第2章《质点运动学》习题解答
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第2章 《质点运动学》习题解答
2.1.1 质点的运动学方程为
ˆˆˆˆ(1).(32)5,(2).(23)(41)r t i j r t i t j =++=-+- 求质点轨迹并用图表示。
【解】
①.32,5,x t y =+=轨迹方程为y=5
②2341x t y t =-⎧⎨=-⎩消去时间参量t 得:3450y x +-=
2.1.2 质点运动学方程为22ˆˆˆ2t t r e i e j k -=++ ,(1). 求质点的轨迹;(2).求自t=-1至t=1质点的位移。
【解】
①222t
t x e y e z -⎧=⎪
=⎨⎪=⎩消去t 得轨迹:xy=1,z=2 ②221ˆˆˆ2r e i e j k --=++ ,221ˆˆˆ2r e i e j k
-+=++ , 222211ˆˆ()()r r r e e i e e j --+-∆=-=-+-
2.1.3 质点运动学方程为2ˆˆ4(23)r t i t j =++ ,(1). 求质点的轨迹;(2).求自t=0至t=1质点的位移。
【解】
①.24,23,x t y t ==+消去t 得轨迹方程
2(3)x y =-
②0110ˆˆˆˆˆ3,45,42r j r i j r r r i j ==+∆=-=+
2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为
0114100,33.7R m θ==,0.75s 后测得
022124240,29.3,,R m R R θ==均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向(α角)。
【解】
R ∆=
349.385()
R m ∆≈
349.385
465.8(/)0.75
R v m s t
∆≈
=
=∆ 利用正弦定理可解出034.89α=-
2.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动,抛物线轨道为 2/200y x =(长度mm )
。第一次观察到圆柱体在 x=249mm 处,经过时间2ms 后圆柱体移到x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。
【解】
19.6/r v t mm ms
∆≈==∆=
0112.5α≈-
2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐,离演奏者17m 。另一人在广州听同一演奏的转播,广州离北京2320km ,收听者离收音机2m ,问谁先听到声音?声速为340m/s,电磁波传播的速度为8
3.010/m s ⨯。
【解】
1328
2117
0.05()340
23201020.0136()3.010340t s t s t t ∆=
=⨯∆=+=⨯∆<∆ 在广州的人先听到声音。
2.2.4 如果不允许你去航空公司问讯处,问你乘波音
747飞机自北京不着陆飞行到巴黎,你能否估计大约用多少时间?如果能,试估计一下(自己找所需数据)。
【解】
s
t v
∆∆=
2.2.5 火车进入弯道时减速,最初列车向正北以90km/h 速率行驶,3min 后以70km/h 速率向北偏西030方向行驶。求列车的平均加速度。
【解】
0012002120
ˆˆˆ90,70cos 6070cos30,ˆˆ70cos 60(70cos3090)913.91(/)0.071(/)913.910.0570
,sin 0.7659,49.99sin 30sin v j v i j v v v i j
v
a km h t m s θθθ
==-+∆=-=-+-∆===∆=⨯===
2.2.6 (1)ˆˆˆcos sin 2,r R ti
R tj tk =++ R 为正常数。求t=0,π/2时的速度和加速度。(2)23ˆˆˆ3 4.56,r ti t j t k
=-+ 求t=0,1时的速度和加速度(写出正交分解式)。 【解】 (1)
ˆˆˆcos sin 2,ˆˆˆsin cos 2,ˆˆcos sin r R ti R tj tk dr v R ti
R tj k dt dv a R ti
R tj dt
=++==-++==-- 当t=0时,
ˆˆˆ2, , 0,,2,,0
x y z x y z v Rj k a Ri
v v R v a R a a =+=-====-== 当t=π/2时,
ˆˆˆ-2, -, -,0,2,0,-,0
x y z x y z v Ri k a Rj
v R v v a a R a =+======= (2)
232ˆˆˆ3-4.56,ˆˆˆ3-918,ˆ-9r ti t j t k
dr v i tj t k dt dv a j
dt
=+==+==
当t=0时,ˆˆ3, -9, v i a j ==
当t=1时,ˆˆˆˆˆ3-918, -936, v i j k a j k
=+=+
2.3.1 图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图,试说明三种运动的特点(即速度,计时起点时质点的坐标,位于坐标原点的时刻)。
【解】
a 直线的斜率为速度
0120 1.732(/)ax dx
v tg m s dt
=
==- 00,20t x m ==
000
20
0,
60,|2011.547()|x x x tg t s t ===== b 直线的斜率为速度
00000300.577(/)0,10()
10
30,|10/0.57717.331()|bx x x v tg m s t x m tg t s t ========-=--
c 直线的斜率为速度
000451(/)0,25()|25()
cx x v tg m s t x m t s =====-=
2.3.2 质点直线运动的运动学方程为x=acost, a 为正常数。求质点速度和加速度并讨论运动特点(有无周期性,运动范围,速度变化情况等)。
【解】
sin cos(),
2cos cos()
x x v a t a t a a t a t π
π=-=+=-=+
质点受力cos F ma ma t mx ==-=-,是线性恢复力,质点做简谐振动,振幅为a ,运动范围在a x a -≤≤,速度具有周期性。
2.3.3 跳伞运动员的速度为