基于二项分布的“杠杆效应”以及实例分析

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基于二项分布的“杠杆效应”以及实例分析

作者：刘超 魏潇潇

来源：《经济研究导刊》2013年第10期

摘 要：类似于物理学的“杠杆原理”和经济学的“杠杆效应”，在概率统计学中也同样存在将微小变化不断放大，最终可能出现极端值的“杠杆作用”。以二项分布X～B（n，p）为例探讨了统计中的杠杆效应，并分别以社会、生活等方面的实例，具体论述阐明这一规律，从实践中得到启发与深思。

关键词：“杠杆效应”；二项分布；实例分析

中图分类号：O212.1 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2013）10-0241-03

阿基米德在《论平面图形的平衡》中最早提出了杠杆原理，“给我一个支点，我就能翘起整个地球”的哲思更是让世界为之撼动。众所周知，物理学中的“杠杆原理”表明通过力臂与力的调整，可以使微小的力和距离被放大；类似地，经济学“财务杠杆效应”是指由于固定费用的存在而导致，当某一财务变量以较小幅度变动时，另一相关变量以较大幅度变动的现象。那么，在概率统计中是否存在类似的现象呢？

在文献[6]中可以发现一个“将微小变动不断放大”的图例，这个例子与二项分布密不可分。二项分布是统计中常用的分布之一。假设贝努力试验中每次成功的概率为p，n次试验累积成功次数所占比例为k。可得累积概率为：

η=∑n

i=[kn]+1Ci

npi（1-p）n-i （1）

此处p为基准概率值，k为中心值，n为试验总次数。[kn]为对kn取整数。

当满足|k-p|=ε（ε>0且ε→0），若p→k时，会得到有趣的结果：（1）当p-k=ε时，则η>k，即p取k右（上）侧值，随着n增大，η→1，η无限趋于1；（2）当k-p=ε时，则η

例如，当k=0.5时，可以得到：（1）当p=0.51时，n→+∞时，η→1；（2）当p=0.49时，n→+∞时，η→0。

下面基于概率统计中的“杠杆效应”来分析以社会、生活中的几个例子。

一、努力提高公众参与度的选举 龙源期刊网

某人欲竞选学生会主席，假定该院系有49%的人不支持他，即每随机问一个人，都有49%的可能不选他。如果从该院系随机选择100人来投票，按照多于半数当选原则（100人中至少51人选他），他不被选上的概率有多大，是否远小于某一个人不选他的概率0.49？1 000人情况又如何？

此题可看做上述一般性规律总结的具体化，即k=0.5，p=0.49。根据（1）式容易计算得到当n=100时，他最终不当选（至少51人不选他）的概率约为0.3819。当n=1 000时，他最终不当选（至少501人不选他）的概率约为0.2532。因此，随着参与投票人数的无限增多，该竞选者不被选上的概率越来越小，甚至可能无限趋于0。这说明，当参与投票人主观意愿趋同，且对竞选者略微有利时，随着公众参与度的扩大，竞选者被支持的可能优势将被“概率杠杆”放大。

联系实际，我们时常听到鼓励公众参与投票的号召，一方面从公众角度，是参与民主途径的拓宽，另一方面，从竞选者利益角度，也是将对自身略微有利条件的扩大效应。我们在认识竞选这一社会现象时，不仅以政治、社会视角评价，更应从概率统计中得到理性深刻的认知，概率统计的“杠杆效应”便是我们理性认知的媒介。

二、遍地撒网的广告宣传

日常生活中，广告与我们“如影相随”，人口密集度较高处出现的广告无疑具有宣传的较好作用。但近些年来，广告也开始频繁出现在人口稀少地区。我们不禁要问，这样的广告宣传真具有商业价值吗？这里我们从概率统计的角度进行一些思考。

假设单个消费者通过广告宣传，对该产品性能具有一定了解的概率为71% （p=0.71），那么在一定消费人群中，如果累积消费率达70%以上，即产品最终被七成以上的人（k=0.7）选择作为潜在消费品的概率变化（如表1所示）。为了对比，表1也给出了另一种情况下累积概率的变化情况，即假定单一消费者对产品熟知度提升为0.78（p=0.78），这意味着广告宣传力度加大，广告覆盖人群数递增。

表1 两种情况下累积概率变化情况

从上面两种情况可以对比得出：p=0.78相较于p=0.71虽然只增加了一些，但是使得累积概率值趋近于极端值1的速度明显加快。不难发现，使最终累积概率值极端化的正相关因素有两个：一是广告覆盖总人群数n，二是潜在消费者对广告产品熟知度，即基准概率p。

根据以上的分析结果，我们可以理解为什么企业会采取“遍地撒网”式的广告宣传，甚至触及偏远、人口稀疏区，这一方面是扩大熟知产品的总人群数n；另一方面，也是在提升单个消费者对该产品的熟知度p，即广告延伸区域的密集度和广泛性使广告宣传影响力和效果被杠杆效应放大。因此，看似人口稀少地区的农村投放大量广告花费的是商家无谓“沉没成本”，实质龙源期刊网

上是利用“概率杠杆作用”，旨在提高潜在消费人群的科学做法，且经上述验证，符合n重贝努力试验累积后概率值极端化的规律总结。

三、洞察商家的谎言

我们经常会看到这样的例子：某商家宣称次品率不超过12‰，客户从该厂生产的一大批产品中不放回地抽取50次，每次一件，经检查发现3件次品，问厂商的话是否可信。

由于产品批量相较于抽取数量大得多，正、次品概率受前面各次影响甚微，故可将其看其近似看做n重贝努力试验，即次品数x～B（50，0.012]，50件产品中恰有3件次品的概率p{x=3}=C30

50（0.012）3（0.988）47≈0.0198，据实际推断原理：“小概率事件在一次试验中实际不可能发生。”但此题中竟然发生，故假设推断不可信，厂商的“宣称”为谎言。

类比概率统计的杠杆效应和小概率事件利用极端值否定假设的情形，我们发现两者具有相同的条件，即“试验次数足够多”，但两者不同之处在于基准概率值p的大小。在上述杠杆效应中，基准值p接近目标概率值k，如选举实例中0.49→0.5，0.51→0.5，而结果值极端化地依p较k的方向趋于0或1。而在小概率事件应用中，事件重复n次，若次品率低于12‰，则p{X=3}将更小，也是杠杆效应的某种体现，最终概率值随基准概率的偏离，与中心值差距扩大化。概率统计的杠杆作用使原本的小概率极端化，从而有充分依据否定原假设，识别商家夸张的宣传和洞悉精明的谎言，以理性视角、科学态度运用于实践，分析生活点滴。

四、街头游戏的本质

我们经常可以见到这样的街头游戏：摊前摆放着三个倒立的碗，其中一个下面藏有硬币，参与游戏的人只需看清在“游戏组织者”灵活的变换后，硬币落入哪个碗即可。

与其说这是一种街头赌博游戏，不如更恰当地解释为“骗局”。以参与者的次数占游戏总次数一半以上为获利标准，每局中参与者获利概率为1/3（实际情况中由于“组织者” 的障眼法，实际情况可能小于1/3，此处忽略不计），利用“杠杆原理”计算n=10，50，100时参与者获利的概率为：

表2 n=10，50，100时参与者获利概率变化情况

根据杠杆效应可知，参与者获利的概率微乎其微，相反“组织者”最终必然获利。参与者在游戏开始时便处于不利地位，因基准概率p=1/3，远小于目标概率k=0.5，即p

五、“积跬步以至千里” 龙源期刊网

荀子《劝学》中有言：“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。”简明而深刻的哲理进一步验证了概率统计的“杠杆效应”，即小概率事件经过概率累计的杠杆作用，最终概率甚至可趋于1。

不妨将文字表述数字化，设“跬步”、“小流”存在发生概率为ε（ε>0且ε→0）经累积过程，最终成就“千里之远距”，“江海之浩瀚”（可看作至少发生一次）的概率为：1-C0

n（1-ε）n=

1（n→+∞），对比“积累”之前结果：1-C0

n（1-ε）n=0（n→+∞） 。以上两个极端值形象直观地进一步论证了概率统计的杠杆效应。“有志者事竟成”、“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”均可用此杠杆效应解释阐述：看似微小的可能，经n重贝努力试验，n→+∞时，至少发生一次将会趋于必然事件。重视微小细节，不忽视“小概率事件”也是概率统计中的杠杆效应给予我们的深思。

综合上面几个例子，我们可以看到概率统计中的杠杆效应为社会、生活、学习各方面的研究和认识提供量化分析、理性视角、科学态度。从实践折射于思考探究，对于概率统计的杠杆效应有具象化的感知与领悟，从而为深层次实践奠定基础，“积跬步以至千里”，在杠杆效应的指引下，用微小发现的知识光圈点亮精彩奥妙的博大世界！