高中数学探究导学课型第二章基本初等函数(I)2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质课后提升

[解析] 设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，
∴ 93＝a－23
＝
1
3
a2
，
∴217＝a13，∴a＝3.
∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝19.
• 5．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则k＝ __－__1___，b＝__2___.
[解析] 根据指数函数的定义，得k2＋－2b＝＝10，解得kb＝＝－2 1.
互动探究学案
命题方向1 ⇨指数函数的概念
•
典例 1 (1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是 (B )
数学
必修① ·人教A版
第二章
基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 2010年11月1日，全国人口普查全面展开，而2000年我国约有13亿 人口．我国政府现在实行计划生育政策，人口年增长率较低．若 按年增长率1%计算，到2010年底，我国人口将增加多少？到2020 年底，我国人口总数将达到多少？如果我们放开计划生育政策， 年增长率是2%，甚至是5%，那么结果将会是怎样的呢？会带来灾 难性后果吗？
[解析]
只有y＝3－x＝(
1 3
)x符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不
符合y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式．
2．函数y＝( 3－1)x在R上是 A．增函数 C．偶函数
B．奇函数 D．减函数
[解析] ∵0< 3－1<1，∴函数y＝( 3－1)x在R上是减函数．
(D )
• 3．函数y＝2－x的图象是

跟踪训练 3 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2
1 x
；
(2)y＝12－x2＋2x＋8 .
.
【解析】 (1)设 u＝1x，则 x≠0，u≠0，由 y＝2u，知 y≠1，
所以函数
y＝2
1 x
的定义域为{x|x∈R，且
x≠0}，
值域为{y|y>0，且 y≠1}．
(2)设 u＝－x2＋2x＋8，则 u＝－(x－1)2＋9≤9.
∴y＝23－|x|的定义域为 R. ∵x∈R 时，u＝－|x|≤0，
∴y＝23－|x|＝23u≥230＝1. ∴y＝23－|x|的值域为[1，＋∞)．
(2)由 x－2≠0 得 x≠2，
∴y＝2
1 x2
的定义域是{x|x≠2}．
∵x－1 2≠0，∴y≠20，即
y≠1.又
y＝2
1 x2
>0，
∴y＝2
1 x2
的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．
(3)定义域为 R.
∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，
由 2x>0 知 2x＋1>1，∴(2x＋1)2>1.
∴y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为(1，＋∞)．
方法归纳
(1)对于 y＝af(x)这类函数， ①定义域是指使 f(x)有意义的 x 的取值范围． ②值域问题，应分以下两步求解： ⅰ由定义域求出 u＝f(x)的值域； ⅱ利用指数函数 y＝au 的单调性或利用图像求得此函数的值 域． (2)对于 y＝(ax)2＋b·ax＋c 这类函数， ①定义域是 R. ②值域可以分以下两步求解： ⅰ设 t＝ax，求出 t 的范围； ⅱ利用二次函数 y＝t2＋bt＋c 的配方法求函数的值域．

4
4
即 y∈[ 13 ,5]. 4
[备用例3] 若x∈[-1,2],求f(x)=3+2·3x+1-9x的值域.
解:因为 f(x)=3+2·3x+1-9x=-(3x)2+6·3x+3. 所以令 t=3x, 则由 x∈[-1,2]知 1 ≤t≤9.
3 所以 y=-t2+6t+3=-(t-3)2+12. 所以 t=3,即 x=1 时, y 有最大值 12, t=9,即 x=2 时,y 有最小值-24. 所以函数的值域为[-24,12].
(3)y=( 1 ) x22 ;(4)y=3+2x,x∈[-2,1]. 2
解:(3)因为-x2+2≤2,
所以( 1 ) x22 ≥( 1 )2= 1 .
2
24
所以 y∈[ 1 ,+∞). 4
(4)因为 x∈[-2,1],所以 2-2≤2x≤21.
即 1 ≤2x≤2.所以 13 ≤3+2x≤5,
即时训练 3-1:求下列函数的值域
(1)y=2x+1,x∈[-3,2];(2)y=2 ; x21 解:(1)令 t=x+1,则 x∈[-3,2]时 t∈[-2,3]. 故 2-2≤2t≤23,即 y∈[ 1 ,8].
4
(2)因为 x2 1 ≥0,所以 2 x21 ≥1, 所以 y∈[1,+∞).
(2)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确 的是( ) (A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0 (C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0
解析:(2)由函数图象知函数是减函数,因此0<a<1, 又当x=0时,f(0)=a-b<1知a-b<a0,即-b>0,则b<0.故选D.

2.1.2 指数函数及其性质课堂导学三点剖析一、指数函数的概念图象及性质【例1】 下列函数是指数函数吗?分别求函数的定义域、值域. (1)y=56x+1; (2)y=(21)3x; (3)y=x17.0; (4)y=π-x; (5)y=(2a-1)x(a>21,且a ≠1); (6)y=x--21. 思路分析:一个函数是否为指数函数要根据定义进行判断,不是指数函数的函数,求其定义域、值域时,先求定义域,再按复合函数结构特征去求值域.解:(1)y=56x+1=5·(56)x 不是指数函数,其定义域为R,设t=6x+1,则t ∈R,y=5t∈(0,+∞). (2)y=(21)3x =［(21)3］x =(81)x是指数函数,定义域为R,值域为(0,+∞). (3)y=x17.0不是指数函数,要使解析式有意义,必须x ≠0,定义域为{x|x ≠0}.设t=x1,则t ∈(-∞,0)∪(0,+∞),y=0.7t∈(0,1)∪(1,+∞). (4)y=π-x=(π1)x 是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).(5)y=(2a-1)x(a>21且a ≠1)是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).(6)y=x --21不是指数函数,要使函数有意义,必须1-2-x≥0,即1-(21)x ≥0,也就是(21)x ≤1=(21)0,得x ≥0,定义域为{x|x ≥0}. 令t=1-(21)x ,当x ≥0时,0<(21)x ≤1,0≤1-(21)x<1,因此t ∈［0,1］,y=t ∈［0,1］.【例2】 比较下列各组数的大小: (1)5335.0--3235.0-;(2)π0.3,0.923.5.思路分析:利用指数函数单调性可直接比较a α与a β的大小.当底数不同时,往往需要插入中间值如1进行大小比较.解:(1)由于y=0.35x在(-∞,+∞)上是减函数,又-53>-32, 因此,5335.0-<3235.0-.(2)由于π>1,因此π0.3>π0=1,0<0.92<1,则0.923.5<0.920=1,从而有π0.3>0.923.5. 温馨提示因为a 0=b 0=1,当a α、b β比较大小时(a 、b>0,且a 、b ≠1),往往插入中间值1,使a α、bβ能够通过与1的比较进而区别大小. 二、指数函数性质的应用【例3】 根据所给条件,确定x 的取值范围. (1)(21)-3x+5<2; (2)(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1(a>21且a ≠1). 思路分析:此类题目解决的依据是指单调性. 解:(1)(21)-3x+5<2⇔(2-1)-3x+5<2⇔23x-5<2. 由单调性可知3x-5<1, 即x<2.(2)当0<2a-1<1, 即21<a<1. (2a-1)x-5>(2a-1)2x-1⇔x-5<2x-1,得x>-4; 当2a-1>1, 即a>1.(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1⇔x-5>2x-1,得x<-4. 温馨提示求解指数中含有未知数的不等式时，必须注意底数是大于1还是大于零且小于1，然后再利用相应指数函数单调性进行解答，可归纳为：当a ＞1时，)(x f a ＞)(x g a⇔f （x ）＞g（x ）；当0＜a<1时，)(x f a ＞)(x g a⇔f （x ）＜g （x ）.三、指数函数的单调性【例4】 试判断函数f （x ）=2xx a a --的单调性.错解：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=211x x a a ---222x x a a -=2)()(1221x x x x a a a a ---+-.∵x 1＜x 2，∴-x 1＞-x 2.∴a x 1＜a x 2，a -x 1＞a -x2.∴a x 1-a x 2＜0，a -x 2-a -x1＜0. ∴f （x 1）-f （x 2）＜0. ∴f （x 1）＜f （x 2），即f （x ）=2xx a a --是增函数.错因分析：上述解法错误的原因是忽略了指数函数的单调性，应在a ＞1与0＜a ＜1中分别讨论.正解：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 2）-f （x 1）=222x x a a ---211x x a a --=2)()(2112x x x x a a a a ---+-.∵x 1＜x 2，∴-x 1＞-x 2.当a ＞1时，a x 1＜a x 2，a -x 1＞a -x2，∴a x 2-a x 1＞0，a -x 1-a -x2＞0， ∴f （x 2）-f （x 1）＞0， 即f （x 2）＞f （x 1）， 此时f （x ）是增函数.当0＜a ＜1时，a x 1＞a x 2，a -x 1＜a -x2，∴a x 2-a x 1＜0，a -x 1-a -x2＜0， ∴f （x 2）-f （x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1）此时f （x ）是减函数. 故当a ＞1时，f （x ）是增函数， 当0＜a ＜1时，f （x ）是减函数. 温馨提示指数函数y=a x单调性与底数a 有关，当a ＞1时，单调递增；当0＜a ＜1时，单调递减.初学者，在解题时最容易忽视这一点，如xx -2)21(＞（21）x ⇔x 2-x ＞x ，再如，若x 2-x ＞x 得xx a-2＞a x.应熟练掌握如下等价式：当a ＞1时，)(x f a＞)(x f a＝⇔f （x ）g （x ）当0＜a＜1时，)(x f a ＞)(x g a⇔f （x ）＜g （x ）.各个击破 类题演练1(1)指出下列函数哪些是指数函数：（1）y=x 4; （2）y=-4x;（3）y=（-4）x ; （4）y=x x;（5）y=2x 2; （6）y=πx. 答案：（6）是指数函数.(2)求下列函数的定义域和值域: (1)y=13+-x ;(2)y=93-x; (3)y=0.2-x+25x+1; (4)y=212x --.解析：（1）∵-x+1≥0，∴x≤1.∴定义域为{x|x≤1}，值域［1，+∞］.（2）∵3x-9≥0，∴x≥2，∴定义域为{x|x≥2},值域为［0，+∞］.（3）y=（5x ）2+5x+1,定义域为R ，值域为（1，+∞）.（4）y=21)21(x -,∵1-x 2≥0，∴-1≤x≤1，故定义域为［-1，1］,值域为［21，1］. 变式提升1求函数y=1-xa （a ＞0且a≠1）的定义域. 解析：当a ＞1时，∵a x-1≥0,∴x≥0,此时,函数的定义域为［0，+∞］. 当0＜a ＜1时，∵a x -1≥0即a x≥1.∴x≤0，此时函数的定义域为（-∞，0）. 类题演练2比较下列各组数的大小: （1）（32）-1.8与（32）-2.6； （2）32)65(-与1；（3）（0.8）-2与31)34(-；（4）21)223(-+与32)12(-.答案：（1）（23）-1.8＜（32）-2.6. （2）32)65(-＞（65）0=1.（3）0.8-2＞1,31)34(-＜1,故0.8-2＞31)34(-.（4）21)223(-+=（2+1）-1=2-1＜32)12(-,故21)223(-+＜32)12(-.变式提升2a ∈（1，+∞）时，a α＞a β，则α、β间的大小关系是（ ）A.|α|＞|β|B.α＞βC.α≥0≥βD.β>0>α 解析：∵由于a∈（1，+∞），∴y=a x 为增函数.∵a α>a β， ∴α>β.故选B. 答案：B 类题演练3 设23-2x＜432)5.0(-x ，则x 的取值范围是__________________________.解析：原不等式⇔（0.5）2x-3＜432)5.0(-x ⇔2x-3＞3x 2-4⇔-31＜x ＜1.答案：（-31，1） 变式提升3已知函数f （x ）=πx,x 1x 2＞0，试比较)()(21x f x f 与f （21x x ）的大小.解析:∵f（x ）=πx，∴f（x 1）=πx 1，f （x 2）=πx2， ∴)()(21x f x f =221x x +π，f （21x x ）=21x x π.又∵x 1x 2＞0，∴x 1与x 2同号. 当x 1＞0，x 2＞0时，221x x +-21x x =21（1x -2x ）2≥0，又π＞1， ∴221x x +π≥21x x π，即有)()(21x f x f ≥f（21x x ）.当x 1＜0，x 2＜0时，221x x +-21x x =-21［-x 1+2))((21x x ---x 2］ =-21·（1x -+2x -）2＜0， ∴221x x +π＜21x x π,即有)()(21x f x f ＜f （21x x ）.类题演练4判断y=232++-x x a（a ＞0，且a ≠1）在［23，+∞］上的单调性. 答案：用函数单调性定义可证得：当a ＞1时，原函数在［23，+∞］上单调递减；当0＜a ＜1时，原函数在［23，+∞）上单调递增.变式提升4求函数y=232++-x xa（a ＞0，a ≠1）的单调区间.解析：设μ=-x 2+3x+2=-（x-23）2+417，∴y=a μ. 当x ∈(-∞,23)，时，μ（x ）是增函数； 当x ∈［23，+∞］时，μ（x ）是减函数； 故当a ＞1时，y （μ）是增函数，那么在区间（-∞,23）上，函数y=232++-x x a 递增；当0＜a ＜1时，y （μ）是减函数， ∴当0＜a ＜1时，函数y=232++-x x a在区间［23，+∞］上递增. ∴当a ＞1时，增区间为(-∞,23)； 当0＜a ＜1时，增区间为［23，+∞］. 同理可知：当a ＞1时，y=232++-x xa的减区间为［23,+∞］； 当0<a<1时，y=232++-x x a的减区间为（-∞,23］. 温馨提示本题利用复合函数的单调性.即对于y=f ［g （x ）］，如果y=f （μ）与μ=g （x ）的增减性相同，则为增函数，若y=f （μ）与μ=g （x ）的增减性相反，则为减函数，即“同增”“异减”.。