2010年第一届拓普杯大学物理竞赛试题答案及评分标准

2010年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准

一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。

答：

长度（m）2分 质量（kg）2分 时间（s）2分 电流（A）1分 热力学温度（K）1分 发光强度（cd）1分 物质的量（mol）1分

二、一列静止长度为600米的超快速火车通过一个封闭式的火车站，据站长讲车站全长为450米，火车通过时正好装进车站，即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好在出口处。求: （1）火车的速率是多少？ (2) 对火车上的乘务员来说，他观测到的车站长度是多少？

解：（1）2021VLLC 4分

220714LVCL 2分

（2）221VLLC 2分

337.5m 2分

三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为9.0立方米，在标准状态下，求：（1）舱内空气的质量是多少？（2）舱内氮气的分压是多少？（3）在正常照度下，人眼瞳孔直径为3.0mm，在可见光中眼最敏感的波长λ=550nm。若晴好白天飞船位于长城正上方350公里处，设长城宽度5.0米，航天英雄能直接看清长城吗？（按质量百分比计，氮气76﹪，氧气23﹪，氩气1﹪，其它气体可略，它们的分子量分别为28， 32， 40）

解：标准状态，气化P0=1atm,气温为0 0c，空气平均mol质量3109.28千克/摩尔。

1. 内质量： 330V910M28.91011.6V22.4（千克） 3分

2. 由气体状态方程可得：RTMV0P 2分

RTMVP222NNN 1分

0.78442828.90.76MMPP222NN0N

atm0.78440.7844PP0N2 1分

3. 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为

51.222.210radD 2分

可分辨最小间距：77102.23500005yL(米) 1分

看不到长城！

四、将质量相同、温度分别为T1、T2 的两杯水在等压下绝热地混合，试问：（1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵变。（2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算过程并对结论说明理由。（设水的摩尔等压热容量为Cp，每杯水的量为ν摩尔）

解：

（1）两杯水在等压下绝热的混合，可视为不可逆过程，为了求出两杯水的熵变，可以设想这样一个可逆过程，令两杯水经可逆等压过程，温度分别为T1和T2变为2T21T.设摩尔等压热容量为PC，每杯水为mol。

ppdQCndT

则:ppdQCdT （3分）

总的熵变应等于两杯水熵变之和：

对第一杯水熵变：121211T221211Sln2TTTPPTTCdTTTdQCTTT （1分）

对第二杯水熵变：121222T221222ln2TTTPPTTCdTTTdQSCTTT （1分）

总熵变为：212121212P1212SSClnlnln224PTTTTTTSCTTTT（1分）

（2）.由：22121212T2Sln4PTTTCTT

212221212T,TTTTT

2212121212P1212T222SlnCln044PTTTTTTTCTTTT （2分）

即0S。此过程熵增加。（2分）

水在等压绝热的混合过程，系统变化时自发宏观过程，总是向熵增加的方向进行。

五、在两正交偏振片M、N之间，放置一厚度为0.5mm的石英晶片（ne主 =1.5534，no=1.5443），其光轴Z与M、N之间夹角均为450，垂直入射到M的自然光的波长为0.5μm，设所有元件对光没有散射和吸收，问：(1) 在偏振片N后能看见多少条等厚干涉条纹？(2) 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其劈背厚度a=0.5mm，光轴不变），则在偏振片N后A处（对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？

解：.M的投射光为线偏光，设光强为mI，它振动的方向与晶轴夹角45。，故晶体出射光强：

mmeIII2145cos2。

mmoIII2145sin2。

此时o，e光（在劈背）光程差：

2()oednn主

o，e光出射后的光强：

meeNIII4145cos2。

mooNIII4145cos2。

eNI 与oNI又有附加光程，在N后看劈背出来eNI，oNI的相位差：

（2k+1） （k=0，1，2，3….） 暗纹

2()oednn主 （5分）

2k （k=0，1，2，3….） 明纹

若是明纹：3610.5101()(1.55341.5443)9.620.5102eodknn（2分）

可看到10条条纹

（2）在劈尖的最顶端A处，其d=0mm

则： 为暗纹（2分）

则其光强0I（1分）

图 1 →|a|← N M A

六、空气折射率n约为1.0003。用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光源（平均波长为λ）；两个完全相同的长度为L的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。设计一个可行方案，要求：（1）画出实验设计光路图；（2）简略写出主要操作步骤；（3）推算出空气折射率n的数学表达式。

解：

实验设计图……………………………………….3

七、在光滑水平桌面上，有一长为L质量为m的匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的另一端在半径为L的光滑金属圆环上滑动，接触良好。旋转中心的一端与圆环之间连接一电阻R（不影响棒转动），若在垂直桌面加一均匀磁场B，当t=0，起始角θ=0处，金属棒获得初角速度为ω0。求：（1）任意时刻t 金属棒的角速度ω ；（2）金属棒停下来时转过的角度θ=？（其它电阻、摩擦力不计）。

解：（1）某时刻大，棒的角速度为，

此时，棒切割磁力线获得电动势：21BL2，

棒中电流：2BLIR2R 2分

棒中（r-r+dr）所受安培力为：：dFIBdr，

dr所受的磁力矩：MdIBrdr；

合力矩：24200124LLBLMdMIBrdrIBLR 2分

2241)31(0)43dMJJmLdtBLddmLRdtdt由力学转动方程：（转动惯量

022222203B40B4B4.........................................2tLtRmdLdtRmdLdtRme分量变量：积分:分

223B40000222........................2dt4.........................................23LtRmdddtdtdeRmBL（）分分

八、粒子在无限深方势阱 [-a/2，a/2] 内作一维运动的波函数为axnAncos（n=1,2,3,……）。求：(1) 归一化常数A；(2) 粒子的零点能；(3) 第一激发态，粒子在 [a/8，a/2] 间出现的几率； (4) 粒子运动的坐标不确定度22xxx（x为位移平均值，2x为位移平方的平均值），由不确定关系，估算在基态时相应的动量不确定度p不小于多少？

解：

（1）由归一化条件：/22/21anadx

1分

得 /2/22222/2/221coscos122aaaanxnaaAxdxAdxAa

2/Aa 1分

所以，归一化的波函数为：2/cos1,2,3nnaxna

（2）零点能即基态能，这是1n

可由111ˆHE

1分

即222211122(2/cos)22axEmxama

22212228hEmama 1分

（3）第二激发态2n 波函数为

222/cosaxa 0.5分

2228aadx 1分 228231(2/cos)0.29684aaaxdxa 0.5分

（4）基态下：/2/2221/2/2(2/cos)0aaaaxxdxxaxdxa 1分

22/2/22222212/2/22cos122aaaaaaxxdxxxdxaa 1分

222211()122xxxxa

由不确定关系：2xp

2226(6)pa

p不小于2226(6)a 1分

九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度为L，内外半径为a、b，极化强度矢量p=kr/r2 (k为常数，介质内部无极化电荷)，相对介电常数为εr、相对磁导率为μr，求：（1）圆筒内外的电场强度E、电位移矢量D分布；（2）若圆筒绕其中心轴以匀角速ω转动，圆筒内外的磁场强度H、磁感应强度B分布。

解：

极化体电荷密度：'111()()0kDprprrrrrr 1分

极化面电荷：'0arararakkpnprra 0.5分

'bkb 0.5分

圆筒表面单位长度的极化电荷：

''212aaak 1分