二次函数图象的对称轴为直线x=--=a ,所以在对称轴右侧,y 随x 的增大而增大,又a<a+1<a+2,所以b<c. 13.①③④14.解:(1)∵抛物线y=ax 2经过点(1,3), ∴a×12=3,∴a=3.(2)把x=3代入抛物线y=3x2,得y=3×32=27.(3)抛物线的开口向上;坐标原点是抛物线的顶点;当x>0时,y随着x的增大而增大; 抛物线有最低点,当x=0时,y有最小值,且最小值是0.(答案不唯一,写出三条即可) 15.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(-,0),B(0,-3)两点,∴- )-0,- ,解得- ,- ,∴此抛物线的表达式为y=x2-x-3.(2)由(1)可得此抛物线的对称轴l为直线x=,顶点C的坐标为(,-4).(3)证明:∵过A,B两点的直线的表达式为y=-x-3,∴当x= 时,y=-6,∴点D的纵坐标为-6,∴CD=|-6|-|-4|=2,作BE⊥l于点E,则BE=,∴CE=|-4|-|-3|=1,由勾股定理得BC= )=2,∴BC=DC.16.C[解析] ∵抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,∴a+2a-1+a-3>0,解得a>1.∵-=--,-=- )-- )=-8-,∴抛物线顶点坐标为--,-8-.∵a>1,∴--<0,-8-<0,∴该抛物线的顶点一定在第三象限.故选C.17.解:(1)y=ax2-4ax+c=a(x-2)2+c-4a,∴二次函数图象的对称轴为直线x=2.当x=2时,y=×2=,∴C 点坐标为2,.(2)①若点D 和点C 关于x 轴对称,则点D 坐标为2,-,CD=3.∵△ACD 的面积等于3,∴点A 到CD 的距离为2, ∴点A 的横坐标为0(点A 在点B 左侧). ∵点A 在直线y=x 上,∴点A 的坐标为(0,0).将点A ,点D 坐标代入二次函数表达式可求得8, 0,∴二次函数表达式为y=8x 2-x. ②若CD=AC ,如图,设CD=AC=m (m>0). 过A 点作AH ⊥CD 于H ,则AH=5AC=5m ,∴S △ACD =×CD×AH=m ·5m=10. ∵m>0,∴m=5,∴D 点坐标为2, 或2,-7 ,A 点坐标为-2,-.将A -2,-,D 12,-7代入二次函数y=ax 2-4ax+c 中,可求得8, - ,∴二次函数表达式为y= 8x 2- x-3;将A -2,- ,D 22,代入二次函数y=ax 2-4ax+c 中,求得-,,∴二次函数表达式为y=-x2+2x+.x2-x-3或y=-x2+2x+.综上可得,二次函数表达式为y=8。

课时训练15 二次函数的图象与性质2限时：30分钟夯实基础1．[2017·兰州]下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：x11．11．21．31．4y－1－0．490．040．591．16那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是()A．1B．1．1C．1．2D．1．32．[2018·威海]二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图K15－1所示，下列结论错误的是()图K15－1A．abc＜0B．a＋c＜b C．b2＋8a＞4ac D．2a＋b＞03．[2018·枣庄]如图K15－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是()图K15－2A ．b 2＜4acB ．ac ＞0C ．2a －b ＝0D ．a －b ＋c ＝04．[2017·徐州]若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( ) A ．b ＜1且b ≠0 B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜15．[2018·临沂]一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是( )A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大6．[2017·镇江]若二次函数y ＝x 2－4x ＋n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n ＝ ．7．[2018·镇江]已知二次函数y ＝x 2－4x ＋k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是 ． 8．[2018·云南]已知二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象经过A (0，3)，B (－4，－92)两点． (1)求b ，c 的值．(2)二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴是否存在公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由．9．如图K15－3，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A(－1，0)，点B(3，0)和点C(0，－3)，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．(1)求二次函数的表达式；(2)结合图象，直接写出当一次函数值小于二次函数值时自变量x的取值范围．图K15－3能力提升10．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解是()A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝－5D．x1＝－1，x2＝511．[2017·阿坝州]如图K15－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示．给出下列结论：图K15－4①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确结论的个数是()A．4B．3C．2D．112．已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为()A．1或－5B．－1或5 C．1或－3D．1或313．[2017·武汉]已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a(a≠0)的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是．14．如图K15－5，抛物线y＝ax2＋bx－4a(a≠0)的对称轴为直线x＝3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，24)．(1)求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为E，求点E的坐标．图K15－5拓展练习15．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )，B (x 1＋n ，m )两点，则m ，n 的关系为( ) A ．m ＝12nB ．m ＝14n C ．m ＝12n 2 D ．m ＝14n 216．[2018·兰州]如图K15－6，抛物－线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1向左平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )图K15－6A ．－458＜m ＜－52 B ．－298＜m ＜－12C ．－298＜m ＜－52D ．－458＜m ＜－1217．[2018·厦门质检改编]已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3． (1)若二次函数图象经过点(1，－4)，(－1，0)，求a ，b 的值．(2)若2a －b ＝1，对于任意不为零的实数a ，是否存在一条直线y ＝kx ＋p (k ≠0)，始终与二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由．参考答案1．C[解析] 观察表格得，方程x2＋3x－5＝0的一个近似根为1．2，故选C．2．D3．D[解析] 由图象的开口向上可知a＞0，由图象与y轴交于负半轴可知c＜0，∴ac＜0，B错误;由图象与x轴＝1，∴b＝－2a，2a－b＝2a－(－2a)＝有两个交点可知b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A错误;由对称轴是直线x＝1得−b2a4a＞0，∴C错误;由二次函数图象的对称性可得二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)，∴a－b＋c＝0，D 正确．故选D．4．A[解析] 令x＝0，得抛物线与y轴的交点坐标是(0，b)，令y＝0，则x2－2x＋b＝0，由题意得b≠0且4－4b＞0，解得b ＜1且b ≠0．5．D [解析] 当原数是0时，新数也是0，原数与对应新数的差等于零，选项A 错误;设原数为x (x ≤100的自然数)，新数为x 2100，原数与对应新数的差为x −x 2100，令y ＝x −x 2100，则y ＝−1100(x －50)2＋25，当50＜x ≤100时，y 随x 的增大而减小，选项B 错误;令x −x 2100＝21，解得x 1＝30，x 2＝70，选项C 错误;由y ＝−1100(x －50)2＋25可知当原数取50时，原数与对应新数的差最大，选项D 正确，故选D ．6．4 [解析] ∵二次函数y ＝x 2－4x ＋n 的图象与x 轴只有一个公共点，∴(－4)2－4×1·n ＝0，∴n ＝4． 7．k ＜4 [解析] ∵二次函数y ＝x 2－4x ＋k 的图象的顶点在x 轴下方， ∴二次函数y ＝x 2－4x ＋k 的图象与x 轴有两个公共点． ∴b 2－4ac ＞0，即(－4)2－4×1×k ＞0．解得k ＜4．8．解：(1)∵二次函数y ＝−316x 2＋bx ＋c 的图象经过A (0，3)，B (－4，−92)两点， ∴{c ＝3，－316×(－4)2－4b ＋c ＝－92，解得{b ＝98，c ＝3，∴b ＝98，c ＝3． (2)由(1)知，b ＝98，c ＝3．∴该二次函数为y ＝−316x 2＋98x ＋3．在y ＝−316x 2＋98x ＋3中，当y ＝0时，0＝−316x 2＋98x ＋3，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴二次函数y ＝−316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个公共点，分别为(－2，0)，(8，0)．9．解：(1)根据题意，设二次函数的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，把(0，－3)代入表达式，得－3＝－3a ， 解得a ＝1，∴二次函数的表达式是y ＝x 2－2x －3．(2)根据图象可得，一次函数值小于二次函数值时自变量x 的取值范围是x ＜0或x ＞3． 10．D11．B [解析] ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac ＞0，∴①正确;∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，而点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点的坐标为(3，0)， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3，∴②正确; ∵x ＝−b 2a＝1，∴b ＝－2a ，当x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0， ∴a ＋2a ＋c ＝0，∴③错误;∵抛物线与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)，(3，0)， ∴当－1＜x ＜3时，y ＞0，∴④错误; ∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，∴⑤正确．故选B ． 12．B13．13＜a ＜12或－3＜a ＜－2 [解析] ∵y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a ＝(ax －1)(x ＋a )，∴当y ＝0时，x 1＝1a ，x 2＝－a ，∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为(1a ，0)和(－a ，0)． ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(m ，0)且2＜m ＜3，∴当a ＞0时，2＜1a ＜3，解得13＜a ＜12，当a ＜0时，2＜－a ＜3，解得－3＜a ＜－2． 14．解：(1)将C (0，4)代入y ＝ax 2＋bx －4a 中得a ＝－1， ∵对称轴为直线x ＝32，∴−b 2×(－1)＝32，解得b ＝3．∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4．∵y ＝－x 2＋3x ＋4＝－(x −32)2＋254，∴顶点坐标为(32，254)，当x ＝4时，y ＝－42＋3×4＋4＝0，∴当0≤x ≤4时，y 的取值范围是0≤y ≤254．(2)∵点D (m ，m ＋1)在抛物线上，∴m ＋1＝－m 2＋3m ＋4， 解得m ＝－1或m ＝3．∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(3，4)．又∵C (0，4)，∴CD ∥AB ，且CD ＝3．当y ＝－x 2＋3x ＋4＝0时， 解得x ＝－1或x ＝4，∴B (4，0)． ∴OB ＝OC ＝4，∴∠OCB ＝∠DCB ＝45°，∴点E 在y 轴上，且CE ＝CD ＝3， ∴OE ＝1，∴点E 的坐标为(0，1)． 15．D [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x轴只有一个交点，∴b 2－4c ＝0，c ＝b24，∴y ＝x 2＋bx ＋b24＝(x ＋b2)2，∵图象过A (x 1，m )，B (x 1＋n ，m )两点，∴−b2＝x 1＋x 1＋n2＝x 1＋12n ，把(x 1，m )代入二次函数解析式，得m ＝(x1＋b2)2，∴m ＝(−12n)2，即m ＝14n 2，故选D ．16．C [解析] 抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，则A (9，0)，B (5，0)．由C 1的解析式得C 2的解析式为y ＝12(x －3)2－2＝12x 2－3x ＋52．当直线y ＝12x ＋m 经过B (5，0)时，解得m ＝−52， 当直线y ＝12x ＋m 经过A (9，0)时，解得m ＝−92，Δ＜0，此时与抛物线C 2无交点．由此可判断若直线与C 1，C 2有3个交点，则与C 2有两个交点．12x 2－3x ＋52＝12x ＋m ，化简得x 2－7x ＋5－2m ＝0，Δ＝49－4(5－2m )＞0，解得m ＞−298． 综上，m 的取值范围为−298＜m ＜−52．故选C ．17．解：(1)把(1，－4)，(－1，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得{a ＋b －3＝－4，a －b －3＝0．解得{a ＝1，b ＝－2．(2)当直线与二次函数图象相交时，有kx ＋p ＝ax 2＋(2a －1)x －3．整理可得ax 2＋(2a －k －1)x －3－p ＝0．可得Δ＝(2a －k －1)2＋4a (3＋p )．若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则Δ＞0．化简可得4a 2－4a (k －p －2)＋(1＋k )2＞0．因为无论a 取任意不为零的实数，总有4a 2＞0，(1＋k )2≥0，所以当k －p －2＝0时，总有Δ＞0．可取p ＝1，k ＝3．对于任意不为零的实数a ，存在直线y ＝3x ＋1始终与函数图象交于不同的两点．(直线解析式不唯一)。