2018届中考数学《第四部分第四讲第3课时分割与拼接》同步练习

第3课时 分割与拼接操作型问题

(50分)

一、选择题(每题6分，共12分)

1．如图4－3－1，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( D

)

图4－3－1

A．①②③ B．①②④

C．②③④ D．①③④

【解析】 根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，①中，作底角的角平分线即可；②中，不能；③中，作底边上的高线即可；④中，在BC边上截取BD＝AB即可．

2．如图4－3－2，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形)，则∠OCD等于 ( C

)

图4－3－2

A．108° B.114° C．126° D.129°

【解析】 展开如答图： 五角星的每个角的度数是 1805＝36°，∵∠COD＝360°÷10＝36°，∠ODC＝36°÷2＝18°，∴∠OCD＝180°－36°－18°＝126°.

第2题答图 二、填空题(每题6分，共12分)

3．如图4－3－3，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝__2＋__3或4＋2__3__．

【解析】 如答图①，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝150°，BC∥AN，∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，则∠NAD＝60°，

∴∠AND＝90°，∵四边形ABCE面积为2，设BT＝x，则BC＝EC＝2x，故2x·x＝2，解得x＝1(负数舍去)，则AE＝EC＝2，EN＝22－12 ＝ 3，故AN＝2＋ 3，则AD＝DC＝4＋2 3；

第3题答图① 第3题答图②

如答图②，四边形BEDF是平行四边形，∵BE＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°，∴∠ADB＝∠BDC＝15°，∵BE＝DE，∴∠AEB＝30°，∴设AB＝y，则BE＝2y，AE＝3y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB·DE＝2y2＝2，解得y＝1，故AE＝3，DE＝2，则AD＝2＋

3，综上所述，CD的值为2＋3 或4＋2 3.

4.[2016·江西]如图4－3－4是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是__5__2或45图4－3－3 __或5__．

图4－3－4 第4题答图

【解析】 如答图所示：①AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝ 2AE＝52；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB－AE＝8－5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝P1E2－BE2＝4，∴底边AP1＝AB2＋P1B2＝82＋42＝45；③当P2A＝P2E时，底边AE＝5；综上所述，等腰三角形AEP的底边长是5 2或45 或5.

三、解答题(共26分)

5．(12分)[2016·荆州]请用割补法作图，将一个锐角三角形(如图4－3－5)经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形(只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记)．

解：如答图所示．

第5题答图

AE＝BE，DE＝EF，AD＝CF.

6．(14分)(1)如图4－3－6，△ABC纸片中，∠A＝36°，AB＝AC，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度；

图4－3－5 (2)已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连结AD，若△ACD与△ABD都是等腰三角形，则∠B的度数是__45°或36°__；

(3)现将(1)中的等腰三角形改为△ABC中，∠A＝36°，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是__72°，108°，190°，126°__．(直接写出答案)

解：(1)如答图①所示．答案不唯一，只要符合题意均正确．

第6题答图①

(2)如答图②，∠B的度数是45°或36°.

第6题答图②

(3)72°，108°，90°，126°.

(30分)

7．(14分)阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图4－3－7①，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图②)．

请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重图4－3－6 叠)，则这个新正方形的边长为__a__；

(2)求正方形MNPQ的面积．

(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图③，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边三角形RPQ.若S△RPQ＝33，则AD的长为__23__．

图4－3－7

解：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为 12a，每个等腰直角三角形的面积为 12a·12a＝ 14a2，

则拼成的新正方形面积为4×14a2＝a2，即与原正方形ABCD面积相等，

∴这个新正方形的边长为a；

(2)∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，

∴S正方形MNPQ＝S△ARE＋S△DWH＋S△GCT＋S△SBF＝4S△ARE＝4×12×12＝2；

(3)如答图所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W.

由题意易得△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．

不妨设等边三角形边长为a，则SF＝AC＝a.

过点R作RM⊥SF于点M，则MF＝12SF＝12a，

在Rt△RMF中，RM＝MF·tan30°＝12a×33 ＝36a，

∴S△RSF＝12a·36a＝312a2.

过点A作AN⊥SD于点N，设AD＝AS＝x， 第7题答图 则AN＝AD·sin30°＝12x，SD＝2ND＝2ADcos30°＝ 3x，

∴S△ADS＝12SD·AN＝12·3x·12 x＝34x2.

∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和＝3S△RSF＝3×312a2

＝34a2，

∴S△RPQ＝S△ADS＋S△CFT＋S△BEW＝3S△ADS，

∴33＝3×34x2，得x2＝49，

解得x＝23 或－23(不合题意，舍去)，

∴x＝23，即AD的长为23.

8．(16分)[2016·山西]综合与实践

问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图4－3－8①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD＞90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.

操作发现：(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是__菱形__；

(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连结DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；

实践探究：(3)缜密小组在创新小组所发现结论的基础上，量得图③中BC＝13

cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C′′D′，连结BD′，CC′′，使四边形BCC′′D′恰好为正方形．求a的值，请你解答此问题；

图4－3－8 (4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

解：(1)如答图①，由题意可得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，AC＝AC′，

故AC′∥EC，AC∥C′E，

则四边形ACEC′是平行四边形，

故四边形ACEC′的形状是菱形；

(2)证明：如答图②，作AE⊥CC′于点E，

由旋转得AC′＝AC，

则∠CAE＝∠C′AE＝12α＝∠BAC，

∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，

∴∠BCA＝∠BAC，∴∠CAE＝∠BCA，

∴AE∥BC，同理可得AE∥DC′，

∴BC∥DC′，则∠BCC′＝90°，又∵BC＝DC′，

∴四边形BCC′D是平行四边形，

∵∠BCC′＝90°，∴四边形BCC′D是矩形；

(3)如答图②，过点B作BF⊥AC，垂足为F，

∵BA＝BC，∴CF＝AF＝12AC＝12×10＝5，

在Rt△BCF中，BF＝BC2－CF2＝132－52 ＝12，

在△ACE和△CBF中，

∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，

∴△ACE∽△CBF，

∴CEBF＝ACBC，即CE12＝1013，解得EC＝12013，

∵AC＝AC′，AE⊥CC′，

∴CC′＝2CE＝2×12013＝24013，

当四边形BCC′′D′恰好为正方形时，分两种情况： 第8题答图①

第8题答图② ①点C″在边C′C上，a＝C′C－13＝24013－13＝7113，

②点C″在C′C的延长线上，a＝C′C＋13＝24013＋13＝40913.

综上所述，a的值为7113 或 40913.

(4)答案不唯一，例如：如答图③所示，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为 12AC的长度，得到△A′C′D′，连结A′B，D′C.

结论：∵BC＝A′D′，BC∥A′D′，

∴四边形A′BCD′是平行四边形．

(20分)

9．(20分)用如图4－3－9①，②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：

图4－3－9

探究一：将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P.

(1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连结AP，求线段AP的长；

(2)当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数．

探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M，N两点，连结MN.在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．

图4－3－9 第8题答图③