第6课时：《一元二次方程》(1)——一元二次方程的定义及一元二次方程的解法

第3课时《一元二次方程》（1）

——一元二次方程的定义及一元二次方程的解法

【知识点拨】

1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

注：任何一个一元二次方程经整理均能化为如下形式：20(0)ax bx c a ++=≠，其中: 2

ax 叫做二次项 bx

叫做一次项 c 叫做常数项 a 是二次项系数 b 是一次项系数

[例题1] 2、方程3(1)2(2)x x x -=+化成一般形式为__________________． 1、在方程4(1)(2)5x x -+=，221x y +=，2

5100x -=，2

280x x +=

，

0=，

42211

221

x x x =++中，一元二次方程的个数为( )

A 、3个

B 、4个

C 、5个

D 、6个

2、解一元二次方程的方法：

（1）直接开平方法：方程)0(2≥=p p x 的两个根是=1x ________，=2x _______。

方程)0,0()(2≥≠=+p m p n mx 的两个根是=1x ______，=2x _____。 [例题2]解方程：

（1）5)12(2=+x （2）22(3)72x -=

212:(21)521=1211,22eg x x x x x +=+±=

==

解：

（2）配方法：①通过配成____________形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

②配方法的一般步骤：（1）将________项系数化为1；（2）移项：将常数项移到方程________。（3）配方：方程两边同时加上_________系数一半的平方，使方程左边成为一个____________。（4）解方程：利用___________方法直接解方程。 [例题3]解方程：

（1）01662

=-+x x （2）

012

12

=--x x

2222212:6160:633160(3)2535532,8

eg x x x x x x x x x +-=++--=+=+=±=±-==-解

（3）公式法：①求根公式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为：=x _________。 ②运用公式法解一元二次方程的步骤：a .将方程化成__________形式；b .写出系数________的值；c .当

ac b 42-______0时，将c b a ,,的值代入公式中即求出方程的解。

③一元二次方程根的判别式：a .定义：一般地，式子___________叫做方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式，通常用希腊字母?表示它，即：?=________。

b .方程根的情况与a

c b 42

-的关系：当?>0时，方程)0(02≠=++a c bx ax 有_______________的实

数根；当_______时，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个________的实数根，==21x x _________；当?<0时，方程)0(02≠=++a c bx ax _________________________。

[例题4] 1、若关于x 的一元二次方程2

30x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________. 2、一元二次方程2

210x x --=的根的情况为（ ）

A ．有两个相等的实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．只有一个实数根

D ．没有实数根 3、解方程：

（1）0222

=--x x （2）2

523x x +=

2212:210:2,1,14189113

244

1

1,2eg x x a b c b ac b x a x x --===-=-?=-=+=-±±=

====-

解

3、求证：无论m 为何值，方程012

=-+-m mx x 总有实数根。

（4）因式分解法：因式分解的方法有：______________，______________，______________。 [例题5]解方程：

（1）102022

-=-x x x （2）0652

=-+x x

212:21010

:2(10)(10)0

(10)(21)0100210

1

10,2

eg x x x x x x x x x x x x -=----=--=-=-===

解或 212:560

(1)(6)0

1060

1,6

eg x x x x x x x x +-=-+=-=+===-解:或

【教材解读】

1、方程0932

=+x 的根为（ ）

A 、3

B 、3-

C 、3±

D 、无实数根 2、下列方程中，一定有实数解的是（ ）

A 、2

10x += B 、2(21)0x += C 、2(21)30x ++= D 、2

1()2

x a a -=

3、若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ）

A 、4=p ，2=q

B 、4=p ，2-=q

C 、4-=p ，2=q

D 、4-=p ，2-=q 4、方程b a x =-2)(（0>b ）的根是（ ）

A 、b a ±

B 、)(b a +±

C 、b a +±

D 、b a -± 5、用配方法解方程2

250x x --=时，原方程应变形为（ ）

A ．2(1)6x +=

B ．2(1)6x -=

C ．2(2)9x +=

D ．2(2)9x -= 6、将二次三项式142+-x x 配方后得（ ）

A ．3)2(2+-x

B ．3)2(2--x

C ．3)2(2++x

D ．3)2(2-+x

7、配方法解方程023

4

22

=--

x x 应把它先变形为（ ） A 、98)31(2=-x B 、0)32(2=-x C 、98)32(2=-x D 、9

10

)31(2=-x

8、用配方法解方程2

250x x --=时，原方程应变形为（ ）

A ．()2

16x +=

B ．()216x -=

C ．()229x +=

D ．()2

29x -=

9、方程2

(2)9x -=的解是（ ）

A ．125,1x x ==-

B ．125,1x x =-=

C ．1211,7x x ==-

D ．1211,7x x =-= 10、若关于x 的一元二次方程2

20x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．1m >- C ．1m > D ．1m <-

11、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）

A ．2

40x += B ．2

4410x x -+= C ．2

30x x ++= D ．2

210x x +-= 12、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．14k >-

B ．14k >-且0k ≠

C ．14k <-

D ．1

4

k ≥-且0k ≠ 13、下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）

A ．210)5)(3(?=--x x ，∴103=-x ，25=-x ，∴131=x ，72=x

B ．0)25()52(2

=-+-x x ，∴0)35)(25(=--x x ，∴521=

x ，5

32=x C ．04)2(2=++x x ，∴21=x ，22-=x

D ．x x =2

两边同除以x ，得1=x

14、下列命题:①方程022=--x kx 是一元二次方程；②1=x 与方程12

=x 是同解方程；③方程x

x =2与方程1=x 是同解方程；④由3)1)(1(=-+x x 可得31=+x 或31=-x .其中正确的命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 15、方程2

x x =的解是（ ）

A ．1x =

B ．0x =

C ．11x =，20x =

D ．11x =-，20x = 16、关于x 的方程0232

=+-x ax 是一元二次方程，则（ ）

A 、0>a

B 、0≠a

C 、1=a

D 、0≥a 17、当代数式532

++x x 的值为7时，代数式2932

-+x x 的值为（ ） A 、4 B 、2 C 、2- D 、4- 18、已知反比例函数ab y x

=，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则关于x 的方程2

20ax x b -+=的根的情况是（ ）

A ．有两个正根

B ．有两个负根

C ．有一个正根一个负根

D ．没有实数根 19、若y x y x x -=-+

++则,03962的值为（ ）

A 、0

B 、6-

C 、6

D 、以上都不对

20、用配方法解方程2

420x x -+=，下列配方正确的是（ ）

A 、2(2)2x -=

B 、2(2)2x +=

C 、2(2)2x -=-

D 、2(2)6x -=

21、定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)ax bx c a ++=≠是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A ．a c = B ．a b = C ．b c = D ．a b c == 22、若2

8160x -=，则x 的值是_________．

23、已知一元二次方程032=+c x ，若方程有解，则c ________．

24、填空（1）22____)(____8-=+-x x x ； （2）2

2____)3(_____129+=++x x x

25、若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于________．

26、一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=方程是_____________.

27、无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数． 28、如果025)(40)(162=+-+-y x y x ，那么x 与y 的关系是________．

29、如果关于x 的方程022

=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.

30、二次三项式96202++x x 分解因式的结果为________；如果令096202

=++x x ，那么它的两个根是_________．

31、小华在解一元二次方程2

40x x -=时，只得出一个根是4x =，则被他漏掉的一个根是________.

32、已知22

40x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是______________． 33、已知x 满足=+=+-x

x x x 1

,0152

则_____． 34、解下列方程：

（1）02)1(2

=-+x （2）04)1(92

=--x （3）0562

=++x x （4）02622

=-+x x

（5）04)1(2)1(2

=-+++x x （6）0142

=++x x （7）01422

=--x x （8）041892

=--y y

（9）x x 3232

=+ （10）2420x x ++= （11）2

220x x --=. （12）1)4(2=+x x （13）(2)(35)1x x --= （14）20.30.8y y += （15）2

2410x x --= （16）2

4310x x -+= （17）2411x x = （18）2(2)24x x -=- （19）2

340x x --= （20）2

760x x -+= （21）2450x x +-= （22）0672

=+-x x （23）)15(3)15(2-=-x x （24）0362

=+-x x

35、如果01326422=+++

++-z y y x x ，求z xy )(的值．

36、已知：0136422=+-++y y x x ，求22

2x y

x y

-+的值． 解：原方程可化为（x+2）2+（y-3）2=0， ∴（x+2）2=0，且（y-3）2=0， ∴x=-2，且y=3， ∴原式=

268

1313

--=-． 37、代数式222

1

x x x ---的值为0，求x 的值．

38、如果a 、b 为实数，满足03612432

=+-++b b a ，求ab 的值． 39、求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．

40、若关于x 的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数解，求30ax +>的解集（用含a 的式子表示）．

提示：不等式30ax +>中含有字母系数a ，要想求30ax +>的解集，首先就要判定a 的值是正、负或0．利用条件一元二次方程2

(2)210a x ax a --++=没有实数根可以求出a 的取值范围．

41、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2

430x x -+=的解，求这个三角形的周长． 42、已知()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.

点拨:将x y +看作一个整体，不妨设x y z +=，则求出z 的值即为x y +的值.

43、已知1x =是一元二次方程2

400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求22

22a b a b

--的值.

44、已知x 是一元二次方程2

310x x +-=的实数根，求代数式

235

(2)362

x x x x x -÷+---的值．

45、方程2

200920100x x +-=较大根为m ，方程2(2010)2009201110x x +?-=较小根为n ，求n m +的值.

分析：本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点，选用因式分解法最合适．

解：将方程2

200920100x x +-=因式分解，得：(2010)(1)0x x +-=， ∴20100x +=或10x -=，∴12010x =-，21x =. ∴较大根为1，即1m =.

将方程2(2010)2009201110x x +?-=变形为：

2(2010)(20101)(20101)10x x +-?+-=，

∴22(2010)201010x x x +--=， ∴22010(1)(1)0x x x +-+=，∴∴ ∴2

(20101)(1)0x x -+=， ∴2

201010x -=或10x +=， ∴12

1

2010x =

，21x =-.

∴较小根为-1，即1n =-.∴1(1)0m n +=+-=.

【中考演练】

1、（2011福建福州）一元二次方程0)2(=-x x 根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】A

2、（2011山东威海）关于x 的一元二次方程2

(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）

A ．0

B ．8

C ．4

D ．0或8

【答案】D

3、（2011浙江省嘉兴）一元二次方程0)1(=-x x 的解是（ ）

A. 0=x

B. 1=x

C. 0=x 或1=x

D. 0=x 或1-=x 【答案】C

4、（2011甘肃兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2

2

1

0x x +

= B ．2

0ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --=

【答案】C

5、（2011甘肃兰州）用配方法解方程2

250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．2(1)6x += B ．2(2)9x += C ．2(1)6x -= D ．2(2)9x -=

【答案】C

6、（2011山东济宁）已知关于x 的方程02=++a bx x 有一个根是a -（0≠a ），则b a -的值为（ ）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2 【答案】A

7、（2011四川成都）已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++m k nx mx 有两个实数根，则下列关于判别式mk n 42

-的判断正确的是 （ ）

A. 042<-mk n

B. 042=-mk n

C. 042>-mk n

D. 042

≥-mk n 【答案】C

8、（2011山东滨州）若2=x 是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______.

【答案】9、（20011江苏镇江）已知关于x 的方程2

60x mx +-=的一个根为2，则=m _____，另一根是_______. 答案：1，-3

10、（2011山东聊城）解方程：()220x x x -+-= 【答案】(x －2)(x ＋1)＝0，解得x ＝2或x ＝－1 11、(2011江苏南京)解方程：0142

=+-x x 【答案】解法一：移项，得2

41x x -=-． 配方，得2

4414x x -+=-+， 2

(2)3x -=

由此可得2x -=

12x =，22x =解法二：1,4, 1.a b c ==-=

224(4)411120b ac -=--??=>，

4

22

x ±=

=±

12x =，22x =．

【能力拓展】

1、（CJKT18）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，

且关于x 的一元二次方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.不等边三角形 2、解方程022

=--x x .

分析:本题是含有绝对值的方程，可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同，请同学们注意转化的技巧.

解法一:分类讨论

（1）当0≥x 时，原方程化为022

=--x x ，

解得：

,21=x 12-=x （不合题意，舍去）

（2）当0

=-+x x

解得：21-=x ,12=x （不合题意，舍去）

∴原方程的解为2,221-==x x . 解法二:化归换元

原方程022

=--x x 可化为2

20x x --=，

令y x =，则2

20y y --=（0y ≥），解得12,y =21y =-（舍去）， 当12y =时，2x =，∴2x =±， ∴原方程的解为2,221-==x x .

3、设a b ，是方程220100x x +-=的两个实数根，求2

2a a b ++的值.

若关于x 的一元二次方程2

610x x k +--=与2

70x kx +-=有相同的根，试求k 的值和相同的根． 分析：关于一元二次方程的公共根问题，要综合考虑方程的根的意义和方程组的解法技巧．

解：设相同的根为0x ，则它同时满足两方程，即200200610

70

x x k x kx ?---=??--=??，

∴220000617x x k x kx ---=--， ∴0(6)6k x k -=-. （1）当6k ≠时，01x =.

把01x =代入方程2

610x x k +--=中，得6k =-.

（2）当6k =时，代入原方程中， 两方程均为2

670x x +-=. 解得:121,7x x =-=.

故当6k =-时，两方程有一个相同的根1；当6k =时，两方程的两根都相同，分别是-1和7.

4、（CJKT18）已知关于x 的方程01)1

)(72()1)(1(22

=+-+---x x

a x x a 有实数根，求a 的取值范围.

5、（CJKT18）设方程42=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.

22.2降次--解一元二次方程(第六课时)

22．2降次--解一元二次方程（第六课时） （习题课） ◆随堂检测 1、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ） A 、0>a B 、0≠a C 、1=a D 、0≥a 2、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ） A 、522=-x x B 、5422=-x x C 、542=+x x D 、522=+x x 3、方程x x x =-)1(的根是（ ） { A 、2=x B 、2-=x C 、0,221=-=x x D 、0,221==x x 4、已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是______________． 5、用适当的方法解下列方程： （1）0672=+-x x ；（2）)15(3)15(2 -=-x x ； （3）0362=+-x x ；（4）2 2510x x --=. ◆典例分析 解方程022 =--x x . ￥ 分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同学们注意转化的技巧. 解法一:分类讨论 （1）当0≥x 时，原方程化为022=--x x ， 解得：,21=x 12-=x （不合题意，舍去） （2）当0

原方程022=--x x 可化为2 20x x --=, 令y x =，则220y y --=（0y ≥），解得12,y =21y =-（舍去）， 当12y =时,2x =,∴2x =±, ∴原方程的解为2,221-==x x . ◆课下作业 ●拓展提高 1、方程062=--x x 的解是__________________． · 2、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______． 3、12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________． 4、当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（ ） A 、4 B 、2 C 、-2 D 、-4 5、已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，求代数式 235(2)362 x x x x x -÷+---的值． 6、阅读材料，解答问题： 材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以视2(1)x -为一个整体. 然后设21x y -=,原方程可化为2540y y -+=①.解得121,4y y ==. ! 当11y =时，211x -=,即22x =，∴x = 当24y =时，214x -=,即25x =，∴x = ∴原方程的解为1234x x x x == 解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______的数学思想.（2）解方程42 60x x --=. ●体验中考 1、（2009年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 2、（2009年湖北襄樊）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===， 且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ）

一元二次方程的概念

一元二次方程的概念 知识点： 一、一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。 识别一元二次方程必须抓住三个方面： （1）整式方程 （2）含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2次 【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y (4)03x 1 2=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x 二、一元二次方程的一般形式：02 =++c bx ax （a ≠0） 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：02=++c bx ax （a ≠0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项，a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项. 例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次 项系数和常数项。 例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， . 练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。 ①()x x x x 3422 -=- ②()()2 21248-+=+x x x ③12132=+-x x ④ ()0p 2 2≠+-=++-n m q nx mx nx mx 小结：理解一元二次方程以下方面入手： （1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数 （2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0. （3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第6讲 转化—可化为一元二次方程的方程

第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程 数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．” 转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解． 【例题求解】 【例1】 若0 51 528 522 2 =-+-+ -x x x x ，则1522--x x 的值为 ． 思路点拨 视x x 522-为整体，令y x x =-522 ，用换元法求出y 即可． 【例2】 若方程x x p -=-2有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是( ) A ．1->p B ．0 ≤p C ．0 1≤<-p D ．0 1<≤ -p 思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注 2≥-=-x x p 的隐含制约． 注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等． 解下列方程： （1） 12 11934 82232 2 22 = +-++ -++x x x x x x x x ； (2)1) 1998() 1999 (3 3 =-+-x x ； （3） 42 )1 13(1 132 =+-+ +-x x x x x x ．

《一元二次方程》第一课时(说课稿)

《一元二次方程》第一课时（说课稿） 新蔡县孙召镇初级中学周长伟 各位领导、老师大家好： 很荣幸参加这次活动，并希望得到您的指导。我说课的题目是：华师大版教材九年级上册第23章第一节《一元二次方程》。我要说的内容有以下五点：1、说教材，2、说目标，3、说教学方法；4、说教学程序；5、说评价。下面分别谈一谈： 一、说教材。 1、教材分析： 本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察、类比、归纳出一元二次方程的概念，是学习一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础。本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及应用起到铺垫作用。 2、教学重点： 一元二次方程的概念及一般形式。 3、教学难点： 通过实例建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念类比、迁移得到一元二次方程的概念。 二、说目标。 1、知识目标：使学生充分了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。 2、能力目标：经历抽象一元二次方程的过程，使学生体会出方程是刻画现实生活中数量关系的一个有效数学模型。 3、情感目标：培养学生主动探索、敢于实践、合作交流的精神；激发学生的学习热情。 三、说教学方法 1教法分析 本节课主要采用类比发现法为主，以讨论、合作、探索、练习为辅的教学方法。

2．学法指导 本节课的教学中，教会学生善于观察、分析讨论、合作交流、类比归纳，最后抽象所学知识。 3教学手段 采用电脑多媒体辅助教学，利用投影展示交流。 四、说教学程序 1创设情境导入新课 问题(1)：是考查巩固长方形面积计算的一个实际问题；问题(2):是考查黄金分割点的问题；问题(3):是考查增长率的问题。通过三个实际问题进一步让学生明确列方程解实际问题的思路和方法，把实际问题转化成数学问题，让学生合作交流、归纳总结得出方程: (1)x(x+10)=900 (2)x2=1·(1-x) (3)5(1+x)2=7.2 此方程的建立为下环节的教学作好铺垫。 2．自主探索归纳新知 问题中所列的三个方程 (1)x(x+10)=900，即x2+90x=900 (2)x2=1-x (3)5(1+x)2=7.2 与一元一次方程作类比得到一元二次方程的概念： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程。 归纳新知： 一元二次方程的一般形式： 形如：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。 注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。 让学生思考：关于x的方程是一元二次方程的条件是什么？ 让生合作交流讨论归纳。 3．巩固练习深化知识 做一做

一元二次方程定义及其解法

班级姓名课题一元二次方程定义及其解法（配方法） 一、目标导航 1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 二、教学重难点 重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 难点：配方法解一元二次方程. 三、走进教材 知识点一：一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最

高次数为2的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。举例：2230x x +-= 3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。 自主练习： 下列方程中，是一元二次方程的有 。（填序号） ①2 5x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=； ④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x -+=； ⑥2 04y y -=。 知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。

2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是 一个非负数，即把一个方程转化成()2 x n p +=（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。 3. 配方法具体操作： （1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举 例：解方程2230 +-=， x x （2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配 方。举例：解方程22230 +-=。 x x 4. ()2 += x n p x n p +=（p≥0）的解法：对于方程()2

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，

， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，

所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

一元二次方程概念和解法测试题

一元二次方程概念与解法测试题 姓名： 得分： ⑤2 2230x x x +-=；⑥x x 322 +=；⑦231223x x -+= ；是一元二次方程的是 。 1． 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项： 3．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A .2(2)210m x x ---= B .2530k x k ++= C 21203x --= D.22 340x x +-= 4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2 =+--a x a x 的一个解为1，则a= 。 5．方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=，当m = 时，为一元一次方程； 当m 时，为一元二次方程。 6．已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，则m = 。 8、2 2 ___)(_____6+=++x x x ； 2 2 ____)(_____3-=+-x x x 9、方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ; 10、如果二次三项式16)122 ++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）； A 、02 =++c bx ax B 、 2112 =+x x C 、122 2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2 4330x x x -+-=的根为（ ）； （A ）3x = （B ）125x = （C ）12123,5 x x =-= （D ）1212 3,5x x == 13、解下面方程：（1）()2 25x -=（2）2 320x x --=（3）2 60x x +-=，较适当的方法分别为（ ） （A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法 （C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法

2021年江西省中考数学复习第6讲 一元二次方程及其应用(精选练习)

第6讲 一元二次方程及其应用 一、选择题 1．(2020·泰安)将一元二次方程x 2－8x －5＝0化成(x ＋a )2＝b (a ，b 为常数)的形式，则a ，b 的值分别是( A ) A ．－4，21 B ．－4，11 C ．4，21 D ．－8，69 2．(2020·临沂)一元二次方程x 2－4x －8＝0的解是( B ) A ．x 1＝－2＋2 3 ，x 2＝－2－2 3 B ．x 1＝2＋2 3 ，x 2＝2－2 3 C ．x 1＝2＋2 2 ，x 2＝2－2 2 D ．x 1＝2 3 ，x 2＝－2 3 3．(2020·河南)定义运算：m ☆n ＝mn 2－mn －1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x ＝0的根的情况为( A ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．只有一个实数根 4．(2020·江西上饶模拟)某公司前年缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x ，则列方程( D ) A ．20(1＋x )3＝24.2 B ．20(1－x )2＝24.2 C .20＋20(1＋x )2＝24.2 D ．20(1＋x )2＝24.2 5．(2020·江西南昌二模)已知矩形的长和宽是方程x 2－7x ＋8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为( D ) A ．6 B ．7 C ．41 D ．33 6．(2020·铜仁)已知m ，n ，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋2＝0的两个根，则k 的值等于( B ) A ．7 B ．7或6 C ．6或－7 D ．6 二、填空题 7．(2020·荆门)已知关于x 的一元二次方程x 2－4m x ＋3m 2＝0(m ＞0)的一个根比另一个根大2，则m 的值为__1__． 8．关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 可取的最大整数为__6__． 9．(2020·江西新余模拟)已知一元二次方程3x 2－x －1＝0的两根分别为α和β，则3α2＋2α＋3β＝__2__． 10．(2020·邵阳)中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为__x (x ＋12)＝864__． 三、解答题 11．(2020·无锡)解方程：x 2＋x －1＝0. 解：x 1＝－1＋52 ，x 2＝－1－52 .

一元二次方程的定义教案

第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知

你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠

随堂练习 第6讲 一元二次方程

第二章方程（组）与不等式（组） 第6讲一元二次方程随堂测试 满分60分，时间60分钟 一、选择题（共6题，满分18分） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A．ax2+b+c＝0B．x+y＝3C．x2+2＝0D．x2+＝3 2．用配方法解一元二次方程x2+8x﹣3＝0，下列变形中正确的是（）A．（x﹣4）2＝16+3B．（x+4）2＝16+3 C．（x+8）2＝﹣3+64D．（x﹣8）2＝3+64 3．一元二次方程x2+3x＝4解的情况为（） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．若一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 5．2020年是国家脱贫攻坚战收官之年．据悉，2018年中央财政专项扶贫资金为1060.95亿元，2020年中央财政专项扶贫资金为1136亿元，设2018年到2020年中央财政专项扶贫资金年平均增长率为x，可列方程为（） A．1060.95（1+x%）2＝1136B．1060.95（1+x2）＝1136 C．1060.95（1+2x）＝1136D．1060.95（1+x）2＝1136

6．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（） A．c＞8B．5＜c＜8C．8≤c＜13D．5＜c＜13 二、填空题（共4题，满分12分） 7．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则这个直角三角形的斜边长为． 8．如图，学校综合实践小组的种植园是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为627平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为． 9．一元二次方程4x2﹣1＝0的根是． 10．对于任意实数a、b，定义：a*b＝a2+ab+b2．若方程（x*2）﹣5＝0的两根记为m，n，则（m+3）（n+3）＝． 三、解答题（满分30分） 11．（满分6分）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣16＝0． 12．（满分6分）解方程：

2019年河北中考数学复习第7讲 一元二次方程

第 7 讲 一元二次方程 1. (2014，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax ＋ bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时， 对于 b － 4ac >0 的情况，她是这样做的： 由于 a ≠0，方程 ax 2 ＋bx ＋c ＝0 变形为： b c x ＋ x ＝－ ，…第一步 aa a a 2 c b 2 x ＋ x ＋ ＝－ ＋ ，…第二步 a a b 2 b －4a c x ＋ ＝ 2a 4a ，…第三步 b b －4ac x ＋ ＝ (b －4ac >0)，…第四步 2a 4a －b ＋ b －4ac x ＝ .…第五步 2a (1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当 b － 4ac >0 时，方程 ax ＋bx ＋c －b ± b － 4ac ＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝ ）； 2a (2)用配方法解方程：x － 2x －24＝0. 【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤： (1) 形如 x ＋px ＋q ＝0 型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． (2)形 如 ax ＋bx ＋c ＝0 型．方程两边同时除以二次项系数，即化成 x ＋px ＋q ＝0 型，然后配方． －b ± b － 4ac 解：(1)四 x ＝ 2a (2)移项，得 x － 2x ＝24. 配方，得 x － 2x ＋1＝24＋1，即(x －1) ＝25. 开方，得 x －1＝±5. ∴x ＝6，x ＝－4. 1 2 2. (2015，河北)若关于 x 的方程 x ＋ 2x ＋a ＝0 不存在实数根，则 a 的取值范围是(B) A. a ＜1 B. a ＞1 C. a ≤1 D. a ≥1 【解析】 ∵关于 x 的方程 x ＋ 2x ＋a ＝0 不存在实数根，∴b －4ac ＝2 －4×1×a ＜0.解 得 a ＞1. 3. (2016，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c ) >a ＋ c ，则关于 x 的方程 ax ＋bx ＋c ＝0 根的 情况是(B) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为 0 【解析】 由(a －c ) >a ＋c 得出－2ac ＞0，∴Δ ＝b － 4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根． 一元二次方程的概念及解法 例 1 解下列方程： (1)x －2x －1＝0； 2 2 2 2 2a 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

一元二次方程----公式法(第一课时)教学设计

课题：22.2一元二次方程----公式法（第1课时）教案 一、教学目标 知识与技能: 1、了解一元二次方程求根公式的推导过程 2、会运用公式法解简单系数的一元二次方程 3、会用根的判别式来判定一元二次方程根的情况 过程与方法: 经历推导求根公式的过程,不但培养了学生推理的严谨性,而且发展学生的逻辑思维能力. 情感态度与价值观: 通过运用公式法解一元一次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习中获得成功的体验,与此同时,感受到公式的对称美,简洁美,最终对数学产生热爱的美好情感. 二、教学的重、难点 (1)教学重点: 1.掌握用公式法解一元一次方程的一般步骤 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程 (2)教学难点: 推导一元一次方程求根公式的过程 温故而知新 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ (1)二次项系数化为1 (2)移项(3)配方(4)变形(5)开方 (6)求解(7)定解 2、用配方法解下列方程：3x2+ 6x -4= 0 课题：22.2一元二次方程-----公式法（第1课时） 一、学习目标 1、了解一元二次方程求根公式的推导过程 2、会运用公式法解简单系数的一元二次方程 3、会用根的判别式来判定一元二次方程根的情况。 二、自学指导一

请认真看课本P9页“探究”--P11页“例2”之前的所有内容,思考： 1、理解记忆“归纳”中的重要结论： 在方程 20()ax bx c a ++=≠0 中 ① 24b ac - >0 时，此方程有 两个不相等的 实数根； ② 24b ac - <0 时，此方程有 两个相等 实数根； ③ 24b ac - =0 时，此方程 没有 实数根. 2、了解公式法的推导过程并熟记一元二次方程的求根公式. 6分钟后比比谁又快又准完成以上问题！ 公式法的产生 你能用配方法解方程20()ax bx c a ++=≠0吗? 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半 的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 自学指导二 请认真看课本P11页“例2”的所有内容： 要求： .2422a ac b a b x -±=+,042时当≥-ac b .442222a ac b a b x -=??? ??+.2 a c x a b x -=+.222 22a c a b a b x a b x -??? ??=??? ??++.0:2=++a c x a b x 解

一元二次方程基本概念

一元二次方程基本概念 1、基本概念： 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 2、解方程常用方法： (1). 直接开平方法: 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解 形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n= (2).配方法： 左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。 转化过程如下： x2-64x+768=0 移项→x2-64x=-768 两边加（ 64 2 ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式→（x-32）2=?256 ? 降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根 例1．解下列方程 （1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．

解：（1）移项，得：x 2+6x=-5 配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54 由此可得x+32=x 132，x 232 （3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0 移项，得x 2+4x=1 配方，得（x+2）2=5 x+2=x 1，x 2 总结用配方法解一元二次方程的步骤． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． （3）公式法： 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，它的两个根 x 1=2b a -+， x 2=2b a - 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a =±2a

2021年中考数学复习第6讲 一元二次方程及其应用(精讲练习)

第6讲一元二次方程及其应用 一、选择题 1．(2020·临沂)一元二次方程x2－4x－8＝0的解是(B) A．x1＝－2＋2 3 ，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3 ，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2 ，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3 ，x2＝－2 3 2．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(A) A．－4，21 B．－4，11 C．4，21 D．－8，69 3．(2020·河南)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为(A) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．(2020·铜仁)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于(B) A．7 B．7或6 C．6或－7 D．6 5．(2020·鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.92万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为(C) A.20% B．30% C．40% D．50% 6．(2020·随州)将关于x的一元二次方程x2－px＋q＝0变形为x2＝px－q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x·x2＝x(px－q)＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2－x－1＝0，且x＞0，则x4－2x3＋3x的值为(C) A．1－ 5 B．3－ 5 C．1＋ 5 D．3＋ 5 二、填空题 7．(2020·江西)若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为__－2__． 8．(2020·荆门)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一个根比另一个根大2，则m的值为__1__． 9．(2020·邵阳)中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为__x(x＋12)＝864__．

第7讲一元二次方程课后作业

作业七一元二次方程 一、选择题 1、（2014?襄阳，第9题3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设 2、（2017?兰州）如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么是实数m的取值为（C） A．m＞9 8 B．m＞ 8 9C．m= 9 8 D．m= 8 9 3、（2017?河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（B） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 二、填空题 4、（2016·湖北鄂州）方程x2－3=0 5、（2015?绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=26 6、(2016大连改编)若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是1 a>-。 三、解答题 7、（2016·四川成都）已知关于x的方程3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取值范围．解：∵3x2+2x﹣m=0没有实数解， ∵b2﹣4ac=4﹣4×3（﹣m）＜0， 解得：m＜，故实数m的取值范围是：m＜． 8、（2016·江苏泰州）随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率． 解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x， 根据题意，得：200（1+x）2=392， 解得：x1=0.4，x2=﹣2.4（不符合题意，舍去）． 答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．

9、（2016·湖北鄂州）关于x 的方程(k －1)x 2+2kx +2=0 （1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根。 （2）设x 1，x 2是方程(k －1)x 2+2kx +2=0的两个根，记S =x x 12+x x 21+ x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值。若不能，请说明理由。 解：⑴①当k -1=0即k =1时，方程为一元一次方程2x =1, x =1/2有一个解； ②当k -1≠0即k ≠1时，方程为一元二次方程， ⑴=（2k ）2-4×2（k -1）=4k 2-8k ＋8=4(k -1) 2 ＋4＞0 方程有两不等根 综合①②得不论k 为何值，方程总有实根 ⑴⑴x ?＋x ?＝－2k / k -1 ,x ? x ?=2 /k -1, ⑴s = (x ? 2＋ x ? 2)/x ? x ?＋(x ?＋x ? ) =[ ( x ?＋x ?) 2－2 x ? x ? ]/ x ? x ?＋(x ?＋x ?) =(4k 2-8k ＋4)/2（k -1）=2 k 2－3k ＋2=0 k ?=1 k ?＝2 ⑴方程为一元二次方程，k -1≠0 ⑴k ?=1 应 舍去 ⑴当k =2时，S 的值为2 ⑴S 的值能为2，此时k 的值为2.

《一元二次方程》第一课时教学设计

《一元二次方程》第一课时教学设计

难点 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 教学资源⑴每位学生制作一个无盖方盒 ⑵每人一份印刷练习题 ⑶教师自制的多媒体课件 ⑷上课环境为多媒体大屏幕环境 教学活动 教学活动 1 ㈠师生互动，激趣导入 情境创设（大屏幕投影教材24页）：要设计一座2米高的人体雕塑，使雕 塑的上部（腰上部）与下部（腰下部）的高度比，等于下部与全部（全身） 的高度比，雕塑的下部应设计为多高？ 学生根据等量关系：设雕塑下部高xm,于是得方程 X2=2(2－x)整理得X2+2x－4=0，这是什么方程，与以前学过的一元一次方 程有什么不同，这节课我们就来学习它---------一元二次方程 教学活动2㈡问题启发，合作探究 1．问题1（多媒体课件）有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 学生结合手中学具思考怎么列方程 如果假设切去的正方形边长为x，那么盒底的长是________，宽是_____，根据方盒的底面积为3600cm2，得：_______． 整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 2．（出示排球邀请赛图片） 问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 单循环比赛是指就表示每个队要和其他所有的队都赛到了，如果有4个队总共赛_______场，5个队呢？8个队呢？n个队呢？ 同学们用基本线段法和定点发射法总结规律： 场数=队数×（队数-1）÷2 场数=（队数-1）+（队数-2）+（队数-3）+。。。。。。+1 列方程得x(x－1)÷2=28 整理得X2－x=56解方程可以得出参赛队数。3．学生活动，叙述概念 请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）?都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

1、一元二次方程的定义及解法

第一讲一元二次方程的定义及解法 1.1 一元二次方程的定义 知识网络图 定义 直接开平方法 一元二次方程配方法 解法 公式法 因式分解法 知识概述 1．一元二次方程的概念： 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（） A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．2 2（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（ ） A ．1 B．3 C．0 D．1 或3 3．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（） A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5 课后练习 1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（） A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或15

2．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（） A ．2016 B ．2018 C．2020 D．2022 3．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于

河北中考数学复习第7讲一元二次方程

第7讲一元二次方程 1. (2019，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ^ 0)的求根公式时, 对于b 2— 4ac>0的情况，她是这样做的： 由于0,方程ax 2 + bx + c = 0变形为： 【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程?用配方法解一元二次方程的步骤： (1) 形如x 2+ px + q = 0型.第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可. (2)形 如ax 2 + bx + c = 0型?方程两边同时除以二次项系数，即化成 x 2 + px + q = 0型，然后配方. ” —b ± b 2— 4ac 解: (1)四 x = 1- 2a 2 ⑵移项，得x — 2x = 24. 配方，得 x 2— 2x + 1 = 24 + 1，即(x — 1)2= 25. 开方，得x — 1 = ±5. x 1 = 6, x 2=— 4. 2. (2019，河北)若关于x 的方程x 2+ 2x + a = 0不存在实数根，则a 的取值范围是(B) A. a v 1 B. a > 1 C. a < 1 D. a > 1 【解析】???关于x 的方程x 2 + 2x + a = 0不存在实数根，??? b 2— 4ac = 22— 4X 1X a v 0.解 得 a > 1. 2 2 2 2 3. (2019，河北)a , b , c 为常数，且(a — c) >a + c ,则关于x 的方程ax + bx + c = 0根的 情况是(B) A. 有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0 【解析】 由(a — c)2>a 2+ c 2得出一2ac > 0,^A = b 2 — 4ac > 0.「.方程有两个不相等的实数根. 2 丄 b c x + a x =— a ，…第步 x 2, b x +色* = c +d 彳…第一步 x + a x + 2a =— a + 2a ，第二步 2 2 (b X b — 4ac x + 亦=47 ，…第三步 x + 2- = b ：4ac (b 2— 4ac>0)，…第四步 2a 4a ' —b +「■. ：b — 4ac ?…第五步 4a 2a (1)嘉淇的解法从第 =0(a ^ 0)的求根公式是 四 步开始岀现错误：事实上，当 —b ± b 2 — x= -------- ; ------- b 2 — 4ac>0 时，方程 ax 2 + bx + c (2)用配方法解方程: 4ac 2a )； x 2— 2x — 24= 0.