线段的和差倍分问题一
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线段的和、差、倍、分问题(一)
1.数有加减乘除四则运算,线段有和差倍分四则运算。
2.线段的和差倍分四则运算,关键是正确地画出图形,有时需要分类讨论。
3.对于比较复杂的,可设某个线段为x,找出等量关系,列一元一次方程求解。
4.结论:已知线段AB,点C是线段AB上任意
..一点,点M,N分别是线段AC与线段BC的中点,则
MN=1
2 AB.
证明:由于点M是AC中点,所以MC= 1
2
AC,由于点N是BC中点,则CN=
1
2
BC,而MN=MC+CN=
1 2(AC+AB)=
1
2
AB。
典型例题
例1 如果A、B、C三点在同一直线上,且线段AB=4cm,BC=2cm,那么AC两点之间的距离为()
A、2cm
B、6cm
C、2或6cm
D、无法确定
分析:本题没有给出图形,在画图时,应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能,再根据正确画出的图形解题.
解:本题有两种情形:
(1)当点C在线段AB上时,如图:AC=AB-BC,又∵AB=4cm,BC=2cm,∴AC=4-2=2cm;
(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图:AC=AB+BC,又∵AB=4cm,BC=2cm,∴AC=4+2=6cm.
例2 如果A,B,C在同一条直线上,线段AB=6cm,BC=2cm,M是AB的中点,N是BC的中点,那么M、N两点之问的距离是()
A、4cm
B、2cm
C、4cm或2cm
D、8cm或4cm
分析:根据中点定义求出BM、BN的长度,然后分①点C不在线段AB,②点C在线段AB上两种情况进行讨论求解.
解:∵AB=6cm,BC=2cm,M是AB的中点,N是BC的中点,∴BM=1
2
AB=
1
2
×6=3cm,
BN=1
2
BC=
1
2
×2=1cm,
①如图1,点C在线段AB的延长线上时,MN=BM+BN=3+1=4cm,
②如图2,点C在线段AB上时,MN=BM-BN=3-1=2cm,
综上所述,M、N两点之问的距离是4cm或2cm.
例3 如图,线段AC=6 cm,线段BC=15cm,点M是AC的中点,在CB上取一点N,使得CN:NB=1:2,求MN的长.
分析:因为点M是AC的中点,则有MC=AM= 12AC,又因为CN:NB=1:2,则有CN= 13BC,故MN=MC+NC 可求.
解:∵M是AC的中点,∴MC=AM=1
2
AC=
1
2
×6=3cm,
又∵CN:NB=1:2,∴CN=1
3
BC=
1
3
×15=5cm,∴MN=MC+NC=3cm+5cm=8cm.
答:MN的长为8cm.
强化训练:
1.已知线段AB=8cm,点C是线段AB上任意一点,点M,N分别是线段AC与线段BC的中点,则线段MN= .
2.如图,线段AB=12cm,C是线段AB上任意一点,M,N分别是AC,BC的中点,MN的长为cm,如果AM=4cm,BN的长为cm.
3.已知线段AB=10cm,点C是直线AB上一点,BC=4cm,若M是AC的中点,N是BC的中点,则线段MN的长度是()
A、7cm
B、3cm
C、7cm或3cm
D、5cm
4.如图,A、B、C、D四点在同一条直线上,M是AB的中点,N是DC的中点,MN=a,BC=b,那么AD等于()
A、a+b
B、a+2b
C、2b-a
D、2a-b
5.C,D是线段AB上任意两点,M,N分别是AC,BD的中点,若CD=a,MN=b,则AB的长为()
A、2b-a
B、b-a
C、2b+a
D、以上均不对
6.已知AB=10cm,在AB的延长线上取一点C,使AC=16cm,则线段AB的中点与AC的中点的距离为
A、5cm
B、4cm
C、3cm
D、2cm
7.若M是AB的中点,C是MB上任意一点,那么与MC相等的是()
A、1
2
(AC-BC)B、
1
2
(AC+BC)C、AC-
1
2
BC D、BC-
1
2
8.已知线段AB,在BA的延长线上取一点C,使CA=3AB,则线段CA与线段CB之比为()
A、3:4
B、2:3
C、3:5
D、1:2
9.C为线段AB上一点,M是线段AC的中点,N是线段BC的中点;若AB=26cm ,AM=6cm。(1)求NC的长;
(2)若AC:CB=3:2,且NB=5cm,求MN的长.
10.已知线段AB=15cm,点C在线段AB上,BC=2
3
AC,D为BC的中点,求线段AD的长.
线段的和、差、倍、分问题(一)答案
1.4.解:如图,∵点M是AC中点,∴MC= 1
2
AC,∵点N是BC中点,∴CN=
1
2
BC,
MN=MC+CN=1
2
(AC+AB)=
1
2
AB=4.
2.6、2.