高中数学打印版
精心校对版本
1.1 数的概念的扩展
学习目标
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数代数形式的表示方法．
知识点一 复数的概念及复数的表示
思考 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
梳理 复数及其表示
(1)复数的定义
①规定i2＝________，其中i叫作________；
②若a∈R，b∈R，则形如________的数叫作复数．
(2)复数的表示
①复数通常表示为z＝a＋bi(a，b∈R)；
②对于复数z＝a＋bi，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Rez与Imz表示，即a＝Rez，b＝Imz.
知识点二 复数的分类 高中数学打印版
精心校对版本 (1)复数a＋bi(a，b∈R) 实数b＝0虚数b≠0 纯虚数a＝0非纯虚数a≠0
(2)集合表示：
类型一 复数的概念
例1 (1)给出下列三个命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1的虚部是2i；
③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤实数集的补集是虚数集．
其中真命题的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪训练1 下列命题：
①1＋i2＝0；
高中数学：5.1.1数的观点的扩展(二)教课设计(北师大选修2-2)
数的观点的扩展
教课过程 ：
情境设置
从社会实践来看，为了知足生活和生产实践的需要，数的观点在不停的发展着 . 为了计数
的需要产生了自然数，为了丈量等需要产生了分数，为了诉刻画相反意义的量产生了负数，
为认识决胸怀正方形对角线长的问题产生了无理数，等等 .
让学生回想数系表
正整数
有理数 整数 零
负整数
实数
分数
无理数
●实数集应如何扩大？
学生活动
●回想如何求解一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)？
第一步：计算 ＝ b2－ 4ac
第二步：当 ＜ 0 时，方程没有实数根；
当 ＝ 0 时，方程有相等的实数根 x － b ；
2a
当 ＞ 0 时，方程有两个不等的实数根 － b b 2－4ac
x .
2a
●一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0(a≠0)当 ＜ 0 时有没有根呢？
特别化
●求方程 x2＋ 1＝0 的解？
为了使方程 x2＋ 1＝ 0 有解，使实数的开方运算总能够实行，实数集的扩大就从引入平方
等于“－ 1”的新数开始 .
为此，我们引入一个新数 i ， i 叫做虚数单位 .
建构数学
复数的观点
i 叫做虚数单位，并规定：
⑴i 2＝－ 1；
⑵实数能够与 i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍旧建立 .
说明：
“加法、乘法运算律”是指加法的互换律、联合律，乘法的互换律、联合律和乘法对加
§1 数系的扩充与复数的引入
1．1 数的概念的扩展
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)引导学生发现数系扩充的必要性及数系的扩充过程；
(2)能在数系的扩充过程中理解复数的概念及复数的分类．
2．过程与方法
通过对数的探究，在数系的扩充过程中，培养学生发现数学规律的思维方法和能力，培养学生创新意识．
3．情感、态度与价值观
(1)通过对数系的扩充，经历数学中的创造过程，体会矛盾是促进学科发展的有力因素，培养探索精神和创造意识；
(2)通过本节的学习和运用实践，体会数系扩充的必要性和科学价值及应用价值，体会分类讨论思想．
●重点难点
重点：复数的概念，复数的代数形式．
难点：实数系扩充到复数系的过程，及虚数单位同实数的运算．
教学时从学生熟悉的一元二次方程切入，研究一元二次方程有实根无实根的根源，从而抓住数系扩充的关键，即“创造一个数，使其平方等于－1”，并进一步研究，推广从而化解难点．
引导学生思考复数的构成及数系的分类，并通过例题与练习让学生在应用复数的概念解决问题的过程中更深入地理解复数，以强化重点．
(教师用书独具)
●教学建议
回顾从自然数逐步扩充到实数系的过程，不仅为实数系的扩充提供了类比对象，而且也为怎样扩充实数指引了方向．从希望方程x2＝－1有解开始，设想引入一个数，使其为方程x2＝－1的根，并进一步研究该数能像实数系那样进行加法、乘法的运算，且原有的运算律仍然成立．因此，本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在问题的指引下，通过类比→分析→探究→创造→完善，将数系进行扩充．
●教学流程
创设情境，提出问题：方程x2＝2有有理数解吗？方程x2＝－1有实数解吗？⇒学生探究、尝试解决：类比有理数的扩充需将实数扩充.⇒师生交流，揭示规律：引入虚数单位i，并将实数扩充到复数.⇒通过例1及变式训练，掌握复数的代数形式以及虚数、纯虚数的概念.⇒通过例2及变式训练，弄清复数的分类以及各数集间的关系.⇒探究复数的特征，研究其可比较性，完成例3及其变式训练，从而解决复数大小可比问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
高中数学：5.1.1数的观点的扩展(一)教课设计(北师大选修2-2)
数的观点的扩展
教课过程：
经过回首，学生能够对数的发展过程和其必定性有一个初步认识，但对扩展的新数集具
有的一些性质和特色是如何结构和发现的，常常缺乏应有的思虑，研究和创新。自然这与缺
乏必需的数学思想和方法亲密有关，而这一点，恰好是现代社会对人的基本要求，也是当前
倡导素质教育的中心。因此本节课力争从发展的角度，由实数集拥有的一些性质和特色出发，
借助于类比的思想对复数集的性质和特色做一些理性的研究和研究。同时在学习应用过程中，
对转变思想和方程思想进行理性认识。
1、 创建情形
【 问 题
1】：在我们学习的解一元二次方程
ax 2
bx
c
0
中，假如鉴别式
b 2
4ac
0 ，我们就说方程无解。你能解说原由吗？
思虑：联系从自然数系到实数系的扩大过程，你能假想一个方法，使这类形式的方程有
解吗？
创建问题情境的企图就是使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，认识解决问题
的大概方向。把问题解决作为教课源动力，本节课经过类比的方法，提出了一些学生能够进
行思虑但常常不够清楚的问题，使学生的注意，记忆，思想凝集在一同，达到学习活动的高
潮。
师生共同回首实数系的扩大过程。
2、研究新知
【问题 2】：请类比引进 2 ，就能够解决方程 x2 2 0 在有理数集中无解的问题，怎
么解决方程 x2 1 0 在实数集中无解的问题？
企图经过类比，使学生认识扩凑数系要从引入新数开始。
【问题 3】：如何合理地对实数系进行扩大？
类比无理数的引入，希望引入的新数要知足本来数系中的加、乘运算律。
3、建立观点
【问题 4】： 引入的新数 i 是个什么数呢？它有什么特色？
引入虚数单位的观点及性质 i2 =－ 1 ，重申 i 不一样于任何实数， 它是一种新的数。 此时学
