(北师大版)高中数学必修四：1.5《正弦函数的图像》教案设计

1.5 正弦函数的图像与性质知识梳理1。

任意角的正弦函数（1）单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆.（2)定义如图1-4—1所示,单位圆与角α的终边交于P点.设P(a，b）,则P点纵坐标b是角α的函数,称为正弦函数，记为b=sinα（α∈R）。

通常用x、y表示自变量和因变量，将正弦函数表示为y=sinx（x∈R).图1—4-1（3)正弦线如图1—4-1所示,过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段MP叫做角α的正弦线。

当角α的终边在x轴上时,M与P重合，此时正弦线变成一个点.（4)正弦线所表示的正弦值可如下确定：正弦线的方向是表示正弦值的符号，同y轴一致，向上为正,向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.(5)正弦函数定义的推广如图1—4—2所示，设P（x，y）是α的终边上任意一点,图1-4—2P 到原点的距离|OP|＝r ，有r=22y x ， 则sinα＝ry 。

对于每一个确定的角α，总有唯一确定的正弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做正弦函数。

正弦函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小。

2.周期函数一般地，对于函数y=f （x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f （x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如没特别指明,一般都是指它的最小正周期. 3.任意角的正弦值的符号(1）图形表示：各象限正弦函数符号,如图1—4—3所示.图1-4-3（2）表格表示.α的终边 sinα x 非负半轴 0 第一象限+y非负半轴+第二象限+x非正半轴0第三象限—y非正半轴-第四象限—4.正弦函数的图像和性质(1)图像：如图1-4-4所示.图1—4—4（2)性质.函数性质y=sinx 定义域R值域［-1,1］当x=2kπ+2π（k∈Z）时，y取最大值1;当x=2kπ-2π（k∈Z)时,y取最小值-1周期2π奇偶性奇函数单调性增区间［—2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z）减区间［—2π+2kπ,23π+2kπ］（k∈Z)5。

§ 5.1正弦函数的图像一、教学目标：1.知识与技能(1) 了解正弦曲线的画法，能利用描点法(包括示意图的近视画法一一五点法)画出y = sin x的图像.(2)会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的单调性、奇偶性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等性质.2.过程与方法通过利用单位圆研究正弦函数性质的过程，增强学生自主分析问题、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯 .二、教材分析1.教材突出了单位圆在研究正弦函数中的作用.从单位圆看正弦函数的简单性质，不仅能使学生较直观的看出正弦函数的简单性质，更重要的是它可以帮助学生从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，以便更深刻地认识、理解、记忆正弦函数性质.2.教材采用平移任意一个角的终边与单位圆交点的纵坐标的方法，画出正弦函数的图像.(1)为了强调任意一个角的终边与单位圆交点的纵坐标都可以平移，教材选取了区间0,2n」上的一系列的x化0,-,-,-，…，2二，6 3 2 （x的值取信越多越好），画出函数y = sin x图像上的一系列的点.（2）“五点法”是画正弦函数图像常用的方法，用这种方法画正弦函数图像是建立在对正弦函数图像形状基本特征的把握基础之上的.这种方法突出了正弦函数图像的基本特征，同时便于抓住正弦函数的主要性质。

三、重点和难点本节的重点：正弦函数的图像及基本性质.本节的难点：y= sin x图像的画法.四、教学方法与手段教学方法：合作与探究教学手段：多媒体辅助教学.五、教学过程（一）、创设情境，揭示课题教师提问：已知某函数的解析式，如何画出该函数的图像？画函数图像的基本步骤是什么？如何画出正弦函数y = sinx的图像呢？本节课我们将学习如何画出正弦函数的图像.（二）、探究新知1.画图的步骤（正弦函数线MP）下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示.如右图所示，角a的终边与单位圆交于点P （x, y）,提出问题：①线段MP的长度可以用什么来表示？②能用这个长度表示正弦函数的值吗？如果不能，你能否设计一种方法加以解决？引出有向线段的概念.有向线段：当a的终边不在坐标轴上时，可以把MP©作是带方向的线段.当y>0时，把MP®■作与y轴同向（多媒体优势，利用计算机演示角a终边在一、二象限时MP从M到P点的运动过程.让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴同向）.当y<0时，把MP看作与y轴反向（演示角a终边在三、四象限时MP从M 到P点的运动过程.让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴反向）.师生归纳：①M%带有方向的线段，这样的线段叫有向线段. M%从2P,而PM则是从4M.②不论哪种情况，都有MP= y.③依正弦定义，有sin a =MP =y,我们把MP叫做a的正弦线.（投影仪出示反馈练习）当a为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。

1.5.3正弦函数性质一、 回顾复习【创设情境，揭示课题】同学们，我们在数学中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的三要素，定义域、值域、对应法则，（单调性，奇偶性、）是通过图象观察出性质，三角函数图形波浪变化，具有周期性，下面我们观察图形，回答下列问题？（4） 它的正负值区间如何分？（5） ƒ(x)＝0的解集是多少？二、引入新课1． 定义域：y=sinx 的定义域为R2． 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y ＝sinx 的值域为[-1，1] 3．最值：1︒对于y ＝sinx 当且仅当x ＝2k π＋2π ,k ∈Z 时 y max ＝1 当且仅当时x ＝2k π－2π, k ∈Z 时 y min ＝－1 2︒当2k π＜x ＜(2k+1)π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＞0当(2k-1)π＜x ＜2k π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＜04．周期性：（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现）3︒这个规律由诱导公式sin(2k π＋x)＝sinx 也可以说明结论：y ＝sinx 的最小正周期为2π5.奇偶性sin(－x)6．单调性增区间为[－2＋2k π， 2＋2k π]（k∈Z），其值从－1增至1； 减区间为[2π＋2k π， 23π＋2k π]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】三、范例分析例1．利用五点法画出函数y ＝sinx －1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。

例2 求下列函数的最值，并求出相应的x 值。

（1） y=2sinx（2）y=sinx+2（3）y=sin2x例3求．3sin 26y x π=+（）最小正周期为四、巩固小结五、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数 的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完 全清楚它在整个定义域内的性质.
正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像 观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最 大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可. 三维目标 1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念; 能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展 运用. 2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发 学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点 教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性 质的思想方法. 教学难点:正弦函数性质的理解及灵活运用,特别是周期性的理解. 课时安排 1 课时
结合正弦函数的周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间［- +2kπ, +2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到 1;在
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每一个闭区间［ +2kπ, 3 +2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1.
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对问题⑤,学生能直观地得出正弦曲线关于原点 O 对称.在 R 上,y=sinx为奇函数.教师要
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图1
活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继
续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.