山东省日照市2018届高三5月校际联考数学(理)试题(解析版)

山东省日照市高三理综5月校际联考试题高三校际联合考试理科综合2018.05 注意事项：1．本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共16页，共38题，满分300分，考试时间150分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上的相应区域。

回答选考题时，先用2B铅笔将所选题目的题号在答题卡上指定的位置涂黑。

答案写在本试卷上和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后将答题卡交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 C1 35．5 Fe56第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．精卵识别后，顶体膜(精子形成过程中溶酶体特化为顶体)与精子细胞膜融合，释放顶体酶使卵细胞外周形成孔洞，以利于精卵融合形成受精卵。

下列叙述正确的是A．顶体酶是在精子的溶酶体中合成的B．精子游向卵子所需能量来自线粒体C．精子和卵细胞的识别过程，说明细胞膜参与细胞间的信息交流D．顶体膜和精子细胞膜的融合，说明生物膜具有选择透过性特点2．细胞代谢能在常温常压下迅速有序地进行，离不开酶的作用。

下列叙述错误的是A．酶是所有活细胞都含有的具有催化作用的有机物B．有些酶需通过内质网和高尔基体进行加工、运输C．酶是在核糖体上合成的，分布在不同的细胞器中D．酶空间结构的改变可导致其活性部分或全部丧失3．下列关于染色体组和染色体变异的叙述，正确的是A．不同物种的染色体组中可能含有相同数目的染色体B．染色体组整倍性的变化必然会导致基因种类的增加C．染色体之间部分片段的交换属于染色体的结构变异D．进行有性生殖的生物配子中的染色体为一个染色体组4．下列有关现代生物进化理论的叙述，正确的是A．种群是生物进化的基本单位，种群越大进化越快B．变异的不定向性会导致生物向着不同的方向进化C．自然选择的直接对象是生物的基因型而不是表现型D．地理隔离和生殖隔离都会阻止生物之间的基因交流5．硝酸甘油是一种常用的缓解心绞痛的药物，可在体内转化生成NO。

山东省日照市第二中学2018年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B由题，，则，则离心率．故选B．2. 设，，，则下列关系中正确的是A． B． C．D．参考答案：A3. 函数的零点个数为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B由，得，令，在坐标系中作出两个函数的图象，由图象可知交点为一个，即函数的零点个数为1个，选B.4. 函数的最小值为（）A.-2B.-1C.-6D.-3参考答案：B5. 在等差数列中，若，则的值为( )A．20 B．22 C．24D．28参考答案：C略6. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ=（）A．3 B．C．2 D．1参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到的坐标表示，进而得到答案．【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，则B（1，0），E（﹣1，1），∴=（1，0），=（﹣1，1），∵=（λ﹣μ，μ），又∵P是点P为CD的中点，∴=（，1），∴，∴λ=，μ=1，∴λ+μ=，故选：B【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量加减的几何意义，数形结合思想，难度中档．7. 盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，则两件颜色不相同的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，先求出基本事件总数，两件颜色不相同的对立事件是两件颜色相同，由此能求出两件颜色不相同的概率．【解答】解：盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，基本事件总数n==15，两件颜色相同包含的基本事件个数m==4，∴两件颜色不相同的概率为p=1﹣=1﹣=．故选：D．8. 已知{a n}是等比数列，且，则a9=（）A．2 B．±2C．8 D．参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知列式求得a3，进一步求得公比，再由等比数列的通项公式求得a9．【解答】解：在等比数列{a n}中，由，得，又4a3+a7=2，联立解得：．则q=，∴．故选：A．9. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越高．统计改革开放40年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭B. 随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高C. 1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50%D. 随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小参考答案：C【分析】根据图象，结合选项，判断正误.【详解】从图中可知城镇居民家庭恩格尔系数不高于农村居民家庭的恩格尔系数，所以A 选项正确；从图中可知城镇居民家庭和农村居民家庭的恩格尔系数都在降低，所以B选项正确；从图中可知农村居民家庭的恩格尔系数从2001年开始低于50%，所以C选项错误；从图中可知随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭的恩格尔系数越来越接近，所以D选项正确.故选：C【点睛】本题主要考查了根据图象提取信息的能力，属于容易题.10. 如图：二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y＝tan(0<x<4)的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(＋)·等于_______。

2018届山东省日照市高三校际联考数学（理）试题一、单选题 1．设集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：化简集合N ，然后求二者交集即可. 详解：∴点睛：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由z 1=2﹣i ，复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y 轴对称，求出z 2，然后代入，利用复数代数形式的乘除运算化简即可．详解：∵z 1=2﹣i ，复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y 轴对称， ∴z 2=﹣2﹣i ．∴==，故选：C点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3．已知直线1l ： sin 10x y α+-=，直线2l ： 3cos 10x y α-+=，若12l l ⊥，则s i n2α=（ ） A.23 B. 35± C. 35- D. 35【答案】D【解析】因为12l l ⊥，所以s i n 3c o s αα-=，所以t a n 3α=，所以2222sin cos 2tan 3sin22sin cos sin cos 1tan 5ααααααααα====++. 故选D.4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】设圆的半径为r ，则圆的面积2=S r π圆，正六边形的面积22133=6sin6022S r r ⨯⨯⨯=正六边形，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率222==rS P S r π=正六边形圆A.5．若双曲线的一条渐近线方程为，则的值为（ ）A.B. C. D.【答案】A【解析】分析：由方程为双曲线确定m 的范围，再利用条件建立m 的方程解之即可.详解：双曲线的一条渐近线的方程为2x ﹣3y=0，可得（3﹣m ）（m +1）＞0，解得：m ∈（﹣1，3）， 所以：x ﹣y=0，是双曲线的渐近线方程，所以，解得：m=．故选：A ．点睛：本题考查了双曲线的简单几何性质，渐近线方程的求法，注意m 的取值范围是解题的关键，属于基础题.6．已知p ： x R ∀∈， 220x x a ++>； q ： 28a <.若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1,+∞B. (),3-∞C. ()1,3D. ()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】C【解析】由“p ∧q”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题，若p 为真命题，则044a 0<-<，，∴a >1． 若q 为真命题，即x 2+2ax +2﹣a=0有实根，△=4a 2﹣4（2﹣a ）≥0，解得a ≤﹣2或a ≥1．7．某数学爱好者编制了如图的程序框图，其中表示除以的余数，例如.若输入的值为，则输出的值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得结果． 详解：:模拟执行程序框图，可得：，，，满足条件，满足条件，，，满足条件，不满足条件，，满足条件，满足条件，，，…，，可得：，，，∴共要循环次，故．故选：B ．点睛：解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 8．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：建立平面直角坐标系，然后根据条件即可求出A，C点的坐标，表示，利用二次函数的图象与性质求值域即可.详解：以为坐标原点，为轴、为轴建系，则,，设,所以，故选：D.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.9．已知数列中，，且对任意的，，都有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：令m=1，可得a n+1﹣a n=n+1，再利用累加法可得的通项，再利用裂项法得到==2（﹣），从而可求得的值．详解：∵a1=1，且对任意的m，n∈N，都有a m+n=a m+a n+mn，∴令m=1，则a n+1=a1+a n+n=a n+n+1，即a n+1﹣a n=n+1，∴a n﹣a n﹣1=n（n≥2），…，a2﹣a1=2，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+3+2+1=，∴==2（﹣），∴=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）+（﹣）]=2（1﹣）=，故选：D．点睛：：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10．某单位实行职工值夜班制度，已知，，，，名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若昨天值夜班，从今天起，至少连续天不值夜班，星期四值夜班，则今天是星期几（）A. 二B. 三C. 四D. 五【答案】C【解析】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．故今天是周四．故选：C．点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．11．已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，，为坐标原点，则四边形面积的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系表示四边形面积，借助导函数求最值即可. 详解：设且,易知，设直线由所以易知在上为减函数，所以当时，,故选：B点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．12．如图，虚线小方格是边长为的正方形，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥O ﹣ABC ，在三棱锥O﹣ABC 中，∠AOC=∠ABC=90°，由已知求出其外接球的直径为AC ，则半径R=，再由球的表面积公式求解．详解：由三视图还原原几何体的直观图如图， 该几何体为三棱锥O ﹣ABC ，在三棱锥O ﹣ABC 中，∠AOC=∠ABC=90°，∴其外接球的直径为AC ，则半径R==，∴外接球的表面积该几何体外接球的表面积为S=4πR 2=32π． 故选：B ．点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．二、填空题13．已知向量()1,0a =， (),2b λ=， 2a b a b -=+，则实数λ=__________． 【答案】12【解析】由()()1,0,2a b λ==，则()()()()22,0,22,2,1,2a b a b λλλ-=-=--+=+，所以()()22222222284,52a ba b λλλλλ-=-+-=-++=++，又由2a b a b -=+，所以228452λλλλ-+=++，解得12λ=． 14．若，满足条件，且，则的最大值为__________．【答案】7【解析】分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数的最大值．详解：由题,画出可行域为如图区域，，当在处时，，故答案为：.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．已知()()100111x a a x +=+- ()()21021011a x a x +-+⋅⋅⋅+-，则8a =__________． 【答案】180 【解析】()()()()1010101121x x x ⎡⎤+=--=-+-⎣⎦，()()100111x a a x +=+-()()2102101...1a x a x +-++-， ()288102180a C ∴=⋅-=，故答案为180.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.16．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），有下列命题：①在内单调递增；②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；④和之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题的序号为__________．（请填写正确命题的序号）【答案】①②④【解析】分析：①求出的导数，检验在x∈（﹣，0）内的导数符号，即可判断；②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y=kx+b，x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，又≤kx+b对一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出k，b的范围，即可判断②③；④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值．详解：①，，，，在内单调递增，故①正确；②，③设的隔离直线为，则对任意恒成立，即有对任意恒成立.由对任意恒成立得.若则有符合题意;若则有对任意恒成立,又则有，，即有且，，，同理，可得，所以，，故②正确，③错误；④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由恒成立，若，则不恒成立.若，由恒成立，令，在单调递增，，故不恒成立.所以，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，极小值是，也是最小值，，则，函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，故答案为①②④．点睛：本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，考查了逻辑思维能力，考查了函数与方程思想，属于难题．三、解答题17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值.【答案】（1）;（2）．【解析】分析：（1）根据正弦定理边化角，根据三角恒等变换求出A；（2）根据面积求出bc=4，利用余弦定理求出a．详解：（1）由正弦定理得，∵∴，即．∵，∴，∴∴．（2）由：可得．∴，∵，∴由余弦定理得：，∴.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18．已知三棱锥（如图）的平面展开图（如图）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析;（2）．【解析】分析：（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而 PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．详解：（1）证明：设的中点为，连接，．由题意得，，，，因为在中，，为的中点，所以，因为在中，，，，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：由平面，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，.由平面，故平面的法向量为，由，，设平面的法向量为，则由得：令，得，，即，.由二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）.通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分分）统计结果如下表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式：.若，则，，.【答案】（1）（2）见解析．【解析】分析：（1）由题意求出Ez=65，从而μ=65，进而，．由此能求出．（2）由题意知P（z＜μ）=P（Z≥μ）=，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．详解：（1）,故，∴，．∴综上,．（2）易知获赠话费的可能取值为，，，．；；；．的分布列为：∴．点睛：求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20．已知椭圆：的焦距为，以椭圆的右顶点为圆心的圆与直线相交于，两点，且，.（1）求椭圆的标准方程和圆的方程；（2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，已知直线，，的斜率，，成等比数列，记以线段，线段为直径的圆的面积分别为，，的值是否为定值？若是，求出此值；若不是，说明理由.【答案】（1）椭圆的方程为，圆的方程为；（2）为定值，定值为.【解析】分析：（1）设为的中点，连接，则，所以，又，所以，从而易得关于a，b的方程组，即可得到所求椭圆方程和圆的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，根据k1、k、k2恰好构成等比数列，求出k，进而表示出，即可得出结论．详解：（1）如图，设为的中点，连接，则，因为，即，所以，又，所以，所以，所以．由已知得,所以椭圆的方程为，，所以，所以，所以，所以圆的方程为．（2）设直线的方程为，由，得，所以，由题设知，，则故为定值，该定值为．点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．已知函数（为自然对数的底数）.（1）若，，讨论的单调性；（2）若，函数在内存在零点，求实数的范围.【答案】（1）当时，在上单调递减；当时,在上单调递减,在单调递增;（2）的取值范围是.【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，结合函数的零点，从而确定a的范围即可．详解：解：（I）定义域为故则(1)若，则在上单调递减；(2)若，令.①当时，则，因此在上恒有，即在上单调递减；②当时，，因而在上有，在上有；因此在上单调递减，在单调递增.综上， (1) 当时，在上单调递减；(2) 当时，在上单调递减，在单调递增．（Ⅱ）设,，设，则．(1) 若 ,，在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.(2)若 ,①当时，，由（1）知对任意恒成立，故，对任意恒成立，②当时,，因此当时必有零点，记第一个零点为， 当时，单调递增，.由①②可知，当时，必存在零点.(2)当，考察函数 ，由于在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时，，故 在上为减函数，又 ，所以当时， ，从而 在上单调递减，故当时恒有 .即，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.综上可知， 的取值范围是 .（Ⅱ）解法二：设,，(1) 若 ,，在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.(2)若 ,当时, ，因此当时必有零点，记第一个零点为， 当时，单调递增，又所以，当时，在必存在零点.(3)当，由于 ，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数在上存在零点，符合题意.综上可知，的取值范围是 .点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，直线l 过点(0,P 且倾斜角为3π.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求PA PB+的值.【答案】（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为()(2214x y-+=，直线l的参数方程为12{ (x tty==为参数）；（Ⅱ）7.【解析】试题分析：（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C的直角坐标方程，根据直线参数的形式0{ (x x tcosty y tsinαα=+=+为参数），即可求出直线的参数方程；（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得到12t t+，即可求解PA PB+的值.试题解析：（1）曲线:4cos4cos cos4sin sin333Cπππρθρθθ⎛⎫=-⇒=+⎪⎝⎭，所以22cos sinρρθθ=+，即222x y x+=+，得曲线C的直线坐标方程为()(2214x y-+=，直线l的参数方程为12{ (x tty==-为参数）.（2）将12{ (x tty==为参数）代入圆的方程，得21142t⎛⎫-+-=⎪⎝⎭⎝，整理得2790t t=+=，所以127PA PB t t+=+=.23．选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）求的值以及此时的的取值范围；（2）若实数满足，证明：.【答案】（1）;.(2)证明见解析.【解析】分析：（1）去掉绝对值符号，利用函数的图象求解最小值；（2）由（1）可知，利用，把问题转化为二次函数最值问题.详解：（1）解：依题意得，当时，；当时，，此时；当时，，所以的最大值为，即，此时.（2）证明：由，得，，所以，所以，所以.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

二〇一五级校际联考理科数学答案 2018.5一、选择题：DCDAA CBDDC BB 1．答案：D解析：2(1,3)230:Z Z x x x N x x ∈-⎧--<⎧⇒⎨⎨∈∈⎩⎩}2,1,0{=⇒N ， 所以=N M }2,1{，故选D2．答案：C解析：i z --=22，所以21z z i i i ii 54535)2)(2(22+-=+--=---=，故选C3．答案：D解析：因为21l l ⊥，所以0cos 3sin =-αα，所以3tan =α，所以53tan 1tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin 222=+=+==ααααααααα.故选D . 4．答案：A解析：设圆的半径为r ，则圆的面积21πS r =，正六边形的面积2221π6sin 23S r =⨯⨯⨯=，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率22212πS P S r === A. 5．答案：A解析：双曲线22131x y m m -=-+的一条渐近线方程为230x y -=，可得 (3)(1)0m m -+>，解得(1,3)m ∈-，0=23=， 解得313m =，故选A. 6．答案C解析:由“p q ∧”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题，若p 为真命题，则不等式220x x a ++>恒成立，440∆=-<a ，∴1>a ．若q 为真命题，即28a<，所以3a <．即()1,3a ∈.故选C.7．答案B解析:模拟执行程序框图，可得：2n =，0i =，8m =，满足条件8n ≤，满足条件()mod 8,20=，1i =，3n =，满足条件8n ≤，不满足条件()mod 830=,，4n =，满足条件8n ≤，满足条件()mod 8,40=，2i =，5n =，…，*8n∈N ，可得：2，4，8，∴共要循环3次，故3i =．故选B ． 8．答案D解析：以B 为坐标原点，BC 为x 轴、BA 为y 轴建系，则)2,0(),0,32(A C ,1232:=+y xAC ，设4343]32,0[),,(22+-=⇒∈x x y x y x P ,所以2224(,),)43PB PC x y x y x y x x ⋅=--⋅-=+-=-+9[,4]4∈-，故选D.9．答案：D解析：取m ＝1得，11n n a a a n +=++，即11n n a a n +-=+，从而11221()()+()=(1)+----+-+-+-+……2n n n n a a a a a a n n即1=(1)+n a a n n -+-+…2，求得(1)=2n n n a + 20181122214036=212232018201920192019==+++-⨯⨯⨯∑…（1）=i ia ，故选D. 10．答案C ．解析：因为A 昨天值夜班，所以今天不是星期一，也不是星期日若今天为星期二，则A 星期一值夜班， D 星期四值夜班，则星期二与星期三B C ，至少有一人值夜班，与B C ，至少连续4天不值夜班矛盾若今天为星期三，则A 星期二值夜班， D 星期四值夜班，则星期三与星期五B C ，至少有一人值夜班，与B C ，至少连续4天不值夜班矛盾若今天为星期五，则A 星期四值夜班，与D 星期四值夜班矛盾若今天为星期六，则A 星期五值夜班， D 星期四值夜班，则下星期一与星期二B C ，至少有一人值夜班，与B C ，至少连续4天不值夜班矛盾， 综上所述，今天是星期四，故选C. 11．答案B解析：设A(x ,y ),B(x ,y )1122且x ,y >110,易知)0,1(F ，设直线1:+=my x AB 由,0444122=--⇒⎩⎨⎧=+=my y x y my x 所以122144y y y y -=⇒-=21111312(0)42OPAB OPA OFA OFBy S S S S y y y ∆∆∆=++=++>22223222)443)(1(24322123)()0(22143)(x x x x x x x x x x f x x x x x f ++-=-+=-+='⇒>++=易知)(x f 在()1,0上为减函数，所以当11=y 时，min 13()4OPAB S =,故选B12． 答案B解析:几何体的直观图如图所示为三棱锥ABC O -， 三棱锥ABCO -中，︒=∠=∠90ABC AOC ，所以外接球的直径为AC ，则半径2221==AC R ，所以外接球的表面积π32π42==R S ,故选B.二、填空题：13．答案：12 14．答案： 7 15．答案：180 16．答案：①②④ 13．答案：12解析： 由()()1,0,,2λ==a b ，则()()()()22,0,22,2,1,2λλλ-=-=--+=+a b a b ，所以()()22222222284,52λλλλλ-=-+-=-++=++a b a b ，又由2-=+a b a b ，所以228452λλλλ-+=++，解得12λ=，故答案为12.14．答案：7解析：由题⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥4201y x y x x ,画出可行域为如图ABC ∆区域，023≠-=y y x z 且，当P 在(1,2)A -处时，7max =z ，故答案为7.15．答案：180 解析：()()()()1010101121x x x ⎡⎤+=--=-+-⎣⎦，()()100111x a a x +=+- ()()2102101...1a x a x +-++-， ()288102180a C ∴=⋅-=，故答案为180. 16．答案：①②④ 解析：①()m x f =x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'2120m x x x ∴=+>，()()()m x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩对任意x ∈∞（-,0)恒成立， 即有22010x kx b kx bx ⎧-≥⎨+-≤-⎩对任意x ∈∞（-,0)恒成立.由 210kx bx +-≤对任意x ∈∞（-,0)恒成立得0k ≤. 若=0k 则有=0b 符合题意;若<0k 则有20x kx b --≥对任意x ∈∞（-,0)恒成立,又21=00402k x k b <⇒∆≤⇒+≤对240b k +≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40-≤<b ，④函数()f x 和()h x的图象在=x ()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k若0=k ，则()2e 00-≥>x x 不恒成立.若0<k ，∈x故0<k 不恒成立.所以0>k ，，当0>x 恒成立，时，()0G x '=；当0x <<时，()'0G x <；当x >()'0G x >；当x =时，()G x '取到极小值，极小值是0，∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离 三、解答题： 17．答案:（Ⅰ） （或120︒）;（Ⅱ）解：（Ⅰ）由正弦定理得， ∵sin 0C ≠cos 2A A -= …………………3分∵0πA <<∴ππ5π666A-<-<…………………6分（Ⅱ）由： ABC S ∆=可得1sin 2S bc A ==∴4bc =…………………9分 ∵5b c +=∴由余弦定理得：()22222cos 21a b c bc A b c bc =+-=+-=…………………12分18. 答案：（Ⅰ）见解析;． （Ⅰ）证明：方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．由题意得，PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===， 因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥， …………………2分因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以PO OB ⊥， …………………4分因为AC OB O =，,AC OB ⊂平面ABC ，OPCA所以PO ⊥平面ABC ， 因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC . …………………6分（Ⅱ）解：由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)B ，(1,0,0)A -，(0,0,1)P .由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为(0,1,0)OB =，…………………8分 由(1,1,0)BC =-，(1,0,1)PC =-， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则 由0,0,BC PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n 得：0,0.x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即(1,1,1)n =， …………………10分cos ,||||3n OB n OB n OB ⋅<>===⋅由二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角A PC B -- …………………12分 19.答案：（Ⅰ）0.8185 （Ⅱ）见解析．解：（Ⅰ）350.02450.15550.2650.25750.24850.1950.04EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯65=,故65μ=， …………………2分∴(3793)(5179)(3751)0.13592<≤-<≤<≤==P Z P Z P Z综上,(3779)(3751)(5179)P Z P Z P Z <≤=<≤+<≤0.13590.68260.8185=+=． …………………5分（Ⅱ）易知()1()2P Z P Z μμ<=≥= 获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，80． …………………7分()13320248P ξ==⨯=； ()1113313402424432P ξ==⨯+⨯⨯=； ()13111336024424416P ξ==⨯⨯+⨯⨯=； ()11118024432P ξ==⨯⨯=． …………………9分 ξ的分布列为：∴312040608037.58321632E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………12分 20．答案：（Ⅰ）椭圆C 的方程为2214x y +=，圆A 的方程为228(2)5x y -+=；（Ⅱ） 12+S S 为定值，定值为54π. 解：（Ⅰ）如图，设T 为PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ ，因为0AP AQ ⋅=，即AP ⊥AQ ，所以AT 12PQ =， 又3OP OQ =，所以OT PQ =，所以ATOT 12=，所以12b a =． ………………………………2分由已知得c =所以224,1=a b = ∴椭圆C 的方程为2214x y +=， …………………………………… 4分 222||||||,AT OT OA +=所以2244+=AT AT ，所以AT ，所以r AP = 所以圆A 的方程为228(2)5x y -+=． ……………………………… 6分 （Ⅱ）设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，1122(,),(,),M x y N x y由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=， 所以212122284(1)1+41+4km m x x x x k k --+==，，由题设知212k k k =1212y y x x =1212()()kx m kx m x x ++=， 221212(),km x x m k x x ++=+ ………………8分 22221228()0,01+4k m km x x m m k-∴++=+=， 210,4m k ≠∴=， ………………………………………………………………10分 则12+S S 22()4=OM ON π+=22221122(+)4x y x y π++22221212=(+11)444x x x x π-++- 22123=(+)162x x ππ+212123=(+)2162x x x x ππ⎡⎤-+⎣⎦ 2222223648(1)16(1+4)1+42k m m k k ⎡⎤π-π=-+=⎢⎥⎣⎦22344(1)162m m ππ⎡⎤=--+=⎣⎦54π 故12+S S 为定值，该定值为54π． …………………………………………………………12 21．答案：（Ⅰ）(1) 当 0a ≤时，()F x 在()2,-+∞ 上单调递减；(2) 当0a >时,()F x 在 12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减,在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增． （Ⅱ）a 的取值范围是 1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.解：（I ）定义域为{}|2,x x >- ()()()11'e ln 2e e ln 222ax ax ax f x a x a x x x ⎛⎫=⋅++⋅=++ ⎪++⎝⎭ 故()()()1e 'ln 22ax F x f x a x x -==+++ 则 ()()()22121'222a ax a F x x x x +-=-=+++ (1)若0a =，则()()'0,F x F x <在()2,-+∞ 上单调递减；…………………2分(2)若0a ≠，令()1'02F x x a =⇒=-. ①当 0a <时，则122x a =-<-，因此在()2,-+∞ 上恒有 ()'0F x < ，即 ()F x 在()2,-+∞ 上单调递减；②当0a >时，122x a =->-，因而在12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有()'0F x <，在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有()'0F x >；因此 ()F x 在 12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 综上， (1) 当 0a ≤时，()F x 在()2,-+∞ 上单调递减； (2) 当0a >时， ()F x 在 12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增． …………………5分 （Ⅱ）设 ()()()()1ln 21,1,axg x f x x e x x x =--=+--∈-+∞, ()()()()1''1ln 2112ax ax g x f x e a x e F x x ⎛⎫=-=++-=- ⎪+⎝⎭，设()()()'1ax h x g x e F x ==-， 则 ()()()()()22241''ln 22ax axax a h x e aF x F x e a x x ⎛⎫+- ⎪⎡⎤=+=++⎣⎦ ⎪+⎝⎭． (1) 若=0a ,()()()()1ln 21,1,g x f x x x x x =--=+--∈-+∞ ()()'1110,1,22x g x x x x --=-=<∈-+∞++ ()g x 在()1,x ∈-+∞单调递减，()()10g x g <-=故此时函数()g x 无零点， =0a 不合题意. …………………7分(2)若0a < ,①当0x ≥时，01ax e <≤，由（1）知()ln 21x x +<+对任意()1,x ∈-+∞恒成立()()()ln 211)1(1()10ax ax ax g x e x x e x x x e ∴=+--<+--=+-≤，故 ()0g x <，对任意[)0,x ∈+∞恒成立，②当10x -<<时,()'1,10ag e -->-= ()1'0ln202g a =-<， 因此当10x -<<时()'g x 必有零点，记第一个零点为0x ，当0(1,)x x ∈-时()'0g x >，()g x 单调递增，()(1)0g x g >-=.由①②可知，当0a <时，()g x 必存在零点. …………………9分(2)当102a <<，考察函数 ()'h x ，由于 ()()1222114'1e 210,'ln 20,22122a a h a h e a a a a -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-<=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()'h x ∴在 ()1,-+∞上必存在零点.设()'h x 在 ()1,-+∞的第一个零点为1x ，则当()11,x x ∈-时， ()'0h x <，故 ()h x 在 ()11,x -上为减函数，又 ()()e 110a h x h -=-<-<，所以当()11,x x ∈-时， ()'0g x <，从而 ()g x 在()11,x x ∈-上单调递减，故当()11,x x ∈-时恒有()()10g x g <-=.即()10g x < ，令'()1,()(1)ax ax x e ax x a e ϕϕ=--=-，则()x ϕ在(1,0)x ∈-单调递减，在(0,)x ∈+∞单调递增.()(0)0x ϕϕ≥=即1,ax e ax ≥+注意到1ax e ax ax a ≥+>+，因此()()()()()ln 21(1)ln 21(1)ln 21ax g x e x x a x x x x a x =+-->++--=++-， 令10a x e =时，则有()11110(1)ln 21(1)ln 10aa a a g x e a e e a e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++->+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由零点存在定理可知函数 ()y g x =在 11,a x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，符合题意.综上可知， a 的取值范围是 1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. …………………12分 （Ⅱ）解法二：设()()()()1ln 21,1,ax g x f x x e x x x =--=+--∈-+∞,()()()()1''1ln 2112ax ax g x f x e a x e F x x ⎛⎫=-=++-=- ⎪+⎝⎭， (1) 若=0a ,()()()()1ln 21,1,g x f x x x x x =--=+--∈-+∞ ()()'1110,1,22x g x x x x --=-=<∈-+∞++ ()g x 在()1,x ∈-+∞单调递减，()()10g x g <-=故此时函数()g x 无零点， =0a 不合题意. …………………7分(2)若0a < ,当10x -<<时,()'1,10a g e -->-=()1'0ln202g a =-<， 因此当10x -<<时()'g x 必有零点，记第一个零点为0x ， 当0(1,)x x ∈-时()'0g x >，()g x 单调递增，()0(1)0g x g >-=又 ()()001ln210,g f =-=-< 所以，当0a <时，()g x 在0(,0)x x ∈必存在零点. …………………9分 (3)当102a <<，由于 ()ln 2100g <-< ， 令'()1,()(1)ax ax x e ax x a e ϕϕ=--=-，则()x ϕ在(1,0)x ∈-单调递减，在(0,)x ∈+∞单调递增.()(0)0x ϕϕ≥=即1,ax e ax ≥+注意到 1ax e ax ax a ≥+>+，因此()()()()()ln 21(1)ln 21(1)ln 21ax g x e x x a x x x x a x =+-->++--=++-， 令10a x e =时，则有()11110(1)ln 21(1)ln 10aa a a g x e a e e a e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++->+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由零点存在定理可知函数 ()y g x =在()00,x 上存在零点，符合题意.综上可知，a 的取值范围是 1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. …………………12分22．答案:（Ⅰ） 曲线C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=，直线l的参数方程为12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）；（其他参数方程酌情给分）（Ⅱ）7.解：（Ⅰ）曲线:4cos 4cos cos 4sin sin 333C πππρθρθθ⎛⎫=-⇒=+ ⎪⎝⎭，所以22cos sin ρρθθ=+，即222x y x +=+， …………………2分 得曲线C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=，直线l的参数方程为12(2x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） ． …………………5分（Ⅱ）将12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入圆的方程，得221142t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝， …………………7分 整理得2790t t -+=， 得12127,9t t t t +== ，所以 120,0t t >> 所以127PA PB t t +=+=． …………………10分23．答案:（Ⅰ） 3=t ，此时),2[+∞∈x ；（Ⅱ）见解析.（Ⅰ）解：依题意得，当1x ≤-时，()1(2)3f x x x =----=-；当12x -<<时，()(1)(2)21f x x x x =+--=-，此时()(1,3)f x ∈-； 当2x ≥时，()(1)(2)3f x x x =++-=， ………………3分 所以()f x 的最大值为3，即3=t ，此时),2[+∞∈x .……………………5分 （Ⅱ）证明：由222a b t +=-，得，221a b +=， 所以2120a b =-≥，所以12b ≤， ……………………7分 所以412)2(2422222≥--=+-=+b b b b a .……………………10分。