2020年江苏省无锡市中考数学试卷(解析版)

2020年江苏省无锡市中考数学竞赛试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．到△ABC 的三条边的距离相等的点是△ABC 的（）A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点2．下面两个三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形C．两个钝角三角形 D．两个等边三角形3．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（）A．1∶2 B．1∶4 C．4∶9 D．2∶34．我市某风景区，在“五一“长假期间，接待游人情况如下图所示，则这七天游览该风景区的平均人数为（）A．2800人B．3000人C．3200人D．3500人5．长方体的顶点数，棱数，面数分别是（）A．8，10，6 B．6，12，8 C ．6，8，10 D．8，12，66．等腰三角形的顶角是底角的 4倍，则其顶角为（）A．20°B．30°C．80°D．1207．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等8．甲、乙两个商店各进洗衣机若干台，若甲店拨给乙店 12 台，则两店的洗衣机一样多；若乙店拨给甲店 12 台，则甲店的洗衣机比乙店的洗衣机数的 5 倍还多 6 台，求甲、乙两店各进洗衣机多少台？若设甲店进洗衣机x 台，乙店进洗衣机y 台，则列出方程组：（1） 245(12)612x y y x -=⎧⎨-+=+⎩；（2） 125(12)612x y y x -=⎧⎨-+=+⎩；（3） 12125612x y x x -=+⎧⎨+=+⎩其中正确的是（ ）A ．（1）B ． （2）C ．（3）D ．（1）（2）（3）9．由132x y -=可以得到用x 表示y 的式子的是（ ） A ．223x y -= B ．2133x y =- C ． 223x y =- D ．223x y =- 10．唐僧师徒四人行至一片树林中休息，悟空与八戒闲来无事，就比赛解方程解闷. 下面是他们解方程21101136x x +--=过程中去分母的一步，其中正确的是（ ） A ．211011x x +--=B ．421016x x +--=C ．4210x 11x +-+=D ．4210x 16x +-+=二、填空题11．如图，△P 1O A 1、△P 2 A 1 A 2是等腰直角三角形，点P 1、P 2在函数4y x=（x ＞０）的图象上，斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 ．12．平行四边形两邻边的长分别为20cm ，16cm ，两条长边的距离是8cm ，•则两条短边的距离是_____cm ．13．若点P （3a-9，1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数)，则a = .14．若等腰三角形的顶角为34°，则它的底角的度数为. .15．若代数式242x x --的值为 0，则x = . 16．·a 2 ·a 3 =a 8 ，则M= ；若2x+1 =16，则x=_______．17．某公交车原坐有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（＋4，－8），（－5，6），（－3，2），（1，－7），则车上还有________人．18．与73-的和等于-1的数是 ． 19．若||3a =,2b =,则a b += ． 20．若 a 和 b 互为相反数，则|2007|a b +-= ．三、解答题21．如图，已知AB 是⊙0的直径，CD ⊥AB ，垂足为D ，CE 切⊙0于点F ，交AB 的延长线于点E ．求证：EF·EC=E0·ED ．22．已知⊙O 的半径为12cm ，弦AB=16cm ．（如图）(1）求圆心到弦AB 的距离．(2）如果弦AB 的两个端点在圆周上滑动，那么弦AB 中点形成什么样的图形？23．如图，反比例函数y ＝ｋｘ的图象与一次函数y ＝mx ＋b 的图象交于A((1,3)，B(n ，－1)两点．(1）求反比例函数与一次函数的解析式；(2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．24．已知反比例函数6y x，利用反比例函数的增减性，求当x ≤2. 5时，y 的取值范围． O y xA BA B CD E F25．已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 上一点，且AE ＝2EC ，BE ，CD 交于点F ，求证：BE ＝4EF ．26．如图，有4张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母A 、B 、C 、D 和一个算式．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录字母后放回，重新洗匀再从中随机抽取一张，记录字母.(1）用树状图或列表法表示两次抽取卡片可能出现的所有情况（卡片可用A 、B 、C 、D 表示）；(2）分别求抽取的两张卡片上算式都正确的概率和只有一个算式正确的概率.27．图形设计：如图所示是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC 是格点三角形(顶点网格交点处)，请你完成下面的两个问题：(1)在图①中画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C l ，且△A 1B 1C l 和△ABC 的相似比是2；(2)在图②中用与△ABC 和△A 1B 1C l 全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次)，拼出一个你熟悉的图案，并在图案下配一句贴切的解说词．28．新华社2003年4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局统计的信息：2003年1月至2月全国共发生事故l7万多起，各类事故发生情况具体统计如下： 事故类型事故数量(起) 死亡人数 (人)死亡人数占 各类事故总 死亡人数的百分比(％) 火灾事故 54773 610 铁路路外伤亡事故 1962 1409工矿企业伤亡事故道路交通事故115815 17290 合计 173967 20948数的百分比，填入上表．29．8箱苹果，以每箱５千克为准，称重记录如下：（超过记为正数，单位：千克）1.5， －１，3，0， 0.5， －1.5，2， －0.5这8箱苹果的总重量是多少？30．计算：21316121831++-【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．D3．C4．B5．D6．D7．A8．A9．C10．D二、填空题11．()0,2412． 10 13．2 14．73°15．-216．3a ，317．1218．47-19． 5 或-120．2007三、解答题21．连结0F ，由CD ⊥AB ，CE 切⊙0于点F 可得∠CDE=∠0FE=Rt ∠，又∠E=∠E ∴△CDE ∽△△0FE ，∴EFED EO EC =，即EF ·EC=E0·ED ． 22．（1）过O 作OC ⊥AB 于C ，连接OB ，则OB=12cm ，AC=BC=8cm ，==（cm ）．（2）圆（或以O 为圆心，cm 为半径的圆）．23．（1）∵A(1,3)在y ＝ｋｘ 的图象上，∴k ＝3，∴y ＝3ｘ又∵B(n,－１)在y ＝3ｘ的图象上，∴ ｎ＝－3，即B (－3，－1)313m b m b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：m ＝1，b ＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝3ｘ ， 一次函数的解析式为y ＝x ＋2．(2）从图象上可知，当x<－3或0<x<1时，反比例函数的值大于一次函数的值． 24．∵反比例函数6y x=，k =6>0，∴在每一个象限内，y 随x 的增大而减小． ∵x ≤.2. 5，∴y ≥2. 4．25．提示：取AE 的中点M ，连结DM ．26．(1)(2)正确的是A ，共有16种可能.∴P(两张都正确)＝161；P(一个算式正确)＝83166=． 27．略28．事故数量栏填1417；死亡人数栏填1639；所占百分比栏填2．91，6．73，7．82，82．54，10029．44千克30．223．。

2020年江苏省无锡市中考数学提升训练试卷A卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．物体的影子在正东方向，则太阳在物体的（ ）A ．正东方向B ．正南方向C ．正西方向D ．正北方向 2．如图，请你在正方形地板上涂上阴影部分，使得小猫在地板上自由地走来走去，它最终停留在地板上的概率是41．（ ） 3．如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于E ，F 点，连结CE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm4．两个完全相间的长方体的长，宽，高分别是5 cm ，4 cm ，3 cm ，把它们叠放在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，表面积最大的是（ ）A ．188cm 2B ．176cm 2C ．164cm 2D ．158 cm 25．若干名工人某天生产同一种零件，生产的零件数整理成条形图（如图）,设他们生产零件的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）A ．b>a>cB ．c>a>bC ．a>b>cD ．b>c>a6．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换. 在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图（1））. 结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图（2））的对应点所具有的性质是（ ）A ．对应点连线与对称轴垂直B ．对应点连线被对称轴平分C ．对应点连线被对称轴垂直平分D ．对应点连线互相平行7．把一个正方形三次对折后沿虚线剪下, 如图所示，则所得的图形是（）8．如图，射线OQ平分∠POR，0R平分∠QOS，以下结论：①∠POQ=∠QOR=∠ROS；②∠POR=∠QOS；③∠POR=2∠ROS ；④∠POS=2∠POQ．其中正确的是（）A．①②和③B．①②和④C．①③和④D．①②③④9．下面对么AOB的理解正确的是（）A．∠AOB的边是线段OA、OBB．∠AOB中的字母A、O、B可调换次序C．∠AOB的顶点是0，边是射线OA、OBD．∠AOB是由两条边组成的10．对角的表示方法理解错误的是（）A．角可用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，每边上的点的字母写在两旁B．任何角都可用一个顶点字母表示C．记角有时可在靠近顶点处加上弧线，注上数字来表示D．记角有时可在靠近顶点处加上弧线，注上希腊字母表示1138）A．2B．2-C．12D．12-12．一组学生去春游，预计共需费用 120 元，后来又有 2 个同学参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊 3 元，原来这组学生的人数是（）A．8 人B．10人C． 12人D． 30 人二、填空题13．升国旗时，某同学站在离旗杆底部 24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角 (视线与水平线的夹角 )恰为60°，若双眼离地面 1.5m，则旗杆的高度为m．(精确到 1 m)14．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为个平方单位．15．如图，正方形ABCD的边长为4，MN∥BC分别交AB，CD于点M，N，在MN上任取两点P，Q，那么图中阴影部分的面积是．16．矩形的对角线相交成的钝角为l20°，宽等于4 cm，则对角线的长为．17．一次体检，七(1)班24名男生有2人是1．48 m，7人身高在1．50 m到1．60 m之间，ll 人身高在1．60 m至1．70 m之问，有4人身高超过1．70 m，最高的身高已达1．79 m，则七(1)班男生身高的极差是．18．如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是．19．写出一个以23xy=⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组．20．A 表示一个多项式，若()23A a b a b÷-=+，则A= ．三、解答题21．如图，在半径等于5㎝的圆0内有长为53㎝的弦 AB，求此弦所对的圆周角的度数.22．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，BE⊥AC，DF⊥AC，E，F分别为垂足，且∠CDF=∠ABE，试说明四边形BEDF是平行四边形.23．通过市场调查发现，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y (千克，)与市场价格x （元/千克)（030x <<)存在下列关系：x (元/千克) 510 15 20 y (千克)4500 4000 3500 3000 又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量z (千克)与市场价格x (元/千克)成正比例关系：400z x =（030x <<）. 现不计其他因素影响，如果需求数量y 等于生产数量z ，那么此时市场处于平衡状态.(1)请通过描点画图探究y 与x 之间的函数关系，并求出函数解析式；(2)根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？(3)如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z 与市场价格x 的函数关系发生改变(但仍成正比例关系)，而需求数量y 与市场价格x 的函数关系未发生变化，那么当 市场处于平衡状态时，需求数量为 3200 千克，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元. 请问这时该农副产品的市场价格为多少元？z 与x 之间的解析式是什么？24．第一组数据8，8，8，第二组数据8，9，9，10，第三组数据l5，20，25．(1)每一组数据的平均数分别是多少?(2)如果将这三组数组成一组新数，新数的平均数是多少?中位数与众数是多少?25．如图，AD 是△ABCD 的高，点E 在AC 边上，BE 交AD 于点F ，且AC=BF ，AD=BD,试问BE 与AC 有怎样的位置关系？请说明理由.26．如图，DF ⊥AB ，∠A=430，∠D=42°，求∠ACB 的度数．∠ACB=89 º．27．用简便方法计算：(1) 8825⨯；(2) 200820081()22-⨯；(3) 202180.125⨯；(4)14300.252-⨯28．在“跳蚤市场”活动中初一（1）班的销售额为n 元，初一（2）班的销售额是初一（1）班的的2倍少28元，初一（3）班的销售额比初一（1）班的一半多42元，问三个班一共销售商品多少元？29．求多项式22234231x x x x x x +--+--的值，其中3x =-．E B DF C A30．某空中加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的战斗机进行空中加油．在加油过程中，设战斗机的油箱余油量为Q l，加油飞机的加油油箱余油量为Q2，加油时间为t分钟，Q l、Q2与t之间的函数关系图象如图所示，结合图象回答问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少油?将这些油全部加给战斗机需多长时间?(2)求加油过程中，战斗机的余油量Q l(t)与时间t(min)的函数解析式；(3)战斗机加完油后，以原速度继续飞行，需10 h到达目的地，油料是否够用?请说明理由．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．任意4块染成红色都可以．3．D4．C5．A6．B7．C8．A9．C10．B11．B12．A二、填空题13．414．π15．816．8 cm17．0．31 m18．5个19．略20．2223a ab b+-三、解答题21．连结 AO、BO，过0作 OC⊥AB，交 AB于C，∵OC⊥AB 且平分AB，∴AC=532，△AOC为直角三角形，∴∠AOC= 60° ,∵∠AOC=∠BOC,∴∠AOB= 120° ,∴AB 所对圆周角为 60°或 120°.22．方法不唯一，如：先证四边形ABCD为□，再证//DF BE 23．(1)描点略，100x5000y=-+(2)市场价格10元/千克，总收人40000元 (3)18元/千克，16009z x =24．(1)第一组：8，第二组：9，第三组：20 (2)平均数为12，中位数为9，众数为8 25．BE与AC互相垂直，即BE⊥AC．理由：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDF=90°．∴△ADC和△BDF都是直角三角形．∵AC=BF，AD=BD，∴Rt△ADC≌Rt△BDF（HL)，∴∠C=∠DFB．∵∠DBF+∠FBD=90°，∴∠C+∠FBD=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．26．27．(1)810；（2）1；（3）18；(4)-428．（3.5n+14）元29．221x-，17 30．(1)30 t，10 min；(2)12940 10Q t=+( t≥0)；(3)够用，理由略。

2020年江苏省无锡市中考数学全真模拟试卷4解析版一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列各数中，其相反数等于本身的是（）A．﹣1B．0C．1D．20182．下列运算正确的是（）A．2a2﹣a2＝1B．（a2）3＝a6C．a2+a3＝a5D．（ab）2＝ab23．在下列四个银行标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．5．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表：关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（）A．众数为14B．极差为3C．中位数为13D．平均数为146．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，弧AC＝弧AE，∠B＝118°，则∠D的度数为（）A．122°B．124°C．126°D．128°7．布袋里有50个形状完全相同的小球，小红随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，重复以上操作300次，发现摸到白色的球有61次，则布袋中白球的个数最有可能是（）A．5个B．10个C．15个D．20个8．关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不等实根B．有两个相等实根C．没有实数根D．无法判断根的情况9．如图，在y＝（k＞0）的图象上有三点P1，P2，P3，过三点分别作x轴垂线，垂足分别为A、B、C，连接OP1，OP2，OP3，试比较△OP1A，△OP2B，△OP3C的面积S1，S2，S3的大小，正确的是（）A．S1＞S2＞S3B．S2＞S3＞S1C．S3＞S2＞S1D．S1＝S2＝S310．如图，AB为半圆O的直径，AB＝2，点C为半圆上动点，以BC为边向形外作正方形BCDE，连接OD，则OD的最大值为（）A．2B．C．D．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．若m，n为实数，且m＝+8，则m+n的算术平方根为．12．分解因式：a3﹣25a＝．13．北京时间6月5日21时07分，中国成功将风云二号H气象卫星送入预定的高度36000km的地球同步轨道，将36000km用科学记数法表示为．14．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是边形．15．圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为cm．16．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是海里（结果保留根号）．17．（1）已知正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（﹣2，3），那么这个正比例函数的解析式是．（2）如果点A（﹣1，2）在一个正比例函数y＝f（x）的图象上，那么y随x的增大而（填”增大“或”减小“）18．若三角形三边长满足（a﹣b）2+|a﹣c|＝0，则△ABC的形状是．三．解答题（共10小题，满分84分）19．（8分）（1）计算：4cos60°﹣（﹣2）2+（π﹣2019）0（2）化简：（a+1）2﹣（a+2）（a﹣2）20．（8分）（1）解方程：﹣＝﹣3．（2）解不等式组：21．（6分）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，连接CF．（1）求证：FD＝FB；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若FB＝FE＝3，求⊙O的半径．22．（8分）为了解九年级学生的体能状况，从我校九年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，请根据两幅图中的信息回答下列问题：（1）求本次测试共调查了名学生，补全条形统计图；（2）B等级人数对应扇形统计图的圆心角的大小为；（3）我校九年级共有2100名学生，请你估计九年级学生中体能测试结果为C等级的学生有多少人？23．（8分）有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？24．（8分）已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以AC为腰，在△ABC外作顶角为30°的等腰三角形ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．25．（8分）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系y＝mx2+20x+n，其图象如图所示．（1）m＝，n＝．（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（3）该种商品每天的销售利润不低于16元时，直接写出x的取值范围．26．（10分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF＝BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD ＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，∠EAF＝75°且AE⊥AD，DF＝40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）27．（10分）直线y＝2x+3与抛物线y＝ax2交于A、B两点，已知点A的横坐标为3．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的解析式；（2）O为坐标原点，求△AOB的面积．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝与x轴、y轴分别交于A、B两点，P、Q分别是线段OB、AB上的两个动点，点P从O出发一每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时Q从B出发，以每秒5个单位的速度向终点A运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．（1）求出点Q的坐标（用t的代数式表示）（2）若C为OA的中点，连接PQ、CQ，以PQ、CQ为邻边作▱PQCD．①是否存在时间t，使得坐标轴刚好将▱PQCD的面积分为1：5的两个部分，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②PQCD对角线DQ的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解答】解：相反数等于本身的数是0．故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．【分析】直接利用幂的乘方、积的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．【解答】解：A、2a2﹣a2＝a2，故此选项错误；B、（a2）3＝a6，故此选项正确；C、a2+a3，无法计算，故此选项错误；D、（ab）2＝a2b2，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了幂的乘方、积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念求解．【解答】解：根据中心对称图形的概念，观察可知，第一个既是轴对称图形，也是中心对称图形；第二个是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第四个是轴对称图形，也是中心对称图形．所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．4．【分析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得．【解答】解：由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，所以其主视图为：故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．【分析】根据众数、中位数、平均数与极差的定义逐一计算即可判断．【解答】解：A、这12个数据的众数为14，正确；B、极差为16﹣12＝4，错误；C、中位数为＝14，错误；D、平均数为＝，错误；故选：A．【点评】本题主要考查众数、极差、中位数和平均数，熟练掌握众数、极差、中位数和平均数的定义是解题的关键．6．【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠AEC，根据三角形内角和定理求出∠CAE，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：连接AC、CE，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC＝180°﹣∠B＝62°，∵弧AC＝弧AE，∴∠ACE＝∠AEC＝62°，∴∠CAE＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠D＝180°﹣56°＝124°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．【分析】根据题意，一共摸了300次，其中61次摸出白球，可以估计出得到白球的概率，进而求出白球个数．【解答】解：∵小红共摸了300次，其中63次摸到白球，∴得到白球的概率为：≈0.2，∵布袋里装有红球和白球共50个，∴可以估计布袋中白球的个数是：0.2×50＝10，故选：B．【点评】本题考查了模拟实验，利用实验得出摸出红球的概率是解题关键．8．【分析】先计算出△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，然后根据△的意义进行判断方程根的情况．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac，关键是记住当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．【分析】直接根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S1＝S2＝S3＝|k|．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．10．【分析】通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD＝BM．再利用勾股定理计算即可．【解答】解：通过旋转观察如图可当DO⊥AB时，DO最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BD，OC．理由：∵△OBM，△BCD都是等腰直角三角形，∴∠OBM＝∠CBD，∴∠OBC＝∠MBD，∵＝＝，∴△OBC∽△MBD，∴MD：OC＝BD：BC＝，∴MD＝OC＝，∴点D的运动轨迹是以M为圆心为半径的圆，∴当D，M，O共线，即DO⊥AB时，DO最长．∵∠MCB＝∠MOB＝×90°＝45°，∴∠DCM＝∠BCM＝45°，∵四边形BCDE是正方形，∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，在△EMD和△EMB中，，∴△MED≌△MEB（SAS），∴DM＝BM＝＝＝，∴OD的最大值＝1+．故选：C．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论，属于中考常考题型．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得n＝1，继而求得m＝8，然后求m+n的算术平方根．【解答】解：依题意得：1﹣n≥0且n﹣1≥0，解得n＝1，所以m＝8，所以m+n的算术平方根为：＝＝3．故答案是：3．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣25）＝a（a+5）（a﹣5）．故答案为：a（a+5）（a﹣5）．【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：36000km＝3.6×104km．故答案为：3.6×104km．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．14．【分析】利用多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，∴这个多边形是四边形．故答案为四．【点评】本题考查了多边形的外角和定理以及四边形的内角和定理，比较简单．15．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设母线长为R，底面半径是2cm，则底面周长＝4π，侧面积＝2πR＝6π，∴R＝3．故答案为：3．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．比较基础，重点是掌握公式．16．【分析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，首先在Rt△BCD中求得CD的长，然后在Rt△ACD 中求得AC的长即可．【解答】解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝12×1.5＝18（海里），∠CBD＝45°，∴CD＝BC•sin45°＝18×＝9（海里），则在Rt△ACD中，AC＝＝9×2＝18（海里）．故我渔政船航行了18海里．故答案为：18．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形并利用三角函数的知识求解．17．【分析】（1）直接利用待定系数法求出正比例函数解析式进而得出答案；（2）直接利用待定系数法求出正比例函数解析式进而得出答案．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（﹣2，3），则3＝﹣2k，解得：k＝﹣，∴这个正比例函数的解析式是：y＝﹣x；故答案为：y＝﹣x；（2）∵点A（﹣1，2）在一个正比例函数y＝f（x）的图象上，∴2＝﹣k，故y＝﹣2x，则y随x的增大而减小．故答案为：减小．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确求出解析式是解题关键．18．【分析】由非负数的性质可得到a＝b＝c，可判定其形状．【解答】解：∵（a﹣b）2+|a﹣c|＝0，∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形，故答案为：等边三角形．【点评】本题主要考查等边三角形的判定及非负数的性质，利用非负数的性质求得a＝b＝c是解题的关键．三．解答题（共10小题，满分84分）19．【分析】（1）先计算乘法，乘方，零指数幂，然后计算加减法．（2）利用完全平方公式和平方差公式解答．【解答】解：（1）原式＝4×﹣4+1＝﹣1；（2）原式＝a2+2a+1﹣a2+4＝2a+5．【点评】考查了平方差公式，实数的运算，零指数幂以及完全平方公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．20．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：（1）去分母得：1﹣x+1＝﹣3x+6，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解；（2），由①得：x＞﹣1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．【分析】（1）连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF＝DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF＝DF＝BF；（2）只要证明∠FCB＝∠CAB即可推出CG是⊙O切线；（2）由EF＝FC，推出∠G＝∠FAG，推出AF＝FG，求出AB＝BG，由切割线定理得出（3+FG）2＝BG×AG＝2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2＝FG2﹣BF2，推出FG2﹣6FG﹣27＝0，求出FG即可，再在Rt△ABF中利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OC，BC，∵BD切⊙O于B，CH⊥AB，∴∠CHA＝∠DBA＝90°，∴CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，∴，∴，又∵CE＝EH（E为CH中点），∴BF＝DF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠DCB＝90°，∵BF＝DF，∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即CF＝BF；（2）证明：∵BF切⊙O于B，∴∠DBA＝90°，∴∠DBC+∠CBA＝90°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝90°，∴∠FBC＝∠CAB，∵OC＝OA，CF＝BF，∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC，∴∠FCB＝∠CAB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠FCB+∠BCO＝90°，即OC⊥CG，∴CG是⊙O切线；（3）解：∵BF＝CF＝DF（已证），EF＝BF＝3，∴EF＝FC＝3，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠AHE＝∠CHG＝90°，∴∠FAH+∠AEH＝90°，∠G+∠GCH＝90°，∵∠AEH＝∠CEF，∴∠G＝∠FAG，∴AF＝FG，∵FB⊥AG，∴AB＝BG，∵GBA是⊙O割线，AB＝BG，FB＝FE＝3，∴由切割线定理得：（3+FG）2＝BG×AG＝2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2，∴FG2﹣6FG﹣27＝0，解得：FG＝9，FG＝﹣3（舍去），∴AB＝＝6．【点评】本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．22．【分析】（1）根据A等级的学生数和所占的百分比可以求得本次调查的学生数，然后即可求得D等级的人数，进而将条形统计图补充完整；（2）根据（1）中的结果可以求得B等级人数对应扇形统计图的圆心角的大小；（3）根据统计图中的数据可以求得九年级学生中体能测试结果为C等级的学生有多少人．【解答】解：（1）本次测试共调查了：50÷25%＝200（名），故答案为：200；D等级的学生有：200﹣50﹣80﹣30＝40（名），补全的条形统计图如右图所示；（2）B等级人数对应扇形统计图的圆心角的大小为：360°×＝144°，故答案为：144°；（3）2100×＝315（人），答：九年级学生中体能测试结果为C等级的学生有315人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：由表可知，所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，则P （一次打开锁）＝＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．【分析】分四种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：①当CD ＝CA ，∠DCA ＝30°时，作DH ⊥AC 于H ．在Rt △ACB 中，∵∠CAB ＝30°，AB ＝4，∴BC ＝2，AC ＝2，∵∠ACD ＝∠CBA ＝30°，∴CD ∥AB ，∴S △BCD ＝S △ADC ＝•AC •DH ＝×2×＝3．②当AC ＝AD ，∠CAD ＝30°时，作DH ⊥AC 于H ．S △BCD ＝S △ABC +S △ADC ﹣S △ABD＝×2×2+×2×﹣×4×3＝2﹣3③当DA ＝DC ，∠ADC ＝30°时，作DH ⊥AC 于H ，连接BH ．∵DA ＝DC ，DH ⊥AC ，∴AH ＝CH ＝，∵∠DHC ＝∠ACB ＝90°，∴DH ∥BC ，∴S △BCD ＝S △BCH ＝×2×＝，【点评】本题考查作图﹣复杂作图、等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 25．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；（2）利用配方法求出二次函数最值即可；（3）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．【解答】解：（1）y ＝mx 2+20x +n 图象过点（5，0）、（7，16），∴，解得：； 故答案为：﹣1，﹣75；（2）∵y ＝﹣x 2+20x ﹣75＝﹣（x ﹣10）2+25，∴当x ＝10时，y 最大＝25．答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（3）∵函数y＝﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x＝10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y＝﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集．26．【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠GAF＝∠FAE即可得出EF＝BE+FD．【解答】解：【发现证明】如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG＝AE，∠GAF＝∠FAE，AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF＝EF．又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF．【类比引申】∠BAD＝2∠EAF．理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．故答案是：∠BAD＝2∠EAF．【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝80米．根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°，又∵∠ADF＝120°，∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAG＝∠BAD＝150°，∠FAE＝75°∴∠GAF＝∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG＝AE，∠GAF＝∠FAE，AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF＝EF．又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF＝80+40（﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．【点评】此题主要考查了四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．27．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用分割法求出△ABO的面积即可；【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，∴点A的坐标是（3，9）把A（3，9）代入y＝ax2中，得：a＝1，∴抛物线的解析式是：y＝x2根据题意，得：解得：或∴点B的坐标是（﹣1，1），（2）设直线y＝2x+3与y轴交于点C，则点C的坐标是（0，3）∴△AOB的面积＝．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握的待定系数法解决问题，学会用分割法求三角形的面积．28．【分析】（1）先利用勾股定理求出AB，再判断出△BEQ∽△BOA，得出比例式，代值求解即可得出结论；（2）①分两种情况，利用同高的两三角形的面积的比等于底的比，求解得出结论；②利用两点间距离公式，得出DQ2，再用函数的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，针对于直线y＝，令x＝0，则y＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，令y＝0，则＝0，∴x＝8，∴OA ＝8，根据勾股定理得，AB ＝＝10，由运动知，BQ ＝5t ，过点Q 作QE ⊥y 轴于E ，∴QE ∥AO ，∴△BEQ ∽△BOA ，∴，∴， ∴BQ ＝3t ，EQ ＝4t ，∴OE ＝OB ﹣BE ＝6﹣3t ，∴Q （4t ，6﹣3t ）；（2）连接DQ ，CP ，由运动知，OP ＝2t ，∴P （0，2t ），∵点C 是OA 的中点，∴C （4，0），∵四边形CQPD 是平行四边形，∴DQ 与CP 互相平分，设D （m ，n ），由（1）知，Q （4t ，6﹣3t ）；∴4t +m ＝4，6﹣3t +n ＝2t ，∴m ＝4﹣4t ，n ＝5t ﹣6，∴D （4﹣4t ，5t ﹣6），①Ⅰ、当x 轴将将▱PQCD 的面积分为1：5的两个部分时，如图2，∵PC 是▱PQCD 的对角线，∴S △PCQ ＝S △PCD ，∵S △CDF ：S 四边形CFPQ ＝1：5，∴S △CDF ：S △CPF ＝1：2，∴DF：PF＝1：2，∴PF：DF＝2：1，过点D作DG⊥y轴于G，∴OG＝6﹣5t，∴DG∥FO，∴，∴，∴t＝1，【注：点D本身在y轴上，为了解决问题，没将点D放在y轴上】Ⅱ、当x轴将将▱PQCD的面积分为1：5的两个部分时，如图3，过点D作DN⊥x轴于N，同Ⅰ的方法得，t＝1.5，即：坐标轴刚好将▱PQCD的面积分为1：5的两个部分时，t＝1秒或1.5秒；②由（1）知，Q（4t，6﹣3t），∵D（4﹣4t，5t﹣6），∴DQ2＝（4﹣4t﹣4t）2+（6﹣3t﹣5t+6）2＝128（t﹣1）2+32，由运动知，0≤t≤2，＝32，∴当t＝1时，DQ2最小＝4，∴DQ最小＝160，当t＝0或2时，DQ2最大＝4，∴DQ最大∴4≤DQ≤4．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，平行四边形的性质，求出点D的坐标是解本题的关键．。

2024年江苏省无锡市中考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的．）1.4的倒数是（）A.14B.4- C.2 D.2±2.在函数y =中，自变量x 的取值范围是（）A.x ≠3 B.x ＞3C.x ＜3D.3x ≥3.分式方程121x x =+的解是（）A.1x = B.2x =- C.12x =D.2x =4.一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（）A.34，34B.35，35C.34，35D.35，345.下列图形是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正五边形6.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（）A.6πB.12πC.15πD.24π7.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x 天相遇，则下列方程正确的是（）A.11x x 179+= B.11x x 179-= C.971x x += D.971x x -=8.如图，在ABC 中，80B ∠=︒，65C =︒∠，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．当AB '落在AC 上时，BAC '∠的度数为（）A.65︒B.70︒C.80︒D.85︒9.如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 是CD 的中点，则sin EBC ∠的值为（）A.5B.5C.14D.1410.已知y 是x 的函数，若存在实数()m n m n <，，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是()0tm y tn t ≤≤>．我们将m x n ≤≤称为这个函数的“t 级关联范围”．例如：函数2y x =，存在1m =，2n =，当12x ≤≤时，24y ≤≤，即2t =，所以12x ≤≤是函数2y x =的“2级关联范围”．下列结论：①13x ≤≤是函数4y x =-+的“1级关联范围”；②02x ≤≤不是函数2y x =的“2级关联范围”；③函数()0ky k x=>总存在“3级关联范围”；④函数221y x x =-++不存在“4级关联范围”．其中正确的为（）A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11.分解因式：x 2－9＝______．12.在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到45000km ．数据45000用科学记数法表示为______．13.正十二边形的内角和等于______度．14.命题“若a b >，则33a b -<-”是______命题．（填“真”或“假”）15.某个函数的图象关于原点对称，且当0x >时，y 随x 的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：______．16.在ABC 中，4AB =，6BC =，8AC =，D E F ，，分别是AB BC AC ，，的中点，则DEF 的周长为______．17.在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC 摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC BC ，分别落在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a 个单位长度，再向下平移a 个单位长度后，小明发现A B ，两点恰好都落在函数6y x=的图象上，则a 的值为______．18.如图，在ABC 中，2AC =，3AB =，直线CM AB ∥，E 是BC 上的动点（端点除外），射线AE 交CM 于点D ．在射线AE 上取一点P ，使得2AP ED =，作PQ AB ∥，交射线AC 于点Q ．设AQ x =，PQ y =．当x y =时，CD =______；在点E 运动的过程中，y 关于x 的函数表达式为______．三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）19.计算：（1）1142-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）()()22a a b a b -++．20.（1）解方程：()2240x --=；（2）解不等式组：2321x xx -≤⎧⎨+>⎩21.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE DE ，．求证：（1）ABE DCE △≌△；（2）EAD EDA ∠=∠．22.一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______；（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23.“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．【确定调查方式】（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本③随机抽取100个麦穗的长度作为样本【整理分析数据】（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm ），并将调查所得的数据整理如下：试验田100个麦穗长度频率分布表长度/cmx 频率4.0 4.7x ≤<0.044.75.4x ≤<m5.46.1x ≤<0.456.1 6.8x ≤<0.306.87.5x ≤<0.09合计1根据以上图表信息，解答下列问题：①频率分布表中的m =______；②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）【作出合理估计】（3）请你估计长度不小于5.4cm 的麦穗在该试验田里所占比例为多少．24.如图，在ABC 中，AB AC >．（1）尺规作图：作BAC ∠的角平分线，在角平分线上确定点D ，使得DB DC =；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，若90BAC ∠=︒，7AB =，5AC =，则AD 的长是多少？（请直接写出AD 的值）25.某校积极开展劳动教育，两次购买,A B 两种型号的劳动用品，购买记录如下表：A 型劳动用品（件）B 型劳动用品（件）合计金额（元）第一次20251150第二次1020800（1）求A B ，两种型号劳动用品的单价；（2）若该校计划再次购买A B ，两种型号的劳动用品共40件，其中A 型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A ，B 两种型号劳动用品的单价保持不变）26.如图，AB 是O 的直径，ACD 内接于O ， CDDB =，AB CD ，的延长线相交于点E ，且DE AD =．（1）求证：CAD CEA ∽△△；（2）求ADC ∠的度数．27.【操作观察】如图，在四边形纸片ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，8BC =，12AB =，13AD =．折叠四边形纸片ABCD ，使得点C 的对应点C '始终落在AD 上，点B 的对应点为B '，折痕与AB CD ，分别交于点M N ，．【解决问题】（1）当点C '与点A 重合时，求B M '的长；（2）设直线B C ''与直线AB 相交于点F ，当AFC ADC ∠=∠'时，求AC '的长．28.已知二次函数2y ax x c =++的图象经过点11,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和点()2,1B ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点()11,C m y +，()22,D m y +都在该二次函数的图象上，试比较1y 和2y 的大小，并说明理由；（3）点P Q ，在直线AB 上，点M 在该二次函数图象上．问：在y 轴上是否存在点N ，使得以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2024年江苏省无锡市中考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的．）1.4的倒数是（）A.14B.4- C.2 D.2±【答案】A 【解析】【分析】本题主要了考查倒数的意义，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可．【详解】解：4的倒数是14，故选：A ．2.在函数y =中，自变量x 的取值范围是（）A.x ≠3 B.x ＞3C.x ＜3D.3x ≥【答案】D 【解析】【分析】利用二次根式有意义的条件求解即可.【详解】根据二次根式有意义的条件，得：30x -≥，解得，3x ≥，故选：D.【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.3.分式方程121x x =+的解是（）A.1x =B.2x =- C.12x =D.2x =【答案】A 【解析】【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可．【详解】解：121x x =+，12x x +=，1x =，检验，当1x =时，()10x x +≠，∴1x =是原分式方程的解，故选：A ．4.一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（）A.34，34 B.35，35C.34，35D.35，34【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了平均数与中位数的定义，根据平均数与中位数的定义求解即可．【详解】解：这组数据的平均数是：()1131323537351703455++++=⨯=，这组数据从小大到大排序为：31，32，35，35，37，∵一共有5个数据，∴中位数为第3位数，即35，故选：C ．5.下列图形是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正五边形【答案】C 【解析】【分析】根据中心对称图形的定义依次进行判断即可得．【详解】解：A 、等边三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；B 、直角三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；C 、平行四边形，是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；D 、正五边形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．6.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（）A.6πB.12πC.15πD.24π【答案】B 【解析】【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积π⨯底面半径⨯母线长．【详解】解：3412S rl πππ==⨯⨯=侧，故选：B ．7.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x 天相遇，则下列方程正确的是（）A.11x x 179+= B.11x x 179-= C.971x x += D.971x x -=【答案】A 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为17，大雁的速度为19，设经过x 天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程．【详解】解：设经过x 天相遇，可列方程为：11x x 179+=，故选：A ．8.如图，在ABC 中，80B ∠=︒，65C =︒∠，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．当AB '落在AC 上时，BAC '∠的度数为（）A.65︒B.70︒C.80︒D.85︒【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得B AC BAC ''∠=∠，由三角形内角和定理可得出35B AC BAC ∠=∠=''︒，最后根据角的和差关系即可得出答案．【详解】解：由旋转的性质可得出B AC BAC ''∠=∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴180806535BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∴35B AC BAC ∠=∠=''︒，∴70BAC BAC B AC ∠=∠+''∠='︒，故选：B ．9.如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 是CD 的中点，则sin EBC ∠的值为（）A.35B.75C.2114D.5714【答案】C 【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．延长BC ，过点E 作BC 延长线的垂线，垂足为点H ，设BC CD x ==，易得60ABC DCH ∠=∠=︒，则1122CE CD x ==，进而得出31sin 60,cos 6044EH CE x CH CE x =⋅︒==⋅︒=，再得出54BH BC CH x =+=，最后根据sin EHEBC BE∠=，即可解答．【详解】解：延长BC ，过点E 作BC 延长线的垂线，垂足为点H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC CD =，AB CD ∥，∴60ABC DCH ∠=∠=︒，设BC CD x ==，∵E 是CD 的中点，∴1122CE CD x ==，∵EH BH ⊥，∴1sin 60,cos 6044EH CE x CH CE x =⋅︒==⋅︒=，∴54BH BC CH x =+=，72BE x ==∴3214sin 14x EH EBC BE ∠===，故选：C．10.已知y 是x 的函数，若存在实数()m n m n <，，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是()0tm y tn t ≤≤>．我们将m x n ≤≤称为这个函数的“t 级关联范围”．例如：函数2y x =，存在1m =，2n =，当12x ≤≤时，24y ≤≤，即2t =，所以12x ≤≤是函数2y x =的“2级关联范围”．下列结论：①13x ≤≤是函数4y x =-+的“1级关联范围”；②02x ≤≤不是函数2y x =的“2级关联范围”；③函数()0k y k x=>总存在“3级关联范围”；④函数221y x x =-++不存在“4级关联范围”．其中正确的为（）A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】A【解析】【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．推出4y x =-+在13x ≤≤时，13y ≤≤，即1t =，即可判断①；推出2y x =在02x ≤≤时，04y ≤≤，即2t =，即可判断②；③设当0m x n <≤≤，则k k y n m≤≤，当函数()0k y k x =>存在“3级关联范围”时33k m n kn m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得3k mn=，即可判断③；设1m x n ≤≤<，则222121m m y n n -++≤≤-++，当函数221y x x =-++存在“4级关联范围”时，22214214m m m n n n⎧-++=⎨-++=⎩，求出m 和n 的值，即可判断④．【详解】解：①当1x =时，43y x =-+=，当3x =时，41y x =-+=，∵10a =-<，∴y 随x 的增大而减小，∴4y x =-+在13x ≤≤时，13y ≤≤，即1t =，∴13x ≤≤是函数4y x =-+的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；②当0x =时，20y x ==，当2x =时，24y x ==，∵2y x =对称轴为y 轴，10a =>，∴当0x ≥时，y 随x 的增大而增大，∴2y x =在02x ≤≤时，04y ≤≤，即2t =，∴02x ≤≤是函数2y x =的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；③∵0k >，∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y 随x 的增大而减小．设当0m x n <≤≤，则k ky n m ≤≤，当函数()0k y k x =>存在“3级关联范围”时33kmn knm ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得：3k mn =，∵0k >，0m x n <≤≤，∴总存在3k mn =，∴函数()0ky k x =>总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；④函数221y x x =-++的对称轴为12b y a=-=，∵10a =-<，∴当1x <时，y 随x 的增大而增大，设1m x n ≤≤<，则222121m m y n n -++≤≤-++，当函数221y x x =-++存在“4级关联范围”时，22214214m m m n n n ⎧-++=⎨-++=⎩，解得：11m n ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩∴11x -≤≤-221y x x =-++的“4级关联范围”，∴函数221y x x =-++存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③，故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11.分解因式：x 2－9＝______．【答案】(x ＋3)(x －3)【解析】【详解】解：x 2-9=（x +3）（x -3），故答案为：（x +3）（x -3）.12.在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到45000km ．数据45000用科学记数法表示为______．【答案】44.510⨯【解析】【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，n 的值等于把原数变为a 时小数点移动的位数．【详解】解：数据45000用科学记数法表示为44.510⨯，故答案为：44.510⨯．13.正十二边形的内角和等于______度．【答案】1800︒##1800度【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟悉相关性质是解题的关键．根据多边形的内角和公式()2180n -⋅︒进行计算即可．【详解】解：()1221801800-⨯︒=︒，∴正十二边形的内角和等于1800︒．故答案为：1800︒．14.命题“若a b >，则33a b -<-”是______命题．（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据a b >，可得出33a b ->-，进而可判断出若a b >，则33a b -<-是假命题．【详解】解：∵a b>∴33a b ->-，∴若a b >，则33a b -<-是假命题，故答案为：假．15.某个函数的图象关于原点对称，且当0x >时，y 随x 的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：______．【答案】1y x =-（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可．【详解】解：根据题意有：1y x=-，故答案为：1y x =-（答案不唯一）16.在ABC 中，4AB =，6BC =，8AC =，D E F ，，分别是AB BC AC ，，的中点，则DEF 的周长为______．【答案】9【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理得出1114,2,3222DE AC EF AB DF BC ======，即可解答．【详解】解：∵4AB =，6BC =，8AC =，D E F ，，分别是AB BC AC ，，的中点，∴1114,2,3222DE AC EF AB DF BC ======，∴DEF 的周长4239DE EF DF =++=++=，故答案为：9．17.在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC 摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC BC ，分别落在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a 个单位长度，再向下平移a 个单位长度后，小明发现A B ，两点恰好都落在函数6y x=的图象上，则a 的值为______．【答案】2或3【解析】【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A 和点B 的坐标，再得出平移后点A 和点B 对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数6y x=的图象上，列出方程求解即可．【详解】解：∵5OA OB ==，∴()()5,0,0,5A B -，设平移后点A 、B 的对应点分别为A B ''、，∴()()5,,,5A a a B a a ''-+--，∵A B ''、两点恰好都落在函数6y x =的图象上，∴把(),5B a a '-代入6y x =得：()56a a -=，解得：2a =或3a =．故答案为：2或3．18.如图，在ABC 中，2AC =，3AB =，直线CM AB ∥，E 是BC 上的动点（端点除外），射线AE 交CM 于点D ．在射线AE 上取一点P ，使得2AP ED =，作PQ AB ∥，交射线AC 于点Q ．设AQ x =，PQ y =．当x y =时，CD =______；在点E 运动的过程中，y 关于x 的函数表达式为______．【答案】①.2②.2382x y x=-【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．易得CD PQ ，则APQ ADC ∽△△，得出AQ PQ AC CD =，代入数据即可求出2CD =；根据APQ ADC ∽△△，得出2y CD x =，设DE t =，则2AP t =，通过证明CDE BAE ∽，得出CD DE AB AE =，则32xt AE y =，进而得出()322t x y AD AE DE y+=+=，结合APQ ADC ∽△△，可得AQ AP AC AD =，代入各个数据，即可得出y 关于x 的函数表达式．【详解】解：∵CM AB ∥，PQ AB ∥，∴CD PQ ，∴APQ ADC ∽△△，∴AQ PQ AC CD =，即2x y CD=，∵x y =，∴2CD =；∵APQ ADC ∽△△，∴AQ PQ AC CD =，即2x y CD =，整理得：2y CD x =，设DE t =，∵2AP ED =，∴2AP t =，∵CM AB ∥，∴CDE BAE ∽，∴CD DE AB AE =，即23y t x AE=，整理得：32xt AE y=，∴()32322t x y xt AD AE DE t y y+=+=+=，∵APQ ADC ∽△△，∴AQ AP AC AD =，即()23222x t t x y y=+，整理得：2382x y x=-，故答案为：2，2382x y x=-．三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）19.计算：（1）1142-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）()()22a a b a b -++．【答案】（1）2（2）222a b +【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．（1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；（2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可．【小问1详解】解：1142-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭442=-+2=；【小问2详解】解：()()22a a b a b -++22222a ab a ab b =-+++222a b =+．20.（1）解方程：()2240x --=；（2）解不等式组：2321x x x -≤⎧⎨+>⎩【答案】（1）124,0x x ==，（2）13x -<≤【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组．（1）先移项，再用直接开平方法即可求解；（2）先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可写出不等式组的解集．【详解】（1）解：()2240x --=，()224x -=，22x -=或22x -=-，解得：124,0x x ==．（2）解：2321x x x -≤⎧⎨+>⎩①②，由①可得：3x ≤，由②可得：1x >-，∴原不等式组的解集为13x -<≤．21.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE DE ，．求证：（1）ABE DCE △≌△；（2）EAD EDA ∠=∠．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角．（1）根据矩形的性质得出,90AB DC B C =∠=∠=︒，再根据中点的定义得出BE CE =，即可根据SAS 求证ABE DCE △≌△；（2）根据全等的性质得出AE DE =，根据等边对等角即可求证．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴,90AB DC B C =∠=∠=︒，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，在ABE 和DCE △中，AB DC B C BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE DCE △≌△【小问2详解】证明：∵ABE DCE △≌△，∴AE DE =，∴EAD EDA ∠=∠．22.一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______；（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【答案】（1）1 3（2）2 3【解析】【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）直接利用概率公式，即可解答；（2）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式，即可解答．【小问1详解】解：∵袋子中一共有3个球，其中只有一个白球，∴摸到白球的概率1 3 =，故答案为：1 3；【小问2详解】解：根据题意列出表格如下：白红绿白（白，白）（白，红）（白，绿）红（红，白）（红，红）（红，绿）绿（绿，白）（绿，红）（绿，绿）由表可知，一共有9种等可能的情况，2次摸到的球颜色不同的情况有6种，∴2次摸到的球颜色不同的概率62 93 ==．23.“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．【确定调查方式】（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本③随机抽取100个麦穗的长度作为样本【整理分析数据】（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm ），并将调查所得的数据整理如下：试验田100个麦穗长度频率分布表长度/cmx 频率4.0 4.7x ≤<0.044.75.4x ≤<m 5.4 6.1x ≤<0.456.1 6.8x ≤<0.306.87.5x ≤<0.09合计1根据以上图表信息，解答下列问题：①频率分布表中的m =______；②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）【作出合理估计】（3）请你估计长度不小于5.4cm 的麦穗在该试验田里所占比例为多少．【答案】（1）③（2）①0.12，频数分布直方图见详解（3）84%【解析】【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．（1）根据抽样调查的特点回答即可．（2）①用1减去其他频率即可求出m 的值．②先求出麦穗长度频率分布在6.1 6.8x ≤<之间的频数，然后即可补全频数分布直方图（3）把长度不小于5.4cm 的麦穗的频率相加即可求解．【详解】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性，∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，故答案为：③（2）①频率分布表中的()10.040.450.30.090.12m =-+++=，故答案为：0.12，②麦穗长度频率分布在6.1 6.8x ≤<之间的频数有：1000.330⨯=，频数分布直方图补全如下：（3）0.450.30.090.84++=，故长度不小于5.4cm 的麦穗在该试验田里所占比例为84%．24.如图，在ABC 中，AB AC >．（1）尺规作图：作BAC ∠的角平分线，在角平分线上确定点D ，使得DB DC =；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，若90BAC ∠=︒，7AB =，5AC =，则AD 的长是多少？（请直接写出AD 的值）【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）作BAC ∠的角平分线和线段BC 的垂直平分线相交于点D ，即为所求．（2）过点D 作DE AB ⊥交AB 与点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 与点F ，先利用角平分线的性质定理证明四边形AEDF 为正方形，设AE AF ED DF x ====，则7BE x =-，5FC x =-，以DB DC =为等量关系利用勾股定理解出x ，在利用勾股定理即可求出AD ．【小问1详解】解：如下图：AD 即为所求．【小问2详解】过点D 作DE AB ⊥交AB 与点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 与点F ，则90AED AFD ∠=∠=︒，又∵90BAC ∠=︒∴四边形AEDF 为矩形，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE DF =，∴四边形AEDF 为正方形，∴AE AF ED DF ===，设AE AF ED DF x ====，∴7BE AB AE x =-=-，5FC AC AF x =-=-，在Rt BED △中，()222227BD ED BE x x =+=+-，在Rt CFD 中，()222225CD DF FC x x =+=+-，∵DB DC=∴22DB DC =∴()()222275x x x x +-=+-解得：6x =，∴AD ===．【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．25.某校积极开展劳动教育，两次购买,A B 两种型号的劳动用品，购买记录如下表：A 型劳动用品（件）B 型劳动用品（件）合计金额（元）第一次20251150第二次1020800（1）求A B ，两种型号劳动用品的单价；（2）若该校计划再次购买A B ，两种型号的劳动用品共40件，其中A 型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A ，B 两种型号劳动用品的单价保持不变）【答案】（1）A 种型号劳动用品单价为20元，B 种型号劳动用品单价为30元（2）该校购买这40件劳动用品至少需要1100元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．（1）设A 种型号劳动用品单价为x 元，B 种型号劳动用品单价为y 元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可；（2）设够买A 种型号劳动用品a 件，则够买B 种型号劳动用品()40a -件，根据题意得出1025a ≤≤，设购买这40件劳动用品需要W 元，列出W 关于a 的表达式，根据一次函数的性质，即可解答．【小问1详解】解：设A 种型号劳动用品单价为x 元，B 种型号劳动用品单价为y 元，202511501020800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，答：A 种型号劳动用品单价为20元，B 种型号劳动用品单价为30元．【小问2详解】解：设够买A 种型号劳动用品a 件，则够买B 种型号劳动用品()40a -件，根据题意可得：1025a ≤≤，设购买这40件劳动用品需要W 元，()203040101200W a a a =+-=-+，∵100-<，∴W 随a 的增大而减小，∴当10a =时，W 取最大值，101012001100W =-⨯+=，∴该校购买这40件劳动用品至少需要1100元．26.如图，AB 是O 的直径，ACD 内接于O ， CDDB =，AB CD ，的延长线相交于点E ，且DE AD =．（1）求证：CAD CEA ∽△△；（2）求ADC ∠的度数．【答案】（1）见详解（2）45︒【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．（1）由等弧所对的圆周角相等可得出CAD DAB ∠=∠，再由等边对等角得出DAB E ∠=∠，等量代换可得出CAD E ∠=∠，又C C ∠=∠，即可得出CAD CEA ∽△△．（2）连接BD ，由直径所对的圆周角等于90︒得出90ADB ∠=︒，设CAD DAB α∠=∠=，即2CAE α∠=，由相似三角形的性质可得出2ADC CAE α∠=∠=，再根据圆内接四边形的性质可得出2290180αα++︒=︒，即可得出α的值，进一步即可得出答案．【小问1详解】证明：∵CD DB =∴CAD DAB ∠=∠，∵DE AD =，∴DAB E ∠=∠，∴CAD E ∠=∠，又∵C C∠=∠∴CAD CEA ∽△△，【小问2详解】连接BD ，如下图：∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，设CAD DAB α∠=∠=，∴2CAE α∠=，由（1）知：CAD CEA∽△△∴2ADC CAE α∠=∠=，∵四边形ABDC 是圆的内接四边形，∴180CAB CDB ∠+∠=︒，即2290180αα++︒=︒，解得：22.5α=︒222.545ADC CAE ∠=∠=⨯︒=︒27.【操作观察】如图，在四边形纸片ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，8BC =，12AB =，13AD =．折叠四边形纸片ABCD ，使得点C 的对应点C '始终落在AD 上，点B 的对应点为B '，折痕与AB CD ，分别交于点M N ，．【解决问题】（1）当点C '与点A 重合时，求B M '的长；（2）设直线B C ''与直线AB 相交于点F ，当AFC ADC ∠=∠'时，求AC '的长．【答案】（1）103（2）285或525【解析】【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键．（1）过点C 作CH AD ⊥，则12CH AB ==，8AH BC ==，再求出HD ，根据勾股定理求出CD ，当点C '与点A 重合时，由折叠的性质可得出MN 垂直平分AC ，N 与D 重合，则有AM MC =，设B M MB x '==，则12AM MC x ==-，再利用勾股定理即可得出103B M MB '==．（2）分两种情况，当点F 在AB 上时和当点F 在BA 的延长线上时，设5AF x =，12AC x '=，则13C F x '=，利用AFC ADC B FM ∠=∠='∠'三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可．【小问1详解】解：如图1，过点C 作CH AD ⊥，则12CH AB ==，8AH BC ==，∴1385HD AD AC '=-=-=，∴13CD ===，12tan 5CH ADC HD ∠==，当点C '与点A 重合时，由折叠的性质可得出MN 垂直平分AC ，N 与D 重合，则有AM MC =，设B M MB x '==，则12AM MC x ==-，∵90ABC ∠=︒∴在Rt MBC 中()222812x x +=-，解得：103x =，故103B M MB '==【小问2详解】如图2，当点F 在AB 上时，如下图：由(1)可知12tan 5CHADC HD ∠==，∵AFC ADC∠=∠'∴12tan 5AFC '∠=，设5AF x =，12AC x '=，则13C F x '=，根据折叠的性质可得出：8B C BC ''==，813B F x '=-．∵B FM AFC ∠=∠''，∴12tan tan 5B FM AFC ∠'='∠=，∵90ABC ∠=︒∴在Rt BFM 中，()138135FM x =-，()128135B M MB x '==-则()()121358138131255x x x +-+-=，解得：715x =，28125AC x '==如图3，当点F 在BA 的延长线上时，同上12tan 5AFC '∠=，在Rt AFC ' 中，设5AF x =，12AC x '=，13FC x '=，138FB x '=-，在Rt MFB ' 中，()131385FM x =-，()121385B M MB x '==-则()()121351213813855FB x x x =+=-+-解得1315x =，则135********AC x '==⨯=，综上：AC '的值为：285或525．28.已知二次函数2y ax x c =++的图象经过点11,2A ⎛⎫--⎪⎝⎭和点()2,1B ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点()11,C m y +，()22,D m y +都在该二次函数的图象上，试比较1y 和2y 的大小，并说明理由；（3）点P Q ，在直线AB 上，点M 在该二次函数图象上．问：在y 轴上是否存在点N ，使得以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2112y x x =-++（2）12m >-时，12y y >；12m =-时，12y y =；12m <-时，12y y <（3）存在，155410,16N ⎛+- ⎝⎭或155410,16N ⎛-+ ⎝⎭或()0,5N -或()0,5N 或50,8N ⎛⎫ ⎪⎝⎭或50,8N ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】。