泰安2023~2024学年第一学期高二年级期末考试模拟考试数学试题2024.01（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.准线方程为2y =的抛物线的标准方程是（）A.24x y =B.24x y =-C.28x y =D.28x y=-【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线的标准方程直接求解即可.【详解】由题知，设抛物线方程为()220x py p =<，由其准线方程为2y =，则22p-=，可得4p =-，所以抛物线的方程为28x y =-.故选：D2.直线210x ay +-=和直线()3110a x ay ---=垂直，则a =（）A.1B.12C.1或12D.1或12-【答案】C 【解析】【分析】由直线垂直的充要条件列出方程求解参数即可.【详解】由题意直线210x ay +-=和直线()3110a x ay ---=垂直，所以()()311201a a a a -⋅+⋅-=⇒=或12a =，C 正确.故选：C.3.已知在等比数列{}n a 中，4816a a ⋅=，则6a 的值是（）A.4B.-4C.4± D.16【答案】C 【解析】【分析】利用等比数列的性质计算出答案,【详解】由题意得248616a a a ⋅==，解得64a =±.故选：C4.如图，在三棱台111ABC A B C -中，且112AB A B =，设1,,AB a AC b AA c ===，点D 在棱11B C 上，满足112B D DC = ，若AD xa yb zc =++，则（）A.11,,163x y z === B.111,,632x y z ===C.11,,136x y z === D.111,,362x y z ===【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】1111111111111212,,3333AD AA A D A D A B A C AD AA A B A C =+=+∴=++又111111111,,,2263A B a A C b AA c AD a b c ===∴=++ ，所以11,, 1.63x y z ===故选：A.5.若数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（）A.511B.1023C.1025D.2047【答案】B 【解析】【分析】通过累加和等比数列的求和即可得答案.【详解】由题意知:12nn n a a +-=，则有1212a a -=，2322a a -=，3432a a -=，L ，91092a a -=，由累加可得12391012222a a -=++++ ，即12391012222a =+++++ ()101011221102312⨯-==-=-.故选:B.6.已知圆221:20(0)C x ax y a -+=>，直线:0l x =，圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则圆1C与圆222:(1)(1C x y -+=的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】B 【解析】【分析】结合图形，由圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1得12a=，即得圆1C 的圆心与半径，再由圆心距与两半径和差的关系判断两圆位置关系即可，【详解】由221:20(0)C x ax y a -+=>，得222()(0)x a y a a -+=>，则圆心1(,0)C a ，半径a ，由221:20(0)C x ax y a -+=>，得222()(0)x a y a a -+=>，则圆心1(,0)C a ，半径r a =，因为圆上3个点到直线的距离是1，由直线:0l x +=，2a =，故由题可知12aa =-，则2a =，故圆1C 的圆心为()2,0，半径是2，又圆2C 的圆心为(，半径是1，则12C C =，因为2121-<<+，所以两圆的位置关系是相交.故选：B .7.已知圆22:(4)1C x y +-=上有一动点P ，双曲线22197:x M y -=的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动点Q ，则PQ QF +的最小值为（）A.1-B.5- C.7+ D.5【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】在双曲线22197:x M y -=中，29a =，27b =，∴216c =，∴()4,0F -，设双曲线的右焦点为2F ，则()24,0F ，Q 在双曲线的右支上，∴226QF QF a -==，即26QF QF =+，由题知，圆心()0,4C ，半径1r =，P 在圆C 上，∴1PQ QC ≥-，则2265PQ QF PQ QF QC QF +=++≥++，当C ，Q ，2F 三点共线且Q 位于另两点之间时，2QC QF +取得最小值为2CF =，此时255PQ QF QC QF +≥++=，∴PQ QF +的最小值为5+.故选：D.8.数列{}n a 满足2(1)21nn n a a n ++-=-，前12项和为158，则1a 的值为（）A.4 B.5 C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】由2(1)21nn n a a n ++-=-，推出24612a a a a ++++ 和13511a a a a ++++ ，再利用前12项和为158求解.【详解】因为2(1)21nn n a a n ++-=-，所以423a a +=，8611a a +=，121019a a +=，2468101233a a a a a a ∴+++++=，又315375971,5,9,13a a a a a a a a -=-=-=-=，11917a a -=，1357911a a a a a a ∴+++++()()()()()11997755331123456a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+117132935415615833a =+⨯+⨯+⨯+⨯+=-，15a ∴=.故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()2,2,2a =- ，()1,2,1b =-，则下列说法正确的是（）A.()1,4,1a b +=-B.//a br rC.a b ⊥D.cos ,23a ab -=【答案】ACD 【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算可判断A 选项；利用空间向量平行的坐标表示可判断B 选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，()()()2,2,21,2,11,4,1a b +=-+-=-，A 对；对于B 选项，因为222112-=≠-，则a 、b 不共线，B 错；对于C 选项，2420a b ⋅=-+-=，所以，a b ⊥ ，C 对；对于D 选项，()()()22,2,221,2,14,2,4a b -=---=--，()284812a a b ⋅-=-+= ，a == ，26a b -==，所以，()2cos ,232a a b a a b a a b⋅--==⋅- ，D 对.故选：ACD.10.已知直线()():2220l mx m y m m ++--=∈R ，圆()()22C :1225x y -+-=，点P 为圆C 上的任意一点，下列说法正确的是（）A.直线l 恒过定点()1,1B.直线l 与圆C 恒有两个公共点C.直线l 被圆C 截得最短弦长为D.当1m =-时，点P 到直线l 距离最大值是252+【答案】ABD 【解析】【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标可判断A ；根据直线l 定点在圆C 内可判断B ；当直线l 与过定点和圆心的直线垂直时直线l 被圆C 截得的弦长最短，求出弦心距利用勾股定理可判断C ；转化为圆心到直线l 的距离可判断D.【详解】对于A ，直线():2220l m x y y +-+-=，令20220x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点()1,1，故A 正确；对于B ，因为直线l 定点()1,1，且()()221112125-+-=<，所以定点()1,1在圆C 内，所以直线l 与圆C 恒有两个公共点，故B 正确；对于C ，当直线l 与过定点和圆心的直线垂直时直线l 被圆C 截得的弦长最短，1=，所以最短弦长=，故C 错误；对于D ，当1m =-时，:0l x y -=，圆心到直线l的距离是2=，所以点P 到直线l2552+=+，故D 正确.故选：ABD.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，150a >，且14170a a +<，则（）A.{}2na 是等比数列B.n S n ⎧⎫⎨⎩⎭是递增的等差数列C.当0n S >时，n 的最大值为28D.115m ∀≤≤，*m ∈N，mS m≥【答案】AD 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式及其性质，对于A 选项，当2n ≥由122n na a -为定值即可判断；对B ，11(1)222n S n d d da n a n -=+=+-，根据2d 的正负即可判断单调性；对C ，2915290S a =>，因为15160a a +<，所以()1516303002a a S +=<即可得解；对D ，由1212m m mS a a a a a m m ++++== 结合基本不等式即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为14170a a +<，所以15160a a +<，又150a >，所以160a <，0d <.对于A 选项，11222(2)2n nn n a a d a a n ---==≥，所以{}2na 是以12a 为首项，2d 为公比的等比数列，故A 正确.对于B 选项，易知1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d d a n a n -=+=+-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项，2d 为公差的等差数列，又0d <，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减的等差数列，故B 错误.对丁C 选项，因为150a >，所以()()12915152915292929022a a a a S a ++===>；因为15160a a +<，所以()()1301516303030022++==<a a a a S ，故当0n S >时，n 的最大值为29，故C 错误.对于D 选项，因为115m ∀≤≤，*m ∈N ，0m a >，1212m m m S a a a a a m m ++++== ，由基本不等式知12ma a +≥当且仅当1m =时取等号，所以mS m≥D 正确.故选：AD.12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，点D 是点A 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.124y y =-B.4AF BF +的最小值为10C.,,B F D 三点共线D.0MB MD ⋅> 【答案】CD 【解析】【分析】设直线:1l x my =-联立抛物线，应用韦达定理判断A ；由221212144y y x x =⋅=，结合抛物线定义及基本不等式求4AF BF +最小值判断B ；设()11,D x y -，:BD x ny t =+联立抛物线，应用韦达定理得124y y t -=-，结合A 分析求参数判断C ；应用向量的坐标运算求MB MD ⋅判断D.【详解】设直线:1l x my =-，联立方程组241y xx my ⎧=⎨=-⎩，可得2440y my -+=，且216160m ∆=->，则121244y y my y +=⎧⎨=⎩，A 不正确；由221212144y y x x =⋅=，所以()1212441145259AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当2142x x ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为9，B 不正确；设()11,D x y -，:BD x ny t =+，联立24y xx ny t⎧=⎨=+⎩，可得2440y ny t --=，且216()0n t ∆=+>，则121244y y ny y t -+=⎧⎨-=-⎩，结合A 分析得1t =，即直线BD 过点F ，C 正确；由()()22111,,1,MB x y MD x y =+=+-，22121212114214440MB MD x x x x y y m m ∴⋅=+++-=+-++=+>，D 正确.故选：CD三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知ABC V 的三个顶点是(5,1)A -，(1,1)B ，(2,3)C ，则边AB 上的高所在直线的方程为________.【答案】210x y --=【解析】【分析】根据与直线AB 垂直可求得斜率，又过点(2,3)C ，根据直线的点斜式方程即可求解.【详解】因为(5,1)A -，(1,1)B ，所以111512--==--AB k ,则边AB 上的高所在直线的斜率为2，又该直线过点(2,3)C ，所以所求直线方程为32(2)y x -=-，即210x y --=，故答案为：210x y --=.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为1，E 为线段BC 的中点，则A 到平面1B DE 的距离为__________.【答案】3【解析】【分析】利用空间向量法求点到面的距离.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()111,0,0,1,1,1,0,0,0,,1,02A B D E ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()111,0,0,1,1,1,,1,02DA DB DE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，设面1B DE 的法向量为(),,n x y z =，1012DB n x y z DE n x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =得()2,1,1n =-- ，则A 到平面1B DE的距离为3DA n n ⋅== .故答案为：63.15.已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，则{}n a 的通项公式n a =________.【答案】1*2,n n n -⨯∈N 【解析】【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以()1n n +，可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，可求得结果.【详解】11a = ，()121n n na n a +=+，121n n a a n n+∴=⨯+，又111a=，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比数列，112n na n-∴=⨯，解得12n n a n -=⨯，*N n ∈.故答案为：12n n -⨯，*N n ∈.16.设12F F ､是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，点,P Q 为椭圆C 上的两点，且满足21260,2PF Q PF QF ∠==，则椭圆C 的离心率为__________.【答案】2191219【解析】【分析】作出辅助线，由对称性得到12F M QF =，设2QF t =，根据椭圆定义得到其他各边长，由余弦定理得到方程，求出12108,99PF a PF a ==，进而求出离心率.【详解】延长1PF 交椭圆于点M ，连接2MF ，因为122PF QF =，故12//PF QF ，由对称性可知，12F M QF =，因为12//PF QF ，所以12260F PF PF Q ∠∠==，设2QF t =，则11222,,22,2PF t MF t PF a t MF a t ===-=-，故1123PM PF MF t t t =+=+=，在2PMF V 中，222222cos 2PM PF MF P PM PF =-+⋅，即()()()2222922123222a t a t t a t t +-=⨯⋅---，即218100t at -=，解得59a t =，故12108,99PF a PF a ==，由余弦定理得2221212122cos F F PF PF PF PF P =+-⋅，即22221006410818442818199281c a a a a a =+-⨯⋅⨯=，解得219c a =.故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，111a b ==，224a b +=，36S =.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =;12n n b -=（2）21n nT n =+【解析】【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式及等差数列的前n 项和公式建立方程组，解出即可；（2）因为11121n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，裂项相消求和即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，数列的等比为q ，因为224a b +=，36S =，111a b ==，所以14336d q d ++=⎧⎨+=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩()111n a n n =+-⨯=，12n n b -=.【小问2详解】因为n a n =，所以()11()22n n n n a a n S ++==，则()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1211111···+n n nT S S S S -=+++111111112122311n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-+⎝⎭122212111n n n n ⎛⎫=-=-= ⎪+++⎝⎭.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3,4AB AD AA ===，点,E F 分别为棱1,AB DD 的中点，（1）求证：1C F ⊥平面BCF ；（2）求直线1C F 与平面1DEC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3214【解析】【分析】（1）以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，通过证明1C F CF ⊥，1BC C F ⊥可得答案；（2）求出平面1DEC 的法向量n以及直线1C F 的方向向量，然后利用向量法求夹角即可.【小问1详解】方法一：因为F 是1DD 的中点，所以111112,D F D C FD DC D FC ==== 和FDC △是等腰直角三角形，所以1145D FC CFD ∠∠==，1C F CF ∴⊥，因为⊥BC 平面111,CDD C C F ⊂平面11CDD C ，所以1BC C F ⊥，又,BC CF ⊂平面BCF ，且BC CF C= 1C F ∴⊥平面BCF ；方法二：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，()()()()10,2,0,3,2,0,0,0,2,0,2,4C B F C ，()()()13,0,0,0,2,2,0,2,2CB CF C F ∴==-=--，所以11440,0C F CF C F CB ⋅=-=⋅=，1C F CF ∴⊥，1BC C F ⊥，又,BC CF ⊂平面BCF ，且BC CF C = ，1C F ∴⊥平面BCF ；【小问2详解】()()13,1,0,0,2,4DE DC ==，设平面1DEC 的法向量为 =s s ，则130240DE n x y DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2x =得()2,6,3n =- ，又()10,2,2C F =--，设直线1C F 与平面1DEC 所成角为θ，111sin cos ,14C F n C F n C F n θ⋅∴====.直线1C F 与平面1DEC所成角的正弦值为14.19.已知动点P 与两个定点()1,0A ，()4,0B 的距离的比是2.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 过点()2,1，且被曲线C截得的弦长为，求直线l 的方程.【答案】（1）22(5)4x y -+=（2）1y =或34100x y +-=【解析】【分析】（1）直接利用条件求出点P 的轨迹方程，所求方程表示一个圆；（2）直线l 的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.【小问1详解】设点(),P x y ，动点P 与两个定点()1,0A ，()4,0B 的距离的比是2，∴2PA PB=，即2PA PB =，=化简得2210210x y x +-+=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22(5)4x y -+=；【小问2详解】由（1）可知点P 的轨迹C 是以()5,0为圆心，2为半径的圆，直线被曲线C截得的弦长为∴圆心()5,0到直线l的距离1d ==，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时圆心到直线l 的距离是3，不符合条件；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，所以圆心()5,0到直线l的距离1d ==，化简得229611k k k ++=+，解得0k =或34k =-，此时直线l 的方程为1y =或34100x y +-=.综上，直线l 的方程是1y =或34100x y +-=.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()*123n n a S n +=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列的前n 项和n T ．【答案】（1）3nn a =（2）()11321344n n T n +=-+【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合等比数列的概念即可得结果；（2）利用错位相减法即可得结果.【小问1详解】因为()*123n n a S n +=+∈N，①当2n ≥时，123nn aS -=+，②②-①化简得：13n n a a +=，当1n =时，29a =，满足212a a =，所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以{}n a 的通项公式3nn a =.【小问2详解】由（1）得3nn b n =⋅，所以1231323333nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，得234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，两式相减得：()2311313233333313n n n n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅- ，化简得：()11321344n n T n +=-+.21.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==2PA PB PC AC ====，O 为AC的中点．（1）证明：⊥PO 平面ABC ；（2）若点E 在线段BC 上（异于点B ，C ），平面PAE 与平面PAC 的夹角为π6，求BE EC 的值．【答案】（1）证明过程见解析（2）12BE EC =【解析】【分析】（1）作出辅助线，求出各边长，由勾股定理逆定理得到OP ⊥OB ，结合OP ⊥AC ，得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设(),1,0E m m -，01m <<，求出平面的法向量，利用面面角的余弦值得到方程，求出23m =，得到12BE EC =.【小问1详解】连接OB ，因为AB BC ==2AC =，所以222AB BC AC +=，由勾股定理逆定理得AB BC ⊥，故112OB AC ==，因为2PA PC AC ===，所以ACP △为等边三角形，又O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且sin 60OP PA =︒=，因为2PB =，所以222OB OP PB +=，由勾股定理逆定理得OP ⊥OB ，因为OB AC O =I ，,OB AC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；【小问2详解】因为AB BC ==O 为AC 的中点，所以OB ⊥AC ，由（1）可知，,,OB OC OP 两两垂直，以O 为坐标原点，,,OB OC OP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则(()(),0,1,0,0,1,0P A C -，设(),1,0E m m -，01m <<，故((),,2,0AP AE m m ==-，设平面PAE 的法向量为(),,n x y z =r，则()(()()(),,0,,,2,020nAP x y z y n AE x y z m m mx m y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅-=+-=⎩ ，令1z =，则y =，x m -=，故233,n m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭平面PAC 的法向量为()1,0,0a =，所以cos ,n a n a n a⋅==⋅因为平面PAE 与平面PAC 的夹角为π6，2=，解得23m =，负值舍去，故12BE EC =.22.已知双曲线C 的中心为坐标原点，上顶点为()0,2，离心率为2.（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）记双曲线C 的上､下顶点为12,,A A P 为直线1y =上一点，直线1PA 与双曲线C 交于另一点M ，直线2PA 与双曲线C 交于另一点N ，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2y x =±（2）证明见解析，定点()0,4【解析】【分析】（1）根据离心率和上顶点确定,a b ，进而可得渐近线方程；（2）直线MN 的方程为y kx m =+，与双曲线联立，利用韦达定理，结合21133A P A P MA k k k =-=-，2212MA NA k k ⋅=-可得m 的值，进而可得定点.【小问1详解】设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由上顶点坐标可知2a =，则由52c e a ==可得1c b ==，双曲线的渐近线方程为2y x =±；【小问2详解】由（1）可得()()120,2,0,2A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214y x -=联立可得()2224240k x kmx m -++-=，且()22Δ1640k m =-+>，则212122224,44km m x x x x k k --+==--，()()()2222121212121222482,44k m m y y k x x m y y k x x km x x m k k -+-∴+=++==+++=--，设()1213,1,,A P A P P t k k t t∴=-=，21133A P A P MA k k k ∴=-=-，又1222121122121144MA MA y y y x x x k x x k ---=⋅=⋅==，得1222124MA NA PA MA k k k k =⋅⋅=-，12122212y y x x ++∴⋅=-，即()2221212212244416416124y y y y k m m k x x m +++---+-==--，化简得22(2)34m m +=-，。
